拉普拉斯

易照华

(南京大学)

  拉普拉斯,P-S(LaplacePierre-Simon)1749323日生于法国诺曼底地区的博蒙昂诺日;182735日卒于法国巴黎.天文学、数学

生平和事迹

 

  拉普拉斯的父亲皮埃尔·拉普拉斯(Pierre Laplace)是下诺曼底省的一个教区官员,兼做苹果汁生意.母亲玛丽-安娜(Marie-Anne)的娘家为图热维尔富有的农场主.拉普拉斯还有一个比他大4岁的姐姐,与母同名.近亲中未发现有名气的知识界人物,只有一个叔父路易(Louis)是未正式任命的神父,据说是数学家,但早在拉普拉斯10岁时就去世了.对拉普拉斯的成长影响不大.

  拉普拉斯16岁时在家乡念完小学和中学.按当地习俗,孩子们中学毕业后一般去教堂或军队工作.父亲希望他到教堂任职.他在1766年考入卡昂大学艺术系,后转到神学系,准备当教士.大学里的教师们发现他具有特殊的数学才能,并给予启发和鼓励.其中有两位教师对他的影响最大,一位是C.伽布勒(Gabled),另一位是P.勒卡吕(Lecanu)

  为了发挥自己的数学专长,拉普拉斯放弃了在卡昂大学取得硕士学位的机会,带着勒卡吕写给巴黎科学院负责人JL.达朗贝尔(DAlembert)的推荐信,于1768年到了巴黎.

  第一次见面时,达朗贝尔给了拉普拉斯一个题目,要他一周后再来,但他一夜之间就完成了.达朗贝尔又给了他一个关于打结的难题,他当场就解出来了.达朗贝尔非常赏识他的数学才能,推荐他到巴黎科学院任职.但当时科学院内的保守势力强大,不愿接受这位没有学位的19岁青年.达朗贝尔只好介绍他暂时到军事学校教书,讲授中等数学、基础数学分析、静力学等课程.这样他可以继续呆在巴黎,等待进入科学院的机会.谁知一等就是五年.

  拉普拉斯在21岁生日后5(1770328)完成第一篇数学论文“曲线的极大和极小研究”(Recherches sur le maxi-ma et minima des lignes courbes).其中除了对极值问题进行综合评述以外,还对当时已著名的JL.拉格朗日(Lagrange)做出的有关结果提出某些改进.此后3年内共完成13篇论文,课题涉及到当时数学、天文学的最新领域:极值问题,差分方程,循环级数,机会对策,微分方程的奇异解,行星轨道倾角的变化,月球运动理论,卫星对行星运动的摄动,行星的牛顿运动理论等.虽然在1773年以前只刊出4篇,但全都向巴黎科学院提出报告,逐渐受到科学界重视.

  当时巴黎科学院接受研究人员要经过院士们投票决定,尽管有达朗贝尔等人的支持,但不少院士认为拉普拉斯太年轻,不投赞成票.结果在1771年投票时,接受了比拉普拉斯年长14岁的A.范德蒙(Vandermonde);在1772年投票时又接受了比他大10岁的J-A-J.库辛(Cousin).达朗贝尔经这两次挫折后失去信心,在1773年元旦写信给柏林的普鲁士学院数学部主任拉格朗日,希望能在那里给拉普拉斯找一个职位,并在信中气愤地说:“巴黎科学院宁愿接受一个才能比他低得多的人”[参看《拉格朗日文集》第13卷,254256(Oeauvres de LagrangeXⅢ,1882254256)].拉普拉斯尚未接到回信,17732JAde孔多塞(Condorcet)出任巴黎科学院执行秘书,在他的坚决支持下,终于在同年331日通过了接受拉普拉斯进入科学院的决议.孔多塞在给拉普拉斯的第一个论文集(即上述13篇论文,1774年出版)所写的序言中热情地说:“巴黎科学院第一次接受了这样年轻,并在这样短的时期内对多种难题写出重要论文的人”.由于拉普拉斯已有较高声望,一开始就成为副院士.

  此后,拉普拉斯真正开始他的科学研究生涯,逐步成为当时数理学科中贡献最大且在科学史上最负盛名的科学家之一.他是天体力学的主要奠基者,是首先在科学上提出宇宙在演化的学者,是分析概率论的创始人,是应用数学的先驱,也是当时最著名的物理学家.他的一生大致可分为4个时期:29岁以前的青少年时期,初露锋芒,受到科学界的重视;2940岁为鼎盛时期,完成多数重大成果;4056岁为革命变革时期,主要进行科学组织和教育工作,仍继续研究和整理成果;56岁以后为晚年时期,主要总结成果和做组织管理工作.

  拉普拉斯一生工作的主要单位是科学院.1773年被接受进入的科学院叫“在巴黎的皇家科学院”,简称巴黎科学院.当时在欧洲很多国家的首都都设有皇家科学院,故巴黎科学院就是法国皇家科学院,是1666年路易十四时代建立的.179388日,当时的国民议会发出解散皇家科学院的公告,拉普拉斯离开巴黎下乡.1795年,共和国政府建立了全国统一的学术文化机构,即历史上著名的法兰西研究院,下面划分为5个学院或分院.其中研究自然科学的分院就叫法国科学院或法兰西研究院的科学分院.此外,法兰西研究院中还有语文学院、伦理学和政治学院、艺术学院、金石学和文学院.1816年,路易十八又把其中的科学院改名为法兰西科学院.

  拉普拉斯在1773年进入巴黎科学院后,实现了自己的愿望,全力对数学、力学和天文学进行研究.不仅得到科学院内学者们的支持和鼓励,还同在柏林的拉格朗日经常通信,讨论学术问题.到1780年前后,拉普拉斯的学术地位已得到公认,受到国内外学术界和政府部门的重视.

  1784年,当时的路易十六政府任命拉普拉斯3个重要职务:皇家炮兵学校考官,巴黎科学院特别委员会(就前几年的市政问题进行审查,提出劝告)负责人,巴黎市立大医院的审查委员会成员.17854月,当勒鲁瓦(Le Roy)院士去世而出现空缺时,拉普拉斯被选为巴黎科学院院士.1786年,拉普拉斯签署特别委员会决定:科学院每年出版人口资料,作为国家制订政策的参考.

  1788515日,拉普拉斯同比他小20岁的玛丽-夏洛特(Marie-Charlotte)结婚.她是贝桑松(Besancon)家族的女儿.婚后生一子一女,在1789年生的儿子取名夏尔-埃米尔(Charles-Emile),他后来在军队工作成为将军,于1874年去世.女儿名索菲-苏珊(Sophie-Suzanne),后与波特(Portes)侯爵结婚,1813年死于难产,遗女后来同科尔贝尔-夏邦内(Colbert-Chabannais)伯爵结婚.这一支的后代为了纪念祖先,改姓为科尔贝尔-拉普拉斯(Colbert-Laplace)

  1789714日,法国资产阶级革命开始,法国政局动荡.因巴黎科学院为皇家机构,革命政府于秋天就提出要求,科学院在机构和程序上都要实现自由原则,与制宪会议秩序一致.并任命拉普拉斯组织一个委员会,按此方针提出建议.拉普拉斯会同孔多塞、博尔达(Borda)等人一起商量,于179031日提出了相应建议上交.其实拉普拉斯在革命前夕,即74日就提出科学院的“更新”建议,要求正式研究人员具有基本的数学物理知识(参看178974日科学院备忘录).但在78日的决议中,只通过要求正式研究人员了解数学、物理学的课题就行了.当然拉普拉斯这个建议并不符合制宪会议方针,因而未包含在17903月的建议中.

  1789112日,革命政府推选拉普拉斯等15位院士组成一个“技术与职业咨询局”,取代原由拉普拉斯领导的特别委员会,作为政府的一般专利和技术政策的咨询机构.拉普拉斯积极主动参加活动,首先决定继续出版人口资料;然后为十进位的度量衡公制系统的实现而努力.

  革命前不久,巴黎科学院在17896月就成立了以拉普拉斯和AL.拉瓦锡(Lavoisier)为首的专门小组,研究制定公制系统.由于早有准备,故咨询局刚成立他们就在1790414日提出了长度单位和容积、重量单位间的关系.179058日的制宪大会上通过了公制法.1791325日,巴黎科学院任命了由院士拉普拉斯、拉格朗日(1787年从普鲁士到巴黎)、蒙日(Monge)、博尔达、孔多塞等人组成的“度量衡委员会”,最后确定了长度单位.他们根据从法国敦刻尔克到西班牙巴塞罗那的大地测量结果,正式决定长度单位“米”为巴黎子午线全长的四千万分之一.这个长度单位比过去定义的秒摆(即摆动周期为2秒的单摆)长度要更科学可靠,因秒摆长度随时间和地点不同而有改变,然后用十进制确定更小和更大的长度单位,如分米、厘米、毫米、……、公里等;面积、体积单位用相应长度单位的平方、立方来定义;重量单位用相应单位体积的水重来定义.这就是至今使用的世界公制系统.

