维诺格拉多夫

张明尧

(中国科学技术大学)

  维诺格拉多夫,1891914日生于俄国西部普斯科夫省大卢基县的米洛留勃村;1983320日卒于莫斯科.数学.

  维诺格拉多夫的父亲是米洛留勃村墓地教堂的一名牧师,母亲是一名教师.维诺格拉多夫从小就表现出绘画的才能.当时牧师的孩子通常是进教会学校读书,而他的父母却一反惯例,于1903年送他到大卢基城的一所主要是讲授自然科学、现代语言及绘画的实科中学去就读.1910年他中学毕业后,进入首都彼得堡(19141924年间改称彼得格勒;后又更名为列宁格勒)的彼得堡大学的物理数学系学习,1914年毕业.在该系著名学者Я.B.乌斯宾斯基等人的影响下,维诺格拉多夫对数论产生了浓厚的兴趣.1915年,由于他关于二次剩余及非剩余分布问题所获得的研究成果,经BA.斯捷克洛夫推荐,授予他一项奖学金,此后他成功地通过了硕士学位.19181920年,维诺格拉多夫先后在国立彼尔姆大学及苏联东欧部分的莫洛托夫大学任教,先任副教授,后担任教授.1920年底,他回到彼得格勒,任彼得格勒工学院教授及彼得格勒大学副教授.在彼得格勒工学院他开设高等数学课,在彼得格勒大学他开设数论课,这门课就成了他后来所著《数论基础》一书的基础.1925年他升任列宁格勒大学教授,并担任该校数论及概率教研室主任.

  19291月他当选为苏联科学院院士,这标志着他开始进入国家级的科学活动组织者及管理人才的行列中.他与C.И.瓦维洛夫共同制订了对科学院物理-数学研究所进行重大改组的计划.19301932年他出任人口统计研究所所长,19301934年任物理-数学研究所数学部主任.1934年,物理-数学研究所分为两个所:列别捷夫物理研究所与斯捷克洛夫数学研究所.维诺格拉多夫被任命为斯捷克洛夫数学研究所第一任所长,直到去世前,他一直担任这一职务.其间,苏联科学院从列宁格勒迁往莫斯科,斯捷克洛夫数学研究所即建在瓦维洛夫大街上.1950年起,他任《苏联科学院通报》数学组主编,1958年起任全苏数学家委员会主席.他始终对数学教育有极大的兴趣,直到去世前一直任全苏中学数学改革委员会主席.

  维诺格拉多夫中等身材,体格异常健壮.即便到90高龄,他也从不坐电梯去办公室,且步履十分矫健.他与人谈话常用俄语,但能说一口相当熟练的英语.他一生中只有很少几次出国参加活动.其中有两次出访联合王国,一次是1946年参加英国皇家协会主办的牛顿纪念活动,另一次是参加1958年的爱丁堡国际数学家大会.维诺格拉多夫十分好客,待人诚挚体贴.1971年借祝维诺格拉多夫80寿辰之机,在莫斯科举行了一次学术讨论会.维诺格拉多夫自费主办了一次宴会,邀请与会的国内外数学家参加,他亲笔填写了每份请帖,对每位客人都给予了热情的款待.

  维诺格拉多夫一生中被20多个外国科学院及科学协会等机构授予院士、名誉院士、会员、名誉会员等称号.1939年被授予伦敦数学会名誉会员称号,1942年当选为英国皇家学会外籍会员.他一生还多次荣获苏联政府及苏联科学院等颁发的勋章及荣誉称号.其中计有:

  社会主义劳动英雄(2),列宁勋章(5),锤子与镰刀勋章(2),十月革命勋章,斯大林奖金(现改称国家奖金),列宁奖金,罗蒙诺索夫金质奖章,其中罗蒙诺索夫金质奖章是苏联科学院的最高奖.

