陈省身

RS.帕勒斯滕楚莲

(美国波士顿 东北大学)

   陈省身 19111028(①依确认的“阴历辛亥年九月初七日”(见文献[2]第2页),即为此日.
)生于浙江嘉兴.微分几何、拓扑学.

  早年

  陈省身的父亲陈宝桢是晚清秀才,后毕业于浙江法政专门学校,在司法界服务.母亲韩梅,弟陈家麟,姊陈瑶华,妹陈玉华.

  因为祖母钟爱,不放心陈省身进小学,由他的姑母在家教他国文.他的父亲在外地做事,不常在家.有一年,父亲回来,教他认阿拉伯数字,学四则运算.父亲走后,陈省身做了很多数学习题.因此,他虽然没有上过初小,却能在9岁时轻易地通过考试进入秀州中学附属小学五年级.

  1922年,陈宝桢在天津供职,决定把全家接到天津.陈省身进天津扶轮中学,仍然喜欢数学,觉得它既容易又有趣,做了HS.霍尔(Hall)SR.奈特(Knight)的高等代数及GA.温特沃思(Wentworth)DE.史密斯(Smith)的几何学和三角学书中的大量习题.他也喜欢看小说和写文章.

  19261930,南开大学

  15岁时,陈省身考入天津南开大学学习数学.他的老师姜立夫对他的读书态度有很大影响.姜立夫是哈佛大学的数学博士(指导教授是JL.库利奇(Coolidge)).当时全中国只有几个数学博士,而姜立夫的教学态度很严谨,总是布置很多习题,并且亲自批改作业,使学生获益极多,觉得数学非常有趣又有前途.

  19301934,清华研究院

  30年代,很多在国外获得博士学位的留学生陆续回国任教.虽然各大学的数学系的水准有提高,但陈省身觉得那时的教学颇象学徒制,很少鼓励学生自己创新,所以要在数学上有长进,必须出国深造.因陈省身的父母无法供他出国念书,只有考公费.当时清华研究院规定,毕业后成绩优异者可以公费留学.所以陈省身在1930年从南开大学毕业后考进清华研究院.那时研究院的四位教授是熊庆来、孙光远、杨武之(杨振宁的父亲)和郑之蕃(后来成为陈省身的岳父).陈省身随孙光远念投影微分几何.

   陈省身在南开大学时上过姜立夫开的空间曲线、曲面论的课,用的是WJE.布拉施克(Blaschke)的书.他觉得这门课深奥奇妙,所以当布拉施克在1932年到北平访问时,陈省身听了他的全部六个关于网络几何的演讲.

   陈省身在1934年从清华研究院毕业时得到两年的留美公费.因受布拉施克的影响,陈省身要求清华研究院让他去德国汉堡大学.当时数学系的代理系主任杨武之帮他安排去德国留学.

  当时正值希特勒当权,驱逐大学里的犹太籍教授.因汉堡大学刚成立不久,幸而比较安静,成为一个研究数学的好地方.

  19341936,汉堡大学

  陈省身在19349月到达汉堡大学,随布拉施克研究几何,论文的内容是嘉当方法在微分几何中的应用,在19362月得到科学博士学位.因为布拉施克时常外出旅行,故陈省身和布拉施克的助手E.克勒(Khler)的讨论最多.当时对陈省身在数学上影响最大的可能是克勒的讨论班“微分方程组论”,其中的主要定理现称为嘉当-克勒定理.这是一个崭新而复杂的理论.讨论班刚开始时研究院里每个人都来参加了,但到最后只剩下陈省身一个人.陈省身觉得他也因此而受益最多.

  1936年夏天陈省身的公费期满,就接到清华大学与北京大学的聘约,同时又得到中华文化基金会的一年资助.所以他由布拉施克推荐去巴黎随当代几何大师E.嘉当(Cartan)工作一年.

  19361937,巴黎

  陈省身在19369月到达巴黎.当时嘉当的学生众多,要会见他得在他的办公时间排队等候.幸而两个月后嘉当邀请陈省身每隔一周到他家去讨论一小时.陈省身在巴黎这段时间工作很勤奋、很快乐,全部精力花在准备这每两周一次与嘉当的面谈上.他学到了活动标架法和等价方法,以及更多的嘉当-克勒理论.更重要的是,陈省身觉得他学到了嘉当的数学语言及思考方式.他感到和嘉当工作10个月所得益处甚多,在那时所写的三篇文章只是研究成果的一小部分.

  19371943,西南联大

  1937年夏天陈省身受聘于清华大学.不幸,未离巴黎就发生了卢沟桥事变,日本侵华战争爆发.清华大学要陈省身暂时先去长沙临时大学任教.19381月日军逼近长沙,陈省身随大学搬到昆明西南联合大学.西南联大是战时由北京大学、清华大学、南开大学三校合并而成的,师资力量很强.譬如华罗庚当时也在西南联大任教.陈省身在西南联大有很多好学生,不少后来在数学及物理学上有杰出贡献,例如数学家王宪钟和物理学诺贝尔奖获得者杨振宁.因战争之故,昆明与外界完全隔绝,且物资匮乏,幸而陈省身带了不少嘉当的论文研读,将自己完全投入了研究工作.他在这段困难时期开始的研究工作后来对于现代数学的发展具有极大的启示性.

  陈省身的家庭

  陈省身与郑士宁的婚姻是由杨武之促成的,他们于1937年在长沙订婚,1939年结婚.郑士宁是东吴大学生物学理学士.1940年她由昆明去上海待产,生下长子陈伯龙.但因战事,她无法回昆明,直到6年后的1946年才得以团聚.他们尚有一女陈璞(女婿朱经武是高温超导体研究的主要贡献者之一)

   陈省身的家庭美满,夫人一向陪伴在旁,陈省身非常感谢她为他创造了一个平静的气氛进行研究.在郑士宁60岁生日时,陈省身特别为她写下一首诗:

三十六年共欢愁,无情光阴逼人来.

摩天蹈海岂素志,养儿育女赖汝才.

幸有文章慰晚景,愧遗井臼倍劳辛.

小山白首人生福,不觉壶中日月长.

  1978年陈省身在“我的科学生涯与著作梗概”中写下了如下的话:“在结束本文前,我必须提及我的夫人在我的生活和工作中所起的作用.近40年来,无论是战争年代抑或和平时期,无论在顺境抑或逆境中,我们相濡以沫,过着朴素而充实的生活.我在数学研究中取得之成就实乃我俩共同努力之结晶.”

