韦伊

胡作玄

(中国科学院系统科学研究所)

  韦伊,A(Weil,Andr)190656日生于法国巴黎.数学、数学史.

  韦伊出身于亚尔萨斯地区的犹太裔家庭,父亲伯纳德·韦伊(Bernard Weil)是医生,母亲塞尔马(Selma)出身于有高度文化教养的家庭.他们有一子一女;韦伊和他的妹妹西蒙尼(Simone)亲情甚笃.母亲负责他们的教育.韦伊5岁就已学会阅读,在中学还学过拉丁语、希腊语和梵语.中学最后一年,在J.阿达玛(Hadamard)的建议下,读若尔当(Jordan)的名著《分析教程》(Cours danalyse)15岁上一年预科之后,韦伊考上著名的高等师范学校,这是个培养数学家的摇篮.在校三年间,他听过许多大师如E.皮卡(Picard)H.勒贝格(Lebesgue)等的课,参加过阿达玛的讨论班,除此之外,他完全沉溺在图书馆中,钻研经典著作,例如GFB.黎曼(Riemann)的关于阿贝尔函数论的著名论文,他表示“不太难——每个字都充满意义.”他不仅攻读数学,博览群书,还跟J.布洛赫(Bloch)学梵文.S.列维(Lvi)劝他读印度教经典《摩阿婆罗多》中的《福者之歌》(Bhagavad Gifa).由此,他深为印度文化所打动.

  19岁大学毕业后,韦伊到意大利游学.在这里他结识意大利代数几何学家F.恩里克斯(Enriques)F.塞梵瑞(Severi),以及来此访问的S.莱夫谢茨(Lefschetz)O.扎里斯基(Zari-ski).他们都是20世纪前半期代数几何学代表人物,对他们工作的熟悉及掌握对韦伊后来的工作至关重要.但他的方向更偏重数论,他曾研读Pde费马(Fermat)等人的经典著作,对丢番图方程最感兴趣.这时他知道LS.莫德尔(Mordell)的工作以及莫德尔猜想,并成了他第一个深入思考的问题.韦伊在罗马还结识泛函分析的开创者V.沃尔泰拉(Volterra)一家,对于意大利的泛函分析也深有心得.作为一位文化人,他花费大量时间去熟悉古典及现代的意大利艺术及音乐,对此,他的艺术史的修养已经早有准备.

  这时洛克菲勒基金会开始一项国际资助计划,在沃尔泰拉的帮助下,他得到资助并计划去德国.他选择去格丁根访问R.库朗(Courant),因为库朗是线性泛函分析的专家之一.他从巴黎出发绕道比利时、荷兰,于192611月冬季学期开始时赶到格丁根.他从库朗及其学生那里学到不多,听过希尔伯特讨论班但断断续续,而对当时方兴未艾的量子力学可以说是无动于衷.只是从E.诺特(Noether)那里掌握了“近世代数”,特别是多项式理想理论,这对他后来奠定代数几何学基础是至关重要的.

  圣诞节时,他到住在法兰克福的姨家过节,顺便结识法兰克福大学的数学家,特别是M.德恩(Dehn)CL.西格尔(Siegel).他们对数学史广泛而深刻的知识给韦伊深刻的印象,他说:“德恩作为一位人本主义数学家把数学看成人类精神史的一章,不倦地研究数学史.”实际上,这也是韦伊自己的写照.他们对于“数学处于在无穷无尽的论文潮中淹死的危险”同样表示耽心.1927年,他到柏林大学结识H.霍普夫(Hopf),并学习拓扑学,同时热切地听著名古典学家V.威拉莫维茨(Wilamowitz)的演讲.其间,他到瑞典斯德哥尔摩拜访年迈的GM.米塔格-莱夫勒(Mittag-Leffler),对此他写了一篇生动的回忆录.回到格丁根后,他继续以前的工作,试图证明莫德尔猜想,但没有成功,他只是证明对亏格≥2的代数曲线的有限基定理.他把这个结果告诉阿达玛征求意见,阿达玛认为他不该发表这种“半个结果”.但他最后还是把这个结果作为博士论文,请皮卡、勒贝格及R.加尼埃(Garnier)任论文审查委员会委员,这样他22岁就获得博士学位.实际上在此之前,他已发表四篇小论文.

  1929年服一年兵役之后,他非常高兴地接受印度阿里加尔(Aligarh)穆斯林大学数学教授的任命.19301932年他在印度生活了两年多.他周游印度,见过甘地,十分欣赏他的非暴力的理想.同时他越发对梵语诗歌感到兴趣.

