亨利·嘉当

胡作玄

(中国科学院系统科学研究所)

  嘉当,H(CartanHenri)190478日生于法国南锡.数学.

  嘉当的父亲E.嘉当是20世纪上半叶最伟大的数学家之一.1909年,嘉当随父亲到巴黎.1923年中学毕业后考入高等师范学校,1926年毕业,并获得教师资格.1928年获得博士学位,论文题目是“有孔线性簇上的全纯函数系”(Sur les systems de fonctions holomorphesvarits linaires lacunaires).其后在凯恩(Caen)的马尔埃贝(Malherbe)中学教了一年书,1929年到1931年在里尔大学理学院任授课教师.在这期间,他主要研究单复变函数论,在同德国数学家的接触中,逐渐转向多复变函数论.

  1931年,他被聘为斯特拉斯堡大学授课教师,不久任讲师,1936年升为教授.其间A.韦伊(Weil)也于1933年到校任教,两人结下深厚友谊.同时J.德尔萨特(Delsarte)J.丢东涅(Diendonn)在南锡,他们形成了年轻的东部集团.出于共同的理想,1935年他们结成布尔巴基学派,并于19351938年每年夏天召开大会,讨论《数学原理》(Elementede mathmatique)的写作.由于共同的兴趣,他们对一般拓扑学有了重要发展,特别是嘉当引进滤系及超滤系的概念.

  19405月,德国大举入侵法国,614日巴黎陷落,斯特拉斯堡再次被德国吞并.嘉当等人集中于法国中部的克勒蒙费朗(ClermontFerrand),此处属维希政权管辖.这段时期,嘉当是巴黎大学理学院讲师,同时负责高等师范学校的数学教育.在此期间,他和其他布尔巴基学派成员仍然作了许多工作,他本人则在位势理论上有所突破.

  第二次世界大战结束之后,1945年夏,他被派到斯特拉斯堡大学理学院负责接收整顿工作.1947年中返回巴黎,在巴黎大学及高等师范学校任教,在战后百废待兴的困难环境中,毅然挑起科研及教学两副重担.1947年起开办嘉当讨论班,历经16年,到1964年结束,对法国数学乃至世界数学产生重大影响.其间,他培养了著名数学家JP.塞尔(Serre)R.托姆(Thom)A.波莱尔(Borel)及吴文俊等人.同时他组织布尔巴基讨论班,显示了巨大组织才能.这期间,他在代数拓扑学及多复变函数论方面开创一个新时代.

  1949年起他任巴黎大学理学院教授,1969年改为奥塞理学院教授,后来任巴黎南大学教授,1975年退休.他在高等师范学校的兼职到1965年结束.

  由于他的成就,他获得多项荣誉,特别是1965年被选为法国科学院通讯院士,1974年为正式院士.1972年,他被选为美国国家科学院国外院士.他于19671970年任国际数学联盟主席,1971年被选为英国皇家学会名誉会员,1980年荣获沃尔夫(Wolf)数学奖.

  嘉当写了100多篇论文和5本书.嘉当讨论班报告及布尔巴基讨论班报告的影响极大.

  1.多复变函数论

  嘉当是50年代实现多复变函数论由古典时期向现代时期转折的主要数学家.他组织的三次讨论班(19511952年,19531954年,19601961)在这次转折中起着关键作用.

  (1)解析映射及解析自同构1906年前,多复变函数论只是单复变的平行推广.1906年,F.哈托格斯(Hartogs)H.庞加莱(Poincar)发现了多复变(主要是双复变)与单复变之间的本质不同,到20年代,对于全纯域及其间的映射进行了更深入的研究. 1930年,嘉当引进圆域(domaines cercles)[在比为λ(|λ|=1)的位似变换下稳定并含有原点的域],这是莱因哈特(Reinhardt)域的推广.1930年他证明解析映射的唯一性定理:设DD′为圆域,其中至少一个为有界域,fDD′为把原点映到原点的全纯同构映射,则f是线性映射.

  对于2维有界圆域,他推广P.图仑(Thullen)分类莱因哈特域的工作.得出有界圆域到自身的一一解析变换均为保原点变换,除非它是莱因哈特域或域Δa,其中Δa(a(01))由三个不等式|x|1析对应.而且所有Δa均为全纯域.对于两变元有界圆域,他还完全定出其自同构群.另外他还引进半圆域及反圆域,并证明相应的部分结果.1932年,他证明另一个一般定理:Cn中有界域的全纯自同构群是(实参数)李群.同时证明紧复解析簇的自同构群也是李群.

  (2)全纯碱Cn中的全纯域是20世纪上半叶多复变函数论最基本的研究对象.所谓全纯域G是指其上存在解析函数f,使f可以解析开拓到其上的最大的域(也称正则域).对全纯域加以刻画并进行分类是最基本问题之一.第一个刻画是所谓列维问题,1911年,EE.列维(Levi)用多重亚调和性定义域GCn的伪凸性,设dG(E)为域中点E到边界距离,如u=-log dGG内为多重次调和函数,则称G是伪凸的.全纯域是伪凸域.反过来,伪凸域是否全纯域是极难的列维问题.19531954年才由日本数学家岡潔等完全肯定地解决.嘉当只是得出特殊情形的结果.而在列维问题解决之前,嘉当在1931年最先得出全纯域的另一个刻画.他首先定义域的全纯凸性,GCn称为全纯凸,如对所有紧集KGK的全纯包

 

  G的紧集.1932年他和图仑证明著名的嘉当-图仑定理:Cn中城G是全纯域当且仅当它是全纯凸的.由此可推出全纯域是伪凸域.