  19431945,普林斯顿高级研究院

  此时陈省身已是中国著名的数学家,他的工作也逐渐受到国际上的重视.但他对自己的成就并不满足,所以当O.维布伦(Veblen)1942年邀请他去普林斯顿高级研究院做研究员时,他不顾世界大战正在进行中,毅然决定前往.(他坐军用飞机花了7天才由昆明到达美国!)

  这是陈省身一生中最重要的决定之一,因为在普林斯顿这两年里进行的研究是最创新的工作,具有最深远的影响.他给出了“高斯-邦尼公式一个新的内蕴证明”,进而发现了“陈示性类”.H·霍普夫(Hopf)曾说:“推广高斯-邦尼公式是微分几何最重要和最困难的问题,纤维丛的微分几何和示性类理论……更将数学带入一个新纪元.”

  19461948,中央研究院

  陈省身在1946年春天回国.当时中央研究院决定成立数学研究所,由姜立夫任筹备处主任.姜立夫聘陈省身为兼任研究员,但姜立夫很快离国去美,故筹备工作落在陈省身的身上.战后复员,筹备处确定在上海工作.陈省身着重于“训练新人”,他从全国各大学选了最好的大学毕业生集中到上海,由他每周讲12个小时的拓扑学.由此培养了一批新的拓扑学人才,如吴文俊、廖山涛、陈国才、张素诚、杨忠道等.1948年研究所迁到南京.该年秋天中央研究院举行第一届院士选举,共选出81人,陈省身是其中最年轻的一位.

  陈省身专心于研究及教学,完全没有注意到内战的状况.一天,他忽然接到普林斯顿高级研究院院长R.奥本海默(Oppenhe-imer)的电报,说:“如果我们可做什么事便利你来美,请告知.”陈省身这才开始阅读英文报刊,了解南京的局面不能长久,所以决定带全家去美国.在去美国前,印度孟买的塔塔(Tata)研究院曾邀请他去那里工作,但那时他已不能接受.陈省身全家于19481231日离开上海,在普林斯顿高级研究院度过了春季学季.

  19491960,芝加哥大学

  陈省身知道他无法很快返回中国,需要一个长期职位哺养家室.此时正值芝加哥大学M.斯通(Stone)教授揽才网罗最好的数学家,将芝加哥发展成世界上最好的数学研究中心.当时,陈省身的好友、著名数学家A.韦伊(Weil)就在那里.1949年夏,陈省身被聘为芝加哥大学教授.在芝加哥大学11年陈省身指导了10个杰出的博士生.他于1960年离开芝加哥去伯克利加州大学,一直到1979年退休.

  陈省身与杨振宁

  陈省身在1946年发表示性类的论文,1949年在普林斯顿讲了一个学期的联络论.杨振宁和RL.米尔斯(Mills)1954年发表了杨-米尔斯场论.1949年陈省身、杨振宁均在芝加哥,1954年又同在普林斯顿.他们是好友,时常谈论自己的工作,却不知道他们的工作有密切的关系.20年后才知道两者的重要性,也才知道他们所研究的是同一个“大象”的两个不同的部分.下面是杨振宁送陈省身的一首诗:

天衣岂无缝,匠心剪接成.

浑然归一体,广邃妙绝伦.

造化爱几何,四力纤维能.

千古寸心事,欧高黎嘉陈.

  19601979,伯克利加州大学

  陈省身曾说他去加州大学原因有二:一是加州大学正在发展阶段,有建成几何学中心的潜力;二是加州的天气暖和.

  在加州大学,陈省身有很多学生,有31人随他完成博士学位.陈省身也是许多到加州大学做讲师的年轻博士们的良师(本文作者之一曾在芝加哥大学做讲师,另一位曾在加州大学做讲师,均受教于陈省身)

  陈省身在加州大学将数学系建成世界著名的几何学中心.他对人友善、益谈、多鼓励,再加上他的论文和讲稿从50年代起已成为学习微分几何的经典,因此可以说世界各地的几何学家几乎都受到他的影响.当他在1979年从加州大学退休时,学校为他举行了一个数学讨论会(Chern Symposium),历时一周,300多人出席.其实陈省身并没有真正退休,而是继续在加州大学教到1984年,并且到“山顶”成为伯克利数学科学研究所首任所长。

  1981年以后,三个研究所

  1981年,陈省身、C.穆尔(Moore)I.辛格(Singer)以及旧金山海湾地区的几位数学家向美国国家科学基金会提出在伯克利成立数学研究所的计划.经过激烈的竞争,国家科学基金会宣布成立两个所,其中一个就是在伯克利的数学科学研究所(MSRI),陈省身为首任所长,任期三年.此所办得很成功,陈省身的影响是显著的.

  陈省身一共办过三个研究所:中央研究院数学研究所(19461948,上海,南京),数学科学研究所(19811984,伯克利),南开数学研究所(1984年以后,天津).陈省身一向不愿意让琐碎的行政工作缠身,总是把老子的无为哲学用得恰到好处.

  陈省身一直希望中国数学能跻身于世界数学领导地位.他觉得要达此目的必须做到下面两点:第一,要培养出一批年轻、有抱负、有信心、不求个人名利、且要“青出于蓝而胜于蓝”的数学工作者.第二,要有足够的经费支持,充实的图书,完善的研究室以及国内外的数学交流.(陈省身觉得这些资源对于数学研究的重要性不亚于仪器对于实验科学的重要性.)

  为了促使中国早日成为数学强国,陈省身1946年回国,办中央研究院数学研究所.以后又在1984年从伯克利数学科学研究所退休后回到天津办南开数学研究所.

  19661976年的“文化大革命”使中国损失了整整一代的数学工作者.从1972年起,陈省身常回中国讲学,培养中国年轻一代的数学家.南开研究所成立于1985年,在这里建有宿舍,常年有中外学者来访.研究所仿普林斯顿高级研究院的模式,其目的之一是让中国各大学里的教师和研究生可以到这里专心致志进行研究,并且有机会与中外数学家进行讨论和交流.另一个目的是希望创造一个好的研究环境吸引在国外获得博士学位的留学生回国工作.