  179388日,当时的国民议会在罗伯斯比尔的雅各宾派控制下,发出解散巴黎科学院的公告.拉普拉斯、拉瓦锡、博尔达、库仑(Coulomb)等人都被清洗.拉普拉斯早得到消息,于清洗前就携全家逃离巴黎,同妻子和两子女一起搬到巴黎东南30英里处的默伦.至1794727(热月9)政变,罗伯斯比尔的雅各宾派下台以后才回到巴黎.共和国政府在1795625日通过法律条文,决定组建法国经度局,统一领导全国的天文和航海工作,包括原巴黎科学院的度量衡委员会和巴黎天文台等单位.拉普拉斯是经度局的领导成员.17951227日,在法兰西研究院中的科学院组建会上,拉普拉斯被任命为副院长,并于179646日被选为院长.同时为法兰西研究院院士和科学院院士.

  拉普拉斯在此时期内对法国的高等教育也有重大贡献.1795年初成立的高等师范学校,91日重建改名的巴黎综合工科学校是法国的最高学府.他是这两所学校的第一批教授和组织者.他强调学校要系统地教授数学和物理学知识,并要严格挑选学生.19世纪前半期最著名的数学家、物理学家如AM.安培(Ampère)S.卡诺(Carnot)AJ.菲涅耳(Fresnel)L.马吕(Malus)S-D.泊松(Poisson)等都毕业于这两所学校.在1796年出版的历史性名著《宇宙体系论》(Exposition du système du mon-de),就是他在这些学校的讲稿.

  拉普拉斯在这几年内还很不情愿地参加了所谓“法兰西共和历法”的制订工作.以1793年为共和历Ⅰ年,以热、雾、霜等为月名.在他再三建议下,直到拿破仑帝国的1806年初才恢复使用格里历.

  拿破仑对拉普拉斯非常重视,他们早在17859月就认识.当时拉普拉斯是军事学校考官,而青年拿破仑是该校炮兵学员,参加拉普拉斯主持的数学考试.179910月,即雾月政变(119)3周,拉普拉斯把新出版的《天体力学》(Mécanique célèste)第一、二卷送给拿破仑.拿破仑高兴地说:“近6个月内较空,一定拜读”.还邀请他们夫妇第二天去吃饭.雾月政变后,拿破仑成为最高执政官,很快就提名拉普拉斯担任内政部长.当时内政部的职责是处理除经济和警务以外的全部国内事务.拉普拉斯在任期间,曾于17991216日发布重组巴黎综合工科学校以及教育改革的法令.把重组后的巴黎综合工科学校的学制改为2年,以学基础课为主.毕业后再上专业性工科学校,如巴黎矿业学校、巴黎桥梁公路学校、炮兵工程学校等.

  在担任内政部长6周后,拿破仑认为他不适宜任行政官员,任命自己的弟弟吕西安(Lucien)任内政部长.又提名拉普拉斯为上议院(元老院)议员,并于1803年当选为议长.给予拉普拉斯最高薪金,年收入超过10万法郎.拿破仑称帝后,1805年又提名拉普拉斯为勋级会荣誉军团成员,这是拿破仑在1802年成立的表彰重大功勋者的荣誉团体.虽然拿破仑如此重视拉普拉斯,但他们之间的私人交往很少,因为拉普拉斯主要精力仍在学术工作上.在动荡的革命变革时期内,尽管他参加了大量社会活动和组织工作,但仍坚持研究和整理成果.攻下巴士底监狱后第4天,拉普拉斯就在科学院内宣读他关于黄道倾角变化的论文还在1805年前完成了历史性名著《宇宙体系论》和《天体力学》前4卷以及大量论文.

  1806年,拿破仑帝国授予拉普拉斯伯爵衔.他在巴黎南郊阿尔克伊村购买土地,与物理学家CL.贝托莱(Berthollet)为邻.以他们两人为核心,在那里聚集了一批年轻的物理学家,形成一个沙龙,被大家非正式地称为阿尔克伊协会.拉普拉斯晚年的天文学和物理学研究工作,都同此协会有关.

  1810年以后,拉普拉斯又重新研究概率论,在1812年出版了历史性名著《概率分析理论》(Theorie analytique des probabilits).还提出了一些有关应用数学的方法.

  1813年,拿破仑又授予拉普拉斯留尼汪勋章.拿破仑下台后,1815年前后有不少人指责拉普拉斯在政治上无原则,过去讨好拿破仑,现在又支持新王朝.实际上,拉普拉斯虽然对拿破仑也很尊重,但对他称帝后的战争政策并不支持.1814年,他在上议院投票时支持波旁(Bourbon)王朝推翻拿破仑帝国.正因如此,在拿破仑复辟的百日期间,他被迫离开巴黎.1816年,路易十八把法兰西研究院中的科学院改名为法兰西科学院,拉普拉斯被选为院士,次年任院长.1817年,路易十八还晋封拉普拉斯为侯爵.

  阿尔克伊协会是拉普拉斯的物理学活动中心,到1809年达到高峰,世人称之为拉普拉斯学派.那里集中了当时物理学界的精英,从事热学、电学、磁学、流体力学和光学方面的研究.拉普拉斯在法兰西研究院中设立了“竞争奖”,1816年以前,得奖者都是拉普拉斯学派的成员,论文中都有拉普拉斯的观点.第一次打破这种垄断的是女物理学家S.热尔曼(Germain),她在18161月提出的“弹性表面理论”论文获奖,是对拉普拉斯学派的第一次挑战.拉普拉斯的弟子菲涅耳在1819年发表的论文“光的折射理论”获竞争奖,支持了光的波动理论.而拉普拉斯是终生坚持光的微粒理论的.到1820年,拉普拉斯学派的骨干JB.毕奥(Biot)也发表支持波动理论的论文.自此以后,拉普拉斯学派在物理学界的影响逐渐由他的弟子们代表,而他本人已达70高龄,虽能坚持工作,但只能做些天体力学的补充性研究,直到去世为止.

  根据著名数学家J.傅里叶(Fourier)1829年所撰纪念文章中的描述(见文献),拉普拉斯的记忆力一直到垂老时都非常好,虽然饮食很少,但不显衰弱.拉普拉斯在182735日去世,先葬于巴黎附近的大拉谢斯,后在1878年迁回老家博蒙昂诺日,那时他的后裔已搬走了.现存主要画像为1803年任上议院议长时的官方像,由画家P-N.盖兰(Guérin)所绘制.由于他的学术声望,晚年还担任伦敦和格丁根皇家学会会员;俄国、丹麦、瑞士、普鲁士、意大利等国的科学院院土.

 

各个时期的重要研究成果

 

  拉普拉斯一生共研究了100多个课题,大部分在前两个时期完成;后两个时期还完成了历史性名著《天体力学》等.

  1.青少年时期(1778以前)他在29岁以前写出了60多篇论文和报告,涉及到当时的数学和天文学最新领域,主要成果有:

  (1)有限差分方法.为了解决天体运动和概率论方面的数学问题,他把无穷小的微分概念推广到有限的差分;从而建立了差分方程及其求积方法.他从第二篇论文“关于有限差分的积分学的某用途”(Sur quelques usages du calcul intégrale appliqué auxdifferences finies)开始,得到一系列结果.为了解出差分方程,还建立了循环级数方法和多变量的循环迭代级数方法,用它们可定出展开式系数.

  (2)发展概率论.在17世纪由赌博产生的概率论,经J.伯努利(Bernoulli)和德莫瓦夫(De Moivre)等人的工作,到18世纪70年代已初具规模.拉普拉斯从1772年开始对事件的概率及机会对策进行深入研究,于1774年正式提出概率的严格定义:

  如果每种情况都是等可能的,则一个事件的概率等于有利情况的数目除以所有可能情况的数目.

  这实质上就是概率的古典定义,由此使概率论向公理化和公式化方向发展.此外,他还提出计算某些特殊事件概率的分析公式,为以后建立“分析概率论”打下了基础.在此时期内提出的各种平均值的定义和概念,不仅在天文学中得到应用,也为统计学和后来CF.高斯(Gauss)建立“最小二乘法”创造了条件.

  (3)万有引力定律.牛顿是万有引力定律的发现者,但他只讨论了质点和密度为球状对称的天体之间的吸引.拉普拉斯经过多次研究天体运动的具体情况后,逐渐对万有引力加深理解,于1776年提出“万有引力原理”(见原始文献),可归纳为四条:第一,吸引力与质量成正比,与距离平方成反比;第二,一个物体的引力是它各部分引力的合力;第三,引力是瞬时传播的(即速度为无穷大);第四,物体在静止时和在运动时,引力作用相同.

  这四条原理加快了用万有引力定律研究天体运动的进展.特别是第二条,可用于研究各种形状天体的吸引问题,为后来天体力学的奠基、位势理论的建立以及地球形状和潮汐理论的发展打下了基础.第三条是拉普拉斯根据他自己的引力为“微粒”的观点,由月球平均运动的加速现象估计出来的.从当时的观测资料分析,月球平均约二千年加速一度,不能用天体之间的引力来解释.有人认为这是由于引力传播速度为有限所产生的结果.拉普拉斯根据观测到的月球加速数值,具体计算出万有引力传播速度应为光速的768万倍,因而可认为是无穷大.当然,从现代物理学观点看来,第三和第四条都有问题.但对于太阳系这个局部空间中的慢速运动天体而言,根据这些原理建立的运动理论,与当时观测结果符合得很好.

  (4)彗星分布研究.结合对概率和万有引力的讨论,拉普拉斯从1776年开始发表关于彗星轨道分布的论文(见原始文献).其中根据当时63个已知轨道的彗星,统计出它们的轨道同黄道面的倾角平均值为46°6′,大大超过当时所知大行星和卫星的轨道倾角.拉普拉斯用统计方法试图证明,在太阳的引力范围内,随机地抛出大量质点,它们绕太阳的轨道相对某固定平面的倾角平均值应接近45°;并试图计算倾角在某两个界限内的概率.尽管具体结果无应用价值,但所用的统计方法和概率算法都有意义.

