勒贝格

周民强

(北京大学)

  勒贝格,HL(LebesgueHenri Léon) 1875628日生于法国的博韦;1941726日卒于巴黎.数学.

  勒贝格的父亲是一名印刷厂职工,酷爱读书,很有教养.在父亲的影响下,勒贝格从小勤奋好学,成绩优秀,特别善长计算.不幸,父亲去世过早,家境衰落.在学校老师的帮助下进入中学,后又转学巴黎.1894年考入高等师范学校.

  1897年大学毕业后,勒贝格在该校图书馆工作了两年.在这期间,出版了E.波莱尔(Borel)关于点集测度的新方法的《函数论讲义》(Lecons sur la théorie des functions 1898),特别是研究生R.贝尔(Baire)发表了关于不连续实变函数理论的第一篇论文.这些成功的研究工作说明在这些崭新的领域中进行开拓将会获得何等重要的成就,从而激发了勒贝格的热情.从1899年到1902年勒贝格在南锡的一所中学任教,虽然工作繁忙,但仍孜孜不倦地研究实变函数理论,并于1902年发表了博士论文“积分、长度、面积”(Intégralelongueuraire).在这篇文章中,勒贝格创立了后来以他的名字命名的积分理论.此后,他开始在大学任教(19021906在雷恩;19061910在普瓦蒂埃),在此期间,他进一步出版了一些重要著作:《积分法和原函数分析的讲义》(Leconssur lintégration et la recherche des fonctions primitives1904);《三角级数讲义》(Lecons sur les séries trigonométriques1906).接着,勒贝格又于19101919年在巴黎(韶邦)大学担任讲师,1920年转聘为教授,这时他又陆续发表了许多关于函数的微分、积分理论的研究成果.勒贝格于1921年获得法兰西学院教授称号,翌年作为C.若尔当(Jordan)的后继人被选为巴黎科学院院士.

  勒贝格对数学的主要贡献属于积分论领域,这是实变函数理论的中心课题.19世纪以来,微积分开始进入严密化的阶段.1854B.黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分,这一理论的应用范围主要是连续的函数.随着K.魏尔斯特拉斯(Weier-strass)G.康托尔(Cantor)工作的问世,在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象,致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性.几乎与这一理论发展的同时(18701880),人们就巳经开展了对积分理论的改造工作.当时,关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨,而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现,使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位.积分的几何意义是曲线围成的面积,黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的.因此,人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上,从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中.这一思想的重要性在于使人们认识到:集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广.勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上的,它是黎曼积分的扩充.

  为勒贝格积分理论的创立作出重要贡献的首先应推若尔当,他在《分析教程》(Cours danalyse1893)一书中阐述了后人称谓的若尔当测度论,并讨论了定义在有界若尔当可测集上的函数,采用把定义域分割为有限个若尔当可测集的办法来定义积分.虽然若尔当的测度论存在着严重的缺陷(例如存在着不可测的开集,有理数集不可测等),而且积分理论也并没有作出实质性的推广,但这一工作极大地影响着勒贝格研究的视野.在这一方向上迈出第二步的杰出人物是波莱尔,1898年在他的《函数论讲义》中向人们展示了“波莱尔集”的理论.他从R1中开集是构成区间的长度总和出发,允许对可列个开集作并与补的运算,构成了所谓以波莱尔可测集为元素的σ代数类,并在其上定义了测度.这一成果的要点是使测度具备完全可加性(若尔当测度只具备有限可加性),即对一列互不相交的波莱尔集{En},若其并集是有界的,则其并集的测度等于每个En的测度的和.此外,他还指出,集合的测度和可测性是两个不同的概念.但在波莱尔的测度思想中,却存在着不是波莱尔集的若尔当可测集(这一点很可能是使他没有进一步开创积分理论的原因之一).特别是其中存在着零测度的稠密集,引起了一些数学家的不快.然而勒贝格却洞察了这一思想的深刻意义并接受了它.他突破了若尔当对集合测度的定义中所作的有限覆盖的限制,以更加一般的形式发展和完善了波莱尔的测度观念,给予了集合测度的分析定义:设E [ab],考虑可数多个区间{Ii}E作覆盖.定义数值

m*(E)+m*([ab]E)=b-a

  则称E为可测集(E是勒贝格可测的).在此基础上,勒贝格引入了新的积分定义:对于一个定义在[ab]上的有界实值函数f(x)(mf(x)M),作[mM]的分割△:

m=y0y1<…<yn-1yn=M

  令

Ei={x[ab]:yi-1f(x)yi},(i=12,…n)

