惠特尼

胡作玄

(中国科学院系统科学研究所)

  惠特尼,H(WhitneyHassler)1907323日生于美国纽约;1989510日卒于普林斯顿.数学、数学教育.

  惠特尼的祖父是语言学家,外祖父是著名天文学家S.纽康门(Newcomb18971898年曾任美国数学会主席),父亲是法官.他少时喜欢制作机械玩具,并没有数学上的偏爱.据他自己讲,唯一与数学家生涯有关的是在9岁时思考能被9整除的数的公式,认为与10有关,而且据此推出被11整除的数的公式.小学、中学期间只学一点点数学,19211923年他到瑞士上学,他学一年法文、一年德文之外就学爬山.1924年上耶鲁大学学习物理,其间也没听过数学,所用的微积分是他自修的,学完也就忘了.1928年取得物理学的学士学位后,又继续专攻音乐,1929年取得音乐学士学位.他一生热爱音乐,有高度音乐才华,会弹奏钢琴,演奏小提琴、中提琴、双簧管等乐器,曾担任普林斯顿交响乐团首席小提琴手.还爱好爬山,《全集》中有他14岁时站在险峻的瑞士阿尔卑斯山峰顶端的照片.大学毕业后,由于对四色问题感兴趣,去哈佛大学考GD.伯克霍夫(Birkhoff)的博士研究生.但第一次考试没有通过,这使伯克霍夫极为恼火.不过伯克霍夫还是收留了这位后来决不逊于自己的学生,而且在自己不专攻的领域指导他.不久,惠特尼的论文就一篇接一篇地出来了,在他1932年拿到博士学位时,他写了近10篇论文,完全是图论的.博士论文的题目是“图的着色”(The coloring of graphs),其中定义及计算“色数”.由于他工作出色,19311933年任美国国家研究委员会研究员,1933年在哈佛大学数学系任讲师,1946年升为教授.这时,他的方向也从图论改为拓扑,19359月参加在苏联莫斯科举行的国际拓扑学大会.而这次大会成为拓扑学史的里程碑,用他最后一篇论文的题目来说就是“莫斯科1935:拓扑学移向美国” (Moscow 1935Topology moving toward America).文中写道,会上H.霍普夫(Hopf)成为他最喜欢的拓扑学家,当时所有大人物都去了,拓扑学的面貌正在改变:四个人不约而同地引进上同调,同伦论也正式出现,在向量场问题上的应用导致纤维丛概念的产生,而这种大改变与惠特尼的工作密不可分,也决定了惠特尼后来10年的工作方向.

  第二次世界大战期间,他参与战时研究工作,19431945年在科学研究发展局国防研究委员会应用数学组搞研究.战后,他在美国数学会作1946年度大会讲演,题目是“光滑流形的拓扑学”,19481950年任美国数学会副主席,19441949年任《美国数学杂志》(American Journal of Mathematics)的编辑,19491954年任《数学评论》(Mathematical review)的编辑.1950年他任在哈佛召开的国际数学家大会程序委员会委员,在大会上作“n维空间中的r维积分”的报告.

  1952年他被任命为普林斯顿高级研究院教授,1977年退休.这个时期他曾任美国国家科学基金会数学组第一任主席,19661967年任国家研究委员会支持数学科学研究委员会委员.

  1967年起,他的兴趣完全转向数学教育,特别是中小学教育.他亲自深入课堂,了解学生的思想及感觉,发现数学教学中许多问题.他指出小孩的直觉方式与数学家的方式十分接近.当时的学校教学目标狭窄,语言贫乏,学生碰到问题只会代公式,没有学会思考.教学是灌输莫名其妙的概念以及应付标准化的考试,学生只能被动接受.为此他制订了教师进修计划,写了教师指导教材.他是美国、英国、比利时、巴西等国的数学教学的顾问.19791982年任国际数学教育委员会中心主席.

  由于他的非凡贡献,他获得很多荣誉.1945年他被选为美国国家科学院院士,1976年被授予美国国家科学奖章,1982年获沃尔夫(Wolf)奖,1985年以其一生成就获美国数学会斯蒂尔(Steele)奖.