  荣誉

  陈省身曾应邀在国际数学家大会上作过三次报告.第一次是在战后第一次大会上(1950年,麻省剑桥)作一小时报告,第二次在苏格兰的爱丁堡(1958),第三次在法国尼斯(1970)也是一小时报告.国际数学家大会每四年开一次.同一个人被邀请作两次以上的演讲是罕见的.在这个大会上还要颁发数学界的最高荣誉奖——菲尔兹(Fields)奖.这个奖颁给40岁以下、且在数学上做出卓越的奠基性研究工作的数学家.陈省身的学生丘成桐在1982年得到过这项费尔兹奖.

  许多著名大学授予陈省身荣誉博士学位;他在1961年当选为美国国家科学院院士,1975年得到美国国家科学奖,1983年获得沃尔夫(Wolf)奖.沃尔夫奖是1978年由以色列沃尔夫基金设立的,颁给在科学领域内做出杰出贡献的学者.陈省身将他的奖金全数捐给了南开数学研究所.陈省身也是英国皇家学会、意大利国家科学院及法国科学院等的国外院士.较完全的简历请参阅.

  陈省身的研究工作总论

  陈省身的数学兴趣很广泛,对古典的及近代的几何学均有重要的贡献,其中主要的有:

  几何结构及等价问题

  积分几何

  欧氏微分几何

  极小子流形

  全纯映射

  网

  外微分系统和偏微分方程

  高斯-邦尼公式

  示性类

  因为篇幅限制,不能够对陈省身的所有论文和成就—一进行解释,这里将着重介绍最重要的、影响最深远的文章,比较详细而完整的资料请阅,特别是第一卷所附的韦伊及P.格列菲斯(Griffiths)对陈省身的工作的评论,以及陈省身自述的科学生涯与著作梗概.

  陈省身的研究工作有一共同的风格:他精通微分形式的运算技巧并将它巧妙地用到几何问题上.这是他的老师——几何大师E.嘉当传给他的魔杖,使他能以此进入数学上旁人难以进入的新领域.微分形式是探讨局部几何与整体几何的理想工具,原因是它有两个互补的运算:外微分和积分,且两者由斯托克斯定理相联系.

  几何结构及等价问题

  陈省身的早期工作主要是研究各种不同的等价问题,也就是如何有效地决定两个同种的几何结构是局部等价的.例如:两条空间曲线是否全等(即它们在空间的旋转和平移下互相重合),或两个黎曼结构是否局部等距.在古典几何里我们常设法找出几何结构的较易了解又简单的不变量及其关系,然后证明这些不变量是完全的,即两个同种的几何结构等价的充要条件是其不变量相同.最终目的是得到类似于平面几何中三角形全等判定定理的结论.光滑空间曲线的等价问题在上世纪初已解决,它在刚体运动群下的完全不变量组是其曲率和挠率.欧氏空间中曲面的等价问题较复杂,但在19世纪末也得到完满的解决,它的完全不变量组是两个二次型,第一个二次型(即度量张量)是正定的,而且这两个二次型须满足高斯-科达奇方程.黎曼度量的局部等价问题也由EB.克里斯托费尔(Christoffel)R.李普希茨(Lipschitz)解决,它的解更复杂,且从表面上看与上面的例子无关.

  在陈省身开始做研究工作的初期,寻找上述个别例子的共性,及如何有系统地解决等价问题是当时几何学家面临的主要挑战.嘉当用他的活动标架方法已朝这个方向迈了一步.他将一般的等价问题演化成微分形式组的等价问题.具体地说,就是在给定Rn上的一个几何结构之后,可以选取1)GL(nR)的一个子群G2)Rn上的n个线性无关的一次形式θ1,…,θn,使得几何结构的等价问题变成形式的等价微分同胚,及从RnG的映射(aij),使得

 

  现在我们称由1)2)决定的几何结构为一个G-结构,它是陈省身为了系统地整理和解释嘉当的等价方法而引进的.例如:黎曼度量是O(n)-结构,给定度量ds2,可选择n个一次形式θi,使得

 

  虽然对于一般几何结构,子群G的选择不一定是显而易见的,但是多数自然的几何结构可以表成适当的G-结构.

  嘉当不仅将几何结构的等价转换成G-结构的等价,而且也发展了一套方法找出完全不变量组.可是他的方法需要运用困难的普法夫方程组理论及其拓展方法,以致至今仍未广为人知.事实上,嘉当在晚年虽被认为是卓越的几何学家,但是同时代的学者认为他的文章难读,因而充其量也只有极少数的数学家真正了解他在几何学上的创新和贡献.例如H.外尔(Weyl)在评嘉当的书时曾说:“嘉当是当今最伟大的几何学家,…,但我必须承认我觉得他的书和他的文章一样难读….”

  在大家都觉得嘉当的文章难懂的情形下,可以想象他在等价问题上的重要见解会被埋没.幸而命运的安排并非如此.因陈省身随克勒及嘉当学习,故他成为能对等价问题有更深一层了解的自然人选.在他头20年的研究工作中有许多篇关于等价问题的好文章,而且他对等价问题给了详尽的解释.纤维丛及主丛上的联络理论在此20年间发展起来绝非偶然.这些理论是许多人多年研究工作的结晶,在几何学、拓扑学上均有很大的启发性.陈省身在等价问题方面的工作以及相关的示性类理论是此20年数学的主要进展之一.

  为要了解陈省身在等价问题上的重要贡献,下面先解释由陈省身引进的定义:用现代语言来说,所谓的n维流形M上的一个G-结构是指M上由余切GL(nR)-主丛约化的G-主丛.假定这个G-主丛是π∶PM,其中P是全空间,由容许的余切标架θ=(θ1,…,θn)组成.在P上有n个自然的一次微分形式ωi,使得ωiθ=π*(θi).令V表示dπ的核,则V是切丛TP的子丛,称为纵子丛,且ωiV上的值为零.因为G作用在P的右边,而且在纤维上的作用是单可迁的,所以在点θ的纵子空间Vθ可以看作G的李代数L(G)(G上的左不变向量场组成).那么P上的G-联络是TP上的一个横子丛,也就是与V互补、并且在G的作用下不变的子丛H.给定H与给定从TPV上的射影是一样的,后者相当于在P上给定一个L(G)-值的一次形式ω,称为联络形式.用Rg表示元素gGPad(g-1)·ω(其中adGL(G)上的伴随表示),简称ω满足等变条件.由于L(G)L(GL(nR))的子代数,故ω可表示成n×n矩阵,其第i行、第j列的元素ωijP上的一次微分形式.