 

波利亚-维诺格拉多夫不等式

 

  m1为给定的整数,ab为两个整数.若ab可被m整除,则记m|(ab),称m为模,并称ab对模m同余,记为ab(mod m).对固定的模m,同余关系是一个等价关系.把对模m同余的所有整数归为一类,称为模m的一个剩余类,则全体整数恰可分成m个不同的剩余类.从每一类中取一代表元组成的集合称为模m的一个完全剩余系.对剩余类可以很自然地定义类的加、减、乘法,它们与整数的加、减、乘法有完全类似的性质.

  m=p3为素数,f(x)=anxn+a1xa0是一个n1次整系数多项式.若x0满足同余方程

  f(x)0(modp)(1)

  易见一切满足tx0(modp)t皆满足(1),它们称为(1)的一个解.与代数基本定理对应,我们有如下定理.

  定理(拉格朗日)an(modp),则(1)至多有n个解.

  n=2时,求解(1)可以归结为求解特殊形式的二次同余方程

  x2a(modp)(2)

  AM.勒让德(Legendre)首先定义了如下的符号,此即初等数论中著名的勒让德符号:

  

  非剩余(即平方非剩余).在模p的一个完全剩余系{1,2,…,p}中,易见除p外,二次剩余与非剩余各占一半,故

 

  实际上,对任何整数N均有

  这表明在模p的一个完全剩余系里,二次剩余与非剩余个数总是相等.一个自然的问题是:对任意整数N及任给正整数M,当a取遍区间[N1N+M]中的整数时,其中二次剩余及非剩余的分布情况如何?(3)表明其中二次剩余与非剩余的个数之差为

 

  (5)知不妨可设1Mp2.维诺格拉多夫证明了

 

  上式表明,当区间长度M适当大时,其中二次剩余与非剩余的个数相差甚少.正是由于这项研究成果,1915年他被授予一项奖学金,并被批准留校攻读学位.

  勒让德符号实际上是以p为模的一种实原特征,它是更为广泛的狄利克雷(Dirichlet)特征χq(a)的特例,这里q是特征的模.1918年,维诺格拉多夫与波利亚互相独立地证明了:若χq(a)是以q为模的一个原特征,则对任何整数N1皆有

  若χq(a)为非主特征,则有

  这些不等式统称为波利亚-维诺格拉多夫不等式.

  1977年,HL.蒙哥马利(Montgomery)RC.沃恩(Vaughan)在假设广义黎曼猜想(简记为GRH)成立的条件下证明了:对非主特征有

  REAC.佩利(Paley)1932年就构造出一列无穷多个不同的二次特征χqj(j=12,…),使得

 

  因此,(7*)与最好可能的结果(7.1)相比已经相当接近.

  n2(p)1为模p的最小二次非剩余.1919年,维诺格拉多夫利用(7)及素数分布的简单性质证明了

 

  他猜想对任给ε>0n2(p)=O(pε),他还猜想对任给ε>0安克尼(Ankeny)证明了:若GRH成立,则有n2(p)=O(ln2p).对于后一猜想,1967PDTA.埃利奥特(Elliott)证明了它是GRH的一个推论.这两个猜想迄今仍未获得证明.他关于二次及高次剩余分布、原根与指数分布等问题的许多结果已被DA.伯吉斯(Burgess)等人加以改进.有关结果请见W.纳基耶维奇(Narkiewicz)所写专著第Ⅱ章及其他文献.

 

类数均值公式及格点问题

 

  abc为取定的整数,称二次齐次式

f(xy)=ax2bxycy2

  为一个二元二次型,简记为{abc},称d=b2-4ac为其判别式.若(abc)=1,则称{abc}为本原二次型,简称原型,这里(abc)abc三数的最大公约数.

  设给定两个型{a1b1c1}与{a2b2c2},其变量分别为xyuv.若有一个整系数变换

 

  使{a1b1c1}变为{a2b2c2},则称它们是相似型.易证相似是二次型的一种等价关系.利用它可将判别式为d的所有本原二次型分成两两不相交的等价类.用h(d)表示把判别式d的本原二次型所分成的等价类的个数.容易证明,对每个判别式dh(d)皆有限.

  对判别式为-d0的正定型,F.高斯(Gauss)在其所著《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae1801)一书第302篇中不加证明地给出一个渐近公式

 

  

  18651874年,R.李普希茨(Lipschitz)F.默滕斯(Mertens)先后得到(8)式的第一项(参见P.巴赫曼(Bachma-nn)著《解析数论》(Die analytische Zahlentheorie1894)二卷十三章§16),但他们的方法均未能得到第二项主项.