  (5)偏微分方程的解法.在研究天体运动时,拉普拉斯于1777年提出一种解线性偏微分方程的一般方法(见原始文献),即以后文献中所说的级联法.拉普拉斯证明,一般二阶偏微分方程:

 

  其中因变量z=z(xy)及α,β,γ,δ,λ,T均为自变量xy的函数;可找到变换使xy变为新变量ω,θ后,相应的(1)式能简化为

 

(2)

  其中mnlT为ω,θ的函数.拉普拉斯还给出了求出方程(2)的全积分和奇积分的方法.

  (6)常数交易法.为了讨论大行星运动中某些轨道根数的长期变化,拉普拉斯在17741778年间写出了一系列论文,(见原始文献[46]),与拉格朗日相互独立地建立了常数交易法.开始主要用作行星运动方程的近似解法,后来逐渐成为常微分方程的一种通用解法.

  (7)地球形状和潮汐理论.在这段时期中,拉普拉斯还广泛地研究了有关地球物理学的各种课题,包括大地测量学、流体静力学中均匀流体自转时的平衡形状、潮汐、地面重力公式等.

  拉普拉斯根据18世纪前半期的多次大地测量结果,试图较准确地定出地面子午线方程.但因地面高低不平,很难实现.1776年,他在近似地假定地球是均匀旋转椭球时,给出表面各处的重力公式为:

 

(3)

  其中P′为赤道上的重力大小,αm为所讨论地点的离心力与引力之比,θ为该处的余纬度(见原始文献).后在1778年又作了改进,增加了一些改正项(见原始文献)

  拉普拉斯在大地测量方面的贡献还在于提出“方位角”的严密概念.为加强大地网、控制三角锁网的方位,使之具有同一等级的误差,并消除误差传播.在大地点上对天文方位角作垂线偏差影响归算后得出:

  为大地经度,该公式为拉普拉斯导得.测有天文经、纬度和方向角的大地点称拉普拉斯点;由此而算出的大地方位角称为拉普拉斯方位角.

  在同时完成的另外几篇论文中(见原始文献[910]),拉普拉斯讨论了潮汐和海流问题以及大气潮,都是开创性课题;此外,他还把潮汐同地轴在空间中的岁差和章动结合起来讨论.

  青少年时期中,真正做研究工作的时间只有8(17701778),但研究的课题涉及到天文学和数学的前沿领域,得到了大量成果.不仅提高了他在科学界的声望,同时也为下一时期的重大贡献作了准备.

  2.鼎盛时期(17781789)29岁以后的拉普拉斯已是一个成熟的科学家,进入他科学创作的鼎盛时期,具有重大贡献的研究成果为:

  (1)拉普拉斯算子.此时期最初完成的两篇论文中,一篇完善了微分方程近似解所用的常数变易法(见原始文献);另一篇讨论级数理论,是他在17796月在科学院提出的报告,于1780年正式发表(见原始文献),其中提出的微分算子,成为后来19世纪出现的“运算微积”的萌芽,他推广了拉格朗日的想法,即算子的正指数与微商的阶数对应,负指数与积分的重数对应.拉普拉斯提出的算子形式为:

 

(4)

  对任一函数u=u(x),则有关系

 

(5)

  其中ss′,…ff′,…为与α和函数无关的常数,可根据一些具体的函数u(x)定出来.

  (2)概率和人口论.从1780年起,拉普拉斯进一步研究事件的概率和原因.特别对重复试验事件的概率问题作了深入讨论,并用于计算巴黎和伦敦的男孩和女孩的出生概率(见原始文献)

  拉普拉斯先作一般讨论.根据以前若干年内的记录,设共出生p个男孩,q个女孩.则过去生男孩的概率为p/(p+q),但今后怎样?他用P表示今后生男孩的可能性在界限

 

  之间,其中θ为非常小的量.拉普拉斯推出用定积分计算P值的公式,在pq趋于无穷时,P趋于1.此结果与伯努利的大数定律是一致的.

  他根据巴黎和伦敦的具体人口资料算出,巴黎每年生男孩的概率比生女孩大1/259,而伦敦则大1/12416

  1786年以后,拉普拉斯进一步研究人口统计学.他从17711784年的法国人口资料进行统计研究后表明,人口的年出生平均数,乘上某个因子后可得近似的人口总数(见原始文献).抽样调查证明此因子为26

  (3)生成函数.拉普拉斯在研究概率论和级数理论过程中,要用到一些特殊函数族yn(x),而且需要n很大时的函数值.他在1782年的论文中(见原始文献),正式提出生成函数的想法:

  “若yn(x)x的函数族,而函数u(xt)为无穷级数

y0(x)+y1(x)t+y2(x)t2++yn(x)tn+

  的和,则我称u(xt)为函数族yn(x)的生成函数.”

  生成函数的提出对特殊函数的发展起了非常重要的作用,由此容易求出特殊函数的递推公式和微分关系.

  (4)拉普拉斯轨道计算方法.行星和彗星绕太阳运动的轨道,要由6个积分常数确定.为方便起见,常取空间圆锥曲线轨道的6个轨道根数:半主径a,偏心率e,轨道面对黄道面的倾角i,轨道对黄道面升交点(由南向北)黄经Ω,轨道近日点角距ω以及通过近日点的时刻t0作为轨道根数.所谓轨道计算方法,就是用地面上对行星(或彗星)的位置观测资料,算出这6个轨道根数.从理论上说,用3个时刻的6个球面坐标的观测资料,可以算出6个轨道根数.但因地球也在运动,计算相当困难.自牛顿以来的100年间,只有一些很粗略的方法.拉普拉斯早期讨论彗星轨道倾角分布时,是靠助手用彗星的大量观测资料绘出视运动曲线,再从经验定出轨道倾角.由于彗星的轨道变化快,经常要重新计算.

  1784年,拉普拉斯正式提出了用3个时刻的6个观测资料计算轨道根数的方法(见原始文献).基本原理是根据运动方程和几何关系,利用迭代法算出彗星在第二个观测时刻t2时的坐标(x2y2z2)和速度分量(x2y2z2).再用它们容易算出6个轨道根数.

  他的这种方法虽然存在缺点,但经过很多人改进后,至今在人造卫星轨道计算中还在应用,现在仍然称为“拉普拉斯轨道计算方法”.

  (5)椭球形天体的引力,拉普拉斯方程.由于大行星的形状都接近于椭球体,拉普拉斯从1784年起,研究椭球状天体对其外一质点的引力问题,并开始发表论文(见原始文献).文中用积分定义出一个函数V

 

(6)

  其中(abc)为天体外所讨论质点的坐标,(x′,y′,z)为天体内任一质点的坐标,dM为此处的体积元质量;积分符号表示对整个天体的体积积分,则天体对其外一质点的引力分量与偏导数

 

(7)

  成比例.若行星表面为椭球,满足方程

x2+my2+nz2=k2(m0n0)

(8)

  则拉普拉斯得出定积分形式的结果:

 

(9)

  BC有相似的式子.

  拉普拉斯还证明:“共焦椭球体对外面一质点的引力与椭球体质量成正比”.以后常称之为“拉普拉斯定理”.

  (6)式定义的函数,后来乘上一些常数因子,称为天体对其外一质点引力的势函数.拉普拉斯用勒让德多项式对它进行展开,具体讨论势函数的性质,成为位势理论的先驱.他还导得将椭球体的位理论变为球层位理论的定理,也称拉普拉斯定理.

  拉普拉斯在1785年的另一篇论文(见原始文献中,讨论椭球状行星的引力时,采用球坐标(r,ω,θ)表示势函数V

 

(10)

  其中(r,ω,θ)(R,ω′,θ′)分别表示行星外质点及行星内质点的球坐标,积分是对整个行星体进行的.若令μ=cosθ,则可求出关系:

 

(11)

  此式变换成直角坐标后就是现在的拉普拉斯方程.但他当时未作此变换,只用此式对V的展开式作研究.直到1789年,他在讨论土星环的引力势时,才第一次用直角坐标得出著名的拉普拉斯方程(见原始文献)

 

(12)

  此方程对以后的数学、物理学的发展有巨大作用.二阶微分算子△又称为“拉普拉斯调和算子”.

  (6)行星轨道的长期变化,太阳系稳定的拉普拉斯-拉格朗日定理.行星的轨道根数,特别是椭圆轨道的半长径a和偏心率e是否有长期变化(即随着时间无限增大或无限减小),是太阳系动力稳定性的基本课题,也是牛顿以后天文学家们所从事的主要课题之一.拉普拉斯在中晚年的天文学研究工作,大部分与此题有关.

  早在1776年,拉普拉斯在很简略的讨论中,就认为“行星轨道半长径a没有长期变化”(见原始文献).有些文献称此结果为“拉普拉斯定理”.但因过于粗略,意义不大.1783年,他看到拉格朗日的论文“行星运动的长期变化”(参看Oeauvres de Lag-rangeVpp381414)后,从新对此问题进行系统研究,写出了一系列论文.他把ae同轨道倾角一起讨论,主要结果在1784年发表(见原始文献),后人称此结果为拉普拉斯-拉格朗日定理,共有两个:


常数.用公式可表为

 

  其中n为行星总数.

