布劳威尔

王志建

(暨南大学)

  布劳威尔,LEJ(BrouwerLuitzen Egbertus Jan)1881227日生于荷兰奥弗希;1966122日卒于荷兰布拉里克姆.数学.

  布劳威尔出生于荷兰北部港口鹿特丹附近的小镇奥弗希.随着家庭的搬迁,先在梅淡布里克的小学上学;14岁时,在霍纳的高等中学毕业;两年后,通过考试进入了哈林的市立大学预科.同一年,即1897年,他考入阿姆斯特丹大学攻读数学,直到1904年.1907年,他获得了博士学位,博士论文题目是“论数学基础”(Overde grondslagen der wiskunde)

  1909年,布劳威尔在阿姆斯特丹大学当无薪讲师——学生自愿听课,教师的报酬直接来自受指导的学生.1912年,他被任命为阿姆斯特丹大学的数学教授.1952年,布劳威尔从阿姆斯特丹大学退休.1966年,他在布拉里克姆去世.

  布劳威尔很早就显露出与众不同的才华:高中毕业仅仅两年,他就掌握了进入大学预科所必须的希腊文和拉丁文;进入大学后,他很快就掌握了当时通行的各门数学,受到他的教授DJ.柯特维格(Korteweg)的赞许;在读大学时,他获得了关于四维空间连续运动的某些结果,并发表在阿姆斯特丹皇家科学院报告集上,在当大学生时,通过自己的刻苦钻研,更由于受到G.曼诺利(Mannoury)教授一系列启迪性讲座的诱发,布劳威尔接触到了拓扑学和数学基础,并且终生钟爱它们.他在学习数学的同时,还对哲学非常感兴趣,尤其热衷于研究神秘主义.

  在攻读博士学位时,布劳威尔以极大的热情注视着B.罗素(Russll)H.庞加莱(Poincaré)关于数学的逻辑基础的论战,并以此为题写成他的博士论文.总的说来,他倾向于庞加莱的观点,反对罗素和D.希尔伯特(Hilbert)关于数学基础的思想.但是,他又极不同意庞加莱关于数学存在性的说法.他认为,庞加莱的办法不能排除悖论.为此,他在博士论文“论数学基础”中开始建立直觉主义的数学哲学.

  布劳威尔获得博士学位后,主要研究领域为拓扑学,从1907年至1913年,取得不少重要的成果.

  1912年起,布劳威尔重新开始研究数学基础问题.从1918年起,他在各种学术刊物上发表一系列论文,宣传和论证他的观点.他发展了直觉主义数学;对经典数学作详尽的批判;判别各个数学分支中究竟有哪些定理符合直觉主义;寻找构造数学的基本概念;努力在构造的基础上建立新的数学——在微积分、代数、初等几何等领域取得了成功.

  在布劳威尔之前,L.克罗内克(Kronecker)和庞加莱等已经提出了一些零散的直觉主义的意见.但是,布劳威尔认为,庞加莱仅仅强调数学的存在性,这并不能消除逻辑主义者的悖论,只有直觉的构造才能作为数学的基础.

  布劳威尔的直觉主义起源于这样的一种哲学:基本的直觉是按时间顺序出现的感觉,把时间进程抽象出来,就产生了数学.

  布劳威尔把数学看作是心智的自由创造.它是以自明的原始概念——原初直觉——构造数学对象.数学概念嵌入人们的头脑先于语言、逻辑和经验.决定概念的正确性和可接受性的是直觉,而不是经验和逻辑.像形式逻辑这样构建起来的体系,仅仅可以作为描述规律性的手段而存在,根本不能作为数学的基础.

