霍普夫

作玄

(中国科学院系统科学研究所)

  霍普夫,H.(HopfHeinz)18941119日生于德国布雷斯劳(今波兰符劳斯瓦夫)197163日卒于瑞士泽利康(Zollikon).数学.

  霍普夫的青年时代在家乡度过,1914年入布雷斯劳大学学习,由于第一次世界大战爆发,旋即被征入伍.1917年夏天休假时,他大胆地去听E.施密特(Schmidt)集合论的课程,其中讲述L.E.J.布劳威尔(Brouwer)用连续映射度证明维数不变性.这次听讲决定了他未来数学的方向.1920年,他先后在柏林大学、海德堡大学及格丁根大学继续求学.

  1920年,施密特到柏林大学任教授,霍普夫跟着他学习.在施密特的指导下,1925年霍普夫在柏林大学获博士学位,论文题目是“论流形的拓扑与度量的关系”(ber Zusammenhnge zwischen Topologie und Metrik von Mannigfaltigkeiten)1925年他到格丁根大学进修一年,受到E.诺特(Noether)的强烈影响,并结识苏联来的数学家П.С.亚历山德罗夫,两人结下终身友谊.

  1926年他在柏林大学取得授课资格,任讲师.19271928年冬季学期,他和亚历山德罗夫在洛克菲勒基金会的资助下,到普林斯顿大学访问.当时,普林斯顿由于О.维布仑(Veblen)、S.莱夫谢茨(Lefschetz)及J.W.亚历山大(Alexander)的工作已成为世界拓扑学的一个中心.霍普夫同他们的交往使他获益非浅.他在美国发表两篇论文,推广莱夫谢茨不动点的工作,并开始研究同伦映射问题.1928年夏天他和亚历山德罗夫又在格丁根聚首,每个人开一门课,而且共同组织拓扑问题讨论班.这时R.库朗(Courant)邀请他们为他主编的“黄皮丛书”撰写拓扑学,他们接受了邀请,但是低估了其困难,两人花了七年时间,《拓扑学》第一卷(Topologie I)才得以在1935年问世,而预期的第二卷则因种种原因根本无法提到议事日程.

  1931年,霍普夫被瑞士苏黎士理工大学聘为正教授,从此在瑞士创建一个拓扑学的中心.20多年间培养了许多人才,例如E.施蒂费尔(Stiefel)、B.埃克曼(Eckmann)、W.吉森(Gysin)、H.萨梅尔森(Samelson)等都是拓扑及其他领域的专家.霍普夫也成为第二次世界大战前后欧洲拓扑学最有影响的权威.其间,他积极参与国际数学活动,从1932年苏黎士到1966年莫斯科,他参加了历届国际数学家大会,而且从19551958年担任国际数学联盟主席.1935年他参加莫斯科国际拓扑学大会,结识了当时所有的大家.1950年他参加庆祝F.塞韦里(Severi)70寿诞的国际会议,这是战后第一次国际数学家的大型聚会.经过15年的沧桑,他与老朋友亚历山德罗夫再度相逢,共度一段幸福时光.他于1964年退休,1967年夫人去世后,他的健康也逐步变坏,19714月,重病住院,再也没能恢复.

  霍普夫一生发表近70篇论文,合著《拓扑学 I》一书,他的《整体微分几何》(文献[6])讲演笔记于1983年出版.

  霍普夫的主要贡献分述如下.

  1.代数拓扑学

  (1)把群引入组合拓扑 霍普夫在诺特的影响下,正式把抽象代数引入拓扑学.原来的工具是线性代数——矩阵和行列式,他把它们转化为阿贝尔群及其同态,由此,原来的贝蒂(Betti)数及挠系数纳入阿贝尔群之中而成为同调群.这个概念首先出现在他1928年推广莱夫谢茨的不动点公式的论文“欧拉-庞加莱公式的推广” (Eine verallgemeinerung der Euler Poincaré)中.在他与亚历山德罗夫合著的《拓扑学 I》中,他们系统总结了当时的点集拓扑及代数拓扑的理论,特别是C.若尔当(Jordan)定理,区域不变性定理、对偶定理、映射度、不动点定理及向量场理论.但就在1935年,随着上同调、同伦论、纤维丛的引进,拓扑学的面貌产生巨大改变.

  (2)同伦论 霍普夫是同伦论的奠基者之一.在他之前,H.庞加莱(poincaré)引进的基本群是第一个同伦群,布劳威尔利用拓扑度及映射类证明了一些定理,但是,基本群一般不一定是阿贝尔群而与其他同伦群大相径庭.布劳威尔只是用拓扑度及映射类作为工具,而对映射类本身并没有研究.真正从拓扑角度来研究同伦论的是霍普夫.他明确提出两空间映射的同伦等价关系,证明同维数球面Sn之间的映射的唯一的同伦不变量就是布劳威尔度.