  定理二:若把每个行星质量乘轨道半长径平方根,再乘上轨道倾角数,亦即

 

(14)

  虽然这些结果只是在一阶摄动下求出的,有局限性,以后有很大改变,但未得出相反的结论;故此定理在讨论太阳系稳定性研究中仍有意义.

  (7)木星和土星的运动.因木星和土星是太阳系中质量最大,又很靠近的行星,相互摄动很大.它们的运动理论是天文学中长期未解决的难题.拉普拉斯从青年时期就开始研究,但到1786年才得到重要结果.

  拉普拉斯首先从木星和土星运动的摄动项中,分离出随时间无限增减的“长期项”和只有周期变化的“周期项”.而且还找出振幅大,周期很长的“长周期项”.在1788年定出了这两个行星的黄经表达式中的长周期项为(见原始文献)

 

  其中nn′为木星和土星的平均角速度,t为时间.加上这些项后,可以很好解释观测现象.同时,他对摄动项的这种划分,促进了摄动理论的发展.

  另外,他还对产生长周期项的原因进行了分析.(15)式中时间t的系数(5n-2n)是很小的量,即木星、土星的平均角速度之比n/n′接近于简单分数5/2.对时间t进行积分后,(5n-2n)出现在分母上,使振幅很大.这些讨论后来发展成为“共振理论”.

  (8)月球和卫星的运动.月球运动也是天文学中的难题,特别是月球平均角速度的加速现象.以往提出的各种解释如以太阻尼、彗星作用、引力传播速度有限等都失败了.巴黎科学院为此问题设立了奖金.拉普拉斯首先讨论地球轨道偏心率的变化对月球运动的影响,取得部分成功(见原始文献).所提出的方法后来成为摄动理论的基础.

  其他行星的卫星,特别是自1676年丹麦的O.罗默(Rφmer)测定光速后,木星的卫星运动也成为各界重视的课题.拉格朗日因详细讨论了木星形状、太阳引力、卫星间的相互影响而获得巴黎科学院1766年度奖金(参见“Oeuvres de LagrangeVIpp67225).拉普拉斯首先注意到木星的3个最亮卫星的轨道共振现象.设n1n2n3为木卫一、木卫二和木卫三的平均角速度,则它们几乎严格满足关系:

n1+2n3=3n2

(16)

  1787年,拉普拉斯经详细讨论后得到了两个重要结果(见原始文献):第一,在太阳和木星形状以及卫星间的相互作用下(16)式仍几乎严格成立;第二,量s=n1+2n3-3n2V=st+180°只有微小的周期振动,即木卫一、木卫二和木卫三的轨道共振状态是巩固的.

  这两个结果在有些文献中称为(木卫运动的)拉普拉斯定理.所提出的方法对其他天体的轨道共振研究也适用.

  (9)物理学问题.从1777年起,拉普拉斯开始同著名化学家AL.拉瓦锡(Lavoisier)等合作研究热学问题.在1781年研究的毛细作用,玻璃和水银等物质的热膨胀率等所得的结果,已用于设计气压计(见原始文献)1783年他们计划研究4个热学课题,即热的性质和热量;某些物质的比热测定以及化学反应中的热学问题;化学物理的理论建立;在燃烧和呼吸方面的应用.

  在前两个课题中,拉普拉斯建立了热的力学理论,把热量同物体(或微粒)的动能联系起来(见原始文献);定义出比热,并给出两种可混合物质的比热关系:

 

(17)

  其中qq′为两种物质的比热;mm′为它们的质量;aa′为它们在混合前的温度;b为混合后的温度.拉瓦锡根据这些结果造出了两种温度计.

  对后两个课题,拉普拉斯从理论上作了很多尝试,但因热力学尚未建立,他的结果仅有参考价值.

  此外,拉普拉斯还研究了蒸发现象;还在1782年后同A.伏打(Volta)合作研究大气中由水汽带入电荷的理论.

  3.革命变革时期(17891805)尽管社会活动和整理著作花费大量时间,但他在此时期内仍坚持研究,有重要成果的课题为:

  (1)黄道倾角的变化,拉普拉斯不变平面.拉普拉斯认为黄道相对固体平面是在变化的,且使得黄道同赤道的交角在不断减小.原因是其他行星对地球的引力作用,变化率和周期与地球的形状无关.他首先用黄道倾角的变化值来改进岁差(行星岁差的一部分)

  每个行星的轨道平面都在不断变化.拉普拉斯首先提出,太阳系内存在一个通过太阳中心的平面;当所有行星的轨道投影到此平面上,则行星运动的动量矩总和不变(见原始文献).这个平面后来称为“拉普拉斯不变平面”.

  (2)地球形状和大地测量.为了确定公制中的长度单位,并验证他提出的地球为椭球体的结论;除了利用他人结果外,拉普拉斯还亲自组织参加了大地测量工作.为了比较,还同时用秒摆在各地进行重力测量.1792年,拉普拉斯派出两个测量队,由他的两个主要助手带队并作计算.根据测量结果,拉普拉斯改进了地面重力表达式,还在处理资料过程中改善了误差理论,对统计学有重要贡献.

  (3)木卫运动.1790年以后,拉普拉斯又对木卫运动进行深入研究,完成了一系列论文.其中主要的一篇题目为“木卫理论”(Theories des satellites de Jupiter)(见原始文献),给出了4个大卫星的完整摄动理论,并可从理论给出运动表.还具体地给出了木星形状对卫星运动的影响.然后根据观测资料反过来计算木星形状扁率和4个卫星的质量(见原始文献).下面给出第一次由拉普拉斯算出的结果:

木星形状扁率: 5/72

  木卫质量(木星质量=1)

  

  与括号内现代结果比较,数量级相同,而木卫二和木卫四结果的误差不到1/100

  他还根据木卫食(木卫近入木星影中)的计算和观测结果,算出周样.拉普拉斯由此认为至少在地球轨道范围内,光速是均匀的,并坚持光的“微粒说”.

  (4)潮汐.1790年以后,因航海的实际需要,拉普拉斯又重新研究潮汐理论,并进行实测.法国布雷斯特港从18世纪初就有潮汐观测记录,拉普拉斯对高潮的时刻和高度进行了统计分析,发现高潮时刻分布中有3个周期,分别为1年,1日和半日(见原始文献.后又对半日周期进行了详尽讨论,发现潮汐周期中的“日”要比24小时长些,应为太阴日.他还从理论上解释了这3种周期的原因.

  (5)声速.拉普拉斯同助手J-B.毕奥从1801年起研究声速问从实验数据知,此式算出的空气中声速有10%的偏差,拉普拉斯猜想是同温度有关,牛顿公式要在恒温时才成立.1802年,毕奥考虑了空气的密度和压力的温度效应,认为P和ρ随温度变化的速率不同,牛顿公式应改为(参看Journale de ph-ysique551902pp173182)

 

(18)

  其中(1k)或γ称为毕奥常数.当时尚未证明,但与实验符合而得到公认.20年后,拉普拉斯才给出了较满意的证明(见原始文献)

  4.晚年时期(18051827)56岁以后的拉普拉斯仍坚持科学研究和整理成果工作,这里着重介绍他在下面两个领域中的贡献.

  (1)拉普拉斯变换.这是拉普拉斯在数学中的重要贡献之一,现在已成为解常微分方程、偏微分方程、积分方程和差分方程的一种基本方法.它有一个发展过程,按现在的定义,对满足一定条件的复值实函数f(t)(自变量t为实数,但函数值可为复数),经拉普拉斯变换后的函数L(s)

 

(19)

  其中s为复数,但实部为正.它的逆变换为

 

(20)

  其中Cs平面上的某个闭路.

  早在1744年,L.欧拉(Euler)就设想用积分变换

 

(21)

  来表示微分方程的一种形式解(参看欧拉全集即Opera Omniaserie Ⅰ,XXIIpp150161).到1769年,又提出另一形式

 

(22)

  但都未进一步讨论.拉格朗日在求观测资料的平均值过程中,于1773年在估计误差处于两个界限中的概率时,引出了积分形式

 

(23)

  其中X(x)为有理函数,可表示为无穷级数(参看Oeuvres de La-grange,Ⅱ,pp171234).这种积分形式对拉普拉斯启发很大.他自己第一次使用这种形式的积分是在1782(见原始文献),更明确提出这样变换是在1785年讨论函数族中,指标很大的函数近似值时,采用了线性差分方程

 

(24)

  其中s为实变量(见原始文献.文用引用了两种变换:

(25)

 

(26)

  (25)式在s为复数时,发展成为现在的梅林变换,而(26)式就接近于拉普拉斯变换(19)式.拉普拉斯用(26)式导出基本公式

 

(27)

  得到很多应用.

  (26)式就是拉普拉斯变换的原始形式.经后来很多人的改进,特别是傅里叶、A-L.柯西(Cauchy)、泊松等人的工作,才逐渐出现(19)(20)式的现代拉普拉斯变换.第一次较系统的研究者为NH.阿贝尔(Abel),在1839年发表(参看他的全集Oeuvr-es Complétes de Abel,Ⅱ,pp7788).复变函数的逆变换(20)式,是由迪尼(Dini)1880年给出的,并用傅里叶分析给予说明.至于“拉普拉斯变换”这个术语第一次在何处出现,尚未查清.有可能首先出现在G.布尔(Boole)的《微分方程论述》(A trea-tise on differential equationsCambridge18652nd edition)的第十八章中.但引起大家重视的是由于H.庞加莱(Poincaré)在他的《微分方程近似分析》(1885)(参看Oeuvres de Poincaré,Ⅰ,pp226289)中的介绍.但他在书中误用为“贝塞尔变换”,已在书末更正为拉普拉斯变换.有关现代拉普拉斯变换的全面理论的证明和应用,是随着20世纪以来“运算微积”的发展而逐渐完善的.由此也可看出,拉普拉斯也是运算微积的先驱者之一.

