哈代

高嵘

(辽宁师范大学)

  哈代,GH(HardyGodfrey Harold)187727日生于英国克兰利(Cranleigh)1947121日卒于剑桥.数学.

  哈代的父亲I.哈代(Hardy)是克兰利中学的教师,母亲索菲娅(Sophia)是林肯师范学院的教师,他还有一个妹妹.哈代的父母很有文化素养,也极重视数学,因经济拮据未能上大学,却为儿女提供了良好的教育.

  哈代在童年时代就显示出数学的机敏,在克兰利中学接受早期教育时,表现出在数论方面的早慧与多方面的才能.13岁时,他获得奖学金进入当时以数学家摇篮而著称的温切斯特(Winches-ter)学院学习.1896年又获入学奖学金进入剑桥大学三一学院继续深造,他的数学生涯从此与剑桥紧密联系起来.哈代很早就养成喜欢自由提问和探索的习惯,在剑桥开始学习时,他对于机械的授课模式不满,后来幸运地被允许转听应用数学家AEH.拉弗(Love)教授的课.这对于哈代后来成长为一名数学家至关重要.他在著作(文献[3],第29)中生动地写道:“第一个使我拨云见日的是拉弗教授,他教了我几个学期,使我对分析有了第一个严肃的概念.但最使我感激的是他建议我阅读MEC.若尔当(Jordan)的名著《分析教程》(Cours danalyse).我永远不会忘记我读那本杰作时的震惊,这是我这代数学家受到的第一个启迪,读这本书时我才第一次认识到数学真正意味着什么.”

  哈代在大学学习期间成绩优异.1898年,他参加了剑桥的数学荣誉学位考试,这是剑桥大学的传统之一,始于18世纪.哈代成为一等及格者,这主要得益于他平时在迅速解题方面的有效训练,但对传统极具反抗精神的哈代认为这种考试是没有意义的.1900年,他被选为三一学院的研究员,随后以极大的热情投入数学研究中,第二年与JH.金斯(Jeans)共同获得了史密斯奖金.1906年他成为三一学院的讲师,直到1919年一直在那儿工作.19001911年间哈代写出大量级数收敛、求积分及有关问题的论文,这些论文为他赢得了分析学家的声望.1908年,他的名著《纯粹数学教程》(A course of pure mathematics)出版了,这部教科书改变了英国大学中的教学状况.1910年,他当选为英国皇家学会会员.随后,被哈代自称为生活中的真正的转折点出现了,1911年他开始了同JE.李特尔伍德(Littlewood)的长期合作,1913年他发现了SA.拉马努金(Ramanujan)

  哈代长李特尔伍德8岁,他们结识于1904年,在长达35年的合作中,联名发表了约100篇论文,其中包括丢番图逼近、堆垒数论、数的积性理论、黎曼ξ函数、不等式、一般积分、三角级数等广泛的内容.哈代-李特尔伍德极大函数,哈代-李特尔伍德圆法,哈代-李特尔伍德定理等联系着二人名字的数学成果正是他们亲密合作的写照.在他们集中合作的19201931年间,哈代执教于牛津而李特尔伍德执教于剑桥,他们通过学院的邮政来邮寄数学信件,即使二人同在三一学院时也是如此,并且他们达成一种默契:当互相收到信件时,先不读解法,而是要独立解决其中的问题,直到取得一致意见,最后由哈代定稿.当时,一些不了解内情的国外数学家认为李特尔伍德根本不存在,只是哈代虚构的一个笔名.事实上,李特尔伍德本身就是一个出色的数学家.通过这种密切的学术合作,二人互相切磋促进,共同建立了20世纪上半叶具有世界水平的英国剑桥分析学派.