  1917年,维诺格拉多夫给出了研究算术函数渐近表示中余项估计这一难题的一个新方法,它比Г.沃罗诺伊于1903年提出的方法简单,且能获得几乎相同的结果.维诺格拉多夫新方法的重点在于如下的所谓“第一基本公式”:

   k1A29RQ皆为实数,函数f(x)在区间[QR]中二阶可微且满足

  则有

 

  其中{y}表示实数y的小数部分,而

 

  由此并利用上述李普希茨文章中的一个恒等式

  即证得(8)式,并得到

  R(n)O(n5/6(ln n)2/3)(13)

  其中μ(m)为麦比乌斯(Mbius)函数,F(m)为满足某些不等式组的整值解组数.1963年他得到

  R(n)=O(n2/3(lnn)6)(14)

  这一纪录至今未被打破.

  维诺格拉多夫的第一基本公式可以解释成为关于由

x=Qx=Ry=f(x)y=0

  所围成的平面区域内的整点个数的一个命题.1925V.雅尼克(Jarnik)证明了,(11)已是基本上最好可能的结果.由是可知,维诺格拉多夫方法可用于处理域内整点问题.设p(x)表示落在球

u2v2+w2x

  中的整点个数.1963年维诺格拉多夫证明了

  这仍是目前已知最好的结果.

 

华林问题

 

  1770年,E.华林(Waring)在《代数沉思录》(Meditationesalgebraicae)204205页上发表了如下的猜想:

  每个自然数皆可表为四个整数的平方和,皆可表为九个非负整数的立方和,皆可表为十九个整数的四次方之和,等等.

  综观其言,他实质上提出了如下的问题:对每个给定的整数k2,是否存在一个只与k有关的正整数s=s(k),使每个正整数皆可表为至多s个非负整数的k次方之和?求最小正整数s(k)=g(k),使每个正整数皆可表为g(k)个非负整数的k次方之和,此即著名的关于g(k)的华林问题.若不要求这种表示对每个正整数成立,改为要求对充分大的正整数皆成立,又以G(k)表示满足这种要求的最小的s(k),估计G(k)的上界即著名的关于G(k)的华林问题.

  1909年,D.希尔伯特(Hilbert)首次用多重积分证明了A.胡尔维茨(Hurwitz)提出而未能证明的一个恒等式,由此即得:对形如k=2c的幂k,华林问题中的s(k)是存在的.由此再用初等方法可对一般性的k证明s(k)的存在性.但希尔伯特方法所得s(k)之数值太大,方法也相当复杂,在近代数论的发展中没有找到进一步的应用.

  19201928年间,GH.哈代(Hardy)JE.李特伍德(Littlewood)在总标题为“‘Partitio numerorum’的若干问题”(Some problems ofPartitio numerorum)的七篇论文中,系统地开创并发展了解析数论中一个新方法,此即当今著称的哈代与李特伍德的圆法.而在哈代与S.拉马努金(Ramanujan)1918年发表的一篇论文中已经有了圆法的思想.

  1924年,维诺格拉多夫对希尔伯特关于华林问题的结果给出一个新证明,它相当初等,只用到傅里叶(Fourier)级数及外尔(Weyl)估计三角和的方法,而没有用圆法.E.兰道(Landau)在《数论导引》(Vorlesungen ber Zahlentheorie1927)第一卷第六部分第五章指出,维诺格拉多夫的方法可用于求g(k)的相当满意的上界.1936LE.迪克森(Dickson)SS.皮莱(Pillai)相互独立地得到g(k)问题近乎最后的解决,其中证明的关键部分有赖于对维诺格拉多夫方法的应用.

  在哈代与李特伍德上述系列文章的Ⅳ中证明了:若s(k-2)2k-1+5k3Rs(n)n表为sk次方之和的表法数,则对充分大的n

  其中(n)大于某个正常数.由是他们首次得出显式上界

  G(k)(k-2)2k-1+5(17)

  1925年发表的Ⅵ中,他们纠正了上文中一个引理证明中的错误并得到:对k4

  G(k)(k-2)2k-2+k+5

  他们的方法是考虑无限和

 

  及其s次幂

 

  由柯西积分公式有

  C是以原点为圆心,半径为ρ(0<ρ<1)的圆周,他们在ss0(k)n充分大时找到一种渐近计算积分(19)的方法.