  布劳威尔在博士论文中批判了G.康托尔(Cantor)的集合论以及其他各派数学基础的理论——不容置疑,它们都依赖形式逻辑.他坚持认为,无论怎样用希尔伯特所设想的相容性证明来进行修补,数学的公理基础都必须毫不留情地抛弃.尽管保留希尔伯特的有限性纲领作为前提,也不能证明算术的相容性.他指出,逻辑隶属于语言,逻辑法则的用处是导出更多的陈述.然而,逻辑绝不是揭露真理的可靠工具.用其他办法不能得到的真理,用逻辑也照样不能推导出来.布劳威尔有一个著名的论断:是逻辑依赖数学,而不是数学依赖逻辑.于是,布劳威尔顺理成章地解决了悖论危机:逻辑并不是先验的和不可违反的,根本不存在从公理出发的数学.所以,悖论的出现是无所谓的.他还指出:公理化的办法,形式主义的办法,当然都会避免矛盾.但是,用这种办法不会得到有数学价值的东西.一个错误的理论,即使没有因矛盾而告终,也仍然是错误的.

  布劳威尔最值得称道的成就是否定排中律的有效性.他在“论逻辑原则的不可靠性”(De onbetrouwbaarheid der logischeprincipes)中对排中律提出了怀疑.他指出,排中律——间接证明方法的基石——在历史上起源于推理在有穷集合的子集中的应用.但后来却被认为是一条独立的先验原则,并毫无根据地应用于无穷集合上.所以,它是极不可靠的.

  1923年起,布劳威尔在一系列论文中论述排中律在数学中的作用及其可靠程度,使数学家们服了气:必须在有效的证明手段中抛弃排中律.

  布劳威尔依据直觉主义原理重新构建数学体系.开始,他没有什么进展.原因在于缺乏符合要求的构造性连续统的概念.1914年,他终于得到了这样一个概念.这是他在一篇对A.舍恩弗利斯(Schoenflis)H.哈恩(Hahn)关于集合论进展报告的评论中提出的.次年,他审查集合论的构造性基础问题,彻底弄清了排中律的作用.1918年,他发表了以这个概念为基础的集合论.1919年,他作出了测度的构造性理论.1923年,他给出了构造性函数论.

  与公理集合论相比,纠缠着构造性集合论的困难是:集合概念不能是本原概念,而是必须解释和说明的概念.布劳威尔在论述中,引入了“自由选择串”来完成这个任务.这就是,从一堆对象(例如自然数)中无限制地进行一连串的选择.所有的选择由一个法则确定.而且,在每次选择之后,接踵而来的可能选择就增添了限制.他把选择所遵循的法则称为“展延法则”,而允许进行的永无结束的自由选择串称为展延法则的“元”.如果展延法则只允许在有限个可能情形中进行选择,则称其为“有界展延”.作为特殊情形,直觉连续统就可以看成是由有界展延所给出.布劳威尔指出,语句“一个展延的全部元具有性质p”意味着,“我拥有一个构造手段,它能够让我判定,在选择串α的有限次选择之后,选出的元具有性质p.”根据这一解释,根据对这样的构造手段的本性的理解,布劳威尔得到他那称之为有界展延基本定理的定理——扇形定理.这个定理宣称,定义在一个有界展延S上的整值函数f是这样计算的:对于某个自然数n,如果S中任意两个自由选择串α和β,它们的前n个选择重合,那么,就有f(α)=f(β)

  1924年,布劳威尔证明了,在单位闭区间上处处有定义的函数是一致连续的.在这一证明过程中,他第一次采用了扇形定理.

  扇形定理这个直觉主义数学的基本定理的证明始终不能顺利地被人们接受.不过,它使布劳威尔获得了成果,这些成果与人们熟知的原来的数学知识大相径庭,诸如:直觉连续统的不可分解性,实函数的一致连续性有一定限度,等等.

  应用扇形定理,布劳威尔从根本上动摇了排中律,特别是动摇了它的无矛盾性原理——┐┐(A∨┐A).他成功地显示了,所谓排中律这个普遍原则本身就存在矛盾.也就是说,存在这样的性质,对于有界展延的全部元来说,如果硬使它要么持有这种性质要么不持有这种性质,

  1920年以后,逻辑学家的注意力都被吸引到了布劳威尔逻辑.人们研究它与经典逻辑的关系.由于K.哥德尔(Gdel)决定性的工作,希尔伯特的基础纲领被冲开了缺口.第二次世界大战后,由于S.克林尼(Kleene)开拓性的研究,由于递归函数论的兴起和计算机的广泛使用,使得直觉主义的基础复活了,它被更多的数学家所接受.