  (3)库辛问题库辛问题是给定极点及零点造出相应亚纯函数的问题.库辛第一问题是米塔格-莱夫勒(MittagLeffler)问题的推广,P.库1935年证明对所有全纯域可解.1938年嘉当举出第一个非全纯域而库辛第一问题有解的例子,他用的是罗朗(Laurent)级数,这个方法后来被他的学生多次用于解更一般情形.

  库辛第二问题是K.魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理的推广.到1953年才由岡潔给出可解条件.不过他的方法及表述只有经嘉当及塞尔才直接迈入现代多复变时期.

  (4)用绯索建立现代多复变函数论1945年,嘉当由J.勒瑞(Leray)处听到绯索的概念.但是当时没有实际应用.嘉当在1950年首先把绯索的概念引进多复变,在19511952年的讨论班上又引进凝聚绯索的概念,1952年他同塞尔的讨论,引出来著名的定理AB,于1953年正式发表.它们成为以后多复变发展的出发点.首先,他定义施坦因(Stein)流形,它是全纯域的推广,然后他证明关于施坦因流形的定理AB

  定理A.如果X是施坦因流形,FX上凝聚解析绯索,则对于所有xX,H0(X,F)Fx中的象生成QxFx

  定理B.如果X是施坦因流形,FX上凝聚解析绯索,则对所有正整数q,上同调群Hq(XF)均为0

  由此可以推出,对施坦因流形X,库辛第一问题总有解.

  同年,他与塞尔证明另一基本定理:如X是紧复解析流形,F是凝聚解析绯索,则Hq(XF)是有限维复向量空间,同样结果还可推广到紧解析空间.它是H.格劳尔特(Grauert)著名的直接象定理(在全纯真映射下凝聚解析绯索的直接象也是凝聚绯索)的出发点.另外他证明了施坦因流形上主纤维空间的基本定理.

  (5)解析空间理论通常的复流形概念不能概括有奇点的簇,因此有必要加以推广.在19511952年讨论班上,嘉当首先尝试定义解析空间.在19531954年讨论班上,他正式引入“环式空间”(espace annel),从而定义正规解析空间.1958年,他证明正规解析空间可以嵌入在Cn之中.对于一般的解析空间,1960年嘉当给出它模一个不连续群所得的商簇仍为解析空间的条件.

  2.单复空函数论

  嘉当的早期工作是关于R.奈望林纳(Nevanlinna)理论的,主要是在博士论文中证明布洛赫(Bloch)猜想的不等式.

  嘉当在位势理论上有重大贡献,其中包括牛顿位势及其各种推广.他系统应用“能量”的概念,证明有限能量的正分布空间,在赋予由能量诱导出的范数后是完备的.这导致J.德尼(Deny)后来把广义函数论引入位势理论.

  嘉当还引入精细拓扑的概念,为公理位势论奠定基础.

  嘉当首次证明超调和函数降序列的极限,如不等于-∞,除了在零外容度的集合之外为一个超调和函数.

  他还首次在齐性空间上引入位势理论.

  3.代数拓扑学

  嘉当对代数拓扑学研究是与嘉当讨论班相始终的.1947年他开始进入这一领域标志着法国学派的兴起.

  (1)上同调运算1947NE.斯廷洛德(steenrod)及Л.C.庞特里亚金(Понтрягин)为了解决同伦分类问题而独立引进上同调运算Sqρ及β.吴文俊曾向嘉当提出一个公式

 

  其中U为上积.嘉当在1950年首先给出一个证明,现称为嘉当公式.它独立得到这些关系——后称阿德姆关系,他们的证明方法也不同.

  (2)同伦群的计算自从1935年同伦论建立以来,求同伦类,特别是同伦群的计算始终是一大难题.嘉当与塞尔合作,构造一个系统地“消灭”一个空间X同伦群的方法,即造空间Y及映射fYX,使πi(Y)in时为0且πi(Y)→πi(X)in时是同构.常可选f为纤维映射(造道路空间),然后用谱序列方法,从YX及纤维空间群计算X的同伦群来.实际上这已经通往波斯特尼可夫(Постников)系统,但没有明显迈出这一步.

  (3)决定爱仑堡-麦克莱恩代数Hx(π,n)的结构嘉当的19541955年度讨论班完全是研究Hx(π,n)的,爱仑堡-麦克莱恩空间K(π,n)是指除了n维同伦群为π之外,其他同伦群均为0的空间.问题是定出K(π,n)的同调群H(π,n).他证明H(π,n)是分次代数,并定出其结构.这概念在拓扑学及其他领域也很有用.

  (4)李群及齐性空间上的同调1950年左右,嘉当同他的学生定出李群及齐性空间的上同调环.他定出齐性空间Gg的实系数上同调,其中G是紧连通李群,gG的连通闭子群.所用的方法是李代数的韦伊代数.这只需计算G的李代数的“超渡”(transgression)及同态I(G)I(g),其中I(G)表示在伴随群下不变的李代数上的多项式代数.

  4.同调代数

  1956年,嘉当及S.艾伦伯格(Eilenberg)合著的《同调代数学》(Homological algebra)一书出版,标志着这门学科的诞生.此书写于19501953年,它第一次把以前的零散结果变成系统理论.特别是引进可加函子及其“导出函子”,它首先引进Torn(AB)Extn(AB),还推广了库耐特(Knneth)公式.此后同调代数成为许多分支的数学工具,特别是在代数几何及复解析几何中,成为解决一系列问题的有力武器.

  5.其他

  嘉当的贡献还有不少,特别值得一提的是1937年引进“滤系”(filtre)及“超滤系”的概念,不仅在拓扑中有用,而且是数理逻辑中模型论最重要的构造法之一.