华罗庚

王元

(中国科学院数学研究所)

   华罗庚 191011I2日生于江苏金坛;1985612日卒于日本东京.数论、代数与几何、复分析。

  华罗庚出生在江苏省金坛县.他的父亲华瑞栋经营一个家庭式的小杂货店.当他初中毕业时,由于家贫未能进入高中继续学习.经过努力,华罗庚考取了上海中华职业学校商科(二年制).仍因家贫,华罗庚仅差一学期未能毕业,弃学回家帮助其父经营小店.他只能利用业余时间自修数学.

  这时华罗庚已对数学产生了强烈的兴趣,而不能全力从事小店的工作.他的父亲对此很反感,多次要撕掉他的“天书”.1928年,华罗庚就职于金坛初中.1927年,他与金坛吴筱元女士结婚,一年后他们有了一个女儿.至1951年,他们又依次有了三个儿子及两个女儿.1928年,华罗庚染上了流行瘟疫(可能是伤寒),卧床半年,后病虽痊愈,但左腿却残废了.

  华罗庚的数学才能显示得很早.他的第一篇论文发表在上海《科学》杂志上(1929).他的第二篇文章“苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立的理由”发表在1930年《科学》上.这篇文章引起了当时清华大学数学系主任熊庆来的注意,但熊庆来并不知华罗庚其人.后来熊庆来从系里一个金坛籍教员唐培经那里了解到华罗庚仅为一个初中毕业生,现任金坛初中会计.熊庆来深受感动并邀华罗庚到清华大学工作.华罗庚于1931年到清华大学任数学系助理.两年后,他被破格提拔为助教,又晋升为教员.1934年,又任“中华文化教育基金会董事会”乙种研究员.在清华大学时,华罗庚的同事中有以后成名的数学家陈省身、许宝騄与柯召.他的最早研究领域为数论中的华林问题.他的工作曾得到清华大学数学系教授杨武之的指点与帮助.

  1936年,经N.维纳(Wiener)推荐,GH.哈代(Hardy)邀请华罗庚去英国剑桥大学访问.华罗庚到达英国时,哈代正在美国.华罗庚很快掌握了英语并与一些在英国的年轻数学家如H.海尔布伦(Heilbronn)H.达文波特(Davenport)T.埃斯特曼(Estermann)RA.兰金(Rankin)EC.蒂奇马什(Titchmarsh)等人结为好友,从他们那里得到不少帮助.华罗庚在剑桥期间至少发表了15篇论文.

  1937年抗日战争爆发,清华大学与北京大学、南开大学迁至云南昆明,组成西南联合大学.华罗庚由剑桥回到昆明,1938年至1945年,他执教于西南联大.这时,华罗庚的研究兴趣拓广到矩阵几何学、自守函数论、多复变函数论与群论.他与其他数学家一起倡导并主持了各种讨论班,参加过他的讨论班而以后成名的数学家有段学复、闵嗣鹤、樊与徐贤修等人.

  19462月至5月,华罗庚应苏联科学院与苏联对外文化协会邀请,对苏联作了广泛的访问.他会见了И.Μ.维诺格拉多夫(Виноградов)与Ю.B.林尼克(Линник)

  1948年,华罗庚当选为中央研究院院士.1947年至1948年,华罗庚任普林斯顿高级研究院访问研究员,又在普林斯顿大学教授数论课.1948年至1950年,华罗庚应依利诺伊大学之聘,任正教授.在依利诺伊期间,他指导的几个学生以后均成为职业数学家(R.埃尤伯(Ayoub)J.密席尔(Mitchell)L.熊飞尔德(Schoenfeld)).这期间,除数论外,华罗庚还涉足有限域上的方程论、典型群与域论等领域.

  1950年,华罗庚与他的妻子儿女一起回国,参加建立中国科学院数学研究所的筹备工作,1952年被任命为所长,从此他即全力投身于建设研究所的工作.按照华罗庚的意见,研究所包括纯粹数学、应用数学与计算机技术的一些分科.他还对培养青年教学家工作给予特别重视.在青年数学家中,数论方面有陈景润、潘承洞与王元,代数方面有万哲先,复分析方面有龚昇与陆启铿.为了他们及中国年轻数学家普遍受益,华罗庚写了一系列书:《堆垒素数论》(中文版,1957)、《数论导引》(1957)、《多复变数函数论中的典型域的调和分析》(1958)、《指数和的估计及其在数论中的应用(中文版,1963)、《高等数学引论》(1963)与《典型群》(1963,与万哲先合著)1955年,华罗庚当选为中国科学院学部委员.