  (2)短程力.拉普拉斯的物理学研究是按牛顿的传统进行的,只是更数学化,1805年以后的工作更是如此.但物理学的特点是要在大量实验基础上建立理论,而当时实验条件差,大量物理现象尚未发现,故拉普拉斯的数学化在多数物理问题上并不成功.因此不能说他是理论物理学的奠基人.他的基本观点是把引力看作一切物理现象(包括化学现象)的根源.相距很远的天体之间有引力,叫“长程力”,是天体运动的根源;地上各大小物体,甚至分子之间也有引力,即短程力.他认为光的折射、毛细现象、热的产生以及化学反应,都是短程力的结果.这个观点现在看来当然是错的,但在当时条件下也是很自然的.拉普拉斯学派在前两个课题上还是作出了有价值的结果.

  他在天文学课题的研究中,要用到天体的观测资料,它们都要作大气折射改正.拉普拉斯把光线在空气中的折射作为经度局的一个实用和理论课题.他和同事们从光的微粒理论出发,认为光粒子与不同层次的大气分子之间的引力有差异,产生光的折射.他们称这种力为“折射力”,大小与(μ2-1)成正比,μ为折射率.从光粒子受这种力作用的运动方程出发,解出光粒子的轨迹.后来又加上“折射力与空气密度成正比”的假设,又建立了大气密度的模型,得到较满意的结果,从而导得蒙气差的拉普拉斯公式:

  半径;z0为观测天顶距.为了进一步研究光的性质,他在1806年以后安排毕奥和D.F.J.阿拉戈(Arago)对光在不同气体中的折射力进行实验.他还认为光粒子与不同气体分子之间有不同的亲和力(Affinity),类似于化学反应.1808年,他把“光的双折射理论研究”作为一个竞争奖课题,1810年由拉普拉斯学派的马吕获得.但无论微粒理论和C.惠更斯(Huygens)的波动理论都不能满意地解释双折射现象.英国人W.H.沃拉斯顿(Wollaston)的实验传入法国后,支持波动理论,用正常光线(球面波)和异常光线(椭球波)能解释双折射现象.拉普拉斯仍武断地认为波动理论不利于解释双折射.而且还不让刊登马吕在1808年12月发现的偏振实验.后来经过拉普拉斯学派内很多人的实验和理论工作,到1819年以后,学派内都支持波动理论.

  毛细现象是牛顿以来未解决的课题.AC.克莱洛(Clairaut)等曾在1765年提出用引力与距离四次方成反比,才能解释液体在毛细管中的上升现象.拉普拉斯在1805年用短程力观点来研究,建立液体表面在很窄的管中受力变化的微分方程,找出平衡状态解.得出了液体表面在毛细管内上升高度与管直径成反比的结论,大体符合实验结果.他还求出液体表面是凸、凹的条件.1819年,他又考虑热效应对毛细现象的影响.此问题后来由他的学生泊松在1831年较好地解决,其中考虑了液体表面与管壁接近处的密度变化.

  除上述两方面工作外,拉普拉斯在最小二乘法中的贡献也值得一提.他在早年就对大量观测资料的各种平均值有深入研究,而在1810年根据中心极限定理用最小二乘法导出求一系列观测值的平均值的公式(见原始文献).可是高斯已在1809年从正态分布分析中导出最小二乘法.他们是独立进行的.

 

主要代表作评述

 

  拉普拉斯一生发表了大量数学、天文学和物理学著作,计有论文和记录在案的报告共276篇,专著四千多页,以及大量的学术通信.获得重要成果的课题和主要结果已在上面介绍,下面着重对他在科学史上有重大影响的三部代表作《天体力学》(Mécaniquecélesie)《宇宙体系论》(Exposition du systéme du monde)和《概率分析理论》(Théorie analytique des probabilités)进行评述.

  1.经典天体力学的主要代表作《天体力学》.古老的天文学几千年来都在研究天体在天球上的视运动规律,直到牛顿提出万有引力定律和运动三大定律后,才认识到天体的运动是天体间存在引力的结果,从而开始用力学理论来研究天体的真运动.天文学从研究天体的视运动规律发展到研究真运动,是一次重大的质的飞跃.1687年牛顿正式发表历史性名著《自然哲学的数学原理》,(Philosophiae naturalis principia mathematica)是这次飞跃的起点,也是天文学的新分支“天体力学”诞生之期.但是这次飞跃的完成,也就是经典天体力学的建成,经过了100年中很多人的努力,特别是当时的主要数学和力学家欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、克莱洛等人的杰出贡献,最后由拉普拉斯集其大成.天体力学这个学科名词,也是拉普拉斯在1798年首先正式提出的.这100多年为天体力学的奠基阶段,这里提到的有杰出贡献的专家都是天体力学的奠基者,而由于下面两个原因,拉普拉斯是主要奠基者.

  首先是拉普拉斯在经典天体力学,即摄动理论的各个环节中都有重大贡献.正是他最早根据力学原理建立了天体的受摄运动方程.由于牛顿只讨论了质点和球形物体间的万有引力,经拉普拉斯推广后,才能讨论各种形状大小的天体对外面一质点的吸引.这对讨论具有椭球形状的行星和特殊形状的土星环等的吸引问题有决定性作用.通过对这些不同形状天体的引力的势函数讨论,为位势理论的建立打下了基础;并由此导出了著名的拉普拉斯方程,对以后的数学和物理学发展作出了重大贡献.

  受摄方程列出后,一般无法解.如直角坐标表示的行星受摄方程为:

 

(28)

  其中(xyz)为所讨论行星的坐标,m0m为太阳和行星质量;

  阶非线性常微分方程组,根本无法解出.拉普拉斯在拉格朗日的常数变异法基础上,将(28)式变换成以行星6个轨道根数为变量的受摄方程组,形式为:


 

(29)

  其中piqi(i=12,…,6)为两个行星的轨道根数;mm′为两行星质量,在讨论行星运动中,都是小于10-3(太阳质量)的小量.用(29)式就便于求近似级数解.(29)式中只列出两个行星相互摄动的受摄方程,如同时讨论多个行星,则方程数目相应增加,右端的摄动项也要增加.

  (29)式时,要作两次级数展开.先按质量小参数mm′,…的幂级数展开.拉普拉斯主要讨论了含mm′等一次幂项,相应的理论称为一阶摄动理论.然后再按时间t展开.但因时间t(29)式中是隐含在行星的近点角内,故应展开为近点角及其组合的三角级数.由于还要对好几个小量进行幂级数展开,故展开式为幂级数和三角级数的混合级数.展开过程中有一基本式子,即把

(30)

  展开为H的三角级数,其中α为参数,s=(2k+1)/2k为正整数.展开结果为:

 

(31)

  的是,傅里叶的三角级数展开方法是1807年才正式提出的,而(31)式在1799年出版的《天体力学》中已经有了.事实上,傅里叶级数是在拉普拉斯影响下形成的.

  上面讨论的展开式要结合具体天体情况进行,相应建立各个天体的运动理论.拉普拉斯侧重讨论了木星、土星、月亮、木卫、土卫、彗星的运动.在展开后的积分过程中,拉普拉斯第一个把积分后的摄动项分为长期项、周期项和长周期项.不仅解释了木星和土星运动中的异常问题,还给出了有关太阳系稳定性的两个定理(13)(14)式.

  积分时用到的天体轨道根数初值要从观测值算出,拉普拉斯首先提出了用3个时刻的观测资料计算天体在第二时刻的轨道根数方法,即现存的拉普拉斯轨道计算方法.

  除上述以外,他对天体形状理论、潮汐理论、观测资料处理方法、地球自转理论、大气折射理论和计算方法以及某些恒星运动问题都有贡献.同时他还总结了欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等人的工作,使这门新的学科系统化,成为一门相对独立的学科.再一个原因是,拉普拉斯完成了名著《天体力学》,这是集经典天体力学之大成的代表作.没有记载表明他开始写作的确切日期,但多认为是在1793年被迫离开科学院到乡下时动笔的.全书共分五卷十六册,3千多页.

  拉普拉斯在1798年出版的一本题为《天体力学论述》(Traitéde mécanique celeste)的书中,第一次对这门学科的目标和内容下了定义:“牛顿发现万有引力定律已有一百年.从那时起,学者们就把这个伟大的定律用于研究一切已知自然现象,并由此给出了天体运动理论和意外准确的天文历表.我在自己的大多数著作中用同样的观点提出了有关理论.这些理论,包括用万有引力定律研究太阳系和宇宙中其他类似系统里的固体与流体运动和平衡形状的全部结果,组成了天体力学”.这是天体力学学科名词的首次出现.

  1799年出版了《天体力学》第一、二卷.其中对天体力学的研究对象说得更明确:“天体力学是研究所有固态、液态和气态天体在各种自然力作用下运动的学科”.

