庞特里亚金

张奠宙

(华东师范大学)

  庞特里亚金,Л.(Понтрягин,Лев Семёнович)190893日生于俄国莫斯科;198853日卒于莫斯科,数学.

  庞特里亚金生于莫斯科的一个低级职员家庭.父亲曾是会计,后来当兵.母亲是一位裁缝.十月革命以后,他在一所普通的十年制中学读书.13岁那年,因一次汽炉的意外爆炸而双目失明.母亲帮助他树立起坚强的人生信念.起初曾想将来从事音乐和历史,但都没有产生强烈的兴趣.到了八、九年级,却被数学迷住了.1925年中学毕业时的唯一志愿,就是报考莫斯科大学数学物理系,由于成绩优秀和教父的帮忙,几乎未经考试就被保送入学,而且有奖学金.

  庞特里亚金凭听觉学习数学.每次听完课后,立刻集中复习并加以熟记.从二年级起,除听必修课之外,还参加П.C亚历山德罗夫(Алексндров)的拓扑学的授课和讨论班.当年末就获得拓扑学的研究成果.1928年,德国女数学家E.诺特(Noether)来访,使庞特里亚金受益很多.1929年大学毕业后,在亚历山德罗夫主持的讨论研究班里又读了两年.他运用同调维数理论,构造了两个二维紧集,其拓扑积维数是三.这给亚历山德罗夫留下极为深刻的印象.当时的苏联尚没有学位制度.到了1934年,庞特里亚金成为苏联首批博士之一.同年他被任命为莫斯科大学数学教授.也是在1934年,苏联科学院从列宁格勒迁来莫斯科,应所长И.М.维诺格拉多夫(Виноградов)的邀请,庞特里亚金于1935年到莫斯科的斯捷克洛夫数学研究所工作,同时兼任莫斯科大学教授.

  庞特里亚金曾在1950年和1960年两次结婚,第二位妻子是A.依格娜切也芙娜(Игначтъевна)医生.

  1939年,庞特里亚金当选为苏联科学院的通讯院士,1958年转为院士.同年他第一次出国访问,参加在爱丁堡举行的国际数学家大会,应邀作大会报告,题目是“最优过程的数学理论”.1970年,在尼斯举行国际数学家大会前夕,需要有一名苏联数学家参加国际数学家联盟(IMU)的执行委员会.苏联数学家全国委员会主席维纳格拉多夫和苏联科学院院长М.B.凯尔迪什(Келдыш)推荐庞特里亚金去参加,他于是代表苏联担任国际数学家联盟(19701974)的副主席.1969年,他去美国斯坦福大学访问.次年,再次在国际数学家大会上作报告,题目有关微分对策。

  庞特里亚金在数学上的最大贡献是拓扑学和最优控制理论.

  1927年到1952年,他在拓扑学方面发表了60多篇论文.早期的一项工作是前已提到的维数论.当时人们猜想:拓扑积的维数是其各个因子的维数之和.庞特里亚金举出反例,运用同调维数论构造出两个二维的紧集,其拓扑积的维数是三.与此相关的是推广JW.亚历山大(Alexander)的拓扑对偶定理,建立起所谓庞特里亚金对偶(1934).它指出,n维球面流形Mn中闭集A的以紧群X为系数的r维同调群Hr(AX),与其补集B=MnA的以离散群Y为系数的(n-r-1)维同调群是对偶的.

  1933年,庞特里亚金继续拓扑学和代数学的交叉课题,并力求得出尽善尽美的结果.他把紧拓扑空间的同调群构作成连续的交换紧拓扑群,并且使这个群是离散交换群的特征标,由此接近了交换拓扑群的特征标理论.他证明了现被称为庞特里亚金对偶定理的下述结果:局部紧可分交换群G及其特征标群C(G)互为对偶,即CC(G).这一结果以及有关连续代数运算对象的系统论述,都收在专著《连续群》之中.此书于1938年出版,次年即被译成英文(1958年出版中译本).庞特里亚金也因此获得1940年的国家奖金.

  维数的同调理论研究的关键,是要找出按集合论定义的紧集维数的同伦等价性.为解决这一问题,必须把从n+k维的球到n维球的一切映射加以同伦分类.1936年的初夏,庞特里亚金解出了 k=12的情形.他发现:当n3时,n+1维球Sn+1n维球Sn映射的同伦类只有两类,而不同于先前H.霍普夫(Hopf)的结果:π3(S)=Z,这是令人惊奇的结论.在解决映射的同伦分类时,庞特里亚金还发明了标架流形法,创立了光滑流形的特征类——庞特里亚金示性类,成为刻画流形的微分结构和复结构的不变量.标架流形法和这一示性类虽未能解决球面到球面的分类问题,反过来却用同伦论方法开辟了微分拓扑的新天地.许多数学家给示性类找到了应用.时至今日,庞特里亚金示性类和惠特尼(Whitney)示性类,特别是陈(省身)示性类等,都在刻画一般向量丛(纤维丛,李群,齐性空间)结构的不变量研究中具有特别重要的意义,可说已成为拓扑、分析、代数、几何的交会点及共同工具.