  并假定这些集合是可测的(f(x)是勒贝格可测函数).考虑和式

 

  如果当max{yi-yi-1}→0时,sS趋于同一极限值,则称此值为f(x)[ab]上的积分,勒贝格曾对他的这一积分思想作过一个生动有趣的描述:“我必须偿还一笔钱.如果我从口袋中随意地摸出来各种不同面值的钞票,逐一地还给债主直到全部还清,这就是黎曼积分;不过,我还有另外一种作法,就是把钱全部拿出来并把相同面值的钞票放在一起,然后再一起付给应还的数目,这就是我的积分”.在他的这一新概念中,凡若尔当可测集,波莱尔可测集都是勒贝格可测集.勒贝格积分的范围包括了由贝尔引入的一切不连续函数.

  从数学发展的历史角度看,新的积分理论的建立是水到渠成的事情.但是可贵的是,与同时代的一些数学家不同,在勒贝格看来,积分定义的推广只是他对积分理论研究的出发点,他深刻地认识到,在这一理论中蕴含着一种新的分析工具,使人们能在相当大范围内克服黎曼积分中产生的许多理论困难.而正是这些困难所引起的问题是促使勒贝格获得这一巨大成就的动力.

  这方面的第一个问题是早在19世纪初期由J.傅里叶(Fou-rier)在关于三角级数的工作中不自觉地引发的:当一个有界函数可以表示为一个三角级数时,该级数是它的傅里叶级数吗?这一问题与一个无穷级数是否可以逐项积分有着密切的关系.傅里叶当时曾认为在其和为有界函数时这一运算是正确的,从而给上述问题以肯定的回答.然而到了19世纪末期,人们认识到逐项积分并不总是可行的,甚至对于黎曼可积函数的一致有界的级数也是这样,因为由该级数所表示的函数不一定是黎曼可积的.这个问题的讨论促使勒贝格在新的积分理论中获得了一个十分重要的结果:控制收敛定理.作为一个特殊情形他指出,勒贝格可积的一致有界级数都可以逐项进行积分,从而支持了傅里叶的判断.逐项积分在本质上就是积分号下取极限的问题,它是积分论中经常遇到的最重要的运算之一.从而这一定理的创立显示出勒贝格积分理论的极大优越性.

  微积分基本定理

  是微积分学的核心.然而这一公式的运用在黎曼积分意义下却有较大的限制,在18781881年间,U.迪尼(Dini)V.沃尔泰拉(Volterra)曾构造了这样的函数,它们具有有界的导函数,但是导函数不是黎曼可积的,从而基本定理对此是不适用的.此后,联系到黎曼积分对无界函数的推广也发现了类似的困难.然而,在新的积分理论中,勒贝格指出,对有界函数来说,这一困难是不存在的.在f'是有限值但无界的情形,只要是可积的,基本定理仍是成立的,而且这正相当于f是有界变差函数.同时,逆向问题也被人们提出来了:何时一个连续函数是某个函数的积分?为此,A.哈纳克(Harnack)曾导入了后来叫做绝对连续的函数.约在1890年期间,绝对连续函数就被当作绝对收敛的积分的特征性质来研究,虽然还没有人能真正证明任何绝对连续函数都是一个积分.然而,勒贝格通过对于导数几乎处处为零但函数本身并非常数的函数的考察,认识到在他的积分意义下,上述结论是正确的.从而得出了积分与原函数之间的一个完整结果:公式(1)成立的充分且必要条件是: f(x)[ab]上的绝对连续函数.

  另一个与积分论有关的问题是曲线的长度问题.19世纪前期,很少有人注意到一条曲线长度的定义和可求长问题.一般都认为以y=f(x)(axb)所描述的曲线段总是有长度的,且长度可用

 

  表示.杜·布瓦-雷蒙(Du Bois-Reymond)在研究关于两点间长度最短的曲线的变分问题时,从GPL.狄利克雷(Dirichlet)关于函数的一般观点出发探讨了曲线长度的概念.由于用到了极限过程这一分析手段,他认为(1879)积分理论对曲线长度的概念和可求长性质的陈述是必不可少的.但到了19世纪末期,这一见解由于L.希弗尔(Scheeffer18591885)举出的反例而受到责难,这一反例致使定积分感兴趣,并应用他的积分论中的方法和结果,证明了曲度长度与积分概念是密切相关的,从而恢复了杜·布瓦-雷蒙断言的可信性.