  第一、二卷有一个总书名:《天体运动和形状的一般理论》.第一卷分为两册,第一册书名为《关于运动和平衡的一般理论》.内容为理论力学原理,包括运动学、动力学的一般原理和定律,刚体动力学以及流体静力学和动力学初步.

  第二册《关于万有引力定律和天体的质心运动》,讲述了天体力学的基本问题.书中有牛顿从开普勒定律所导出的万有引力定律;拉普拉斯推出的天体在相互引力作用下的运动方程,以及用直角坐标表示的运动方程的首次积分;连通物体对外面一质点的力函数和它所满足的偏微分方程——拉普拉斯方程;用球坐标和柱坐标表示的运动方程(柱坐标的方程即所谓克莱洛-拉普拉斯方程);运动方程的第一次近似解,即无摄运动为圆锥曲线轨道;拉普拉斯轨道计算方法;一阶摄动理论的细节;摄动函数的展开方法;有关长期摄动的著名定理(太阳系稳定性的拉格朗日-拉普拉斯定理)

  第二卷分为3册,第三册(从第一卷的册数起算)《关于天体的形状》.书中着重讨论均匀椭球体的平衡形状,其中给出了拉普拉斯关于行星为自转流体时的平衡形状理论;等密度层接近于圆球的椭球体平衡形状;理论结果用于地球和土星环.

  第四册《关于地球大气和海洋的振动》,讲述了地球海洋和大气的潮汐理论.

  第五册《天体绕自己质心的转动》中主要讲述地球自转理论,包括岁差和章动理论;月球自转理论,主要是月球的天平动;土星环的运动问题,其中把环看作固体和流体的混合.

  1802年出版的第三卷书名为《特殊天体的运动理论》,分两册.值得提出的是在180111日,意大利天文学家G.皮亚齐(Piazzi)发现第一号小行星——谷神星.这种新天体的发现,对以后天体力学的发展有重要意义.

  第六册《行星运动理论》,主要讲述行星在相互引力作用下的受摄运动.作者从第一卷的受摄运动方程出发,考虑了二阶摄动力(即含有行星质量二次幂的摄动项.)他还初步讨论了太阳的椭球扁率和卫星对行星运动的影响,结果证明这两种影响可以忽略.接着讨论了1750年所给有关行星数据(质量,轨道根数初值等)的偏差,然后给出当时所有大行星(水星到天王星)的运动理论,以及它们各自的向径,黄经和黄纬的三角级数展开式系数数值.最后还讨论了行星质量的确定,并在此提出太阳系的不变平面(拉普拉斯平面);还估计了恒星引力对行星运动的影响.

  第七册《月球运动理论》,主要讲拉普拉斯自己的工作.书中给出月球运动微分方程的积分方法和各种较大的摄动项,其中特别详细讨论了地球和月球的非球形形状对月球的摄动.书中还根据理论和观测值的比较来确定地球形状的椭率,并认为比直接地面测量的结果更准.书末讨论了地球和月球运动的长期变化,他认为可能是太阳周围有流体“以太”产生阻尼的结果.虽然他具体计算后得到否定结论,但所提出的方法是很有用的,与现在用人造卫星的运动理论和观测值来定出大气密度的方法大体相同.

  第四卷没有统一书名,于1805年出版,共分为3册.

  第八册《木星、土星和天王星的卫星运动理论》,其中着重讨论了木星的4颗伽利略卫星即木卫一、木卫二、木卫三、木卫四.拉普拉斯特别注意前3个卫星的轨道共振关系(16)式,它在卫星相互摄动下几乎不变.书末简单地讨论了土星和天王星的卫星运动.

  第九册《彗星运动理论》,主要讨论了周期彗星的受摄运动问题,包括彗星轨道分布的统计研究.

  第十册《同宇宙体系有关的各种问题》.书中讲述了三体问题的特解的存在性;天体在阻尼介质中的运动问题;以及木星、土星和月球运动理论的补充.另外还有天文大气折射理论和重力测量理论等非天体力学课题.

  以上4卷几乎包括经典天体力学的全部内容.20年后(1825),又出版了第五卷,包含拉普拉斯晚年的天体力学研究成果以及各领域的历史考证.这些历史考证是很有价值的,也很详细,阐明了天体力学到19世纪20年代为止的发展情况.第五卷分为6册.

  第十一册《关于地球的形状和自转》,主要是对地球形状问题的补充.第十二册《关于球形物体的吸引和排斥以及弹性流体的平衡和运动规律》,这同天体力学的关系不大.第十三册《覆盖在行星上流体的涨落》,讲述有关海洋和大气潮汐的新结果.第十四册《关于天体绕自身质心的运动》是拉普拉斯关于这个问题的补充.第十五册《关于行星和彗星的运动》是对第一卷所讲述的摄动理论的补充.第十六册《关于卫星的运动》是对月球和其他大行星的卫星运动理论的补充.在第五卷的附录中,叙述拉普拉斯于1827年研究n为大数而且假设x为纯虚数的贝塞尔函数近似展式:

 

  这对天体力学中相关问题,起良好的分析作用.

  《天体力学》是经典天体力学的奠基著作.在这部巨著中,拉普拉斯归纳出经典天体力学的基本课题为:太阳系大行星的运动问题;月球运动问题(考虑地球和太阳的引力以及其他大行星的影响);卫星运动问题(考虑所属行星、太阳以及卫星间引力);彗星运动问题;行星的自转运动,特别是地球和月球;行星形状理论;潮汐理论.除潮汐理论现已划归海洋学外,其他几个至今仍然是现代天体力学的课题.

  《天体力学》的出版情况也值得一提.法国科学院在19世纪内共印刷过四版,前三次出版都没有任何修改.第四版在1878年印出第一、二、三卷;1880年印出第四卷,1882年出第五卷.只是在第五卷末增加了拉普拉斯去世后的天体力学发展情况.有三个内容:其一,“两个行星距离倒数的级数展开”,给出用勒让德多项式表示的近似公式;其二,“椭圆坐标的展开式”,包含有轨道偏心率的上限,即后来称为“偏心率的拉普拉斯极限”;其三,关于“大气潮汐”问题.

  19世纪就有3个国家翻译出版了《天体力学》.第一、二卷刚出版,就由JK,布尔克哈特(Burckhardt)译为德文,于1800年在柏林出版第一卷,1802年印出第二卷.前4卷出版不久,美国人N.鲍迪奇(Bowditch)就将它们译为英语.在译者去世(1816)后在波士顿出版,1829年出第一卷,1832年出第二卷,1834年出第三卷,1839年出第四卷.经俄国人Φ.Ν舒别尔特的整理推荐,1822年在彼得堡用法语出版了《理论天文学论述》(Traitéd′,astronomie théorique).内容主要是拉普拉斯《天体力学》的前4卷,但有些增删.前面增加了历史发展和球面天文学内容,中间增加了拉格朗日和其他人的贡献.全书分为三卷共七册.

  由拉普拉斯所奠基的天体力学19世纪发展十分迅速,当时大多数著名数学家、天文学家、物理学家都重视天体力学.其中贡献较大的有:勒让德把球函数(如勒让德多项式等)用于天体力学中的展开式;泊松推出天体对内一质点吸引的势函数满足的方程,即泊松方程;高斯在位势理论、轨道计算(高斯方法)和长期摄动计算以及观测资料处理方法中都有重大贡献;KG.雅可比(Jacobi)WR.哈密顿(Hamilton)建立的哈密顿-雅可比方法对摄动理论的进一步发展有决定性作用;U.勒威耶(Le Verrier)等用天体力学理论计算预言新行星位置,于1846923日发现海王星,标志天体力学已经成熟.

  2.《宇宙体系论》和其中提出的“星云说”.1796年,拉普拉斯根据自己在巴黎综合工业学校等处的讲稿,整理出版了历史性名著《宇宙体系论》,在自然科学和哲学界都产生了巨大影响.书中全面阐述了他从分子到整个宇宙的看法.在他生前已出过五版,直到他去世前几日,还在病床上修改第六版底稿.现按1835年出版的第六版(有中译本)(见原始文献)作介绍.全书分五篇和七个附录,附录七即“星云说”.

  第一篇名为“天体的视运动”,共分十六章.从天体的周日视运动谈起,然后是太阳视运动和时间测量,月球视运动和日食、月食;接着介绍行星及其卫星、土星环、4个小行星.第十一章中讲“行星围绕太阳的运动”,其中阐述了科学应通过现象发现自然界定律的想法.他说:“如果我们只是收集事实,科学将会成为贫乏的词汇,决不会发现自然界的伟大定律.由许多事实的比较,寻找其间关系,再将现象的范围推广,最后才能发现定律.这些定律常隐藏在它们对现象的千变万化的影响中”.这一章实际上是以行星视运动现象推出它们绕太阳运动规律作为例子.表达出他的哲学观点.此外,本篇还介绍了彗星、恒星的视运动、地球形状大小及重力变化、十进位公制、潮汐、地球大气和天文折射等.

  第二篇讲“天体的真运动”,是用在上篇视运动现象基础上分析出来的结果,来研究太阳系范围的真实宇宙体系.共分六章,主要讲地球自转和公转的规律以及由此产生的各种现象.还讲了彗星和卫星的轨道和运动规律.

  第三篇为“运动定律”,共分五章.主要介绍力学原理、质点和物体系统的运动;还有物体系统和流体的平衡.其中谈到力的表示时,牵涉到18世纪中的讨论.认为力是质量乘速度,又叫做物体的“有限力”;而质量乘加速度叫“加速力”,动能叫“活力”.最后都可以自洽,仍用动量、角动量及它们的守恒定律.