  1931年他对S3S2的映射的同伦类的工作引起了轰动.原来一般认为所有映射都同伦于常数映射,结果他证明有可数无穷多,他通过霍普夫映射具体构造出这些类,并引进这些映射的霍普夫不变量的概念.一般认为,这个结果标志着同伦论的诞生.它直接影响W.胡尔维茨(Hurewicz)19351936年间定义同伦群的概念,霍普夫构造法也直接引导到纤维空间同伦群的研究.后来,荷兰数学家H.弗洛登塔尔(Freudenthal)综合霍普夫及胡尔维茨的研究,证明霍普夫分类的完备性并发现悬垂映射.从此同伦论成为拓扑学中一个热门.霍普夫在1935年也把上述结果推广到S2n1Sn的映射中去,从而产生广义霍普夫不变量.

   除了同伦群之外,霍普夫还研究由n维多面体到Sn的映射的同伦分类问题,其后这导致上同伦群的研究.1933年他对这种情形证明只用同调方法即可完全分类.在这篇论文中霍普夫刻画同伦类集合[XSn]的元素,其中Xn维有限单纯复合形,他证明fg属于同一类当且仅当它们定义相同的同态:Hn(XZ)Hn(SnZ)Hn(XZmz) Hn(SnZmz)(m 2)

  (3)群流形 1939年起,霍普夫试图把李群的结果推广到一般情形,引进H流形及H空间的概念.H流形是具有么元的连续乘法的紧流形,1941年他证明H流形具有多项式上同调环,每个生成元均为奇数维.这推广了当时已知的四大类典型李群的同调的结果.他完全用同调表述他的结果,工具是逆同态.似乎霍普夫不喜欢上同调,也从来没有用过它.他还应用上述理论证明紧李群G的秩(极大环面T的维数)等于外代数H*(GQ)的生成元的数目,且GT的欧拉示性数等于G的外尔(Weyl)群的阶.

  (4)同调代数 霍普夫是同调代数奠基人之一,他于1941年引进第一个群的同调的例子.他的研究来源于胡尔维茨1936年的一个结果.如果一个多面体的高维同伦群均平凡,则其基本群唯一决定其同调群.霍普夫得出2维同调群的具体结果:如X是连通单纯复合形,π1(X)G,且所有高阶同伦群均为O,则对任何G的表示序列ORFGO,其中F为自由群,

 

  [FR]FR生成的换位子群.这实际上是G的同调群,只是没有名称.在后来的论文中,霍普夫继续引进同调代数的工具——自由消解序列来求高阶群的同调.

  2.微分几何

  (1)整体微分几何 虽说霍普夫的主要贡献是拓扑学,但他的主要兴趣是几何学,特别是整体微分几何学.亚历山德罗夫认为,他最关心的课题是“整体微分几何学中的拓扑问题与拓扑学中的几何问题”,即拓扑与几何的边缘地带.当时,局部微分几何学已发展成熟,但拓扑学的工具还不具备,因此,整体微分几何学方兴未艾.其中最主要的问题自然是局部及整体关系的问题,这也构成他的博士论文的主题.他的博士论文后来分成两部分发表,一部分是“论克里福德-克莱因空间问题”(Zur CliffordKleinschen Raumproblem),另一部分是“论闭超曲面的全曲率”(berdie Curvatura integra geschlossener Hyperflchen).前者继续W.基灵(Killing)的工作,对于三维单连通常曲率完备黎曼流形从整体上等距于欧氏空间、球状空间或双曲空间这个基本定理给出一个严密的证明,并且通过构造一系列球状空间型完成其分类.

   他对整体微分几何的另一个贡献是引进完备性概念,后来同W.林诺(Rinow)一起更确切地引进完备曲面的概念.

  (2)W曲面 霍普夫研究W曲面,即三维空间中的曲面,每点两个主曲率k1k2之间存在关系W(k1k2)0.1950年,他推广H.李伯曼(Liebmann)1900年证明的一个定理,证明在所有亏格为0的闭曲面中,球面是唯一具有常中曲率曲面.这里他去掉了凸性假设.

   解析的W曲面,脐点处x只取以下诸值.

  0,∞;-13±15±1,…,(2m1)±1,….

  (3)复流形 霍普夫是首先对复流形进行研究的数学家之一.他最早证明不是所有闭、偶数维定向流形都允许复结构,甚至连近复结构也没有.如球面S4S8等.他还引进新的复流形如S2m1×S′.1948年,他引入著名的霍普夫曲面,它是非代数曲面也非环面的解析曲面,通过它的构造,还得出一系列非代数解析曲面.1955年,他引入霍普夫σ过程,通过这个过程对于复解析曲面进行局部变换,使所得曲面有更好的性质.这是代数几何相应变换的推广.

  3.其他

  霍普夫对数论也有多种研究,对拓扑群的端,以及点集拓扑也有论述.

  最后我们引用陈省身为《整体微分几何》所写的序言的一段来概括霍普夫的工作:“霍普夫是一位能通过特款发现重要数学思想和新的数学现象的数学家,在最简单的背景中,问题的核心思想或其难点,通常变得十分明澈,霍普夫的数学表述是精确性和明澈性的典范.”