  勒贝格关于微积分基本定理和曲线可求长理论的研究,促使他发现有界变差函数是几乎处处可微的这一事实.(注:若尔当曾指出不定积分是有界变差函数.)这一定理的重要性在于:人们对于连续函数的可微性已经讨论了一个多世纪,在19世纪的几乎前半个世纪,人们还一直认为连续函数在其定义区域中的绝大多数点上都是可微的.虽然连续函数总被误认为是逐段单调的,但这使单调性与可微性联系起来了,尽管是脆弱的.19世纪末期,这一看法逐渐被人怀疑,甚至有些其地位不低于魏尔斯特拉斯的数学家都觉得存在着无处可微的连续的单调函数.于是,在这一意义下,勒贝格的定理支持了前一代数学家的直觉印象.

  在传统的关于二重积分与累次积分的等值性定理上,黎曼积分也反映出它的不足之处,人们发现了使该定理不成立的例子.从而作为一个结论,这一定理的传统说法必须修改,然而在把积分推广于无界函数的情形时,这一修改变得更加严峻.对此,勒贝格的重积分理论,使得用累次积分来计算二重积分的函数范围扩大了.他在1902年给出的一个结果奠定了1907G.傅比尼(Fubini)创立的著名定理的基础.

  勒贝格积分理论作为分析学中的一个有效工具的出现,尤其是他在三角级数中应用的高度成功,吸引了许多数学家,例如P.法图(Fatou)F.里斯(Riesz)E.菲舍尔(Fischer)等,来探讨有关的问题,使得这一领域开始迅速发展.其中特别是里斯关于Lp空间的工作(注:勒贝格可积的函数全体构成的距离空间是完备的),使得勒贝格积分在积分方程和函数空间的理论中持久地占有重要的位置.

  虽然勒贝格在最初阶段专注于他自己的积分理论,然而在激励抽象测度和积分论研究的开展上,他的工作仍是先导性的.1910年,勒贝格发表题为“关于不连续函数的积分”(Sur Iintégrationdes fonctions discontinues)的重要专题报告.在这里他不仅把积分、微分理论推广于n维空间,而且引入了可数可加集合函数的概念(定义于勒贝格可测集类上),指出这些函数是定义在集合类上的有界变差函数.正是因为对于有界变差与可加性概念之间联系的考察,使得J.拉东(Radon)作出了更广的积分定义,其中把T-J.斯蒂尔吉斯(Stieltjes)积分和勒贝格积分作为它的特殊情形.他还在1913年的文章中指出,勒贝格的思想在更一般的背景上也是有效的.

  勒贝格的一生都献给了数学事业,在1922年被推举为院士时,他的著作和论文已达90种之多,内容除积分理论外,还涉及集合与函数的构造(后来由俄国数学家H.鲁金(ЛyэиH)及其他学者进一步作出发展)、变分学、曲面面积以及维数理论等重要结果.在勒贝格生前最后20年中,研究工作仍然十分活跃并反映出广泛的兴趣,不过作品内容大都涉及教育、历史及初等几何.

  勒贝格的工作是对本世纪科学领域的一个重大贡献,但和科学史上所有新思想运动一样,并不是没有遇到阻力的.原因是在勒贝格的研究中扮演了重要角色的那些不连续函数和不可微函数被人认为违反了所谓的完美性法则,是数学中的变态和不健康部分.从而受到了某些数学家的冷淡,甚至有人曾企图阻止他关于一篇讨论不可微曲面的论文的发表.勒贝格曾感叹地说:“我被称为一个没有导数的函数的那种人了!”然而,不论人们的主观愿望如何,这些具有种种奇异性质的对象都自动地进入了研究者曾企图避开它们的问题之中.勒贝格充满信心地指出:“使得自己在这种研究中变得迟钝了的那些人,是在浪费他们的时间,而不是在从事有用的工作.”

  由于在实变函数理论方面的杰出成就,勒贝格相继获得胡勒维格(Houllevigue)(1912);彭赛列(Poncelet)(1914)和赛恩吐(Saintour)(1917).许多国家和地区(如伦敦、罗马、丹麦、比利时、罗马尼亚和波兰)的科学院都聘他为院士,许多大学授予他名誉学位,以表彰他的贡献.