  19325月韦伊回到巴黎后,曾去英国会见莫德尔.夏天又去苏黎世参加国际数学家大会,他认为是他所有参加过的大会中最好的.回国前又去汉堡和柏林,12月他在马赛大学当了不到一年讲师,终于在193311月到斯特拉斯堡大学任教.除了1937年在美国呆一学期外,他一直在此任教.先是讲师,后任教授.这是他最快乐、最有创造力的岁月.他和几位高等师范学校的毕业生保持经常联系,互相切磋,他最好的朋友是H.嘉当(Cartan)J.德尔萨特(Delsarte)C.薛华荔(Chevalley),并且从19331934年度举行讨论班,每年不同主题,先是群及代数,后是希尔伯特空间及E.嘉当的工作.1934年底,他和H.嘉当在考虑斯托克斯公式的教学问题,引起朋友们的聚会,后来发展成为定期聚会,这就是其后对数学有巨大影响的布尔巴基学派的开始.他参加了第二次世界大战前该学派的四次大会.

  19381939年欧洲局势恶化,法国也开始备战动员.他开始考虑离开法国,1939年夏他逃到芬兰,11月底苏联轰炸赫尔辛基,他被当成苏联间谍被捕,几乎被处决,由于芬兰数学家的援助而得免,于12月初去瑞典.法国使馆不让他在瑞典停留,让他经由卑尔根然后取道伦敦经南安普敦驶往勒阿弗尔,1940年初到法国后被关入卢昂监狱.在欧洲战火中,他却在监狱里安心进行研究,并在代数曲线的对应方面取得了突破.5月他因逃避服兵役被军事法庭判处5年徒刑,随着德国的军队推进,他逃到英国,经历了德国空军的狂轰滥炸.后回到法国,1941年初启程赴美,53日到达美国.洛克菲勒基金会为他提供微薄的资助.19411942年在哈佛伏德学院任教一年后,19421944年在伯利恒一所工科院校讲初等数学.19451947年他接受巴西圣保罗大学哲学系之聘,任教授.1947M.斯通(Stone)主持芝加哥大学数学系,延聘许多大数学家,其中包括陈省身及韦伊,才使得这位已过不惑之年的第一流数学家的工作及生活开始安定下来.

  第二次世界大战结束之后,他经常返回欧洲,特别是巴黎,参加布尔巴基的活动.他仍然经常旅行,1955年到日本,带动日本的年轻一代数学家向代数数论及代数几何进军.他再次去过印度,在塔塔(Tata)高等研究院讲课.只是到1979年他才有机会到中国访问.

  他在芝加哥大学任教11年后,1958年被聘为普林斯顿高级研究院教授.1976年退休.在普林斯顿,他仍然讲课,并同大学联合举办讨论班,主要题目是当前文献(在芝加哥大学举办)1970年以后,他的主要研究方向是数学史,其中数论史著作的出版为重要成果.

  韦伊的数学成就使他在数学界享有盛誉,早在50年代,P.哈尔莫斯(Halmos)称他是“当今最伟大的数学家”.但是,他只有到晚年才得到应得的荣誉,1982年他被选为法国科学院院士,他还是美国国家科学院等机构的国外院士.1979年他分享第二届沃尔夫奖.

  韦伊发表的数学论文约百篇,数学史论文有2030篇,专著10余种.

  1.数论

  (1)丢番图几何 数论中最大一类问题是解丢番图方程,而从几何观点看,则是求曲线、曲面或一般代数簇上整点(坐标为整数的点)及有理点问题.1922年莫德尔证明,椭圆曲线上有理点构成阿贝尔群,且该群是有限生成的,即有理点集有有限基.1926年韦伊在其博士论文中,将结果推广到所有亏格≥2的代数曲线上.韦伊的贡献还在于,不仅研究有理数域上的代数曲线,而且对一般代数数域证明同样结果.1929年韦伊用椭圆函数给莫德尔定理一个简化证明.其后他进一步向莫德尔猜想进军,取得若干成果.该猜想最终于1983年为G.法尔廷斯(Faltings)完全证明.为此,法尔廷斯荣获1986年度菲尔兹(Fields)奖.

  (2)有限域上的丢番图几何 当基域Fq为有限(q=pd)时,存在相当的丢番图问题,韦伊是这领域的集大成者,他的猜想直接推动整个领域的发展.这个领域开始于1921E.阿廷(Artin)的博士论文,其中对有限域上代数曲线Г引入ζ函数

 

  a遍取相应函数域K中的整除子,N(a)a的范数,N(a)=qffa的次数.令q-s=u,ζ函数可写成Z(u)

 

  其中N表示在Fq中的解数.