  哈代称自己对拉马努金的发现是他一生中的一段浪漫的插曲.拉马努金出生于印度的马德拉斯(Madras),幼年即显示出数学的兴趣和才能,但因生活贫困,要不断为生计奔波,只能靠自学汲取数学知识.1913年初他给哈代寄了一封信,信中陈述了他对素数分布的研究并列有120条公式,涉及数学中多个领域.这些公式大部分已被别人证明,有些看起来容易,实际上证明起来很困难.特别是后来被LJ.罗杰斯(Rogers)GN.沃森(Watson)证明的三个公式完全难倒了哈代.哈代确信拉马努金是一位数学天才,于是邀请他到英国,但作为一个婆罗门教的信徒,拉马努金对离开印度感到踌躇.哈代继续力劝拉马努金到剑桥,并经多方努力为他安排了奖学金,19144月,拉马努金来到英国.哈代花了很多心血教授拉马努金现代欧洲数学知识,他发现拉马努金知识的局限竟然与它的深奥同样令人吃惊.拉马努金对于证明仅有一种模糊不清的概念,对于变量的增量、柯西定理根本不熟悉,但是对于数值和组合方面的事实,连分数、发散级数及积分、数的分拆、黎曼ξ函数和各种特殊级数却有深度的理解.他有很强的直觉和推理能力,其工作和思维方式多具挑战性.在哈代和李特尔伍德等人的帮助下,拉马努金进步很快,在素数分布、堆垒数论、广义超几何级数、椭圆函数、发散级数等领域取得了很多成果.他在欧洲的5年里发表了21篇论文,17篇注记,其中几篇是与哈代合作的.他和哈代一起对整数分拆问题作出了惊人的解决,首创了正整数n的分拆数p(n)的渐近公式,这无疑源自拉马努金那极强的洞察力和哈代对于函数理论的娴熟掌握.哈代与拉马努金的成功合作并未持续太久.19175月拉马努金患上了肺结核病,由于战争条件及宗教信仰的束缚,拉马努金未得到良好的医治.19192月他回到了印度,次年4月去世,年仅33岁.哈代对这位印度数学奇才的英年早逝深感痛惜,他参与整理了拉马努金的论文集,并著有《拉马努金》(Ramanujan1940)一书,书中包括关于拉马努金生活和工作的12篇演讲稿,比较详细地记述了拉马努金的生平和研究成果,并作了适当的评论,是了解和研究拉马努金的重要文献.哈代和拉马努金这一段交往也长期被数学界传为佳话.

  1914年第一次世界大战爆发后,哈代强烈反对对那些反战者的残酷迫害,谴责对进行反战宣传的BAW.罗素(Russell)的解职和监禁.后来,在一本秘密传播的小册子《罗素和三一》(BerrardRussell and Trinity1970)中,他描述了罗素事件及围绕这件事掀起的巨大波澜.1919年,他离开剑桥应聘牛津大学萨维尔几何学教授,这一荣誉职位是依照英国数学家H.萨维尔(Savile)的意见设立的,他曾于15851592年任默顿学院院长.哈代在牛津创立了一个活跃的研究团体.19281929年间他前往美国普林斯顿做访问教授,与美国数学家O.维布伦(Veblen)交换.1931年重返剑桥,接替EW.霍布森(Hobson)成为塞得林(Sadleirian)纯粹数学教授,居此位直至1942年退休.1947年,哈代当选为法国科学院外籍院士,是从各国各研究领域中选出的10位科学家之一.他还担任过全国科学工作者学会主席,伦敦数学会主席.在他的数学研究生涯中,获得了许多大学和研究院的奖励.1920年获皇家勋章,1929年获德·摩根奖章,1940年获西尔威斯特奖章,1947年获皇家学会最高奖章科普利奖章.

  哈代外貌漂亮,很有风度.他和妹妹都终生未婚,他得到了胞妹始终如一的精心照料,尤其在他的晚年.1947年,哈代在剑桥辞世.

  哈代被誉为20世纪杰出的分析学家,他的数学贡献涉及解析数论、调和分析、函数论等方面.他一生著述颇丰,计有8部专业书籍和大约350篇论文,包括独著或合作的,全部在《伦敦数学会杂志》(Journal of the London Mathematical Society1950)中列出,论文选从1966年开始在牛津出版了7卷,由伦敦数学会的成员校订,并附有注释.

  1.研究堆垒数论、首创圆法

  整数分拆是堆垒数论的一个基本问题,即把正整数n分成不计次序的若干个正整数之和.如n=n1 +n2++ns(n1 n2≥…≥ns0)n的一种分拆.以p(n)n的不加限制条件的所有分拆个数,当n增加时,p(n)值迅速增加,如p(200)是一个13位数,p(500)是一个22位数.