  1928年,维诺格拉多夫改为考虑有限和

  及其s次幂

  这里e(x)=e2πixN=n1/k],而Rs(mn)m表为s个不超过N的非负整数k次幂和的表法个数.易见

  由此他也导出了(16),并证明了(17).这大大简化了哈代与李特伍德的方法,也为解决数论中各种困难的问题开辟了一条更为广阔的道路.此后,他多次回到这一问题.他关于渐近公式成立时G(k)上界的最后结果是

  G(k)2k2(2lnkln lnk+5)(k4)(23)

  如果放弃渐近公式(16)而只证Rs(n)0,则可得到G(k)的好得多的上界.1934年,维诺格拉多夫第一个获得阶为klnk的上界

  G(k)6klnk+(ln216+4)k(k4)(24)

  显然可证有

  G(k)k(25)

  (24)中的阶klnk已基本上是最好可能的了.1959年他得到:对k170000

  G(k)k(2lnk4lnlnk+2lnlnlnk13)(26)

  并且得到

  

  1985AA.卡拉楚巴用p-adic方法证明了,对k4000

  G(k)2k(lnklnlnk+6)(28)

  这是目前G(k)上界的最好结果.对较小的k,更好的结果请见所列文献及专著.

 

哥德巴赫猜想

 

  1742年,德国数学家C.哥德巴赫(Goldbach)在与L.欧拉(Euler)的几次通信中提出了整数表为素数和的两个猜想,用现代语言来说,就是:

  (A)每个≥6的偶数都是两个奇素数之和,

  (B)每个≥9的奇数都是三个奇素数之和.

  这就是当今著称的哥德巴赫猜想,(A)通常称为关于偶数的哥德巴赫猜想,(B)称为关于奇数的哥德巴赫猜想.直到1900年希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上的著名演讲发表之前,有关这个猜想的研究尚未取得任何实质性的进展.

  哈代与李特伍德在他们上述系列论文的Ⅲ与Ⅴ(发表于1923)中,用圆法对哥德巴赫猜想进行了研究.鉴于圆法与维诺格拉多夫方法对哥德巴赫猜想的主要贡献在于解决了猜想(B),而对猜想(A)只能得到“几乎全体偶数皆可表为二奇素数之和”这样的结果,本文中只对涉及猜想(B)的结果加以讨论.

  在Ⅲ中,哈代与李特伍德考虑了函数

 

  及其r次幂

 

  这里

 

  于是

 

  这里C1是以原点为中心、半径为e-1/n的圆周.与前类似地将积分(32)分成主项与余项,他们在余项的估计中遇到对狄利克雷L函数的零点分布缺乏了解这一重大困难.不得已假设下面的猜想(R)成立:

  点皆位于半平面Rez≤θ中.

  在此假设下,他们证明了:充分大的奇数n表为三个奇素数之和的表法个数N3(n)有渐近式

  其中

  特别地,当(R)成立时,每个充分大的奇数n皆可表为三个奇素数之和.

  维诺格拉多夫在他于1937年发表的著名论文中改为考虑过素数值求和的有限三角和

  Inn表为三个奇素数和的表法个数,则与(22)式同法有

  适当将[01]划分成基本区间(也称优弧)与余区间(也称劣弧)两部分,相应的积分分别记为In(1)In(2)

  In(1)用西格尔(Siegel)-瓦尔菲茨(Walfisz)定理不难给出其主项及余项估计.为估计In(2),维诺格拉多夫对形如(35)的素变数三角和给出了非平凡的上界估计,从而不用任何假设证明了:存在常数B0(现在称为维诺格拉多夫常数),每个奇数nB0皆可表为三个奇素数之和.

  应用上面的证法,常数B0无法算出来,这是因为上面证明中用到的西格尔-瓦尔菲茨定理中涉及的常数不能有效地算出.为具体求出B0的上界,可用较弱的佩奇(Page)定理代替西格尔-瓦尔菲茨定理.1956年,K.Г.博罗兹德基求得

  B0exp(exp16.038)(37)

  这个值现在完全可以得到较大的改进.

