陈景润

张明尧

(海南大学)

  陈景润 1933522日生于福建福州.解析数论.

  陈景润的父亲陈元俊系邮局职员,生母潘氏于1947年去世.由于父亲收入低微,加上兄弟姐妹多,因而家境十分贫寒.陈景润于19381948年先后在福州市三一小学、三元县小学、三元县立初中、福州市三一中学及英华中学就读.其间由于受到一些数学教师的影响,他对充满奇妙问题的数论产生了浓厚的兴趣.1949年他进入厦门大学数学系学习,1953年以优异成绩毕业,并被分配到北京市第四中学任教.由于他性格十分内向,极不善与人交往,因而对中学教师这一工作很不适应.当时的厦门大学王亚南校长了解到陈景润的处境和他希望献身于数论研究的志向后,即于1954年通过有关部门将陈景润调回厦门大学担任助教.就在这里他订出了研究哥德巴赫猜想的计划.经过几年的刻苦钻研,陈景润对我国数学家华罗庚及苏联数学家И.М.维诺格拉多夫等人的专著及一些重要的数论方法有了深刻的了解,很快便写出了第一篇有关塔利问题的论文,这篇论文引起了华罗庚教授的注意.1957年,经华罗庚的推荐,陈景润被调到中国科学院数学研究所任实习研究员.1962年任助理研究员,1977年升任研究员,1988年提升为一级研究员.从1978年开始,他参加了培养硕士及博士研究生的工作.先后受聘担任贵州民族学院、河南大学、厦门大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校兼职教授.还曾当选为第四、五、六届全国人民代表大会代表.并任《数学季刊》主编,国家科委数学小组成员及中国科学院学部委员.

  为了追求自己的理想,多年来,陈景润始终过着普通人难以忍受的艰苦生活,踏踏实实、坚持不懈地从事着解析数论及应用数学等方面的研究工作.无论是在“文化大革命”中遭受批斗打击的时候,还是在遭受疾病折磨的时候,他都没有停止自己的追求.他关于哥德巴赫猜想的著名成果,就是在“文化大革命”这场浩劫中艰苦磨炼出来的.直到19808月他才结束独身生活,组织了自己的家庭.他的夫人由昆女士在北京某部队医院工作,俩人有一个活泼可爱的男孩.多年的营养不良及艰苦工作,严重损害了陈景润的健康,经先后在北京市一些医院住院治疗,身体有所恢复.但他仍患有帕金森氏综合症,这种疾病经冶疗得到控制,但无法根除,因而对他的生活和工作仍有不利的影响.

  1958年至1990年,陈景润共发表研究论文50余篇,出版专著4部.由于他关于哥德巴赫猜想等问题的杰出研究成果,于1982年荣获国家自然科学一等奖,并于19781979年应美国普林斯顿高级研究院等的邀请先后去美国、法国及英国讲学.

  在近代解析数论的许多重要问题的研究中,陈景润都作出过重要的成果及贡献.

  在《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae)一书第302篇中,CF.高斯(Gauss)对判别式为-d0的正定型类数均值给出一个渐近公式

 

(1)

  其中

 

  高斯既未给出余项R(n)的估计,也未给出证明.1917年,维诺格拉多夫首次用他的新方法给出(1)式的证明及余项估计.1963年维诺格拉多夫得到

 

  陈景润则独立地得到几乎同样的估计

 

  1963年,维诺格拉多夫对球u2+v2+w2x内整点数P(x)得到

 

  而陈景润同年得到几乎相同的估计式

 

  这些仍是目前最好的结果.在其他整点问题中陈景润也有重要的贡献.

  在华林问题中,1958年陈景润得到

G(k)k(3lnk+5.2)

  直到1977年,RC.瓦恩(Vaughan)才将它改进为

G(k)k(3lnk+4.2)

  1964年,陈景润证明了g(5)=371974年他又得到g(4)271985年,R.巴拉苏不拉马连(Balasubramanian)利用陈景润证明g(5)=37的方法加以改进得到g(4)201986年,巴拉苏不拉马连、JM.戴舍尔(Deshouillers)F.德莱斯(Dress)最终完成了g(4)=19的证明.

   1859B.黎曼(Riemann)首次引入并研究复变数s=σ+it的函数(现称为黎曼ζ函数)

 

  以来,寻求使

 

  成立的最小α一直是个重要的问题.如果黎曼猜想成立,则容易推出对任给ε>0

 

  成立,此为著名的林德勒夫猜想.