1748年,欧拉通过高超的手算技巧导出p(n)的母函数

 

  此后,关于整数分拆的研究不断发展,但限于初等方法,未引入实质性的分析思想,只能相当繁琐地计算较小整数的分拆数.1916年,极富经验与热情的英国计算专家PA.麦克马洪(Macmahon)花了一个月时间算出p(200)=3972 999 029 388.整数分拆理论研究中实质性的突破发生在1918年.哈代和拉马努金合作发表论文“组合分析中的渐近公式”(Asymptotic formulae in com-binatory analysis),应用新的分析方法——圆法的思想给出了p(n)的渐近公式

 

  在此之前,他们曾用初等方法证明了p(n)的估计式

 

  利用哈代-拉马努金公式,8项就能求出p(200)的值,误差仅为0.004.为了确切计算任意大的n的分拆数,他们又得出p(n)的既渐近又准确的分解式.进一步的结果是H.拉德马赫尔(Rad-emacher)1937年得到的级数表达式

 

  其中

  哈代与拉马努金的工作在近代堆垒数论的研究中具有划时代的意义,不仅在数论领域引起数学家们的极大兴趣,而且促进了改进的经典分析和现代不等式理论的发展.

  华林问题是堆垒数论中另一个著名问题,1770年由英国数学家E.华林(Waring)提出,可叙述为:对于每个整数k2,存在一个正整数s(k),使得每个正整数ns个非负的k次方数之和,即不定方程

  对所有整数n0有非负整数解xj (1js).记s(k)的最小值为g(k)1909年,希尔伯特证明了华林猜想,但他只完成对每个kg(k)存在性的证明,未给出对任意k,确定g(k)值的方法.其后几位数学家的工作同样限于存在性的证明.哈代和李特尔伍德的工作改变了这一状况,他们讨论使方程(1)对充分大的n可解的s(k)的最小值G(k),这比讨论g(k)更有意义.1919年,他们发表了“华林问题新解法”(A new solution of W-arings problem)一文,19201928年,他们以“‘分拆数’的一些问题”(Some problems ofpartitio numerorum)为主标题发表了一系列文章,开创并发展了后来以“哈代-李特尔伍德圆法”而著称的研究方法.

  rsk (n)表示方程(1)的解数,令

   

 

  所以

 

  将积分区间稍微平移,作法里(Farey)分割,将[01]分为优弧和劣弧两部分,优弧由分母较小的分数的小区间组成;劣弧由[01]其余部分组成.从优弧上的积分可以计算出rs,k (n)的主项,问题归结为从劣弧上的积分推导出rs,k (n)余项的研究,这就是圆法.哈代和李特尔伍德在1922年证明了当s(k-2)2k-1 +5时,rs,k (n)有一个渐近公式,从而推出对任意kG(k)(k-2)2k-1 +5.对于较小的k1938年华罗庚证明了当s2k+1时,rs,k (n)有渐近公式,得到G(k)2k+150年后RC.沃恩(Vaughan)改进为s2k2.对于较大的k,И.M.维诺格拉多夫(BиHOгpaдoв)用改进的方法得到s[10k2log k],华罗庚改进其方法,推出当k10时,s2k2(2 log k+log logk+2.5).此外已经知道G(2)=41939年,H.达文波特(Davenport)证明了G(4)=161942年,Ю.B.林尼克(Линик)证明了G(3)7.通过哈代-李特尔伍德圆法,k3G(k)的最好估计已经得到:当k→∞,G(k)k(logk)(2+o(1))

  哈代-李特尔伍德圆法的特色之一是它适用于堆垒数论中的各种问题,尤其是在哥德巴赫猜想的研究中有有效的应用.以哈代和李特尔伍德的工作为起点,维诺格拉多夫、华罗庚、达文波特等人对这一方法的发展做出了各自的贡献(详见文献[12])

  2.黎曼猜想研究中的突破

  哈代的工作涉及解析数论的多个分支.黎曼猜想即为其中之一.1859年,GFB.黎曼(Riemann)提出猜想:复变函数

 

  的全部非平凡零点都位于直线

 

  上.后来这一猜想成为著名的希尔伯特23问题中第8问题的首要问题,它的解决联系着数论中的许多问题.哈代对这个问题特别感兴趣,发表了多篇讨论ξ(s)函数的论文.1914年,他证明了ξ(s)有无穷多零点位于直线

 

  上,在黎曼猜想的研究中取得了重大突破.若以N0 (T)表示ξ(s)

 

  直线段上的零点数目,则当T→∞时,N0 (T)→∞.1921年,哈代与李特尔伍德证明了存在A0,使N0 (T)AT,这一定理作为当时关于黎曼猜想的最好结果保持了20多年.在此基础上,A.塞尔伯格(Selberg)1942年、N.莱文生(Levison)1974年作了重要推进,但此猜想至今未被证明或否定.自哈代的工作之后,围绕黎曼猜想已发展成为错综复杂的分析分支——ξ(s)函数理论.在假定黎曼猜想成立的前提下,哈代曾在论文中指出哥德巴赫问题的研究方法和方向.