  惠特尼一生发表近80篇论文,三种专著,即《几何积分论》(Geometric integration theory1957)、《复解析簇》(Complexanalytic varieties1972)和《数学活动》(Math activities1974).他是一系列新概念、新理论的开创者,其中最主要的是拟阵、上同调、纤维丛、示性类、分类空间、分层等.

  1.图论

  惠特尼一生对四色问题感兴趣,他最早和最后的数学论文都是关于四色问题的.他给出四色问题的等价命题并研究可约性问题.从四色问题出发他研究一般图论,特别是得出两图同胚的条件:如G G'是两连通图,均不包含三个形如 abacad的弧.若存在任意具有公共顶点的两弧到另一图的具有公共顶点的两弧之间的一一对应,则两图同胚.他定义图的连通度,并给出n重连通的充分必要条件(所谓n重连通是指至少n+1个顶点的图不可能因去掉n-1个或更少的顶点以及连接它们的弧而使所得的图不连通.如果图Gn重连通但不n+1重连通,则称连通度为n).他还定义图G的对偶G',证明图G可嵌入平面的充分必要条件是G具有对偶图G',从而给著名的K.库拉托夫斯基(Kuratowski)不可嵌入平面图的定理一个直接的组合证明.

  他的博士论文是关于图的着色问题,其中证明M(λ)的公式并进行计算,这里M(λ)是用λ种颜色给一图不同着色方法数,他引进一组数mij,它们不仅可用来计算M(λ),还可定义图G的拓扑不变量;

 

  其中R为图G的秩,NG的零度.他利用这些不变量研究图的分类问题.

  惠特尼在组合论方面的最大成就是他引进拟阵(matroid)理论,这是一种抽象的线性相关性理论,它不仅包含图论为其特例,而且还包括网络理论、综合几何以及横截(transversal)理论等.他的出发点很简单,考虑矩阵M的列C1C2,…,Cn,这些列的子集或者线性独立或者线性相关,从而所有子集可划分为两类,这些类并非任意,它必须满足下面两个条件:

  (1)一个独立集的任何子集也是独立的;

  (2)如果NpNp+1分别是p个列及p+1个列的独立集,则Np加上Np+1中的某个列构成一个独立的p+1集.

  他把满足这两个条件的系统称为拟阵,并把许多图的性质推广到拟阵上.

  2.可微映射和奇点理论

  (1)可微函数的解析延拓 惠特尼对拓扑学的主要贡献是建立微分拓扑学,为此,必须将拓扑学考虑的连续映射推广到可微情形.惠特尼在他早期工作中(19321942)就为此奠定基础.

  1925年苏联数学家П.C.乌雷松(Улысон)证明,如An维欧氏空间E中的闭集(有界或无界)f(x)A中定义的连续函数,则f可延拓成为整个E上的连续函数F.惠特尼在1932年证明,存在F不仅连续,而且在EA上可微,甚至解析;如果f(x)A中属于Cm,则在AFf相等,且F的到m阶的各阶导数与f的各阶导数对应相等.其后他又考虑A为任意子集合的情形.此时在包含A的开集上可微阶降1.他还研究泰勒展开的余项的可微性问题,这些对研究奇点理论很重要.

  (2)奇点理论 奇点理论是惠特尼最重要的创造之一,它来源于微分嵌入及浸入问题,奇点是临界点的推广.1942年他首先

  研究n维欧几里得空间EnE2n-1的微分映射f的奇点,发现使f微小变化,可得f*,它的奇点是弧立奇点,并可化为标准型:

 

yi=xi(i=2,…,n)

ym+i-1=xixi(i=2,…,n)

  1955年,他首先对于平面E2E的奇点类型进行分类;结果只有两类,一类是折点(fold),其标准型为

 

  另一类是尖点(Cusp),其标准型为

 

  通过这篇论文,开创了奇点理论.1956年他又对EnEm的微分映射奇点的一些情形进行分类并得出标准型,其中包括nm=23以及(nm)=(44)(55)(54)(n2n-2)等情形.对于其他的EnEm,其中n=34m=4,…,2n-3,在当时所知甚少.这个基本的奇点分类问题连同其他问题形成了奇点理论的热门.同年R.托姆(Thorm)运用自己的横截理论以及普遍开折理论首先取得突破,这项研究成为后来他的突变理论的基础.其后19681971J.麦泽(Mather)建立稳定性理论及决定性理论,1967年起以苏联数学家B.И.阿诺尔德(Арнолъв)为首的苏联学派在理论及应用方面取得辉煌的成就.