  1931年,FK.施密特(Schmidt)证明

Z(u)=P2g(u)(1-u)(1-qu)

  其中P2g2g次多项式,即Z(u)u的有理函数,他还发现由黎曼-洛赫(Roch)定理可推出Z(u)的函数方程

 

  1933H.哈塞(Hasse)猜想,如Z(u)的黎曼猜想成立,即

 

  1934年哈塞对椭圆曲线(g=1)证明黎曼猜想与上述结果.1940年韦伊对任何亏格g2证明黎曼猜想及解数估计.1948年他在《论代数曲线及其导出的簇》(sur les courbes algebriques et lesvarits quis'en dduisent)一书中全面阐述自己的理论.该理论不仅要求发展代数曲线的对应理论,而且得出一系列最佳结果,如HD.克鲁斯特曼(Kloostermann)和的估计

 

  1949年,韦伊把上述理论推广到一般代数簇,定义代数簇的同余ζ函数Z(uv),提出三个猜想:

  Z(uv)u的有理函数.

  Z(uv)满足函数方程.

  ③关于Z(uv)的黎曼猜想.

  

  以及阿贝尔簇证明上述猜想,并发展一系列工具,特别是莱夫谢茨不动点、韦伊上同调等理论,对猜想的最终解决至关重要.1973年,P.德林(Deligne)最终完成韦伊猜想的证明,并由此导出一系列重要结果.因此,德林荣获1978年度菲尔兹奖.

  在方法上,韦伊引进韦伊上同调,这种上同调使莱夫谢茨不动点公式成立.他对这种上同调进行系统研究,这是一种由K上代数簇到有限维分次反交换K代数的逆变函子,适合一系列条件.利用韦伊上同调,可由莱夫谢茨公式证明ζ函数及L函数的有理性,而且其余猜想均可由上同调来表述.韦伊上同调不仅包括一般上同调,也包括l-进上同调.

  (3)代数数论 韦伊在代数数论方面的工作集中表现在“论类域论”(Sur la thorie du corps/de classes)一文中.文中对任意局部域或整体域有限伽罗瓦扩张Kk从定义一个拓扑群GKk,它反映了扩张Kk的深刻的性质,他证明GKk的存在性及唯一性,并由此得出类域论的基本定理.因此,GKk被称为韦伊群,它有一系列优点,它不仅包括代数数域,还包括有限域上单变量代数函数域,这两种整体域在韦伊的《基础数论》(Basicnumber theory1967)中称为A域.此外还包括局部域,从而对局部域及整体域作出统一处理.另外还由阿贝尔扩张推广到一般伽罗瓦扩张.韦伊对GKk还引进相应的L函数,它是阿廷L函数及E.海克(Hecke)的有量特征标的L函数的推广.不仅如此,韦伊的工作直接为类域论的上同调表达铺平道路.中山正在阅读韦伊上文手稿后,同G.霍赫希尔德(Hochschild)一起于1952年发表“类域论中的上同调”(Cohomology in class ficldtheory),为类域论的推广奠定基础.

  (4)阿代尔代数群与二次型理论 1936年到1940年,薛华荔为了把类域论算术化,引入了伊代尔的概念,用它可完全地表述类域论.1938年,韦伊独立引入阿代尔的概念,但名称20年后才用,而对任何域k,可定义其阿代尔环Ak.阿代尔环的所有乘法可逆元构成该域的伊代尔群Ck.伊代尔群是局部紧阿贝尔群,因此其上有哈尔(Haar)测度及调和分析,由此可以得出类域论的表述,1960年,韦伊发表“阿代尔与代数群”(Adele and algebraic groups),把以前的研究系统化.特别对整体域上的二次型理论,推广了CL.西格尔(Siegel)等人的理论.韦伊引入所谓玉河(恒夫)测度及玉河数.玉河测度即整体域上连通线性为玉河数有限这个定理.韦伊证明这个结果,并对各种特殊群计算玉河数.他猜想,所有连通单代数群,玉河数=1.韦伊对多数单群证明这个猜想.对代数数域上代数群,考特威茨(Kottwitz)1988年证明韦伊猜想.