  布劳威尔在拓扑学领域做出了他的又一大贡献.

  受到希尔伯特在巴黎的第二届国际数学家大会的讲演的影响,也受到舍恩弗利斯关于集合论进展的报告的影响,布劳威尔从1907年到1913年进行了大量研究,取得了大量基础性成果.1907年,他研究了希尔伯特那极难对付的第5问题,但不依靠可微性假设而采用了分割式组合.作为F.克莱因(Klein)那著名的埃朗根纲领的一个自然引伸,布劳威尔讨论了平面变换的理论,给出了笛卡儿平面上拓扑映射的一些同伦性质.

  建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献.这个定理表明:在二维球面上,任意映到自身的一一连续映射,必定至少有一个点是不变的.他把这一定理推广到高维球面.尤其是,在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点.在定理证明的过程中,他引进了从一个复形到另一个复形的映射类,以及一个映射的映射度等概念.有了这些概念,他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点.

  康托尔揭示了不同的n与空间Rn的一一对应关系.G.皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形.这两个发现启示了,在拓扑映射中,维数可能是不变的.1910年,布劳威尔对于任意的n证明了这个猜想——维数的拓扑不变性.在证明过程中,布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯逼近的概念,也就是一系列线性映射的逼近.他还创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数.实践证明,这些概念在解决重要的不变性问题时非常有用.例如,布劳威尔就借助它界定了n维区域;JW.亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性.

  1910年,布劳威尔发现了平面上不可分解的连续统是可数个单连通区域的公共边界.1912年,他证明了可以把约当曲线定理推广到n维空间.1913年,他给出了拓扑空间维数的严格定义.

  由于布劳威尔在拓扑学上的出色成就,他被推选为荷兰皇家科学院院士.可是,他在1912年的就职演说上,却只大讲直觉主义和构造主义,而不谈他那颇为得意的拓扑学,大大出乎人们的意料之外.

  布劳威尔在数学上开创了一个派别,与他致力于哲学研究分不开.他在一系列哲学论文里,详尽地阐述了他那具有高度个人特色的哲学见解.而他正是从这样的哲学出发,批判了先前的数学赖以建立的基础,然后将数学建立在他自己确认的基础上.

  1905年,布劳威尔在论文“生活、艺术和神秘主义”(Levenkunst en mystiek)中讨论了人类的社会性和主观能动性.布劳威尔还指出,人们为了达到某个目标,要使用某种手段.在反复地逐次使用这种手段之后,人们发现,竟然会产生出与原来目标相反的结果.他认为,这种异化是人类的能动性中一个重要的原理——动态原理.在1907年的论文中,布劳威尔从哲学的立场对逻辑作评论.他指出,逻辑是从数学派生出来的,其本原是数学上的直觉,而这种直觉来自于时间,它的根源就是I.康德(Kant)对时间的“自我感觉”概念.他强调了“短暂感觉”,认为它是数学的发端:自我从“短暂感觉”中分离出了不同的感受.布劳威尔在1933年指出,这种“短暂感觉”乃是某一生活瞬间分解成不同质的两部分,其中一部分比另一部分先退出了生活,但它们仍然留在记忆里.数学最基础的直觉就是这样的短暂感觉的结构的抽象——抛弃了一切内容的数学抽象.所以,自然数的理论来自于数学直觉.在短暂感觉的顺序中,人随时可以设想在两个已知元素之间插入新元素,所以,连续统理论也完全来自于数学直觉.

  尽管布劳威尔没有能够成功地改变数学家们的观念,但他的工作得到全世界的承认.1929年,他被奥斯陆大学授予荣誉学衔;1955年,又被剑桥大学授予荣誉学衔.1919年,被德国科学院选为院士;1943年,被美国哲学会选为会员;1948年,被伦敦的皇家学会选为会员.