  通过点θ的、曲线σ的唯一的横提升.用πσ表示从纤维Pp到纤维Pq
般说来,此平移与所取的曲线σ有关.如果联络ω的平移只与σ的同伦类有关,则称ω是平坦的.联络ω是平坦的充分必要条件是横子丛
H曲率形式Ω为衡量ω平坦与否的测度,即dω=ω∧ω-Ω.因ω是等变的,故Ω也是等变的.将Ω作外微分,得到比安基恒等式dΩ=Ω∧-ω∧Ω.把P上的局部截面θ:UP称为容许的局部余切标架场.若PU上的另一个截面,则存在唯一的一个光滑映射gUG,使(x)=Rg(x)θ(x).令=θ*(ω)=*(ω)=θ*(Ω)

  =*(Ω),则有

  =dg·g-1+g··g-1,

  =g··g-1

  但是联络与等价问题的联系在哪里?嘉当的等价方法用于一般的G-结构是复杂的,除非G成为平凡子群{e}(e是群的单位元素).他发现,有时可以添进对应于群G的坐标的“新变量”得到一个新的流形,使得M上的G-结构成为新流形上的{e}-结构.陈省身看出这个新流形只是G-主丛的全空间P,嘉当的约化方法恰好是探测P上是否有“内蕴联络”的方法,而G-结构的完全不变量组可以由这个联络的曲率形式算出来.最重要的黎曼度量的等价问题即可以用此法来解,其内蕴联络当然是它的列维-奇维塔联络.设是从黎曼空间(Mg)(Mg)的局部(ei).用xk表示M上由ei决定的法坐标,则gg*在此坐标下是相同的.注意到g在法坐标下的马克劳林展开式的系数可以表为它在点p的曲率及其共变导数的通用多项式.因此,黎曼度量的完全不变量组是在法坐标系下的曲率张量及其各阶共变导数在一点的值.

  N(G)表示半直积GRn(G及平移生成的仿射变换子群).对应地,线性标架的G-主丛P可以扩充为仿射标架的相配N(G)-主丛N(P).在[143]里,陈省身发现如果能在N(P)上找到内蕴N(G)-联络,则与上例类似的结果仍成立.N(G)-联络的曲率形式Ω是L(N(G))-值的二次微分形式.然而L(N·(G))=Rn+L(G),故Ω也有相应的分解.Ω中相应于Rn的部分τ称为此联络的挠率.陈省身发现,如果在τ上加适当条件,可以定义内蕴的N(G)-联络.例如,列维-齐维塔联络是τ=0的唯一的N(O(n))-联络.事实上,在[143]中陈省身证明:若L(G)满足一个代数条件(“性质C),则内蕴N(G)-联络存在.他更进一步证明:若G是一紧群,则L(G)必满足性质C.在该文中他还用嘉当的伪群观点来解释为何有些G-结构上不存在内蕴联络.G-结构(π∶PM)的伪群是由所有保持P不变的M上局部微分同胚组成的,所以当G-结构上有一内蕴联络时,该联络必在上述伪群作用下不变.但是在P上保持一个固定联络不变的丛自同构成为一个有限维李群,而确实存在其伪群是无限维的G-结构;例如当n=2m时取G=GL(mC),这时G-结构恰好是殆复结构,其自同构群是一个无限维伪群.

  陈省身还解决了许多具体的等价问题.例如,[16][113]是关于三阶常微分方程式定义的轨道几何,此时G结构是关于R2的单位切向量的切触流形定义的,G是保圆切触变换的群.在[110][111]中他把上述考虑推广到n阶常微分方程组的轨道几何.在[123]中他考虑广义的射影几何,即Rnk维子流形的(k+1)(n-k)-参数族的几何;[120][121]是关于Rn中超曲面的(n-1)-参数族定义的几何.在[1105](J.莫泽(Moser)合作)[1107]中他考虑Cn中的实超曲面,此二文成为CR流形理论的经典著作.

  积分几何

  Rn的刚体运动群G可迁地作用在各种各样的几何对象组成的空间S(例如:点、直线、有某一固定维数的仿射子空间、有固定半径的球面,等等),所以S可以看作一个齐性空间GHG上的不变测度诱导出S上的一个不变测度,此即首先由JH.庞加莱(Poincaré)引进的“运动学密度”.积分几何的基本问题是将各种几何上有意义的量关于运动学密度的积分用已知的积分不变量表示出来(参看[184]).最简单的例子是关于平面曲线C的克罗夫顿公式:

 

  其中n(lC)是平面上的直线lC的交点数,dl是直线组成的空间的运动学密度,L(C)C的长度.此公式可解释为平面上直线与一条曲线相交的平均次数是C的弧长的两倍.

  [118]中,陈省身为广义的积分几何奠定了基础.韦伊在评论这篇文章时说:“它把布拉施克学派的工作一举推进到更高的水平.我对文章所显现的非凡才能和深刻见解有极深的印

  象.”在该文中陈省身首先把经典的“关联”概念推广到同一个群G的两个齐性空间GHGK.设aHGHbKGK,若aHbK≠φ则他称aHbK是关联的.这个定义在J.蒂茨(Tits)的厦(building)理论中起重要作用.

  [148][184]中陈省身分别得到了Rn中两个子流形的基本运动学公式.陈省身的公式中用到了外尔的管体积公式中的积分不变量.设TρRn中围绕k维子流形X的半径为ρ的管,则

 

                     


度量的曲率张量.陈省身的公式是(同时由H.费德勒(Federe)独立发现)

 

  其中M1M2分别是Rn中的p维、q维子流形,e是偶数,0ep+q-nci是依赖于npqe的常数.

  格列菲思在评论陈省身关于积分几何的工作时说:“陈省身的证明显示了许多典型的特征.当然,一是用活动标架,…,另一个特征是通过直接的计算,而非建立一个复杂的概念框架;事实上,仔细观察会发现,确实存在一个如[118]所描述的框架,然而陈省身并未将它孤伶伶地提出来,而是让读者通过做一个不太简单的问题来理解它.”