  同年,维诺格拉多夫对形如

  的更一般的素变数三角和得到非平凡的上界估计,这里f(x)为实系数多项式.特别当f(x)=xk时他对华林-哥德巴赫问题得到如下结果:

  lnk+lnlnk+5)],则n→∞时有

  

 

  有关其他形状的素变数三角和估计及应用请见所列专著及文献.

 

1一致分布

 

  先考虑一个简单问题.设θ为一个实数,对任意给定的自然数N,考虑区间[01)中如下N+1个实数

0,{θ},…,{Nθ}.

  如果将[01)等分成N个长为1N的子区间,则至少有两个整数ab0 abN,使{aθ}与{bθ}在同一子区间中,即

|bθ}-{aθ}<1N

  定义k=b-ah=[bθ]-[aθ],则有一对整数hk0kN,使

|kθ—h|1N1k

  事实上可以要求(hk)=1,又在θ为无理数时,满足上述要求的数对hk有无穷多对.完全类似地可证下述命题:设θ为无理数,a为任一实数,则有无穷多对整数hnkn(kn0)使

|θkn-hn-a|3kn

  由此立即推出,[01)中每一点都是点集{mθ}(m=12,…)的极限点.那么,点集{mθ}在(01)中是否“均匀分布”呢?为了使“均匀分布”意义明确,我们给出如下的定义:设ω=(xn)n=12,…是一个给定的实数列,我们称ω是模1一致分布的,如果对每对实数ab0ab1

 

  这里A(ab)N;ω)表示x1,…,xn中使小数部分{xn}落在[ab)中的项的个数.

  对如何判别一致分布(modl),有如下重要的韦尔判别法:数列(xn)n=12,…为一致分布(modl)的充分必要条件是,对所有整数h0

 

  因此,能否对形如

 

  的三角和给出适当的估计,是判别数列是否一致分布的关键.在某些重要而又困难的情形,维诺格拉多夫方法是解决这一关键困难的基本工具.

  a为一给定无理数,定义

xn=apnn=12,…,

  这里pn表示第n个素数,则由维诺格拉多夫估计(35)型和的方法易得

 

  故由韦尔判别法立即证得(apn)是一致分布的.完全类似地可证:数列(f(pn))n=12,…为一致分布(modl),这里f(x)是首项系数为无理数的实系数多项式.值得一提的是,1937P.屠阮(Turán)首次在假设GRH为真的条件下证明了(apn)的一致分布性.

 

带误差项的素数定理

 

  令π(x)表示不超过x的素数个数,寻求它当x充分大时的渐近表示是19世纪近百年中数学家们的一项中心任务.18481850年,俄国数学家п.л.切比雪夫首开纪录,证得

 

  1859年,黎曼在其著名论文中用新的解析方法揭示出ζ函数与素数分布之间的深刻联系.1896年,J.阿达玛(Hadamard)CJ.德拉瓦莱-普桑(de la Vallée Poussin)相互独立地证明了素数定理:

  这等价于

 

  

  此后,数学家们一直致力于求π(x)-lix的最佳误差.1901年,H.冯·科克(Koch)在黎曼猜想成立的假设下证明了有

  熟知,只要对ζ函数在σ=1附近的值给出适当的估计,就可以得出ζ(s)无零点区域的对应结果,从而给出π(x)-lix的相应估计.而在估计ζ函数邻近σ=1的阶时,维诺格拉多夫的三角和方法是相当有效的.1958年,维诺格拉多夫与H.М.科罗博夫相互独立地得到

  (a0,ε>0为任意给定的实数),相应的ζ函数无零点区域为

  这些都是迄今已知最好的结果.

  本桥洋一(本桥洋一, Motohashi Yoichi)曾用筛法对形如

  的无零点区域给出一个初等证明,而蒙哥马利则用另外的方法给出(46)的另一证明,这些请见他们各自的专著.

 

主要著作评介及对中国数论界的影响

 

  维诺格拉多夫一生发表过一百多篇论文,出版过四部专著及两部选集.他的四部专著中,影响最大的是其中的三部:《数论基础》,以下简称《基础》;《数论中的三角和方法》,以下简称《方法》;《三角和方法的特殊变体》,以下简称《变体》.