  利用J G.范德科尔普特(van der Corput)估计三角和的方法不难证明

 

 

  
陈景润经过对二维三角和的精密研究,仅用十多页篇幅就证明了可取α

  1837年,GL.狄利克雷(Dirichlet)利用二元二次型的分类证明了:如果lk1是两个互素整数,则在算术级数kn+ln=12,…中必有无穷多个素数.求其中最小()素数p(kl)也是一个著名的数论问题.1934年,S.周拉(Chowla)曾猜测:对任给ε>0及充分大的k,有

p(k,l)k1+ε

  1944年,Ю.B.林尼克第一个证明了:存在绝对常数C0使

p(k,l)=O(kc)

  1957年潘承洞首次定出c104c54481965年陈景润得到c777.此后,他又不断改进这一结果,先后得到c16817151989年,他与刘健民合作得到c13.5.关于这个问题目前已知的最好结果是王炜于1991年得到的c8

  关于区间中素数与殆素数的分布问题,人们曾猜测对充分大的x(Cramér)在黎曼猜想为真的假设下证明了:对任给ε>0,当x

  甚至猜想:对任给ε>0,当x0充分大时,(x-xεx)中至少有一个素数.以下用Pm表示至多有m个素因子的正整数(即所谓的“殆素数”)1920V.布伦(Brun)证明了:x充分大时必有P11ε
项采用三角和估计方法,得到如下的重要结果:当
x充分大时必有P2ε
出发点.这一问题目前已知最好的结果属于
H.伊万尼斯(Iwaniec)M.拉包德(Laborde),他们于1981年得到:当x充分大时必有P2ε(x-x0.45x]

  此外,在三角和估计、圆内整点、三维除数及三素数定理中的常数估计等问题中,陈景润都做出过重要的贡献.其中尤以他对哥德巴赫及孪生素数两大猜想的贡献最为突出.

  1742年,德国数学家C.哥德巴赫(Goldbach)在与瑞士数学家L.欧拉(Euler)的几次通信中提出了整数表为素数和的两个猜想,用现代语言说就是:

  (A)每个≥6的偶数都是两个奇素数之和;

  (B)每个≥9的奇数都是三个奇素数之和.

  此即著名的哥德巴赫猜想.(A)通常称为关于偶数的哥德巴赫猜想.(B)称为关于奇数的哥德巴赫猜想.

  1857年,俄国数学家B.布尼亚科夫斯基提出一个猜想,它的一个特例是如下著名的孪生素数猜想:

  (A1)存在无穷多个素数p,使p+2也是素数.

  1920年前后,英国数学家GH.哈代(Hardy)J E.李特伍德(Littlewood)及印度数学家S.拉马努金(Ramanujan)提出的圆法对解决这些猜想作出了重大贡献.1937年,维诺格拉多夫利用改进的圆法及他本人独创的三角和估计方法,给出了猜想(B)近乎完全的证明.然而,利用圆法研究猜想(A)的努力却收效甚微.

  我们把不能表为二奇素数之和的偶数称为哥德巴赫例外数,用E(x)表示不超过x的哥德巴赫例外数的个数.1937年前后,华罗庚、H.Г.邱达可夫、H.海尔布伦(Heilbronn)、范德科尔普特及T.埃斯特曼(Estermann)利用维诺格拉多夫证明猜想(B)的思想,几乎同时证明了:对任给正数A

 

  由此推出:几乎所有的偶数皆可表为二奇素数之和.其中华罗庚的结果比其他四人的更强一些.1972年瓦恩证明了:存在常数c0使

 

  1975年,HL.蒙哥马利(Montgomery)与瓦恩把大筛法及L函数零点分布的重要结果用于研究这个问题,证明了存在常数δ>0使

E(x)=O(x1-δ)

  1979年,陈景润与潘承洞首次定出δ>0.011990年,陈景润又进一步得到δ>0.04及δ>0.05

  迄今研究猜想(A)最有效的方法是筛法.最古老的筛法为两千多年前希腊学者埃拉托色尼(Eratosthenes)所创,这种筛法与高速计算机相结合,可以有效地编造出很大的素数表.但这一筛法对解决其他重要的数论问题没有什么理论价值,在很长时间里没有得到进一步的发展.

  以下用{ab}表示如下的结论:每个充分大的偶数都可以表为Pa+Pb的形状.这时{11}就代表猜想(A)

  就在一些著名数学家叹息当代数学界对猜想(A)力不能及的时候,挪威数学家布伦于1920年前后首先对埃拉托色尼筛法作出有重要理论价值的改进,由此他证明了以下两个惊人的结果:(1)命题{99}成立;(2)若用P′表示使P+2也为素数的素数(也称“孪生素数”)

  1947年,另一位挪威数学家A.塞尔伯特(Selberg)利用求二次型极值这一简单思想得到埃拉托色尼筛法的另一重大改进.一般来说,塞尔伯格筛法比布伦筛法更简单,而且常能获得更好的结果.1941年,P.库恩(Kuhn)提出了加权筛法,这种方法可以加强其他筛法的效果.当今有关筛法的许多重要结果都与这一思想有关.