  1966年,发生了“文化大革命”.华罗庚的家被”红卫兵”抄过好几次,手稿散失殆尽,至今没有下落,他也遭到批判斗争,对他来说,这种情况至1967年才有明显的好转.这是由于他受到毛泽东主席与周恩来总理的特别保护,可以安静地呆在家里,甚至可以到工业部门去普及数学方法.

  1958年,华罗庚被任命为中国科学技术大学副校长.他开始从事应用数学的研究工作,特别将数论用于高维数值积分法,他还到工厂和工业部门普及“优选法”(斐波那契(Fibonacci)方法)与“统筹法”(CPMPERT).近20年中,他与助手陈德泉、计雷走遍了20多个省市自治区,向工人宣讲并教会他们如何将这两种方法用于他们自己的工作中去.从而,工厂的产量增加了,产品的质量也提高了.

  1979年开始,中国执行开放政策.华罗庚在他的学生的协助下,完成了专著《从单位圆谈起》(1977)及《数论在近似分析中的应用》(1978,与王元合著).由H.哈贝斯坦(Halberstam)主编的《华罗庚论文选集》也在1983年由施普林格出版计出版.华罗庚在1978年被任命为中国科学院副院长.1980年被任命为应用数学研究所所长.此外,他从1950年至1983年均被选举为中国数学会理事长.

  华罗庚作为访问学者,多次访问欧洲、美国与日本.尽管年迈体弱,他仍坚持数学研究及其应用工作.1985612日,他在日本东京大学作学术报告,当讲完最后一句话时,由于心脏病突然发作而去世.

  自从中国执行开放政策以来,华罗庚得到法国南锡大学(1980)、香港中文大学(1983)与美国依利诺伊大学(1984)的荣誉博士学位.他还被选为美国科学院(1982)、第三世界科学院(1983)与德国巴伐利亚科学院(1985)院士.

  华罗庚积极参加社会政治活动,热爱祖国.解放前,他同情并投身于争取民主与自由的运动.建国后,担任第一至第六届全国人大常委会委员,第六届全国政协副主席,他还是中国民主盟副主席.19796月加入中国共产党.

  华罗庚的主要数学工作如下所述.

  1.数论

  1)三角和估计.命q为一个正整数及f(x)为一个整系数多项式

f(x)=akxk+……+a1x

  此处(ak,…,a1q)=1.考虑完整三角和

  

  f(x)=x2,则S(qx2)就是熟知的高斯和.CF.高斯(Gauss)证明了

 

  关于S(qf(x))的估计是一个有悠久历史的难题.在1940年华罗庚完全解决这个问题之前,仅对一些特殊多项式有些结果.华罗庚用非常优美的方法证明了

 

  此处ε为给定的正数及与“O”有关的常数仅依赖于k与.1938年,华罗庚曾得到式(1),但与“O”有关的常数依赖于f(x的系数ai(1ik)易见除一个可能改进的因子qε之外,估Pk)

  以后,华罗庚又将(1)式推广至任意次数为n的代数数域K

  关于不完整三角和,华罗庚证明了

 

  这个结果对华林问题有重要应用.

  华罗庚改进并简化了维诺格拉多夫关于外尔和估计的方法,他指出维诺格拉多夫方法的核心是下面的中值定理:

  命

f(x)=dkxk++a1x

  及

 

  命

 

  则

 

  此处

  

  假定k122rk

  

  则对于PqPr-1,我们有

 

  此处бk=2k2(2logk+loglogk+3)

  在所有著名的解析数论专著中,几乎都是按照华罗庚的办法来叙述维诺格拉多夫方法的(例如 RC.沃恩(Vauahan)著《哈代-李特尔伍德方法》(The HardyLittlewood methodCambTracts801981))

  关于特征和,华罗庚在1942年证明了估计式

 

  对于模p的所有非主特征均成立.这使得他改进了模p的最小原根估计及佩尔方程最小解估计.