  《基础》一书初版于1936年,先后译成匈牙利文(1952)、捷克文(1953)、英文(1954)、波兰文(1954)、德文(1955)、日文(1961)、西班牙文(1971)等多种文字.1952年由上海商务印书馆初次出中文版,1956年由北京高等教育出版社出新一版,译者裘光明.我国著名数学家、中国科学院数学研究所第一任所长华罗庚教授为中译本撰写了指导性的介绍,题为“介绍《数论基础》”,对书的内容、习题及维诺格拉多夫的研究成果,给了极高的评价.

  《基础》一书共分六章,介绍了初等数论的一些基本内容.每章后习题分两部分,计算题强调了计算技巧的训练;而通过理论性的习题向读者介绍了许多著名的数论问题,如:有理数逼近实数,切比雪夫不等式,圆内整点问题,狄利克雷除数问题,V.布龙(Brun)筛法,三角和估计,函数值的分数部分的估计,佩尔(Pell)方程,波利亚-维诺格拉多夫不等式,剩余与非剩余的分布等.使初学者也能对近代解析数论的一些问题与方法,特别是维诺格拉多夫方法的基本技巧有所了解.即使在今天,它也不失为一本好的参考书.

  《方法》一书是维诺格拉多夫方法的代表作.1947年初版,1954年出了英文版,次年在我国《数学进展》11期上印行了中文译本,译者越民义.由于维诺格拉多夫在其科学研究最初十年中的重要成就,兰道在他的前述专著中曾专辟一章对他的方法加以介绍.此后出版的许多重要数论专著中都有关于维诺格拉多夫方法的专门介绍.

  在《方法》一书的引言中,维诺格拉多夫介绍了他本人自1934年以来所创立的三角和方法的要旨、应用及历史.他指出,这一方法的最基本结论是形如

 

  的积分之估计,此即著名的维诺格拉多夫中值定理,这里

 

  f(x)=anxn++a1x

  为实系数多项式.目前估计I上界的最满意的方法系由卡拉楚巴于1965年给出的,这方面的理论已推广到多重三角和中,这些发展均基于卡拉楚巴19621966年间提出的一种新的p-adic形式的维诺格拉多夫方法(参见《斯捷克洛夫数学研究所著作集》英译本1986年第3(Procof the Steklov Institute of Math.1986Issue 3pp330))

  维诺格拉多夫方法的关键技巧在于对形如

 

  的双重三角和给出非平凡估计,这里ξ(x),η(y)是任意的复值函数,a为实数且

 

  由柯西不等式有

 

  右方的二重和可按几何级数来计算,由此可得W的适当估计.当然,如何把一个数论问题与一个恰当的二重三角和联系起来,这是需要相当技巧的.在该书中作者对其方法的基本工具、技巧及在华林问题、多项式值的分数部分之分布、华林-哥德巴赫问题中的应用作了较详尽的介绍.

  《变体》一书出版于1976年,它与《方法》的不同之处在于,《变体》讨论的是其方法的较为简单的变体(指不需要均值定理为基础)所涉及的一些应用,如球内整点问题,G(k)上界估计,哥德巴赫奇数猜想及若干特殊的素变数三角和估计等,最后一章给出他的方法的某种初等形式(不用无穷小作工具)及若干应用.

  维诺格拉多夫方法及其著作对中国及世界数学界产生了重大影响.华罗庚教授三十年代起的许多研究工作都受到维诺格拉多夫方法的深刻影响.1941年,华罗庚教授将自己对维诺格拉多夫方法的研究成果写成《堆垒素数论》一书,寄交苏联斯捷克洛夫数学研究所作为专刊发表,得到维诺格拉多夫院士的赞赏和支持.时因二次大战,该书俄文版推迟到1946年才正式出版.维诺格拉多夫院士还邀请华罗庚教授访问了苏联.华罗庚教授在数学研究所培养的第一批研究人材中,就有相当数量的人深入学习过维诺格拉多夫方法,并在后来的研究工作中反复运用这一方法取得过出色的成就.

  1988年夏天在北京举行的“纪念华罗庚数论与分析国际会议”,就有卡拉楚巴等维诺格拉多夫学派传人参加.这对加强中苏两国间的学术交流,恢复并发展由维诺格拉多夫与华罗庚所建立的两国数学界(尤其是数论学界)的传统友谊,将起到良好的作用.