  为了逼近猜想(A),并且保证偶数分成二整数之和时其中必有一个是素数,即为了证得形如{1b}的结果,在估计余项时需要对形如

 

  的和给出适当的上界估计,这种结果通常称为算术级数中素数分布的均值定理.在许多问题中,如果广义黎曼猜想(GeneralizedRiemann Hypothesis,简记为GRH)可以导出该问题的解,那么一个适当的均值定理可以取代GRH导出同样的结果.

  1932年,埃斯特曼在GRH成立的假定下证明了{1b}1948年,匈牙利数学家A.瑞尼(Rényi)用林尼克创造的大筛法证明了:存在常数η00,使对任意正数η<η0及对任意的A0皆有

 

  由此他用布伦筛法无条件地证明了{1b},然而他未能定出b的值.

  一个非显然的关系.此外,王元还在GRH成立的条件下证明了{1,3}.潘承洞与M.B.巴尔班先后于1962年及1963年相互独立地证明了可取
 

  到{13}E.邦别里(Bombieri)A.И.维诺格拉多夫互独立地{13}

  1966年,陈景将宣布他证明了{12},但仅叙述了几个引理的结论,没有给出详细证明.当时这个结果没有得到国际数学界的承认.1973年,他发表了{12}的详细证明并改进了1966年宣布的数值结果,这就立即在国际数学界引起了轰动,被公认为是对猜想(A)的重大贡献,“是筛法理论光辉的顶点”,并被国际数学界称为陈氏定理.由于这个定理的重要性,人们曾先后对它给出至少五个简化证明,其中潘承洞、丁夏畦及王元所给出的证明尤为简洁.

  陈景润在证明{12}中的主要贡献在于他创造性地提出并且巧妙地实现了一种新的加权筛法.在他的加权筛法中出现一个和式Ω,通常的邦别里-维诺格拉多夫均值定理无法对Ω中出现的余项给出合适的估计.潘承洞、丁夏畦及王元曾明确指出:估计Ω的关键实质是需要建立一类新型的均值定理.

  在和式Ω的估计中,陈景润巧妙地把估计某种集合中元素个数的问题转化为计算另一种集合中元素个数的问题.这个极其简单的思想加强了筛法的威力,被国际数学界称为转换原理(switching principle)1972年,伊万尼斯也曾独立地提出并运用过这一思想,这一原理与各种均值定理相结合,得到了许多重要的结果.

  我们用{a:……}表示满足省略号中所述条件的正整数a组成的集合,│{a:……}│表示此集合中元素a的个数,pp′均表示素数.定义

  
   

  又对任一正整数m定义

 

  并规定

 

  1978年陈氏定理的改进形式如下:

  定理1对充分大的正整数N

 

(2)

 

(3)

  近年来,由于人们在加权筛、均值定理等方面的研究取得了引人注目的新进展,因而(3)式的系数有了较大的改进.1986E.福尼(Fouvry)F.格鲁勃(Grupp)(3)式中0.81改进为1.42,刘弘泉又将它改进为2.03.最近,福尼与格鲁勃又对陈氏定理给出一个不用转换原理的新证明,其下界系数≈0.00168…….此外,吴钧生(Eugene K_SNg)与张明尧还把陈氏定理推广到了更为一般的情形中.

  关于D(N)的渐近公式,最早是由JJ.西尔维斯特(Sylvester)1871年提出的,但他的公式有一些错误.在1922年发表的有关圆法的系列文章Ⅲ中,哈代与李特伍德指出了西尔维斯特的错误,并猜想下式成立

 

(4)

  此外,圆法还可导出如下猜想的结果

 

(5)

  1961A.Φ.拉夫里克证明了:(4)式对几乎所有偶数N成立,而(5)式对几乎所有整数k成立.

  1949年,塞尔伯格证明了下形之上界

 

(6)

  他的方法还可以得到

 

(7)

  其中α0,β016+ε,ε是预先给定的任意小的正数.1948年,И.В.邱拉诺夫斯基应用塞尔伯格筛法得到与塞尔伯格几乎相同的结果(仅余项略差)1964年潘承洞得到α0,β012+ε.1962年,王元在GRH为真的假定下证明了α0,β08+ε.邦别里和H.达文波特(Davenport)以及Л.Φ康达柯和H.И.克利莫夫分别于1966年及1969年相互独立地证明了α0,β08+ε.1978年,陈景润发展了他在证明{12}时所提出的加权筛法,首次得到小于8的上界.

  定理2对充分大的正整数N

α0,β07.8342+ε.

  他证明这个结论的要点在于巧妙地应用布赫夕塔布恒等式进行反复迭代并运用潘承洞、丁夏畦的新型均值定理.1980年,潘承彪用较简单的方法证得α0,β07.932+ε,并对定理2的证明思想作了清楚的阐

斯得到β
07+ε;同年,福尼与格鲁勃将这些方法与转换原理相结合,证明了β06.908+ε.然而,他们的方法还不能用于改进α0的上界.