  1948年他还发表了“论可微函数的理想”(On ideals of differentiable functions),这开辟了奇点理论另一个新方向.后来B.马格朗日(Malgrange)等对这方面有很大突破,包括证明“预备定理”.

  (3)分层理论 分层理论是惠特尼最后创造的理论,从某种意义上说,也是奇点理论的自然延续.通常研究的欧氏空间及流形均有很好的齐性结构(局部具有相同的结构),但这点即使对代数簇也不满足,特别是由解析几何延续下来的实代数簇一般存在奇点.从1957年到1965年惠特尼研究实代数簇的拓扑学,并讨论把簇分解为流形,1957年引进惠特尼层化的概念,并且对代数簇及解析簇进行层化分解,这概念后来被托姆发展成分层集理论,在奇点的局部及大范围研究中起重要作用.1965S.武雅谢维茨(ojasiewica)证明任何半解析集均有惠特尼分层.1965年惠特尼对解析簇定义了切向量、切平面族及切锥的概念,并考虑剖分时切集的协调问题.

  3.微分流形的拓扑学

  虽然庞加莱甚至黎曼已研究微分流形的拓扑学,但是由于工具不足,真正创立微分流形的拓扑学以及微分拓扑学的是惠特尼,他在1936年的论文“微分流形”(Differentiable manifolds)中,奠定了微分流形理论基础.他给出微分流形的内蕴定义,定义其上的Cr结构(1r≤∞),他证明所有Cr流形的Cr结构都包含C坐标系,且其C结构唯一确定.这个C结构称为该流形的可微结构或微分结构或光滑结构,相应的流形称为可徽流形或微分流形或光滑流形,微分流形与拓扑流形有本质的差别,即一个拓扑流形上可以不容许任何微分结构也可以容许多个微分结构,但是任何微分结构部容许实解析结构,而且还容许黎曼度量,这些也是惠特尼证明的.在这篇论文中,他证明了一些最基本的定理,特别是嵌入及浸入定理:任何n维微分流形均可微分嵌入在R2n+1(2n+1维欧氏空间)中,均可微分浸入在R2n中.1944年他又改进为n维微分流形可嵌入于R2n中,可浸入于R2n-1中.对于某些流形,这些结果已臻至善.这个工作开拓了微分流形的一个重要领域,其后,吴文俊等许多拓扑学家做出了贡献.

  4.纤维丛及示性类

  惠特尼在1935年首次定义真正的“纤维空间”,当时他称为“球空间”,1940年他改称为“球丛”,在1937年及1941年他对此作两个报告,包括许多根本的结果,他还打算对此写一本书,始终没有完成.他的兴趣一直集中于“示性类”(Characteristic class)上.他于1936年和瑞士数学家E.施蒂费尔(Stiefel)1935年独立地定义这种示性类,后来称为施蒂费尔-惠特尼示性类.他的目的是用示性类来研究微分流形的拓扑学.对此,纤维丛只是一个工具,所以他的定义并非每一细节都讲得很清楚,但是他的定义是很一般的.19401950年间,纤维丛成为研究许多拓扑问题(特别是同伦、同调及微分几何问题)的主要工具.19491950年度的嘉当讨论班以纤维丛为专题进行系统讨论,1951NE.斯廷洛德(Steenrod)的专著《纤维丛的拓扑学》(Topology of fiber bundles)的出版,标志着纤维丛理论的成熟,其中惠特尼做出突出贡献.

  (1)分类问题 从一开始,惠特尼就主要研究纤维丛的分类问题,1937年他对球丛得出分类空间,即格拉斯曼流形Gnr,并断言底空间为B、秩为r的球丛同构类为[BGnr],即BGn,r映射的同伦类(nr),他给出证明概要,1943年斯廷洛德完成了证明,后称惠特尼-斯廷洛德定理.