  欧氏微分几何

  经典微分几何的一个主要课题是研究欧氏空间中子流形在刚体运动群作用下的局部不变量,即子流形的等价问题.这在30年代已经解决了.实际上,子流形的第一、第二基本形式Ⅰ,Ⅱ,以及子流形的法丛

  上的诱导联络满足高斯、科达奇、里奇方程,且它们构成Rn中子流

  形的完全不变量组.具体地说,这些不变量是:

  a)Ⅰ是在M上的诱导度量.

  b)Ⅱ是M上在法丛v(M)中取值的二次型,设u是在点p的单位切向量,v是单位法向量,则Ⅱv(u)=<(u)v>Muv所张平面相交而成的平面曲线σ在点p的曲率.

  c)s是光滑法向量场,则(s)是微分ds在法丛v(M)上的正交投影.

v=<Ⅱ,v>称为沿v方向的第二基本形式,对应于Ⅱv,的自对偶算子Av称为M沿v方向的形状算子.

  陈省身在欧氏微分几何上的工作主要是研究子流形的整体几何与其局部不变量之间的关系.他在这方面写了多篇重要论文,因篇幅所限这里只提出下面两项:

  (1)极小曲面

  因为Rn中子流形的面积的第一变分是第二基本形式的迹,所以当tr()=0时称Rn的子流形M为极小子流形.用Gr(2n)表示Rn中所有2维子空间形成的流形(称为格拉斯曼流形)Rn中曲面M的高斯映射G是从MGr(2n)的映射,它把点xM映到Mx的切平面G(x)Gr(2n)可以看成(n-1)维复射影空间CPn-11+ ie2张成的复直线,其(e1e2)V的单位正交基底).这样,Gr(2n)有复结构.另一方面,Rn中的有向曲面通过它的诱导黎曼度量有一个共形结构,因而也有一个复结构.陈省身在[179]中证明:Rn中的曲面是极小的充分必要条件是其高斯映射G是反全纯的.此定理在n=4时由M.平尔(Pinl)所证,它是将极小曲面与R.奈望林纳(Nevanlinna)、外尔、LV.阿尔福斯(Ahlfors)的值分布理论联系起来的出发点.伯恩斯坦定理是极小曲面论的基本结果之一,它断言:在R3中定义在整个R2上的极小图z=f(xy)必是一张平面.注意到一个完整的图的高斯映射的象必落在半球面内,故R.奥塞曼(Osserman)把伯恩斯坦定理推广为:若R3中一个完备的极小曲面的高斯映射的象在球面上不是稠密的,则该极小曲面必为平面.陈省身在[179]中利用E.波莱尔(Borel)的经典定理把伯恩斯坦-奥塞曼定理推广成Rn中非平面的极小曲面的高斯映象的密度定理,更细致的密度定理是在陈省身与奥塞曼的合作论文[186]中建立的.

   根据E.卡拉比(Calabi)关于球面内极小曲面的工作,陈省身在[196]中对于子流形的密切空间作了一般性的叙述.他证明:若在空间型中给定一个极小曲面,则存在整数m,使得m阶密切空间沿曲面是平行的;同时给出了完全局部不变量组及其关系.最后得到与卡拉比类似的结果:若M是常曲率为c的空间型内的极小球面,且它的高斯曲率是

  

  (2)紧贴浸入和紧套浸入

  1929年,W.费恩雪尔(Fenchel)证明:若a(s)Rq中一条简单闭曲线,s是弧长参数,k(s)是其曲率函数,则

 

  且等式成立的充分必要条件是α为平面凸曲线.I.法雷(Fary)J.米尔诺(Milnor)证明,若α是打结的,则上述积分必不小于4π.

   [162][166]中陈省身和RK.拉瑟夫(Lashof)将费恩雪尔定理推广到Rn中的子流形.设fMRn是紧致m维流形MRn中的浸入,v1(M)M的单位法球丛,dvv1(M)上的体积元.设Nv1(M)Sn-1为法映射,即它把点xM上的单位法向量v映为从原点引出的、平行的单位向量N(v)daSn-1的体积元,则李普希茨-基灵曲率G由方程N*(da)=Gdv来定义,即G(v)M沿单位法向量v的形状算子Av的行列式的绝对值.浸入f的绝对全曲率τ(Mf)是指N的象集的体积,即

 

  其中Cn-1Sn-1的体积.

  [162]中,陈省身和拉瑟夫证明τ(M f)2,且等式成立的充要条件是MRn中一个(m+1)维仿射空间里的凸超曲面.在[166]里,他们进一步得到:M的贝蒂数之和是τ(Mf)的一个下界.

  令τ(M)M的所有浸入的绝对全曲率的下确界.如果浸入 fMRn满足τ(Mf)=τ(M),则称f是紧贴的.紧贴浸入成为子流形几何重要的研究领域,近年来有许多有趣的发展.一个重要的发展是NH.凯珀(Kuiper)用莫尔斯理论重述紧贴性概念.紧致流形M的莫尔斯数Υ是指M上非退化莫尔斯函数的临界点个数的下确界.凯珀证明τ(M)=Υ,且子流形MRn中是紧贴的充要条件是非退化的高度函数恰有Υ个临界点.另一个重要发展是TF.班科夫(Banchoff)S.卡特(Carter)-A.韦斯特(West)引进的紧套浸入.Rn中的子流形M称为紧套的,如果每个非退化的欧氏距离函数有Υ个临界点,紧套浸入必是嵌入,并且是紧贴的.紧套性是保角变换下的不变性质.因此经过球极投影总是可以假定紧套子流形是在球面上的.U.平卡尔(Pinkall)证明:Rn中围绕子流形M的半径为ε的管状超曲面Mε是紧套的充要条件是M为紧套的.由此可得两个结果:Sn中紧套超曲面的平行超曲面仍是紧套的;研究紧套子流形只须研究紧套超曲面.因为李球群(把球面映为球面的切触变换群)是由保角变换和平移生成的,故紧套性在李球群下不变.注意到Sn中子流形M的管状超曲面MεSn的切球丛的切触流形的浸入勒让德子流形,故紧套性实际上可以对于Sn的单位切球丛的切触流形的勒让德子流形来定义.在[1143]中陈省身和T.赛西尔(Cecil)把这个概念确切地叙述出来,并且引进李球群几何中的一些微分几何概念.虽然已有许多紧贴及紧套的例子和结果,但是许多基本问题尚未解决.例如:哪些紧致流形可以紧贴或紧套地浸入到欧氏空间中去?哪些是李球群几何的完全不变量?等等.