  2)华林问题及其有关问题.1770年,华林猜想对于每个整数k2,皆存在一个仅依赖于k的整数s=s(k),使每一个正整数均可以表为s个非负整数的k次方幂之和.华林猜想直到1900年才被D.希尔伯特(Hilbert)证明.本世纪20年代,哈代与JE.李特尔伍德(Littlewood)创始并发展了堆垒数论中一个非常强有力的新解析方法,即通常所称的“圆法”,由这一方法可以得到华林问题更精致的结果.命G(k)表示最小整数s,使每个充分大的整数N均可以表示为

 

  此处xi(1is)为非负整数.哈代与李特尔伍德证明了G(k)(k-2)2k-1+5;他们实际上证明了更强的结果:当 s(k-2)2 k-1+5时,(3)式的解数rsk(N)有一个渐近表达式

 

  此处δ(N)称为奇异级数,它有一个与N无关的正下界.华罗庚在1938年将哈代与李特尔伍德的结果改进为

G(k)2k+1

  而且他证明了当s2k+1时,rsk(N)的渐近公式即成立.关于这项工作,他用到被后人所称的华氏不等式

 

  值得指出的是对于小的k,使(4)式成立的条件s2k+1直到近年才分别由沃恩与DR.赫斯-布朗(HeathBrown)改进为s2k(k哈代与李特尔伍德关于华林问题的结果给予巨大的改进,他证明了(4)式当s≥[10k2logk(k10)时成立.华罗庚将这个结果改进为s2k2(logk+loglogk+2.5)(k10).基于Л.Г.施尼雷尔曼(Шнирелъман)关于自然数列密度的方法,林尼克于1943年给予希尔伯特定理一个新的“初等”证明.诚如达文波特指出:“这一证明的想法无疑来自哈代-李特尔伍德方法的某些特性,特别是华氏不等式.”

  本世纪30年代,很多数学家研究如何将华林问题中的xk推广为k次多项式.华罗庚用其结果(1)克服了这个问题的主要困难.希尔伯特定理的一个非常广的形式是属于华罗庚的.命i(x)(1is)s个首项系数为正的k次整值多项式,华罗庚在1937年至1940年间证明了当s2k+1(1k10)及当s2k2(logk+log logk+2.5),方程

N=f1(x1)++fs(xs)

  的解数有一个渐近公式.注意在此关于奇异级数的正下界问题并未加以考虑.命f(x)为一个整值多项式及G(f)表示最小的整数s使对所有充分大的整数N,方程

N=f(x1)++f(xs)

  皆可解.命0f表示f的次数.华罗庚在1940年证明了

G(f|0f=k)(k-1)2k+1

G(f|0f=3)8

  与

MaxG(f)2k-1

  此处f过所有k次整值多项式,其中k5

  圆法的要点可以叙述于下:(3)的解数可以表示成积分

  并分别记为m与m.粗略言之,m包含诸分母较小的分数k/q为中心的互不相交的小区间,其余则为m.哈代与李特尔伍德证明了,当s≥2k+1时,渐近公式

 

  成立.华罗庚将这个结果改进为sk+1.这是最佳可能结果,其证明基于他的估计式(2)

  本世纪3040年代,华罗庚系统地研究了所谓华林-哥德巴赫问题,即研究限制诸xi(1is)为素数时,(3)及其推广的可解性问题.例如他证明了当s2k+1(k10)s2k2(logk+log logk+2.5)(k10)时,方程

 

  的解数有一个渐近公式,此处P1表示素数.他亦得到上述诸结果以素数为变数的类似结果.他的结果总结在他的名著《堆垒素数论》之中.

  塔利问题.命N(k)表示最小的整数t,使方程组

 

  有一个非寻常解,即诸xiyi为正整数,但x1,…xi不是y1,…,yi的置换.命M(k)为最小的整数i使(6)可解及

 

  显然,我们有

k+1N(k)M(k)

  华罗庚在1938年证明

 

  这是对EM.赖特(Wright)较早结果M(k)7k2(k-11)·(k+3)216的改进.华罗庚所用的方法是初等与直接的.

  华罗庚还在1952年指出可以用维诺格拉多夫方法来处理塔利问题.他证明了下面的结果:命t0由下表

 

  Rkt(P)表示式(6)适合条件

1xiyiP1it

  的解数,则当tt0时,

 

  此处c(kt)为一个仅依赖于kt的正常数.

  3)对数论的其他贡献.命q(n)为将正整数n分拆成不同整数(或奇整数)之和的分拆个数.华罗庚在1942年利用哈代与拉马努金方法及拉德马赫尔的无穷级法里分割法证明了:



  此处J0(x)0-级贝塞耳函数.