  1934年,著名的法国数学家E.嘉当(Cartan)访问莫斯科时,提到求紧李群的贝蒂(Betti)数问题.庞特里亚金用摩尔斯理论获得了解决,并在1935年的莫斯科国际拓扑学会议上作了报告.

  庞特里亚金的拓扑学研究成果多半汇集在《拓扑学基础》和《光滑流形及其在同伦论上的应用》两部专著中(都有中译本)

  在战争年代,庞特里亚金疏散到喀山,在那里完成了两件事:研究初等超越函数的零值,以及带不定度规的希尔伯特空间上对称算子的谱分解.带有限维负于空间的希尔伯特空间现被称为庞特里亚金空间.

  在纯数学领域取得了令人羡慕的成就之后,庞特里亚金既有喜悦又有忧虑.他在自传里曾写道:“我所作的一切究竟为了什么?……什么时候可以把维数同调理论用于技术物理学,或一般地用于我们周围物质世界中?”同事们中间的舆论更加深了他的忧虑.1932年的一天,一位素不相识的年轻物理学家AA.安德罗诺夫(Андронов)突然来到庞特里亚金的住所,说要和他谈谈研究应用数学的问题。从此开始了他们间20年的友谊.庞特里亚金在回忆往事时说:“我认为他最突出的一点,就是对于国家所发生的一切具有高度的责任感.与他的结识及对我的影响使我放弃了自己一直从事的抽象问题的研究工作,而致力于数学的应用”由于安德罗诺夫的影响,庞特里亚金在第二次世界大战之前作过微分方程方面的工作,曾隐约地提出后来的“结构稳定”概念.也曾因计算哈密顿系统的动力学体系,钻研过JH.庞加莱(Poincare)HM.摩尔斯(Morse)的有关论著,但没有什么重大成果.研究方向上的真正改变,是1952年之后的事情.这一方面是自己的思想早巳倾向应用数学,另一方面是领导和朋友的建议,其中有数学研究所副所长凯尔迪什的劝告,而他的学生和合作伙伴E.Φ.米申科(Мишинко)的支持与帮助则起了关键的作用.

  1952年秋夫,庞特里亚金和他的学生们开设了振动与控制理论讨论班,开始研究安德罗诺夫的振动理论著作,从而知道了什么是电容、自感、感抗、电子管振荡器等.讨论班上还有一条严格的制度:每次学术报告都必须从讲解某技术问题入手,再用微分方程加以描述.刚开始时这种作法并不为一些老数学家所理解,亚历山德罗夫认为这是对拓扑学的背叛.柯尔莫哥洛夫也对米申科的电子振荡器的研究评价不高.但他们仍然坚持下去,最初的研究工作涉及带小参数的高阶微分方程,庞特里亚金和米申科一起取得了系统的成果,而这一次柯尔莫哥洛夫则给予了高度评价.

  庞特里亚金在应用数学方面的最大贡献是研究微分对策,发展了最优控制理论.特别是1956年提出的“极大性原理”,取得极高的学术声誉.其主要内容是:

  非线性控制系统由方程x(t)=F(tx(t)u(t))描述,其中u(t)是控制向量,t=0t=1x(t)分别有初值x0x1,用u(t)确定的泛函

 

  来表示控制方式的优劣,使Ju(t)]取最小的u(t)为最优控制,相应的x(t)为最优轨线.若该系统的哈密顿函数为H((t)x(t)u),则u(t)x(t)最优控制和最优轨线的必要条件是存在绝对连续函数(t)=(0(t)…,n(t))使得H((t)x(t)u(t))达到最大值,而在终止时间t1,满足0(t1)=0H((t1)x(t1)U(t1))=0

  在极大性原理的基础上,庞特里亚金和他的合作者发展了一系列方法,处理了许多实际问题.更重要的是这一原理有很多推广,对偏微分方程和随机过程理论的发展也有重大价值.

  庞特里亚金和合作者们的专著《最优过程的数学理论》于1961年出版,并很快就有了多国译本,包括中译本.他为莫斯科大学本科生所写的教材《常微分方程》也受到广泛欢迎,1961年由苏联的数学-物理文献出版社出版,并在1975年作为优秀教科书获得国家奖金.

  1968年以后,庞特里亚金对数学出版物的质量感到关切,他组织了一批数学家成立数学著作编辑与出版委员会,推动许多优秀数学书籍问世.他自己在1980年前后写了四本高等数学的普及读物,并拥有大量读者.他对中学数学教育改革也十分关心,时常提出直率的批评.

  庞特里亚金出身社会下层,又双目失明,却传奇般地成了一代数学名家.这里除了他个人的天才和勤奋之外,社会给予他很多很多.他从中学起就有奖学金,又被保送进入莫斯科大学.31岁时,成了苏联科学院通讯院士.1940年和1962年两次获国家奖金.1966年再获学术性很高的罗巴切夫斯基奖.他曾三次被授予列宁勋章,1969年获得社会主义劳动英雄金星奖章.在苏联数学家中,庞特里亚金出国访问的机会也是特别多的.因此,他对苏维埃社会怀有深厚的感情.当然,他也不可避免地为苏联各个时期的政治形势所左右,例如,1936年曾在批判HH.鲁金(Луэин)的大会上作措辞严厉的发言.对他在勃列日涅夫时期的表现,也有批评.