  广义的高斯-邦尼公式

  几何学家通常把局部问题与整体问题划分得壁垒分明,且认为只有整体间题才更重要.而陈省身认为在几何学上似乎南辕北辙的两个方面的研究须同时进行.他觉得若不了解局部理论(即等价问题)则整体问题就无从下手,反过来找到了完全不变量组则整体问题的解决也快了.下面将简述陈省身对几何学的这种看法的形成过程,它既有趣又有启示性,而且涉及到他的最重要、最令人激奋的研究工作:给广义的高斯-邦尼公式一个内蕴证明,进而引入复向量丛的示性类,即现在所称的“陈示性类”,并给出陈示性类的一个漂亮的、用曲率张量写出的公式.示性类的局部性质是曲率,其整体性质基于映射的同伦性,两者交织便成为几何学的基本工具.

   二维紧致流形上的高斯-邦尼公式当然是经典微分几何的一个高峰.霍普夫曾说:“推广此公式到高维紧致流形上去是几何学中极其重要而困难的问题.”此公式把紧致曲面M上的最基本的不变量——欧拉示性数X(M)与曲面的微分几何的最基本不变量——高斯曲率K

  

  明,但是陈省身所给出的、用活动标架观点的新证明是极自然的,而且具有推广到高维情形的潜力.

  要解释陈省身的证明,这里先讨论一般的n维黎曼空间上的活动标架,然后再考虑n=2的特例.设M上有一个有向的黎曼结构,即一个SO(n)-结构.因它的李代数L(SO(n))由全体n阶反对称矩阵所组成,在单位正交切标架构成的SO(n)-主丛F(F)上有n个一次微分形式(ωi)及列维-奇维塔联络形式(ωij)(ωij=-ωji)满足下列方程:dωi=∑ωij∧ωj.黎曼曲率张量在正交标架(ωi)下的系数为Rijkl,即

 

  n=2时,L(SO(2))是一维李代数,ω11=ω22=0,ω12=-ω21,所以只有一个曲率方程dω12=-Ω12=-TR1212ω∧ω2显然,在每个纤维π-1(x)R1212是常数,其值是M的高斯曲率K(x).设(θ1,θ2)M上的单位正交余切标架,则M的面积元为dA=-θ1∧θ2,且

π*(KdA)=dω12

(*)

  陈省身在[1136]中说:“公式()包含了曲面的全部局部几何,也可推演出整体几何性质.仔细考虑过之后,容易看出()是高斯-邦尼公式的证明的要义,而且n维流形上的高斯-邦尼公式的证明也是从这个想法发展出来的.”陈省身看出:曲面上的二次微分式必是闭的,被π拉回到F(M)仍然是闭的.但是除了M是环面的情形,KdA绝不是恰当微分形式.然而(*)式表明它在F(M)上是恰当的.这是(*)式的一个意想不到的性质.这种在M上非恰当的微分形式拉到M的主丛的全空间上成为恰当微分形式的现象称为“超度”,这个概念在陈省身的证明中起极重要的作用.

  根据初等拓扑学,在闭黎曼流形M关于定点p的补集M'上存在光滑的单位向量场e1,这个向量场在p点的指标是X(M).令e2M'上与e1正交的单位向量场,且(e1e2)M的定向一致.令θ是对偶标架场.因π·θ是M上的恒同映射,故于是


 

  MεM上去掉以p为心、以ε为半径的球所得的补集,

  

 

  

  由于第二项的被积函数是连续的,当ε→0时该项趋于零;第一项正是所需的值.这就证明了高斯-邦尼公式.

  现在我们考虑n维可定向黎曼流形,并且解释从2维高斯-邦尼公式发展出来的绝妙的结果.

  如何用M的黎曼度量造出M上典型的微分式是一个基本问题.在其主丛的全空间F(M)上这是很容易的,只要取曲率形式Ωij的多项式即可.但是由此造出的微分形式∧不一定是M上的微分形式经过π拉回来的,即在M上不一定存在微分形式λ,使得∧=π*λ。

  

   反对称矩阵,使它的第(ij)个元素为Xij(ij).取gSO(n),则矩阵

ad(g)X=gXg-1

  

  P,命(ad(g)P)(X)=P(ad(g)X),这就定义了SO(n)上的伴随作用.令中在SO(n)的伴随作用下的不变多项式构成的子环.

  因曲率形式Ωij是二次微分形式,在外积下彼此是可换的,故当P时,可用Ω代替X.若Pd次齐次多项式,则P(Ω)F(M)上的2d次外微分形式.

  

  是一个截面.令ψ=θ*(Ω),则θ*(P(Ω))=P(θ*(Ω))=P

  

  (g())P)(ψx),所以P(ψ)只是在M上局部可定义的,且与θ的选择有关.如果P,则P(ψ)就成为在整个M上定义的微分形式,且与θ的选择无关,因此P(ψ)由等式π(P(ψ)=P(Ω)唯一确定.

  将高斯-邦尼公式推广到高维情况的方法有很多,但是最自然、最合理的方式是对每个n维紧致黎曼流形给定一个相伴的n次微分式λ,

  

  对偶定理可知X(M)=0,所以我们只考虑n=2k(但是奇维有边流形的公式是有趣的).按上述讨论,我们应该找一个k次齐次伴随不变的多项式P,取λ=P(ψ).由SO(n)的不变量理论,P有一个自然的候选者,即满足条件[Pf(X)]2=det(X)的唯一的伴随不变多项式Pf(称为Pfaffian).陈省身首次看出高斯-邦尼公式的被积式是Pf.在此之前,C.艾伦多弗(Allendoerfer)和费恩雪尔已各自证明了高维的高斯-邦尼公式,其被积式是一堆曲率张量的组合,而且证明是外蕴的,即假定M可以等距地浸入到欧氏空间(艾伦多弗及韦伊的证明只须假设M可局部等距浸入到欧氏空间即可,所以他们把高斯-邦尼公式推广到解析度量的情形).然而陈省身在[125]中给出的是一个内蕴证明,是前面所介绍的曲面情形的证明的推广.