  A(x)表示圆u2+v2x内的格子点(uv)的个数.高斯圆问题为寻找最小的θ使关系式

A(x)=πx+O(xθ+ε)

  对于任意ε>0皆成立,此处与“O”有关的常数依赖于ε.高斯本人证明了θ=121942年华罗庚使蒂奇马什方法更精密,并将他的结果由θ=1546改进为θ=1340.而且在这篇文章中,华罗庚还指出维诺格拉多夫关于这个问题的结果的证明是有错的.

  此处d为一个无平方因子数.华罗庚在1944年证明了,当de250时,则不存在(EA),他并指出250可以降低为160

  1959年,华罗庚与王元写了一篇数值积分的短文,他们证明了若0xy1上连续,则

 

  

  表示斐波那契序列.除常数c还可能改进外,(7)式是最佳可能的.在以后的一系列论文中,他们将自己的方法推广到s-维的情况,其中s

  5)的一组独立单位来构造域的一组基底的联立有理逼近.他们及其他人在这个领域中的贡献,包活2维至18维的数值信息,均包含在他们的专著《数论在近似分析中的应用》(1978)之中。

  1953年至1957年,华罗庚在中国科学院数学研究所组织领导了“哥德巴赫问题”讨论班.哥德巴赫问题是哥德巴赫致L.欧拉(Euler)的信中提出来的,即:(A)每一个≥6的偶数都是两个奇素数之和;(B)每一个≥9的奇数都是三个奇素数之和.显然(B)(A)的推论.1937年,对于充分大的奇数,维诺格拉多夫解决了问题(B)1956年,王元首先证明每个大偶数都是一个不超过3个素数的乘积及一个不超过4个素数的乘积之和,简记为(34),这改进了AA.布赫夕塔布(Бухштаб)的结果(44)1957年王元又将其结果改进为(23)1963年潘承洞证明了(14).最后陈景润证明了(12),这是哥德巴赫问题(A)的最佳记录.

  2.代数与几何

  4)体论.自从WR.哈密顿(Hamilton)发现第一个非交换的可除代数——四元数代数以来,可除代数甚受重视.相比之下,无限维可除代数,即体,却被忽略了.直到1950年左右,华罗庚以极其简单与直接的方法,接连证明了这个领域的几条定理.

  K是一个体。σ是k到它自身的一个一一映射:aaσ。如果σ满足(a+b)σ=aσ+bσ(aba)σ=aσbσaσ1σ=1则称σ为半自同构.熟知的半自同构的例子为同构:(ab)σ=aσbσ与反自同构:(ab)σ=bσaσ.著名的问题为除自同构与反自同构外,是否还存在其他半自同构?华罗庚在1949年解决了这个问题,他证明:

  每一个半自同构或为自同构或为反自同构.

  由此可以推出特征≠2的体上的一维射影几何的基本定理:

  任何将特征≠2的体上的射影直线映射到自身的一一变换,

  如果保持调和关系不变,则必为一个自同构或半自同构诱导的半线性变换.

  过去G.安柯溪雅(Ancochea)I.卡普兰斯基(Kaplansky)都仅能在某些限制之下研究半自同构问题.由于他们所用的方法基于线性代数的构造理论,所以他们都未能完全解决问题.

  1949年,华罗庚给出下面结果的一个直接证明:

  体的每一个真正规子体均包含在它的中心之中.

  这个定理在后来的文献中被称为“嘉当-布饶尔-华氏定理”.在华罗庚与布饶尔的证明出现之前,嘉当用了体的伽罗瓦理论的复杂技术仅能对可除代数证明这一结果.华罗庚的证明只需要一个初等恒等式:若 abba,则

a=(b-1-(a-1)-1b-1(a-1)(a-1b-1a

-(a-1)-1b-1(a-1)-1)

  1950年,华罗庚还证明了“若一个体不是域,则它的乘法群不是亚阿贝尔群”.