  惠特尼还知道以B为底空间的球丛的丛空间只依赖于B的同伦型.这事实于1939年为J.费尔德波(Feldbau)所证明,另一方面,惠特尼早在1935年,对纤维丛ξ及连续映射gB'→B构造新纤维丛g *(ξ)并称为g的拉回(Pullback),在研究纤维丛的分类中至关重要.1959年在和A.道尔德(Dold)合作的论文(文献中),对4维复形上的定向球丛进行分类.

  (2)示性类 施蒂费尔只考虑微分流形的切丛的示性类,而惠特尼考虑的要广得多,他考虑任意球丛(EBP)的底空间B也可以是任意局部有限的单纯复合形.他把示性类定义为施蒂费尔流形Snm的整系数同调类.他指出,Snm的同调群

 

  1937年,他改用上同调定义未性类.1940年他指出,对于连续映射

gB0B

  如果E=g*(E)E的拉回,则

Wr(E)=g*(Wr(E))

  同时他给出惠特尼的和公式:定义同一底空间上两球丛E′,E″的惠

 

  其中∪表上积,他指出当r4,证明“极难”,1941年他只给出EE′都是线丛的证明.公开发表的第一个证明是吴文俊在1948年给出的.他还用向量丛取代球丛,同年陈省身也发表另一个证明.

  惠特尼还给出示性类的形式幂级数以及偶示性类的概念.至此,施蒂费尔-惠特尼示性类的理论基础正式建立.其后,J.米尔诺(Milnor)以惠特尼提出的四个定理为公理开展示性类理论,而且其他的示性类特别是Л.C.庞特里亚金(Понтрягин)示性类及陈省身示性类也是依据施蒂费尔-惠特尼示性类的模式定义及研究的.

  (3)示性类的应用 示性类在拓扑学及几何学巾起着极为重要的作用,惠特尼本人主要应用示性类来研究浸入问题.例如,他证明8维实射影空间P8(R)不能浸入到R14中,但能浸入在R15中,他的理论后来为吴文俊等所发展.

  5.代数拓扑学

  1935年是代数拓扑学的转折点,其主要标志是上同调理论与同伦理论的建立.在庞加莱引入同调概念40年后,四位数学家几乎同时独立地引入上同调概念,他们是JW.亚历山大(Alexander)、惠特尼、E.切赫(ech)AH.柯尔莫哥洛夫(Колмогоров).当其他三位在1935年莫斯科会议宣布结果时,惠特尼的结果已经发表,上同调类由于有上积,从而有环结构,比同调包含更多的拓扑信息.

  同伦论中,1937年惠特尼用上同调来表述霍普夫-胡列维茨(Hurewicz)判据,如果Xn维局部有限胞腔复形,Yn(n-1)连通空间,则fgXY同伦当且仅当

Hn(YZ)Hn(XZ)

  由此推出

Xx0Yy0]→Hn(X;πn(Y))

  是一一对应.对于不同维的映射,这些条件不一定成立,惠特尼在1936年给出过2维复形到2维或3维射影空间的映射同伦的代数条件,但未发表.1941年,HE.罗宾斯(Robbins)推广到2维复形到任何空间的映射的同伦分类,后来P.奥兰姆(Olum)又大规模地予以简化及推广.对3维复形,庞特里亚金在1941年考虑它到S2的映射同伦分类,其中首先应用新出现的上积.其实惠特尼早在1936年已得出相应结果.1948年,他研究单连通空间R的第二及第三同伦群的关系,并据此给出3维复形kR中两个连续映射同伦的充分必要条件以及映射扩张的阻碍类.还应该指出,1938年惠特尼引进阿贝尔群的张量积概念,这对代数拓扑学及同调代数是必不可少的工具.

  6.几何积分论

  19461957年间,惠特尼建立几何积分论.它是更一般的积分理论,例如n维空间中的r维积分.借此,他给上链、上闭链等一个解析的解释,例如几何上链是处于“一般位置”的奇异链上的函数.这样,他把 E.嘉当(Cartan) G.德·拉姆(de Rham)的外微分形式理论中的可微条件换成李普希茨(Lipschitz)条件得出的积分理论等价于代数上同调理论,对于更一般的李普希茨空间也成立,它包括多面体及绝对邻域收缩核为其特例,特别是把斯托克斯(Stokes)定理推广到李普希茨空间上,他的理论总结在《几何积分论》(1957)一书中.