  第四篇讲“万有引力理论”,实际上为天体力学纲要,但表达用的是尽可能通俗的语言.共分为18章.本篇前言中又阐明他的观点:“宇宙中存在普遍适用的定律”,万有引力定律就是其中之一.书中讲述万有引力原理从天体运动中归纳出来,然后根据万有引力定律和力学原理推导出各种天体的运动规律.不仅行星绕太阳的无摄运动符合,而且行星的受摄运动也符合万有引力定律.因此他说:“这一伟大定律能够解释一切天象,乃至最小的细节”.后面又说明地球和行星的形状、土星环、天体的大气、潮汐、岁差和章动、月球天平动以及恒星中双星运动、星团运动等也符合此定律.

  在第十七章“万有引力定律的回顾”中,重申了他在1776年的观点(见原始文献),但在这里作了解释.并把静电力,磁力等同引力作比较,说明反平方定律的普遍性.书中还提出电流应在异体表面通过,并解释尖端放电现象.

  第十八章“分子间的引力”是拉普拉斯关于短程力观点的全面阐述.他把万有引力原理用于一切自然现象,包括流体凝固、固体结晶、光线弯曲、毛细管中的液体升降以及一切化学反应现象.但他还是提出这些现象的作用力是另外一种力,他说:“物体受到各种引力的作用,其中之一延伸到无限的空间,控制地球和天体的运动;与组成物体的物质结构有关的力,主要是另外一种力,其作用只在小到不能觉察的范围内方才显著”.

  第五篇讲“天文学史纲要”,共分六章.主要介绍天文学的发展过程,其中反映出作者的两个观点:一是天文学同其他学科一起并肩发展,在当时主要是数学和力学;二是天文学发展不是顺利的,真理和谬误混在一起,在不断淘汰谬误中发展.他把天文学到当时的发展分为三个时期:哥白尼以前为了解现象时期,即根据观测提出某些假说;哥白尼到牛顿为提出支配现象的定律时期,主要为有关地球自转的规律和行星公转的开普勒定律;牛顿以后为第三时期,即找到天体运动定律的原因是万有引力,并用于解释一切天文现象.他认为一切自然科学发展都应有这三个阶段.他在第六章“宇宙体系的研究与天文学将来的进展”中,进一步阐明了对宇宙认识的观点,可归纳如下:

  第一,太阳系边界应比现在所知(到天王星)更远,还有更多的行星和卫星;

  第二,地球不特殊,其他行星、其他行星系中都可能有生物,有适于它们生存的环境;

  第三,太阳系规律应同恒星世界联系研究,太阳系和恒星都有起源;

  第四,对暂时无法解释的现象和规律,老实承认我们无知,不要为了自我安慰去找想象的原因来说明.这里他对牛顿在不能解释行星和彗星的轨道规律时,认为是“全智全能的上帝创作”,提出了尖锐批评.指出牛顿“陷入了歧途”.

  书后有七个附录.前六个附录都是天文学史补充,其中附录一是谈中国古代周公测量的某些结果,附录六是介绍过去观测(包括周公和郭守敬的)所定出黄赤交角的结果.附录七即他的“星云说”.

  虽然德国哲学家I.康德(Kant)1755年已提出太阳系起源于星云的假说,但拉普拉斯与他是相互独立提出的,而且在科学论证上更具体详尽.由于他们的基本观点相近,故后来通称“康德-拉普拉斯的星云假说”.

  拉普拉斯在第五篇的第六章中已提出这一学说的基本观点,但他自认为这仅为假说,不是从观测或计算得到的结论,因此只能有保留地放在附录中.

  他首先分析了太阳系天体运动中的规律,这是一切有关太阳系起源假说的根据.从当时获得的观测结果分析出的规律为:

  (1)行星按相同的方向,且差不多在同一个平面上绕太阳运动;

  (2)卫星运动的方向与行星相同;

  (3)行星,卫星和太阳的自转运动与行星公转方向一致,而且它们的赤道面也相近;

  (4)行星和卫星的轨道偏心率都很小;

  (5)彗星的轨道偏心率大,与黄道面的交角也大,而且没有规则.

  拉普拉斯分析这些规律后提出:产生行星的物质应为比现在太阳系更大的,与太阳大气相似的稀薄流体,且与太阳自转方向相同地转动.他认为就象星空中观测到的星云.太阳系以前的原始星云只有一个核心,以后凝聚成太阳.如更大的星云,有多个核心则凝成星团.

  形成太阳系的原始星云体积很大,高温,接近球形,并在缓慢自转.后因热量不断辐射而逐渐冷却收缩.由于角动量守恒,星云收缩时自转加快,离心力也随着加大.在离心力同中心引力结合下,星云愈夹愈扁,逐渐成扁盘状.星云继续收缩,转动速度愈来愈大;到一定时候,星云赤道面最外部质点的离心力与中心吸引力相平衡,不再收缩而停留形成一个转动着的气体环.里面星云继续收缩,加速自转,又分离出第二个转动气体环.如此继续下去,形成与行星数目相同的,大致位于现在行星轨道处的各气体环——拉普拉斯环.

  星云中心部分收缩为太阳.各环内物质分布不均匀,密度大的部分把密度小的吸引过去,形成一些凝聚物,在大致相同的轨道上绕中心运动.由于相互吸引,小凝聚物逐渐集结为大凝聚物,最后结合成为原行星.原行星开始也是高温气体球,后来才逐渐冷却收缩而成现在的行星.较大的原行星冷却时也会象前面过程分离出一些小气体环而形成卫星系统.土星环是由未结合成卫星的许多小质点构成的.环上外部质点转动线速度快,因而集聚成行星后为正向自转.

  拉普拉斯的星云说可以解释太阳系的五条规律,其中认为彗星是从太阳系外跑进来的天体,因此彗星偏心率大,倾角也无规则.从现在的观点和研究成果看来,康德和拉普拉斯认为太阳系是由自转着的原始星云逐渐收缩而成的,中心部分形成太阳,外部形成行星.这个论点还是对的,只是形成过程中有不少矛盾无法解决.但是他们的星云说在哲学上的意义更大,给当时形而上学的僵化自然观打开了一个缺口.

  在《宇宙体系论》中反映出他的哲学观点是唯物主义的,他坚持从事物观测中总结规律,再从规律中建立理论.整个宇宙是物质的,而且在演化和发展.他同拿破仑的对话充分说明这点.拿破仑在读过他的《天体力学》第一、二卷后曾对他说:“在您写的著作中怎么没有提到上帝呢?”拉普拉斯回答说:“陛下,我不需要这个假设……”.他还有一句名言:“只要给我物质,就可以创造出世界来.”但是他把宇宙中的各种变化和反应都归结为力的作用,这种观点具有历史局限性.

  3.承上启下的代表作《概率分析理论》.概率论是具有广泛应用的基础数学分支,在历史发展过程中可分为三个阶段.从17世纪诞生到1812年为止的内容叫“古典概率论”,计算概率以代数方法为主;18121933年这一阶段的内容叫“分析概率论”,方法主要是微积分、微分方程、差分方程、特殊函数等分析方法;1933年以后主要用实变函数中的测度理论(Measure theory)研究概率,相应内容为“测度概率论”,主要代表是苏联数学家AH.科莫哥罗夫.拉普拉斯总结了古典概率论,并使它发展到新的历史阶段,他的著作《概率分析理论》就是承上启下的代表作.

  第一版在1812年出版,分两卷,第一卷又分两册.第一卷第一册在1812323日出版;其余部分在同年629日出版.在18141114日出第二版时,增加了长达150页的绪论,同年单独印刷成一本书,题为《概率的哲学导论》(Essai philosophi-que sur les probabilités)1820年出的第三版中,仍保留绪论,但单独印出的《概率的哲学导论》分别在1816年印出第三版,1819年出第四版,1825年出第五版.《概率分析理论》还有四个附录:附录一在1816年印出,附录二在1818年印出,附录三在1820年印出;附录四是拉普拉斯在1825年写完的,但生前未印出,以后收在他的全集第七卷中.

  绪论即《概率的哲学导论》中包含概率论的发展历史及一般原理和应用,是他在师范学校的讲稿编辑而成.其中有五个内容:一是概率的定义及发展历史,拉普拉斯提出“先验”概率的概念,这是有争议的;二是概率计算的一般原理,主要是古典概率论的原理;三是讲述概率论中的一个重要概念——期望;四是讲述概率的分析计算方法,实际上是古典概率论向分析概率论过渡;五是讲概率计算的应用,占绪论的一大半,应用于各种各样的自然和社会问题.

  第一卷有标题为:“生成函数的计算” (Calcul des fonctiongénèratrices),主要讲述同概率计算有关的数学方法,共分两册五章.上册讲述带有整数指标的函数族,当指标数量很大时的一般情况.这是因为概率讨论中,要用到试验次数很大,重复次数很多的现象.所用到的特殊函数同这些次数有关.内容只有两章.第一章讲一个变元函数族的情况,第二章讲两个变元情况.这些知识都是他本人在二、三十年前有关级数理论的研究成果,本书中仅为系统化而已.下册是讲述大指标函数的近似理论,这些特殊函数是生成函数的级数展开式系数,一般要满足某种微分方程或差分方程,要用各种近似方法积出它们.下册共分三章(即第三、四、五章).第三章讲非线性微分方程的近似积分方法;第四章讲线性差分和微分方程的近似积分方法;第五章讲前两章的方法用于求出大指标函数的近似.整个第一卷是为第二卷作的数学准备.