  5)群论与矩阵几何学.早在1946年,华罗庚就发表了第一篇关于典型群自同构的论文.在这篇论文里,他确定了实辛群的自同构.1948年,他又确定了特征≠2的任意域上辛群的自同构.他用来确定辛群自同构的方法也可以用来确定其他类型典型群的自同构.鉴于J.迪厄多内(Dieudonn)1951年发表了关于典型群自同构的专著,华罗庚只在迪厄多内的书后写了一篇附录,发表了用他自己的方法解决的迪厄多内遗留下来没有解决的若干问题.华罗庚确定了GL2(K)SL4(K)此处K为特征≠2的域,而f是指数为2的二次型.以后华罗庚又和万哲先确定了SL2(K)PSL2(K)(K为特征≠2的体)SL4(K)PSL4(K)(K为特征=2的体)的自同构.同时,他们还证明了某些线性群是不同构的.华罗庚在他所写的迪厄多内专著的附录中,论述了他的方法与迪厄多内方法的比较,他写道:“迪厄多内方法对n大时颇有效,并可对个别小的n加以应用.恰如他以前曾指出,当n减小时,困难就加大了.迪厄多内方法对于较小的n,变得很笨拙,有时不能解决最小n时的情况.另一方面,笔者的方法从尽可能小的n开始,这常常是最困难的情况.而读者不难用笔者曾用过的方法从本文的特殊结果出发,用归纳法得出一般的结果.进而言之,相比于迪厄多内方法,笔者只用了矩阵计算.”华罗庚与I.赖纳(Reiner)确定了GLn(Z)PGLn(Z)的自同构,这是环上典型群自同构工作的开端.他们还证明了,如果n2,则GLn(Z)由三个元素生成,SLn(Z)由两个元素生成,而SP2n(Z)由四个元素生成.在他们之前,RR.布拉哈拉(Brahara)仅能证明SP2n(Z)的每个元素均可表为某有限矩阵集合中的元素之积.

  1940年,华罗庚与段学复引进p-群秩的概念.假定p-G的阶是pn,若它的元素的最大阶为pn-a,则称G的秩为a.例如他证明了,若G的秩为a,其中p3n2a+1,则(i)G含一个且仅含一个pm阶而秩为a(2α+1mn)的群,(ii)GpaPm阶循环群(amn-a-1)(iii)G中阶≤Pm(α≤mn-α)的元素个数等于Pm+a,其中(ii)(iii)分别改进了HA.米勒(Miller)AA.库拉科夫(Кулаков)的结果.

  矩阵几何学是华罗庚于1945年首先创始的研究领域.它与CL.西格尔(Siegel)关于分式线性变换的工作相关.在矩阵几何中,空间中的点是某类矩阵,例如同样大小的长方矩阵、对称矩阵或斜对称矩阵.在这个空间中,有一个运动群.主要问题之一是如何用尽可能少的几何不变量来刻划运动群.华罗庚发现仅不变量“粘切”即足以刻划空间的运动群.他在1951年证明了长方矩阵仿射几何的基本定理:

  假定1nm,则从体Kn×m矩阵集合到自身的一一映射保持粘切者(M-N的秩为1,则称矩阵MN粘切),必为以下形状:

  Z1=PZoQ+R(8)其中P=P(n)Q=Q(m)为可逆方阵,Rn×m矩阵,而σ为K的一个自同构.当m=n时,则除式(8)之外,还要添加

Z1=PZτQ+R

  其中τ是K的反自同构.

  由这个定理,华罗庚推出了长方矩阵射影几何的基本定理,特征≠2的体上全阵环的若尔当同构,及特征≠23的体上全阵环的李同构.

  华罗庚对矩阵几何的研究跟他对多复变函数论的研究密切相关.这促使他研究矩阵的分类问题.华罗庚在1944年至1946年确定了在酉群下复对称矩阵和斜对称矩阵的分类,一对埃尔米特矩阵在合同下的分类,及在正交群下,埃尔米特矩阵的分类.

  1955年,华罗庚在数学研究所领导了一个代数讨论班,并与万哲先发表了他们合著的书《典型群》,总结了他们关于典型群及其有关问题的成果.讨论班的成员除继续发展由华罗庚开辟的领域外,还在其他方面,特别是代数编码方面做出过贡献.

  3.复分析

  6)典型域.1935年,E.嘉当(Cartan)证明了,在解析映射之下,只有六类不可约、齐性、有界对称域,其中两类是例外域,分别为16维与27维,其余四类称为“典型城”,可以用矩阵将它们表示如下:

  =m×n矩阵Z,满足I(m)-zz*0},

  =n阶对称方阵Z,满足I(m)-zz*0},

  =n阶斜对称方阵Z,满足I(n)-zz0},

  1},

  其中Z的元素为复变数,I(m)表示m阶单位方阵,及Z*表示Z的转置Z'的复共轭矩阵.