  3.开经典Hp 空间理论之端

  Hp 空间又称哈代空间,是勒贝格(Lp )以外重要的函数空间之一.单变量的Hp 空间,最早来源于复变函数论.1915年,哈代引入了单变量Hp 函数类:对于在复平面的单位圆|z|1内解析的函数f(z),如果当r1时,积分平均值

 

  则称f(z)属于Hp .这被认为是经典Hp 空间理论的开端.1923F.里斯(Riesz)证明了Hp 空间是完备的赋范空间并命名为哈代空间,简记为Hp ,是复变函数论的重要研究对象之一.哈代和李特尔伍德还证明了一系列关于边界函数光滑性、Hp 空间函数的积分、Hp 空间中函数的系数及重排方面的定理.И.И.普里瓦洛夫(привалов)F.里斯和M.里斯兄弟、B.и.斯米尔诺夫(смирнов)G.赛格(Szeg)等人都对经典Hp 空间理论做出过贡献.近年来又有许多推广,调和分析、复分析、泛函分析及偏微分方程的许多问题都是在Hp 空间中讨论的.

  4.主要数学著作

  《纯粹数学教程》是哈代早期对数学的最大贡献.这是英国第一部严谨精确的关于数、函数、极限等内容的讲解性著作,适于大学在校生学习,受到普遍欢迎,1952年已发行到第10版.这本书的主要特点是内容比较基本,未涉及一致收敛、二重级数、无穷乘积等内容.另一特色是章末附有大量有一定难度的习题.哈代认为他已尽量避免包含真正困难的思想.1937年第7版,哈代又在章末插入一些由拉弗教授提供的从过去20年的数学荣誉学位考试中精选出的试题,这些题目对学生的学习大有裨益.此书初写时,分析在剑桥不被重视,学生的水平也较低,而20年后却出现了一股研究分析的热潮,哈代及其著作对这一转变起到了不可忽视的作用.《纯粹数学教程》不仅吸引了在校生,激发了他们的思想和才干,而且对一些青年分析学家也产生了有益的影响.

  哈代与李特尔伍德、G.波利亚(pólya)合著的《不等式“(Inequalities1934)也是一部重要著作,常被作为文献引用.立中内容共分10章,介绍了各种类型的不等式,任意函数平均值和收敛函数理论,微积分的各种应用,无穷级数,变分学的应用以及与双线性型和多重线性型有关的定理,希尔伯特不等式和它的模拟及开拓.其中包括一些哈代的独创性工作,如哈代不等式是他在试图化简希尔伯特定理的证明时发现的,在Hp 空间理论中有重要应用.

  《发散级数》(Divergent series1949)是哈代逝世前不久完成的一部较有影响的著作.李特尔伍德在序言中写道:“他所有的著作都给他带来了某种程度的快乐,而这一本,他最后的一部书,则是他最珍爱的”.事实上,从1931年哈代返回剑桥时就开始间断地收集有关的文献,并对这本书的价值充满信心.1821年,AL.柯西(Cauchy)严格定义了收敛概念后,人们只注重收敛级数的讨论.直至19世纪末才开始发散级数的明确研究.哈代在其著作中总结了发散级数的历史发展概况、研究方法及成果.求和法是发散级数理论的主要研究课题之一,即把不收敛的级数的和给予适当的解释而加以定义,使其在柯西意义下给出有限的和.哈代书中介绍的方法有特殊求和法、算术方法、欧拉和波莱尔方法、豪斯多夫方法,还论述了幂级数的陶伯型定理、维纳的陶伯型定理、欧拉-马克劳林求和公式.哈代在陶伯型定

  此外,哈代对丢番图逼近、素数分布理论、哥德巴赫猜想均有较深入的研究,他与EM.赖特(Wright)合著的《数论导引》(An introduction to the theory of numbers1938)包括24章,论及数论领域的广泛的内容.哈代在积分变换、积分方程、三角级数理论等方面也有贡献,著有《单变量函数积分》(The integrationof functions of a single variable1905)、《无穷序数》(Orders ofinfinity1910)、《狄利克雷级数的一般理论》(The general theoryof Dirichlets series1915,与里斯合著)、《傅里叶级数》[Fourierseries1944,与WW.罗戈辛斯基(Rogosinski)合著]

