拉马努金

陈一心

(湖南科学技术出版社)

  拉马努金,SA(RamanujanSrinivasa Aaiyangar)18871212日生于印度马德拉斯省坦焦尔地区贡伯戈讷姆(KumbakonamTanjore districtMadras province)附近的埃罗得(Erode)1920426日卒于印度马德拉斯(Madras)附近的切特普特(Chetput).数学.

  拉马努金出生于印度的一个贫穷的信奉婆罗门教的家庭,他是长子,还有两个弟弟.他的父亲是一家布店的小职员,收入微薄.全家老小共7口人,就靠他每月20卢比的薪水生活.拉马努金5岁开始上学,读了两年小学后,便升入贡伯戈讷姆的中学念书.1897年,即他10岁时,在初级考试中名列全坦焦尔地区第一名.他喜欢动脑筋想问题.有一次,他的老师讲课讲到零的性质:“零被任何数除,其得数均为零.”拉马努金觉得有些疑惑,便站起来问老师:“零被零除是不是也得零?”这时,数学的奇妙性质已引起了他的注意.

  12岁时,高班的同学借给他一本朗内(Loney)写的《三角学》(Trigonometry),他在短时间里自学完全书,并解答出书中所有的问题,还独立推导出重要的数学公式

eix=cosx+isinx

  1903年,他通过中学第一次分配考试,进入贡伯戈讷姆公立学院学习.在学院图书馆,他借到卡尔(Carr)的《纯粹数学概要》(Synopsis of pure mathematics).这是一本英文版教材,书中陈述了6000多个公式,但几乎都没有证明.从1903年到1907年,拉马努金仔细研读这本书,证明并推广了书中的结果.1904年,他因数学等课程学习成绩优异获得学院的奖学金,学年终,因英语等科成绩不佳而失掉奖学金.最后,又因文科考试成绩太差未能升级,被迫中途辍学.他在马德拉斯的一所学院学习了短暂的一段时间,其后又返回贡伯戈讷姆公立学院,但因偏科又未能毕业.

  1907年到1911年,他一直没有固定的职业,但生活的不安定并不能使他对数学的兴趣稍减.这段时期,他研究了幻方、连分数、超几何级数、素数和合成数、椭圆积分等.他把研究得出的结论记录在笔记本上.几年下来,笔记本记了足足三大本.这些数学结论都没有给出证明过程.

  1909年,拉马努金结婚,妻子詹基·安马(Janki Amma)当时才9岁.成家以后,必须出外谋生.1910年,他打听到蒂鲁戈伊卢尔(Tirukoyilur)一个小镇的镇长R.艾亚尔(Aiyar)是一个数学爱好者,不久前还创立了印度数学学会.拉马努金带着自己的研究成果去找他,要求能有一份糊口的小差使.艾亚尔要S.阿亚(Aayar)帮助办理.阿亚曾是拉马努金的老师.在他那里,拉马努金找到一份代理公务员的工作.干了几个月,他又被介绍给R.拉奥(Rao).拉奥是马德拉斯以北150公里的内洛尔地方的征收员,对数学很有兴趣,也是印度数学学会的创建人之一.拉马努金翻开揉破了的笔记本,向他解说自己的数学发现.拉奥十分怜惜这个年轻人的才能,并认为让他干办事员的工作不能解除他的麻烦.他要拉马努金回到马德拉斯去,并愿意按时给他一些钱,维持他一段时期的生活,同时向有关方面为拉马努金争取研究津贴,以使他能安心从事研究.

  一天,拉马努金碰到一位老朋友.谈到他的研究工作时,这位老朋友对他说:“人们称赞你有数学的天才!”拉马努金听了笑道:“天才?!请你看看我的肘吧!”只见他肘上的皮肤又黑又厚.他解释他日夜在石板上计算,用破布来擦石板上的字太花时间,于是每几分钟就用肘直接擦石板上的字.朋友问他既然要作这么多计算为何不用纸来写?拉马努金说他连吃饭都成问题,哪里有钱去买这么多的纸.