  典型域可以看作普通复平面上单位圆与其他区域在高维空间的类似.此外,典型域理论在微分方程及复几何方面也有应用.

  1943年,西格尔发表了他关于辛几何的重要文章,该文用矩阵方法研究了111944年,华罗庚指出,典型域的研究可以归结为矩阵几何的研究.独立于嘉当及西格尔,华罗庚给出四类典型域及其运动群的矩阵表示.华罗庚的文章中关于与西格尔工作有重复的部分,只是简单概述了一下.在该文编者按中写道:“由于美国与中国之间邮件阻滞,在编者同意之下,由华罗庚的朋友段学复与西格尔教授对该文作了一系列微小修改.”华罗庚还在他的文章中感谢H.外尔(Weyl)、唐培经与陈省身分别送给他西格尔、G.吉罗(Giraud)与嘉当的文章.

  1953年,华罗庚用群表示论方法得出四类典型域的完整正交系.粗略地说,这类似于在普通复平面上,找到了完整正交系e(nθ)(n=0,±1,…),由这组正交系,人们易得出单位圆的柯西核.因此借助于典型域的完整正交系,华罗庚得到了四类典型域的柯西核、赛格核、伯格曼核及泊松核等.华罗庚的方法特点为具体与直接,并对复杂计算的掌握.利用典型域的柯西核可以证明只要解析函数值在某个低微流形(特征流形)上给出,函数在典型域中的值就确定了.华罗庚将上述工作与其他结果总结在他的专著《多复变函数论中的典型域的调和分析》之中.该书英文版编者强调这本书对李群表示论、齐性空间理论与多个复变数自守函数理论的重要性.该书的另一重要特点为华罗庚发展的数学技巧,例如一类代数恒等式与矩阵变元函数的积分的计算,均具有独立兴趣.

  利用典型域的泊松核,华罗庚与陆启铿建立了典型域的调和函数论,并解决了对应的拉普拉斯-贝尔特拉米方程的狄利克雷问题.他们发现一些奇异现象:(i)若一个函数适合一个微分方程,则必适合一个微分方程组.(ii)只要函数值在典型域边界的一个低微流形(特征流形)上给出,则狄利克雷问题就解决了.

  华罗庚还发现一组具有与调和算子类似性质的微分算子,国际上称为“华氏算子”.陆启铿研究了典型域的边界性质、几何结构与最大原理,并证明了Cn中有界区域的施瓦兹引理.

  由于一些典型群可以看作典型域的特征流形,华罗庚证明了酉群上的傅里叶级数可以阿贝尔求和,这是典型群上傅里叶分析研究的开端.这项工作由龚昇的研究而得到很大丰富.龚昇研究了酉群上傅里叶级数的阿贝尔求和、切萨罗求和、费耶尔求和及各种球求和.钟家庆将酉群的傅里叶级数的某些结果推广到旋转群.

  1954年,华罗庚用初等方法证明了:有界域的伯格曼度量的黎曼曲率R满足:(i)2R为平方和;(ii)在某些限制下有R-n.这是对富克斯定理的改进.作为黎曼共形映照定理的推广,华罗庚证明了每一个常曲率全纯域均可以解析映照为单位超球.

  由他关于多复变函数论的研究所引起,华罗庚研究了偏微分方程式论的一些问题.他的结果总结在他的著作《从单位圆谈起》(1977)及与林伟、吴兹潜合著的书《二阶两个自变数两个未知函数的常系数线性偏微分方程组》(1979)之中.

  华罗庚是本世纪最富传奇性的数学家之一.将他与另一位自学成才的印度天才数学家SA.拉马努金(Ramanujan)相比较,正如P.贝特曼(Batman)所说,“两人主要都是自学成才的,都得益于在哈代领导之下,在英国从事过一段时间的研究工作.…….他们之间又有截然不同之处.首先,拉马努金并没有全部完成由一个自学天才到一个成熟的、训练有素的数学家的转变,他在某种程度上保留了数学的原始性,甚至保留了一定程度的猜谜性质.然而华罗庚在其早期数学生涯中,就已是居主流地位的数学家了.其次,拉马努金与哈代的接触更直接,更有决定性意义.…….虽然华罗庚在英国工作时得益甚大,但他与哈代在数学方面的接触显然不是这样特别集中的”.华罗庚“成功地从自学数学的天才青年成为造诣高深、有多方面创造的数学大师”.这一切靠的是华罗庚非凡的努力与惊人的毅力.