伯克霍夫

丁同仁

(北京大学)

  伯克霍夫,GD(BirkhoffGeorge David)1884321日生于美国密执安州;19441112日卒于马萨诸塞州.数学

  伯克霍夫的父亲是一位物理学家.从18961902年他在芝加哥的刘易斯学院(即现在的伊利诺伊理工学院)求学;然后升学到芝加哥大学,肄业一年后转学到哈佛大学,在那里于1905年和1906年先后得到学士学位和硕士学位;接着又回芝加哥大学当研究生,于1907年获得博士学位.随后去威斯康星大学作了两年讲师.

  1908年,伯克霍夫和M.格拉费(Grafius)小姐结婚,她是一位有名的贤妻良母.伯克霍夫一生的成就在很大程度上依赖于夫人对他事业的理解和鼓励,他们的儿子加勒特(Garret)后来也成为著名的数学家.

  芝加哥的EH.穆尔(Moore)教授和哈佛的M.博歇教授都是伯克霍夫的良师.但是,伯克霍夫的真正导师是JH.庞加莱(Poincaré).通过倾心攻读后者的著作,他继承了庞加莱在分析学和动力系统领域中的问题和研究方法,并且作出了重大的发展.他们在科研领域内都是善于开发新天地的先驱者.

  伯克霍夫于1909年到普林斯顿大学任教.为了抵制哈佛大学对伯克霍夫的招聘,普林斯顿大学于1911年破格提升他为正教授.但是,他认为哈佛大学的学术环境对他的研究工作更有利,因此情愿去那里作一位助教授,直到1919年才提升为正教授.在1932年哈佛大学授予他以潘金斯(Perkins)数学教授为名的荣誉,并在19351939年期间委任他为文理学院院长.在19241926年期间伯克霍夫担任美国数学学会主席,而在19361937年他是美国科学促进会主席.伯克霍夫一生曾获取了许多世界性的数学奖,他是美国数学界公认的一位杰出的领袖.但是,由于他是一个只醉心于数学研究的人,在政治上有时不免发表一些脱离实际生活和出尔反尔的观点,这不免使不了解他的人们产生某些误解.

  伯克霍夫一贯主张在数学上创造性和发现新结果比数学体系的整理和解释更加重要.他和当时的L.迪克森(Dickson)与穆尔等一代美国数学家的工作虽没有欧洲的那种完美程度,却富有美国特色——充满着活力、进取性和创造精神.实际上,是他们用自己的成就和坚毅的个性宣告了美国数学已经进入世界前列.

  伯克霍夫也是一位有名的教育家,他诲人不倦,从不计较在教学上多花时间会损害科研上的进展.他具有出色的讲课艺术,能使整个课堂生动活跃;为了解答学生们的疑难,写了许多深入浅出和富有启发性的讲义.当年哈佛大学数学系的许多优秀博士都是他的门生.另外,在1929年前后伯克霍夫还讲授了几遍初等几何,并在1932年提出了以比例尺和半圆分度规为基础的初等几何学的五条公理.在1940年他又和R.比特利(Beatley)合作写了一本初等几何学的书,对当时美国的几何教学起了促进的作用.

  伯克霍夫在数学上的成就是多方面的.以下我们将作一扼要的介绍.

  a)他把斯图姆(Sturm)-刘维尔(Liouville)的二阶线性微分方程的自伴边值问题的特征理论推广到n阶线性微分方程的非自伴边值问题的情形;

  b)1917年他给出一个简单原理:在函数空间中任何正交函数组必是完全的,只要它可以(在伯克霍夫的意义下)任意逼近该空间的一个完全基.并且他把这原理应用于特征函数系.这一概念是后来他的学生M.斯通(Stone)著名的线性算子理论的雏形;

  c)对具有非正则奇点的解析线性微分方程组,他引进典则微分方程组及其等价性的概态,并在一般情况下得到了矩阵解的渐近公式和任意阶非正则奇点的本质的特征量.在这个基础上他解决了著名的广义黎曼问题;

  d)他又把广义黎曼问题推广到差分方程,这是美国人对差分方程的最早贡献;