  S(M)M的切球丛,Υ:S(M)M为自然投影.对

  F(M)中任一元素θ,令e1(θ)代表θ的对偶标架的第一个向量,则e1是从F(M)S(M)的丛同态,且π=Υ·e1.命λ=Pf(ψ),∧=Υ*(λ),则陈省身在[125]中首次证明了A的超度引理,即在S(M)上找到一个(n-1)次微分式Θ,使得dΘ=∧,且给出Θ的一个显式表示.与曲面情形的做法类似,令M'为M上去掉一点p的补集,ξ为S(M)M'上的光滑截面,则得

 

  因Θ是具体构造出来的,陈省身可以算出上面等式右端的值,它恰好是一个通用常数乘以M的欧拉示性数.

  通常,数学家对于给出旧定理的新证明的评价不及给出新定理来得高,然而[125]却是例外.因为n维高斯-邦尼公式的早期证明几乎是条死胡同,而陈省身的内蕴证明却是进入示性类的秘门钥匙.

  示性类

  本文中一再出现的余标架丛F(M)G-主丛的重要例子.主丛的定义和研究在30年代末已经开始,但是到40年代几何学家和拓扑学家才看清它的重要性,并进行全面的研究.到40年代末,完美的分类工作已经完成,并发展出一套丛上的“示性类”理论,示性类的观念的重要性在20世纪后半叶是无可言喻的.其实,分类问题是主丛的等价问题,而示性类是等价问题的不变量.为解释陈省身在这方面的贡献,我们先叙述一些背景材料.

  G-主丛的理论与G的极大紧子群的主丛理论是相同的,故我们设G是紧李群.若仿紧空间P上有一个G的右作用,则称PG空间.设gGRg表示gP上的右作用给出的变换,即Rg(x)=xg.若当geRgP上没有不动点,则称GP上的作用是自由的.所谓G-主丛是纤维化π∶PX,使得P是自由的G空间,且XPG轨道空间PG.所以G-主丛在点x的纤维是一条G轨道.P称为主丛的全空间,并常以P代表G-主丛.若映射σ:XP满足π·σ=id,则称σ为P的一个截面.两个G-主丛πiPX称为等价的,如果存在上的右作用定义为Rg(xh)=(xhg),π(xh)=x,则称此G-主丛为平凡丛.映射x(xe)显然是此平凡丛的截面.反之,若一个G-主丛存在一个截面,则该主丛必是平凡的.令BndlG(X)表示X上的G-主丛P的等价类[P]构成的集合.

   设π∶PX是一个G-主丛,fYX是连续映射,用f*(P)表示由f生成的诱导丛,它的全空间={(py)P×Y∶π(p)=f(y)}G的右作用定义为Rg(py)=(Rg(p)y).容易看出f* 把等价丛诱导为等价丛,所以f*可看作从BndlG(X)BndlG(Y)的映射.若π∶PXG-主丛,则π*(P)P上的G-主丛,称为G-主丛P的“平方”.显然,映射p(pp)给出了。π*(P)的一个截面,所以π*(P)是平凡丛.下面将说明这个简单的观察是藏在“超度”背后的秘密.

   主丛理论的第一个重要事实是:给定映射fYX,则映射f*BndlG(X)BndlG(Y)只与f的同伦类[f]有关.用范畴的语言来说就是:BndlG()是拓扑空间与映射同伦类的范畴到集的范畴的反变函子.上同调群H*()也是一个反变函子.示性类则是从BndlG()H*()的一个自然的变换.当然这种花巧的语言并非是必须的.直接地说,所谓示性类c是一个函数,它对任意一个空间X上的每一个G-主丛P都指定了H*(X)中的一个元素c(P),并且对于任意一个连续映射fYX满足c(f*(P))=f*(c(P)).用Char(G)表示所有G-主丛的示性类构成的集合.因为H*(X)是一个环,故Char(G)也是一个环.示性类的主要问题是确切地了解这个环.平凡G-主丛可以看成由一个常值映射诱导出来的,所以它的所有示性类为零(除了单位元示性类).一般说来,所有示性类都相等是G-主丛等价的必要条件.

  
想不到的是这种通用
G-主丛是存在的,并且有多种构造方法.若取UGBG为一个通用G-主丛,用[XBG]表示从XBG的映射同伦类的集合,则BndlG(X)可以与[XBG]等同,因此BG称为G的分类空间.此外,dg的全空间是可缩的,BG的同伦型不依赖于通用丛的取法.若π∶PX是一个G-主丛,则存在映射hXBG,使得[h*(dg)]=[P],且[h]是唯一的,映射h称为分类映射.

   现在可以容易地给出示性类问题的解,即Char(G)=H*(BG),且若CH*(BG),则c(P)=f*(c),其中fP的分类映射.

   以上是从1935年到1950年间主丛发展的要点,主要贡献者包括陈省身、C.埃瑞斯曼(Ehresmann)H.霍普夫(Hopf)J.费尔德保(Feldbau)JIC.庞特里亚金(ПOHTP)NE.斯廷罗德(Steenrod)E.施蒂费尔(Stiefel)H.惠特尼(Whitney).上述理论虽然简单优美,但太抽象,在真要写出Ch-ar(G)时并不是真有用的.同时对于由几何问题产生的主丛的示性类计算也用不上,因为找分类映射并非易事.下面我们要讨论陈省身如何建立具体的分类空间,更重要的是如何用主丛上联络的曲率计算示性类的微分形式代表.

   V(nN+n)代表施蒂费尔流形,即Rn+n中所有正交n-标架e=(e1,…,en)的空间.V(nNn)是自由的O(n)空间,在e的轨道是由e1,…,en所张的子空间上所有的正交基,所以轨道空间正是格拉斯曼流形Gr(nN+n).投影π∶V(nN+n)Gr(nN+n)O(n)-主丛.在40年代初期,斯廷罗德和惠特尼已证明:若Nk+1,则此主丛是所有维数≤k的紧多面体上O(n)-主丛的通用主丛.在[143]陈省身与孙以丰将此结果推广到k维紧拓扑空间.若要得到Bo(n)只要取归纳极限π∶V(n,∞)Gr(n,∞)即可.将实数换为复数或四元数体,他们也对U(n)-主丛和Sp(n)主丛证明了类似的结果.若G是任一紧群,则取正交表示 GO(n),于是V(nN+n)成为自由G空间,V(nN+n)G是维数≤k的紧致拓扑空间的通用G-主丛.