  第二卷的标题为“一般概率论”(Théoré générale des probabi-lités),是本书的主要内容,共约400页.整卷分为十一章,全面归纳了前人和他自己有关概率论的成果,并应用于自然哲学、天文学、大地测量学、测试、误差、审判过程和选举机构等方面的问题.不象《天体力学》前两卷那样系统化讲述.虽不宜作为教材,但作为概率论的研究参考资料是很好的.各章自成系统讨论某一方面问题,但相互之间独立性较强.

  第一章讲概率的一般原理和学科特点.除了提出概率的古典定义和概率的乘积原理外,作为第三个基本原理是文字叙述的一个定理.这是有关由n种不同原因产生的事件的概率公式的定理,即在1763年已发表的贝斯定理.可是,拉普拉斯在书中没有提到T.贝斯(Bayes)的名字,而作为自己的一个定理.接下去的几章讨论各种实际问题中提出的概率计算方法.

  第二章讨论由已知概率的简单事件组成的复合事件的概率计算,此问题讨论得非常详细,几乎占了第二卷的四分之一.他从古典的抽彩、摸球等问题出发,归纳为较一般的数学问题:袋中装有n+1个球,各球号码依次为012,…,n;每次摸出一个,记下号码后再放回袋中;则摸出i次后,i个球的号码总和为s的概率是多少?

  设每次摸出球的号码分别为t1t2,…,ti,显然有

t1 +t2++ti=s

(32)

  拉普拉斯推出这个概率公式为:

 

(33)

  其中组合符号定义为

 

  (33)式的级数到(s-n)(s-2n-1)(s-3n-2),…为零或为负数时为止.若sn无限增加时,(33)式可化为:

 

(34)

  此式后用来讨论彗星轨道倾角分布于φ-ε,φ+ε之间的概率,φ,ε为任给定的角度,但ε为小量.

  第三章讨论概率的界限,即事件不定次乘积结果的概率规律.标准问题是两个事件ab,概率分别为p1-p;则重复试验x+x′次中,a出现x次,b出现x′次的概率是二项式[p+(1-p)]ε展开式中的第(x+1)项;而当xx′都非常大时,拉普拉斯给出了近似计算公式.从公式中指出了两种界限,一是和事件a的先验概率有关,二是和发生事件a的次数与总次数之比有关.当试验次数增大到无穷时,两种界限趋于一致,概率成唯一的.拉普拉斯曾在早年(1781)用男孩和女孩出生数之比值来研究先验概率(见原始文献)

  第四章讨论误差的概率问题,是他30年来有关误差方面工作的总结.着重讨论了两个问题:一是大量观测资料平均值的误差在一定范围内的概率;二是更有利的平均值误差在一定范围内的概率.在这里已提出最小二乘法的原理,以后由勒让德和高斯最后完成方法体系.

  第五章讨论概率计算应用于各种现象及其原因的研究.主要例子是气压在一天内的变化.正常情况下是上午9时气压最高,下午4时最低;以后上升,到晚上11时形成较小的高峰,然后降低到早晨4时为止.拉普拉斯通过正常情况的概率计算,指出产生此种周日变化的原因是太阳作用,并定出其平均范围.他试图从数学上解决这个问题,用大气潮汐作为第二个原因,但由于资料缺乏而未完成.他在《天体力学》第二卷第四册中提到这点.他还试图研究心理学现象,希望从大量观测中定出电磁作用在神经系统中的影响.另外还考虑过一事件推断出的原因概率和未来事件概率.这是他在17741786年间有关原因概率、逆概率用于人口论的再创作.并以那不勒斯、巴黎和伦敦的人口调查数字为基础,估计出法国的人口数及其或然误差.

  第七章简单地讨论了先验概率有偏差时产生的影响,以抛硬币为例,一般都认为抛出正面或反面的先验概率都是二分之一.但由于硬币的物质结构不会绝对对称,故抛出为正面与反面的概率不会完全相等,设为

 

  α称为先验概率的未知偏差.由此得出连续n次都抛出正面(或反面)的概率为:

 

 

(35)

  些医学和经济方面的问题,可惜都未能深入下去. 第六章讨论由观测到的

  此式可知,每次都猜正面(或反面)比有时猜正而有时猜反更有利.

  第八、九、十章讨论了大量社会现象的概率问题,例如平均年龄、年金、保险、婚姻期限、各社会团体存在期限等.第十章主要讨论了与数学期望(平均值)不同的可能期望值的计算,比原来的伯努利公式更有用.

  第十一章讲述所谓“见证的概率”.典型例子是抽签问题.设在袋中有带号码的签条,抽出一根给见证人看后,他说号码为n.这是真的吗?拉普拉斯用逆概率来讨论这个问题,估计见证人可靠性的概率.共有四种可能性:(1)见证人既未说谎也未看错;(2)他没有说谎但看错了;(3)他说谎但没有看错;(4)他又说谎又看错.拉普拉斯还推广到几个见证人,情况更复杂.最后结论是,对相信者保证得越多的见证人,其可靠性概率越小.他后来在《概率的哲学导论》中,举了数字例子;并揭示了帕斯卡(Pascal)论证上帝存在性的错误.

  书末有三个补充,都是书中一些公式的具体证明或推广.另外有后来增加的四个附录.

  1816年完成的附录一的标题是“关于概率在自然哲学中的应用”.实际上主要讨论社会问题,以一判罪为例.拉普拉斯认为犯罪的原因概率中,已知或已假定其先验概率;并认为陪审员或法官的可靠性概率在1/21之间.他计算出陪审团中几人投赞成有罪票得到的判决差错的概率.如陪审团为8人,5人投有罪票,差错概率为的65/256,由此讨论了陪审团组成方案.

  18171819年间,拉普拉斯把概率论用于提高大地测量资料的精度,相应研究结果归纳为附录二、三,加在《概率分析理论》第三版中.这两个附录在统计学历史发展中有重要意义,实质上就是拉普拉斯的误差理论,用最小二乘原理使仪器误差和观测误差极小化.附录二的标题为“关于概率计算在测地活动中的应用”.主要提出自己的统计方法,并同其他方法进行比较.附录三的标题为“概率测地公式在巴黎子午线测量中的应用”.他的助手J-BJ.德朗布尔(Delambre)等在1796年整理时只用了27个三角网资料,而拉普拉斯用了全部700个三角网原始资料.算出了不同子午线长度量级的误差概率,得出巴黎子午线长度的最优值.

  1825年写完的附录四是关于生成函数的四点小补充.

 

结束语

 

  拉普拉斯的贡献很多,但主要在天体力学,宇宙体系论和分析概率论三个方面的成就,使他成为历史上数理学科方面最著名的科学家之一.他的研究工作特点是深度和广度并进,强调应用.不仅在自然现象中应用,还在社会现象中尽可能找到应用.他在概率论及其他数学上的成就,使他成为应用数学的先驱者之一.

  他的学术思想和哲学观点明朗,是较彻底的唯物论者.他同拿破仑的对话充分说明这点,对出身于教会家庭的人来说是很难得的.但由于他终身主要致力于力学方面的研究,且因当时物理学中,除力学以外的其他分支还很弱,故他把一切物理现象甚至化学现象都归结为力的作用,这当然是机械论观点,这必然影响他在物理学上作更大贡献.

  关于他的品德是有争议的,主要在于对拿破仑和波旁王朝的态度上.但对科学家拉普拉斯来说,这段短暂时间的是非并不重要,留待历史学家们去解决.

  至于他的著作和出版情况.拉普拉斯的著作分三部分:一是专题报告或论文,有276篇,分散发表在各种刊物上,或在科学院记录中;二是长篇专著;三是同其他科学家的学术通信,发表过一部分(作为科学史资料)

  他去世后,由他妻子津贴出版《拉普拉斯文集》(Oeuvres deLaplace)共七卷(见原始文献),前五卷即《天体力学》,第六卷为《宇宙体系论》;第七卷为《概率分析理论》,其中绪论即《概率的哲学导论》.1843年出版第一卷,1847年出齐.这包括了拉普拉斯全部的长篇书籍.

  拉普拉斯的儿子,后来任将军并封为侯爵,于1874年去世.他的外甥女(即拉普拉斯的外孙女)科尔贝尔-拉普拉斯伯爵夫人用他的遗产资助出版了《拉普拉斯全集》(Oeuvres Complètes de Laplace,以下简称《全集》),共十四卷(见原始文献).前七卷与《拉普拉斯文集》相同,只是校正了一些印刷错误.第八至十二卷为拉普拉斯在1793年以前由科学院出版的单篇论文或文集,以及1795年以后由法兰西研究院出版的拉普拉斯的论文.第十三卷为拉普拉斯在法国经度局出版的学术刊物《时间知识》(Connaissancede Temps)上发表的全部文章.第十四卷收集了他在其他学术刊物,如《物理学杂志》(Journal de physique),《物理和化学年刊》(Annales de physique et chimie)等上发表的论文.实际上,这个《全集》并不完整,有不少文章未收入.如拉普拉斯早年在莱比锡和都林发表的论文以及重要著作《行星的运动和椭球形状理论》(Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planètes)(见原始文献)等.另外,通信大部分都未收入.但这个《全集》已有8千多页,于1878年开始印出,在1912年才出齐.