  5.对生物数学的贡献

  哈代在数学上的研究还使他有机会留名于生物数学的著作中.1908年,他在美国《自然》(Science)杂志上发表文章“混合种群中的孟德尔比率”(Mendelian proportions in a mixedpopulation),建立了描述群体遗传平衡的代数方程,得出结果:一个大的随机交配的种群在没有迁移、选择和突变的情况下,基因频率和基因型频率在任何世代都是恒定的,从而解决了关于显性和隐性遗传特性在大量混合群体中以何种比例遗传的争论.这一结果在研究许多遗传问题,包括Rh血型的分布和血友病时极为重要,是群体遗传学的基础.同年,德国医师S.温伯格(Wenb-erg)也独立发现了相同的原理,后被称为哈代-温伯格定律.

  6.品格、爱好、数学观点

  作为一位知名数学家,哈代的人品和他的学问同样受到赞誉.他健谈,谈话可以吸引周围很多人;他严于律己,参加该出席的各种会议,履行自己的职责;他富于正义感,痛恨战争,一生中不喜欢任何虚伪的东西.

  哈代为人谦和,经常强调其他合作者的重要性而对自己轻描淡写,他曾说过正是得益于与李特尔伍德和拉马努金的平等合作才达到了他不寻常的大器晚成.哈代具有出色的与他人合作的才能,EC.蒂奇马什(Titchmarsh)AE.英哈姆(Ingham)、波利亚、E.兰道(Landau)M.里斯等20世纪数学领域中的精英人物都曾是他的合作者.哈代引导许多年轻人迈入他们早期研究的大门,在他们面临困难时给予帮助和鼓励.N.维纳(Wiener)在他的自传《我是一个数学家》(I am a mathematician1956)中多次表达了他对哈代的钦佩与感激之情.华罗庚在赴剑桥大学进修时亦得到过哈代的指导和帮助.1936年,华罗庚被维纳推荐给哈代,惜才的哈代对华罗庚极为赏识.华罗庚在解析数论,尤其是圆法与三角和估计方面的研究成果是与他在剑桥的学习和研究分不开的.

  除热衷数学研究之外,哈代的主要兴趣在球类运动上,尤其对于板球,他是一个能够掌握最新技术的球手和经验丰富的评论家.

  哈代曾说他之所以选择数学作为自己的事业主要是因为数学是他能做得最好的一件事,而不是由于别的堂皇的理由.他的数学成就基于他对数学的无限热爱和全身心投入.他说研究工作一直是他一生中经久不衰的一大乐事,数学是他为之耗尽了毕生精力的学科.

  哈代在《一个数学家的自白》[3]中表达了他对数学的看法.这本书在西方数学界有一定的影响,经常被引用,但其中的某些观点也是有争议的.对于数学是否有其自身的存在状态,哈代写道:我认为数学实体是在我们之外而存在的,我们的作用就是去发现它、观察它,那些被夸张地描绘成我们的‘创造物’的定理,不过是我们观察的记录而已.”对于数学美,哈代认为:“数学的美可能很难定义,但它的确是一种真实的美”,“最好的数学既是美的,同时又是严肃的”.哈代对数学的应用,特别是应用于战争很反感.他将纯粹数学视为真正的数学而与应用数学划清界线.他得出结论:“纯粹数学就总体而论显然比应用数学有用.一个纯粹数学家似乎不仅在美学方面而且在实用方面都占有优势.因为有用的东西主要是技巧,而数学技巧主要是通过纯粹数学来传播的.”“真正的数学对战争毫无影响”,“是一门‘无害而清白’的职业.”

  哈代被公认为他所处时代的英国纯粹数学的领导人,他的活力和热情清晰地印在所有认识他的人的记忆中,他的作品显示出了他过硬的专业知识和对英语文体的精通.“我曾为知识领域添砖加瓦,也曾帮别人添枝加叶;这些东西的价值,比起身后留下某种纪念物的大数学家或任何其他大大小小的艺术家们创造的价值,只是程度上有所不同,性质上并无差异.”[3]这就是哈代对自己一生的总结和评价.