  (5)椭圆曲线复数乘法及其推广 椭圆曲线上的数论是当前一大热门,其中最重要的是韦伊猜想:所有椭圆曲线均为模曲线,即可用模函数参数化的曲线,也称韦伊曲线.这猜想的威力可由它蕴涵费马大定理看出.椭圆曲线另一重要猜想是И.P.沙法列维奇(Щафаревич)群Щ有限.韦伊在这方面有两个贡献,一是把玉河数与沙法列维奇群Щ联系在一起,二是把沙法列维奇群推广到阿贝尔簇上.韦伊证明阿贝尔簇A上主齐性空间的集合有群的结构,该群称为韦伊-沙特莱(Chtelet)群,记作WC(Ak),这是韦伊在1955年引入的.他还对各种域定出WC(Ak),并且通过WC(Ak)定义阿贝尔簇的沙法列维奇群,当阿贝尔簇为1维时,即是椭圆曲线.1988年已证明对有理数域的韦伊曲线,沙法列维奇猜想成立.另外,韦伊还建立了韦伊高度理论.

  椭圆曲线的复数乘法理论首先由海克1911年推广到二元模函数情形,但一直未受到重视,一直到1955年韦伊在日本京都会议上才首先推广到阿贝尔簇的情形,同时日本数学家志村五郎及谷山丰,也独立作了相应推广,并应用于数论.对于CM(即全实域的复二次扩域)可用CM(复数乘法)型的阿贝尔簇造出其阿贝尔扩张.这部分地解决了希尔伯特第12问题.更进一步推广是志村五郎作出的(引入所谓志村簇)

  (6)海克理论的发展 韦伊较后期工作主要是发展海克的理论.1936年海克在具有函数方程的狄利克雷级数与模函数之间建立了一 一对应.1967年起,韦伊首先大大发展了海克理论,使任何模群的同余子群的模形式都对应狄利克雷级数,反过来对于任何满足函数方程的狄利克雷级数均可作出自守函数,该自守函数可以通过梅林(Mellin)变换由狄利克雷级数得出.

  2.代数几何学

  韦伊是现代抽象代数几何的奠基者.

  (1)阿贝尔簇理论 阿贝尔簇理论是阿贝尔函数论的推广及抽象.韦伊的数论工作都是与阿贝尔簇相关.1948年韦伊在《阿贝尔簇和代数曲线》(Varit abliennes et courbes algebriques)中正式提出阿贝尔簇的理论.他的贡献一是把定义域从复数域C推广到任意代数闭域k,二是把原来的解析理论发展为代数理论.对阿贝尔簇他作了奠基性工作,证明一系列基本定理并应用于数论.1952年构造皮卡簇,1954年证明抽象阿贝尔簇的射影嵌入定理,其中证明重要定理:设X是阿贝尔簇A上正除子,则存在正整数n使nX的类为丰富的充分必要条件是X非退化.1955年引进极化及主极化的概念,它们是区分雅可比簇与一般阿贝尔簇的关键.

  (2)抽象代数几何 韦伊完全从新的观点定义代数簇.过去,代数簇是实数或复数域上代数方程组的零点集.韦伊一方面推广到任意域,另一方面,用几何的方法内蕴地定义代数簇,而不依赖外围的射影空间.他定义完全簇的概念,证明古典复射影空间中的代数簇均是完全的.他认识到查瑞斯基拓扑在定义抽象簇中的重要作用.为了在数论上的应用,他还考虑不可分扩张的情形.他的《代数几何学基础》(Foundations of algebraic geometry1946;第二版1962)完全避开了古典分析的语言及方法.

  韦伊的抽象代数几何建立了严格的“交截重数”理论及“循环理论”,为计数几何奠定基础.

  (3)经典代数几何及代数函数论 韦伊用近代方法对于代数几何及代数函数论的基本定理进行证明,特别是θ函数的基本定理及托莱里(Torelli)定理,他还用代数方法定义函数域上的微分.

  3.李群及其不连续子群

  李群的不连续子群理论可追溯到JL.拉格朗日(Lagrange)CF.高斯(Gauss),到F.克莱因(Klein)的模函数论、H.庞加莱(Poincar)的自守函数论到达高潮.其后主要由西格尔及H.外尔(Weyl)的工作向高维推广.韦伊在1958年离开芝加哥大学之前做最后讲演,题为“典型群的不连续子群”(Discontinuous subgroups of classical groups),提出统一构造典型群的新方法,即通过具有对合б的有理数域上半单李代数A扩张成实数域上代数AR,即可得出AR中所有与б交换的自同构群,其连通分量即典型群GG作为矩阵群,其矩阵元为整数的构成离散子群GZ.在AR引入另一正对合,可得出AR中正对称元素集P(AR),它是正定二次型集的推广.他引入两不连续群公度的概念,对典型群造出“西格尔域”,对于西格尔定理进行推广.