   格拉斯曼流形是做分类空间的好模型,因为它的上同调群巳用代数的或几何的方法算出了.因而陈省身知道在Char(SO(n))中有一个欧拉类e.若Mn维紧致流形时,则eF(M))作为Hn(M)中的元素作用在基本类M上时便得到x(M).高斯-邦尼公式可以解释为:λ=Pf(ψ)e(F(M))作为德拉姆上同调类的代表.这也启发陈省身去寻找一般示性类的微分形式代表.此时正是19441945年陈省身在普林斯顿的时期,他的朋友韦伊鼓励他,并且经常与他讨论此问题.

  寻找SO(n)示性类的微分形式代表看上去似乎是一个自然的问题,然而陈省身看清楚实格拉斯曼流形的上同调群非常复杂,而且有Z2挠群,而此挠群用微分形式表达不出来;另外,陈省身从埃瑞斯曼的博士论文知道复格拉斯曼流形没有挠群,且舒伯特胞腔是以整数Z为系数的同调群的基;所以根据德拉姆定理,所有BU(n)的示性类可以由闭微分形式为代表.但要算某个U(n)-主丛P的示性类仍须知道P的分类映射,所以在实用上必须有一种从几何数据计算示性类的方法.下面将介绍陈省身的优美算法.

   设π∶PM为流形M上的U(n)-主丛.P上的联络是在L(U(n))中取值的一次微分式ω,故ω的元素是复数值一次微分式ωij

  L(U(n))上的伴随不变多项式的集合,若Q,则Q(Ω)是由M上的唯一的一个微分形式Q(ψ)诱导而来的.陈省身用比安基恒等式证明Q(ψ)是闭的,故[Q(ψ)]H*(M).令ω'为P上另一个联络, Ω'是曲率形式,则得M上另一个微分形式Q(ψ')使得π*(Q(ψ'))=Q(Ω').根据韦伊的一个引理,Q(ψ')Q(ψ)只差一个恰当微分式,所以Q(P)=[Q(ψ)]=[Q(ψ)]M上同一个上同调类,它与联络的取法无关,是一个示性类.

  hM'→M是光滑映射,PM上的U(n)-主丛,ω是P上的联络,则P,ω及其曲率Ω均可经h自然地诱导到M'上.所以Q(h*(P))=h*(Q(P))Q映至Q是由Char(U(n))的环同态.因为韦伊的引理,陈省身称此为韦伊同态,但是一般称它为陈-韦伊同态.

  L(U(n))上的伴随不变多项式环可以简单地写出来.令z为反埃尔米特n阶矩阵,σk(z)det(z+tI)tn-k的系数,则σk(z).实际上,σk(z)只是z的特征值的k次对称函数,例如σ1(z)=tr(z),σn(z)=det(z).若P(t1,…,tn)C[t1,…,tn](即变量t1,…,tn的复系数多项式环),则P(σ1(z,…,σn(z)),且映射P(t1,…,tn)P(σ1(z),…,σn(z))是从C[t1,…,tn]的环同构.再引用埃瑞斯曼关于格拉斯曼流形的同调群的结果,陈省身看出陈-韦伊同态是同构.令rk(z)=

  

  (U(n))是由c1,…,cn生成的多项式环.

   

  类.F.希策布鲁赫(Hirzebruch)用形式幂级数定出许多示性类,陈省

  

  格指标定理中起重要作用.

  陈省身也将上面关于U(n)-主丛的示性类的结果推广到一般的紧致李群,Rad仍与以复数为系数的Char(G)同构.但一般说来,BG有挠群,故可能存在不能用微分形式表示的示性类.

  在此后近20年陈省身未做示性类方面的研究,但在1974年他与J.西蒙斯(Simons)写了一篇在示性类方面极重要的文章[1103].该文对于主丛上的“超度”现象做了一个详尽的研究.令π∶PMG-主丛,ω,Ω如前所述.令QL(G)上ι次齐次的伴随不变的多项式,则存在唯一的、定义在M上的2ι次闭微分式Q(ψ),使得π*(Q(ψ))

  

  [Q(Ω)]=[(Q(ψ))=[Q(π*(ψ))]=ψ(π*(P)),且前面已说明P的平方π*(P)是平凡的。故它的示性类必为零,因此

  地写出P上的一个(2ι—1)次微分形式TQ(ω),使得dTQ(ω)=Q(Ω)TQ(ω)在丛及联络的诱导下是自然的(TQ(f*ω)=f*(TQ(ω))等.设2ι>n,则以Q(Ω)=0,故TQ(ω)是闭的,[TQ(ω)]H2ι-1(P)中的一个元素.当 2ι>M+1时,他们证明[TQ(ω)]与ω的选择无关,称为从属示性类(the secondary characteristic classes).而且当2ι=n+1时,他们证明[TQ(ω)]确实与联络ω有关.

  

   的伴随不变多项式.取Q=Q2k-1,设PM上的切标架丛,ω是黎曼结构的列维-奇维塔联络,他们证明[TQ(ω)]属于h*(P),并且它与黎曼度量的取法有关,而在黎曼度量的保形变换下是不变的.这是一个惊人的结果.这个不变量近来在物理学共形量子场论的表述中要用到.

   另外,陈省身与R.博特(Bott)合作的论文[192]中讨论了n维复流形X上的全纯埃尔米特向量丛E的示性类及其超度.复流形上  纯截面的零点的研究.这个理论与代数数论有密切关系,JM.比斯穆特(Bismut)H.吉勒特(Gillet)C.索尔(Soule)有重要的发挥.

  陈省身是享誉世界的数学家,尤其是在微分几何学及拓扑学方面做出了非常杰出的重要贡献.他被公认为20世纪后半叶杰出的几何学家.正如20世纪前半叶的几何学带有E.嘉当的消除不掉的印记一样,在过去50年中所描绘的几何学留下了陈省身的硕大的印章.除了他的科学成就赢得的崇敬和赞誉之外,无数的同事、学生和朋友对他怀有深厚的感情和敬意.这反映了他的人生的另一个方面——陈省身总是对他人显示友谊、热情和关怀,他始终如一地像致力于自己的研究工作那样来帮助年轻的数学家充分发展他们的潜能.

   本文的材料主要取自:《陈省身论文选集》(SSChernSe-lected papersvol1vol4SPringerVerlag19781989);《陈省身文选——传记、通俗演讲及其它》(科学出版社,1989);以及作者与陈省身本人的多次谈话.文中,记号[125][130]等分别表示文献中所列的陈省身的出版物的序号.