  原来,研究津贴没能申请到手,拉马努金又不愿意成为别人经济上的包袱,已有一个月没到拉奥那里去拿钱了.幸好经拉奥及其他人介绍,他于1912年在马德拉斯港务局找到一份工作,月薪为每月25卢比.在海港,他经常拾一些包装纸来做草稿,有时利用工间休息在办公室里做计算.由于心不在焉,他曾几次把算稿夹在工作文件中一起送交上级,惹出一些麻烦.这段时期,拉马努金在数学上已初露头角,在《印度数学会杂志》(Journal of the IndianMathematical Society)上发表了他的第一篇论文“伯努利数的一些性质”(Some properties of Bernoullis numbers),稍后,又发表了一批关于级数、无穷积、π的几何近似构造的文章.

  在一些朋友的鼓动下,拉马努金于1913116日给英国剑桥大学的著名数学家GH.哈代(Hardy)写了一封信,信中谈到他对素数分布的研究,并附上他在各个数学分支中发现的120个定理和公式.这些定理和公式都没有给出证明过程.哈代认真审查了这些结论,认为拉马努金是一个人才,便及时给他回了信,邀他来剑桥一起作研究.作为虔诚的婆罗门教徒,拉马努金对离开印度有所顾虑.于是,由马德拉斯大学为他安排了两年的奖学金,以供他从事数学研究.

  哈代颇觉失望,但仍继续为此寻找机会.正好他的一个同事EH.内维尔(Neville)在马德拉斯讲学,哈代委托他劝说这个年轻人,最后终于成功了.1914年,拉马努金从印度来到三一学院,得到剑桥大学给予的很优厚的奖学金.哈代和JE.李特尔伍德(Littlewood)为他安排了一定的进修课程,以弥补他在基础知识上的不足.在哈代和李特尔伍德的帮助下,他的研究工作进展迅速.在欧洲的5年里,他在英国、法国、德国的数学杂志上共发表了21篇论文(其中有几篇是与哈代合作的),此外,在《印度数学会杂志》还发表了多篇论文、注记等.由于研究成果卓著,拉马努金于1918年被推选为英国皇家学会会员及三一学院的研究员.这些荣誉可说是一个数学家渴望的最高荣誉,而拉马努金在30岁左右就都得到了,这是值得自豪的一方面.但是另一方面,由于他过度劳累,对身体也造成了一定的危害.又由于他是虔诚的婆罗门教徒,绝对奉行素食主义,在英国的这段时期,他总是自己煮食,且常常因研究而忘记吃饭.这就使得他的身体越来越虚弱,后来经常感到身上有无名的疼痛,最后才发现患了重病,可能是肺结核,这时是1917年.

  拉马努金在英国的最后一年几乎全是在疗养院度过的,但他仍全力以赴地从事数学研究.也许英国寒冷的气候对肺病不利,如果回到印度可能会恢复健康.于是他决定回国.但由于第一次世界大战的影响,他一直难以成行,直到19194月才回到印度.马德拉斯大学为他安排了5年期每年250英镑的研究津贴,同时拟提拔他为教授.

  1920426日,拉马努金病逝于马德拉斯,年仅33岁.他一生清贫,死后仅留下两张照片,以及一个热敷用的热水袋和一些书籍文稿.特别值得一提的是他对无数贫困孩子所寄予的深切同情和关心.他在英国病重时,曾由哈代写下他口述给马德拉斯大学的回信,对该大学给予的奖金作出如下的安排:

  “除了一部分钱给我家人外,剩余的请用在教育方面,如减少穷人孩子或孤儿的学费,免费供给他们课本.……”

  生命不息,战斗不止,拉马努金在临终前,仍以顽强的毅力进行数学研究.于是,在马德拉斯的病榻上产生了他的第四本笔记本.该笔记本被称为“遗失的笔记本”,因为在他死后一直不知下落达50多年.直到1976年,美国宾夕法尼亚大学教授G.安德鲁斯(Andrews)访问剑桥大学三一学院时,在该校的图书馆中发现.这本笔记本中包含着600余条公式,但都没给出证明过程.

  他的前三个笔记本已于1967年出版,“遗失的笔记本”也由印度总理于19871222日批准公诸于世.他的合集已由剑桥大学出版社出版.作为对他的纪念,马德拉斯大学建立的一个高等数学研究所,就以他的名字命名.