  李群的离散子群理论最重要的进展是1960A.塞尔伯格(Selberg)的结果.他证明,当n2时,SL(nR)的离散余紧群Г[SL(nR)/Г为紧],没有非平凡的变形[即所有变形均为SL(nR)的内自同构].几乎同时,另外两人对于其他情形证明刚性定理.韦伊的贡献在于他大约同时把刚性定理推广到所有半单李群,只要它不含3维单李群的因子.韦伊把刚性归结为上同调群H(Г,g)=0,其中gG的李代数,看成是在伴随表示上的Г模.

  4.拓扑学与拓扑群理论

  1937年,韦伊在《论一致性结构的空间及一般拓扑学》(Sur les espaces structure uniforme et sur la topologie gnrale)中引入一致性结构与一致性空间,它们现在已成为经典概念.在此之前,他证明紧空间具有唯一一致性结构,从而可以在有测度群上定义局部紧拓扑.这样,他通过一致性、完备化、完备空间,摆脱了过去度量空间的作用,从而给一般拓扑学建立新的基础.特别对拓扑群,他引进拓扑群上的积分理论,对他后来一系列工作都有影响.1936年底,韦伊完成《拓扑群的积分及其应用》(文献)一书,但直到1940年才出版.由于群及齐性空间上不变积分的建立,得以推广经典的傅里叶分析成为群上的调和分析.

  1945年以后,韦伊把当时新生的上同调、纤维丛、绯索等概念引入代数几何及微分拓扑,特别是证明德·拉姆(de Rham)定理.

  5.微分几何学及复分析

  韦伊在1941年在哈佛福德学院与同事C.阿兰道菲尔(Allendoerfer)合作,把高斯-邦内(Bonnet)公式推广到一般黎曼多面体上.1940年阿兰道菲尔和 W.芬切尔(Fenchel)已把上述公式推广到n维黎曼流形上,不过要求该流形嵌入在N维欧氏空间中,韦伊等去掉了这一要求,并推广到具有边界的多面体上.不过证明用到外尔的管状方法,而这依赖于胞腔的嵌入.1943年陈省身到美国后,给出一个内蕴的证明.

  韦伊在1926年发表的第一篇论文中,证明非正曲率连通的周长为L的有边曲面面积S恒满足

SL24π,

  这对多连通曲面一般不成立.

  韦伊在微分几何方面的另一项贡献是完全纤维丛及其上联络理论特别是引入陈(省身)-韦伊同态.韦伊在1949年一个未发表的手稿中讨论了用任意李群为结构群的主丛的一般情形,它通过曲率形式把示性类与伴随群作用下不变多项式等同起来,得出的是陈-韦伊示性类,它在指标定理的热方程证明及叶状结构理论中有重要应用.

  韦伊在复几何中一大贡献是E.凯勒(Khler)流形理论,总结在1958年出版的《凯勒流形研究引论》(Introduction l'tudedes varits Khleriennes)一书.第二次世界大战后,复流形理论出现,韦伊把德·拉姆理论及浩治(Hodge)调和积分理论移到复流形上.凯勒流形由于同代数簇理论及微分几何的联系在后来的数学中至关重要.

  韦伊在早期工作中发展了多复变函数论.早在1932年,他把柯西积分公式推广到某种有界域上,其后这种域被称为韦伊域.

  6.数学史

  韦伊在数学史研究方面是广博而深刻的,他的语文能力和对原始文献的熟悉以及深邃的数学眼光使他无可争议地成为第一流的数学史家.他是布尔巴基《数学原理》(Elemente de mathematiqe)大部分历史注记的执笔者,而在数论史领域更是绝对权威.《数论,历史的论述》(Number theoryAn approach throush his-fory1984)着重讨论Pde费马(Fermat)L.欧拉(Euler)JL.拉格朗日(Lagrange)AM.勒让德(Legendre)四位数学家在数论方面的贡献,是1718世纪数论史的全面总结.对19世纪数论史,他特别研究过E.库默尔(Kummer),编辑其《全集》(Collected papers1975),对 G.爱森斯坦(Eisenstein)L.克罗内克(Kronecker)等细致地研究过关于他们的椭圆函数论的工作,收入《爱森斯坦及克罗内克对椭圆函数的研究》(Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker1976)中.1972年以后,他的主要工作都放在数学史方面,获得大量成果.1978年在国际数学家大会上作关于数学史的全会报告,引起普遍的兴趣及关注.