  伯克霍夫的主要兴趣在动力系统.可以把他的动力系统理论分成形式的和非形式的两部分,而后者又包括拓扑的内容和度量的内容.

  e)他研究实解析的哈密顿(Hamilton)系统和对应于周期轨道的广义静止点,解决了早先庞加莱提出的一个问题,即广义静止点的一阶形式稳定性(即所有特征乘数都是纯虚数)蕴含形式三角级数的稳定性(即可用三角多项式任意逼近系统的解)

  f)他证明了庞加莱提出的最后一个几何定理,轰动了当时的数学界.1912年庞加莱在去世前不久宣布了一个对限制三体问题的研究十分重要而未加一般证明的几何不动点定理.年青的伯克霍夫在1913年对庞加莱的最后几何定理给出一个非常漂亮的证明,并作了比较确切的陈述:

  “设半径分别为ab的两个同心圆CaCb(ab0)围定一个环域A.令T是一个从AA的保面积的一对一的连续变换,它把Ca上的点按正向转动,而把Cb上的点按负向转动.那末变换TA内至少有二个不动点”;

  g)1912年他对动力系统引进了一些新概念:运动的a极限点和w极限点,回复运动和极小集.而且在一般条件下证明了它们的存在性.这些工作开创了动力系统研究的新篇章.后来,他又引进了游荡点,中心集和拓扑传递性的概念.1928年他和P.史密斯(Smith)定义了流的度量传递性,它要求流在紧致相空间M中的任何不变子集的测度等于0或全空间M的测度.可以证明,度量传递性蕴含拓扑传递性(即在空间M中至少有一个稠密的轨道).这里蕴藏着许多迄今仍需探索的大问题.例如,M.莫尔斯(Morse)1973年指出,在一个紧致的解析流形上不知拓扑传递性是否蕴含度量传递性;不解决这个问题就难能对伯克霍夫的各态经历定理的重要性作出正确的评价.

  伯克霍夫的这些概念和他的符号动力系统与拓扑动力系统构成了现代动力系统的主体.而他的其他概念,例如极小极大原理和曲面变换的不动点定理孕育了拓扑学和大范围分析学日后某些重大的发展;

  h)他改进了B.库普曼(Koopman)和冯·诺伊曼(vonNeumann)的某些不成熟的概念,建立了他的著名的各态历经定理.我们用目前通行的形式把这定理叙述如下:

  “设在紧致空间M上有一个流及其一个不变的有限测度mes(·).令fM上的一个可积函数,则几乎对M内所有的点P,极限

 

  是存在的”.

  顺便对这定理作一几何解释:若f表示M的任一可测集V的特征函数,则上式积分表示从P点出发的运动Pt0tT内停留在集合V中的时间.伯克霍夫证明了,当系统是度量传递时,几乎对所有的点P,上述极限等于mes(V)mes(M)之比.

  还有许多数学家,例如N.维纳(Wiener)A.温特纳(Wintner)E.霍普夫(Hopf)和小伯克霍夫等,对各态经历的理论作了推广和应用.

  最后应该指出,伯克霍夫的兴趣是相当广泛的.他曾花了许多时间从事“音乐测度”的探讨,写了几篇学术性的音乐论文.他曾对一位专业音乐家说,应该研究数学,因为自然界只能在数学中得到和谐的理解.另外,伯克霍夫在普林斯顿参加维布伦(Veblen)的拓扑讨论班时,对四色问题进行了研究,写了两篇论文,他首先想到用解析函数论的方法对四色问题作定量的研究,为此引进了一个“着色多项式P(x)”,并与后来的H.惠特尼(Whitney)推导出P(x)的许多性质,可惜未能最后证明关键的一步:P(4)0

  另外,由于受A.爱因斯坦著作的影响,伯克霍夫与R.兰格(Langer)1923年合作写了一本相对论和现代物理学的书,书中提出了“完全流体”的概念,建立了不同于爱因斯坦的相对论.它可以解释几个使古典力学陷入困境的难题,但却无法解决引力质量和惯性质量的统一性.这是他们建立在线性坐标系中的相对论的一个不可避免的弱点.这本书虽未能使物理学家(甚至数学家)信服,但在当时曾引起了科学界的极大兴趣.