  综观拉马努金的数学工作,大致可以分为三个时期.第一个时期为19071911年,即他尚无固定职业的那段时期;第二个时期为19141918年,即他在英国剑桥大学的时期;第三个时期为19191920年,即他病逝前一年.他在第一个时期的工作主要记录在他的前三个笔记本中.其中大部分内容包含着对无穷级数、定积分、伯努利数和γ函数等许多经典结果的重新发现,这样说是合情合理的.首先,一个定理或公式,在不同的时间不同的地点由不同的人独立地发现或证明,这在数学史上是屡见不鲜的.其次,拉马努金受到好几年高等教育,钻研了高等数学的基础知识.卡尔的《纯粹数学概要》等书,虽然只罗列了一大堆公式,没有给出证明过程,十分枯燥无味,但对拉马努金来说,却启示了研究的路标.他是生活在一种贫穷落后的环境里的学者,无法得到系统严格的数学训练或接触较完备的图书资料,只是靠着他的敏锐的观察力和直觉力、强劲的思维力和记忆力,以及勤奋刻苦的精神,这才使得他能够做出上述那些重新发现.他后来所做的许多研究,也能够在前三个笔记本中发现它们的痕迹.于是,在拉马努金这里,可以看到一些不太正常的现象,这都是由于他的数学基础理论不够扎实而造成的.例如,他以模方程和复数乘法定理作为研究工具,却没有双周期函数的概念;他研究解析数论,而他的复变函数概念却很模糊.引用哈代的话说:“他的构成数学证明的概念只是一些最模糊的描述.他的全部结果,新的或老的,对的或错的,都是靠论证、直觉及归纳的混合处理而达到的,其中,他全都未能给出任何首尾一致的论据.”但是,数学是一门逻辑性极强、论证要求极严密的科学,拉马努金的这种特定的风格自然对他的研究会带来一些不良影响.例如,他对素数分布的研究尤其因这种弱点而蒙受损害.因此,从上述这种角度来看,他的工作对一般数学理论的发展贡献甚微.

  对后来数学家的工作影响较大的是他在后两个时期的研究.其主要研究成果是在堆垒数论(特别是整数分拆理论)、椭圆函数、超几何函数、模函数、发散级数等方面.当然,如前所述,这其中有许多工作也能够在他第一个时期的笔记本中找到根基.他在欧洲发表的第一篇论文“模方程和π的近似”(Modular equations andapproximations to π),给出了π的许多特殊的很好的近似,其中大部分是利用平方根式表出的.他的长篇学术论文“高合成数”(Highly composite numbers)影响较大,文中论证了高合成数的一些重要性质.在与哈代合写的一篇论文“整数n的素因子的范数”(The normal number of prime factors of a number n)中,拉马努金研究了一个整数的素因子的平均数问题.

  关于整数的分拆理论是拉马努金贡献最大的一个领域.他在这方面的成果对后来数学家工作的影响比较其他方面也是最大的.他与哈代在1918年合写的论文“组合分析的渐近公式”(Asy-mptotic formulae in combinatory analysis),证明了估计式

 

  AB为某两个正常数.并首先提出圆法,用它证明了渐近公式

 

 

  

  拉马努金关于整数n的分拆函数P(n)的同余式的研究也相当出名.1919年,他仔细研究了由PA.麦克马洪(MacMahon)编造的P(n)(n200)的数值表,发现这些整数与某些小素数及其幂同余.他还利用椭圆函数理论,证明了一些结果,得到了P(5n+4)0(mod5)P(7n5)0(mod7)P(11n6)0(mod11)P(25n+24)0(mod25)等,并提出一个猜想:

  24λ≡1(mod5a7b11c)

  P(5a7b11cn+λ)0(mod5a7b11c)(1)

  20世纪30年代,S.乔拉(Chowla)H.古普塔(Gupta)编制的扩大的P(n)值表中发现:

  虽然 24·2431(mod73)

  但是 P(243)=1339782593448880(mod7 3)

  1938年,GN.沃森(Watson)证实了拉马努金猜想(1)的修正命题对所有57的幂是正确的,1967年,AOL.阿特金(Atkin)证明了:

  24λ≡1(mod5a7b11c)

  P(5a7b11c+λ)0(mod5a7[(b+2)/2]11c)

  由上述可见,拉马努金猜想(1)拓宽了整数分拆理论研究的领域,激励了许多数学家的研究工作.

   拉马努金还发现并证明了许多与P(n)的同余性有关的恒等式,例如

 

  这个恒等式被认为是拉马努金成果的最好代表之一.