里斯

冯长彬

(赣南师范学院)

  里斯,F(RieszFredéric)1880122日生于匈牙利杰尔;1956228日卒于布达佩斯.数学.

  里斯的父亲依格内兹(Ignacz)是一名物理学家;弟弟马塞尔(Marcel)是知名的数学家.里斯年轻时曾先后在苏黎世的综合工艺学校及布达佩斯、格丁根上过学,最后在布达佩斯大学获博士学位.更进一步在巴黎、格丁根及匈牙利的教育学校(Teaching Sc-hool)研读后,1911年他被委派在科洛斯堡(kolozsvar)大学工作.该校1920年被迁往塞格德.同年,里斯与A.哈尔(Haar)合作,在那里创办了雅诺什·波尔约(János Bolyai)数学研究所及《数学科学学报》(Acta Scientiarum Mathematicarum).他于1936年当选为匈牙利科学院院士,1946年起担任布达佩斯大学数学教授,在该校长病10年之后逝世.他曾于1949年和1953年两度获得科舒特奖金.他还是法国科学院的通讯院士和许多科学协会的会员.

  里斯是D.希尔伯特(Hilbert)对积分方程所作工作的直接继承者之一,也是泛函分析的创始人之一.他对泛函分析的早期工作正是想为积分方程提供一种抽象的理论.他对泛函分析的重大贡献比较集中在Lp空间,即p方勒贝格可积函数空间.他为巴拿赫空间提供了广阔的研究领域,还将泛函分析应用于遍历理论.希尔伯特曾讨论形如

  的积分方程,其中fk连续.1907年,里斯在“关于正交函数系”(Sur les systèmes orthogonaux de fonctions)一文中引进了平方是勒贝格可积的函数,并想把上述方程中f连续的条件放宽为f平方可积.他得出如下定理:设{φi(x)}为[ab]上勒贝格可积且平方可积的正交函数集,

  

 

  这里,函数f实际上也是勒贝格平方可积的;而且在{φi}完备的情况下,只要视几乎处处相等的两函数为同一,这样的f还是唯一的.由于此定理在同一年中还被科伦大学的E.菲舍尔(Fischer)获得,故常被称为里斯-菲舍尔定理.它作为帕斯瓦尔(Parseval)定理之逆,立即引起了数学家们的广泛兴趣.定理蕴含ai(i=12 3,…)f的以φi为项的傅里叶(Fourier)展开式的系数.它通过一平方可积的完备标准正交函数列{φiL2建立了L2l2间的一一对应.即若fL2,则f关于{φi}的展开式的傅里叶系数列是l2的一个元{ai};反之,对任一{ai}∈l2,存在唯一的函数(允许差一个积分为零的函数)fL2ai}为它关于{φi}的傅里叶系数列,也即满足(2).在里斯1907年的论文中还提出了所谓“矩量问题”,即{φiL2及{ai}∈l2给定后如何确定f的问题.里斯又证明,只要f平方勒贝格可积,则积分方程(1)可解,而且除了一个勒贝格积分为零的函数外,解是唯一的.

  1910年,里斯在《数学年鉴》(Mathematische Annalen)中撰文“关于可积函数系的研究”(Untersuchungen über systeme inte- grierbarer Fnnktionen),推广矩量问题.由于推广过程中他用到了一些不等式,如有名的赫尔德(Hlder)不等式

  定理是:若函数h(x)与Lp中任一函数f(x)之积f(x)·h(x)都勒贝格可积,则h(x)属于Lp;反之,Lp中任一函数与Lp中任一还引入了函数序列{fn}Lp强收敛和弱收敛的概念.

  里斯在泛函分析中最有名的结果是大家熟知的里斯表示定理.

  1907年,MR.弗雷歇(Fréchet)推广J.阿达玛(Had-amard)的一个结果,证明(用后来普遍采用的记号如L2Lp):对于定义在L2上的每一个连续线性泛函U,存在L2中唯一的一个u(x)使得对L2中的每个f都有

 

  1909年里斯推广了这个结果[3],用斯蒂尔杰斯(Stieltjes)积分表示U(f),即

 

  并把结果推广到满足下述条件的线性泛函A

 

  其中M只依赖于A,即对Lp上满足上述条件的线性泛函A,必存在Lp中一个函数a(x)(在允许相差一个积分为零的函数的意义下还是唯一的),使对Lp中所有的f

 

  这就是里斯表示定理(Riesz representation theorem).对C[01]上的线性连续泛函的里斯表示定理是:对C[01]上的任一线性连续泛函A,必有[01]上有界变差函数a(x)使

 

  里斯对泛函分析的另一重大贡献是引入抽象的算子概念.他在1910年的论文中,把积分方程

 

  的理论推广到已知的f和未知的φ都属于Lp的情形,并把表达式

 

  设想为作用在φ(t)上的变换.他称之为泛函变换,记为T(φ(t)).变换或算子可以把函数从一个空间变到同一空间或另一空间.他考虑了从空间Lp到自身的算子的线性和有界性.若存在常数M使Lp中所有满足

 

  的函数f都有

 

  就说算子T是有界的.后来这种M的最小上界就称为T的范数(norm),记为||T||.利用范数作为研究抽象空间的另一种方法也是里斯开始的,后来为S.巴拿赫(Banach)等所发展.

  里斯还引进了伴随算子及逆算子的概念,考虑过伴随算子的逆算子,还借助于伴随算子证明逆算子的存在性.

  为了处理积分方程的特征值问题,里斯对抽象算子引入了希尔伯特的全连续概念,还研究了算子的特征值和谱.

  里斯的大量工作都用到勒贝格积分.早在1920年他便用“构造的方式”从简单函数(实际上是阶梯函数)到一般的函数类重述了勒贝格积分,除用到零测集概念外不依赖于一般的测度理论.他还重新证明了一些勒贝格理论的基本定理.

  里斯继续希尔伯特的工作,进一步研究积分方程与无穷矩阵的紧密相关性.在1913年发表的“含无穷个未知数的线性方程组”(Les systèmes déquations linéaires à une infinité dinconnues)一文中,里斯不仅将结果系统化成后来人们熟知的一般理论,而且将之应用于双线性、二次型、三角级数及某些微分与积分方程类.

  里斯还开创了次调和函数理论的研究.他对此建立的一套系统理论中包括了在函数论和位势论中的应用.里斯对半序向量空间理论的研究也十分引人注目.他的一些早期工作还涉及射影几何、点集拓扑(如连续性定义及序型的分类)、复变函数与逼近论.

  里斯同时也是著名的教育家,他培养了许多优秀的数学家.1952年他与他的学生BS.纳吉(Nagy)合编的《泛函分析讲义》[6]法文版问世.这是一部很有特色的泛函分析入门书,先后被译成英文、德文,中译本分两卷分别于1963年、1980年出版.