高木贞治

杜石然

(中国科学院自然科学史研究所)

  高木贞治(高木贞治,Takagi Teiji)1875421日生于日本国岐阜县;1960228日卒于东京.数学.

  高木贞治出生地是日本国岐阜县大野郡数屋村.其生父为木野村光藏(木野村光藏),生母为高木徒祢(高木徒禰).高木出生时,父56岁,母32岁;当时他父亲是丧妻续弦,而高木贞治则是他生母的头胎子.他出生之后,生母未再返夫家,因此高木贞治继承的是母姓,实际上是假作舅父高木勘助的“长子”记入户籍的.据谈母亲徒祢生性刚强,有男子气,而且记忆力极好;养父毕生无出,视贞治如己出,十分喜爱.母亲一生大都从事农业劳动,养父则同时兼作一些村里的公共事务.

  五岁起,高木贞治进入邻家野川杏平所办的私塾,接受《论语》、《孟子》、《十八史略》等初步的汉学教育.1882年高木7岁入小学,成绩超群,全为甲等.当时日本有可以跳级的制度,高木每年跳一级,3年读完6年课程,被当时的岐阜《日日新闻》誉为神童.但他却很少与同学交游.如果说是神童,他也只能算是一个孤独的神童.

  1886年,高木入岐阜中学学习,成绩仍然极好,15岁毕业时成绩为全校第一名,免试被推荐进入第三高等中学校(京都)学习.他在中学的数学教师为桦正董(桦正董),这位老师后来也曾到西方留学,是明治后期日本知名数学家之一.但是对高木影响最大的老师乃是第三高中时代的数学先生河合十太郎(河合十太郎,KawaiJiutar),正是由于河合的影响,促使高木选择了以数学研究为毕生的职业.河合幼年曾学习过日本的传统数学��和算,后又从师于关口开(关口开,Sekiguti Hilaki)学习洋算,1886�1889年在东京帝国大学数学科向菊池大麓(菊池大麓,Kikuchi Dairoku)和藤泽利喜太郎(藤沢利喜太郎,Fujisawa Rikitar)学习.菊池和藤泽都是日本明治维新之后留学国外专攻数学的第一批学者,他们都是日本现代数学的奠基人.菊池偏重数学教育,藤泽则偏重数学研究.高木通过河合,间接地受到二人的影响.河合的学生中有林鹤一(林鹤一,Hayashi Tsuruichi)、吉江琢兒(吉江琢児,Yoshie Takuji)、藤原松三郎(藤原松三郎,Fujiwara Matsusa-bur)等人,他们后来都成了本世纪上半叶日本著名的数学家.在第三高中,吉江与高木同班,而林则高一班.

  1894年,高木经推荐进入东京帝国大学数学科学习,直接受教于菊池和藤泽.菊池讲授解析几何、高等几何;藤泽讲授微积分、微分方程、函数论等课.在当时规定的大学课程中缺少代数,高木后来回忆说“藤泽先生在柏林听过L.克罗内克(Kronecker)的课,克罗内克经常讲大学不可无代数,而日本当时认为代数教学应在中学完成.后来有了讨论班之后,藤泽先生经常提出一些代数问题.当时的代数有JA.塞莱(Serret)的高等代数,先生命我读其中的阿贝尔方程,这使我受到高等代数的洗礼.当时书架上还列有H.韦伯(Weber)代数学的第一卷,也找来读了,初次接触到伽罗瓦理论……”,“当时的学风相当自由,藤泽先生等人鼓吹德国的Lehr-und Lernfreiheit(学,要自由地学),鼓励学生自由读书,……,课堂上课比较少,……,其间读了不少书”.据当时的借书记录,高木在4年间(大学3年,研究生院1)共借读了70余册书.其中有塞莱和韦伯的代数学、PGL.狄利克雷(Dirichlet)JWR.戴德金(Dedekind)的整数论、D.希尔伯特(Hilbert)关于整数论的报告,还读了许多关于椭圆函数论的古典著作以及C.若尔当(Jordan)CE.皮卡(Picard)写的分析教程.独立直接阅读当代大家的著作,毫无疑问对高木是极好的训练.同样给高木以很好训练的是藤泽利喜太郎指导的“讨论班”.这个讨论班曾出版了《藤泽教授讨论班习作集》(藤沢教授セミナ一ル演習録,1897),《习作集》第二集上刊载了高木最初的习作“论阿贝尔方程”(マ一ベル方程式ド一ペヒ,1897),长达67页.文中叙述了方程代数解法的历史以及域、群、伽罗瓦群等等,所谓阿贝尔方程即指其伽罗瓦群为阿贝尔群的代数方程.后来使高木成名的“类域论”,实际上指的是“相对阿贝尔域论”,可以说和“讨论班”上他作的课题多少有些关系.

  1897年高木大学毕业,返回家乡,养父才把他的身世讲明.此时他的生父已死,他第一次见到同父异母的两位务农的哥哥.看来如果他一直在生父身边长大,很可能也不会上大学,会和他的两个哥哥一样.

  高木进入研究生院学习一年之后,即被派往德国留学.在研究生院期间,高木撰写了《新撰算术》(1898)、《新撰代数学》(1898)二书,都是当时高标准的教科书,前者包含了整数论,后者包含三、四次方程的代数解法.

  18981013日高木贞治来到德国柏林.后来高木回忆说:“出国留学当然高兴,但初到柏林,也很恐惧.一方面因为当时还是把西方学者视为天神的时代,另方面当时的柏林正是三尊大菩萨KThW.魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、克罗内克和EE库默尔(Kummer)鼎盛之后,由IL.富克斯(Fuchs)S.施瓦兹(Schwarz)FG.弗罗贝尼乌斯(Frobenius)接班的时代.那时,一般认为学数学必到德国,到德国必来柏林.一个既无教养、又无自信的东洋乡巴佬,到这里来确有些恐惧.”

  在柏林大学高木听了弗罗贝尼乌斯的代数(包括伽罗瓦理论)和整数论(相当于狄利克雷-戴德金《整数论讲义》(Vorlesungenüler Zahlentheorie)的内容) K.亨泽尔(Hensel)的整数论、施瓦兹的函数论、富克斯的微分方程.这一年富克斯65岁,施瓦兹55岁,上课时后者总是说“魏尔斯特拉斯先生这样说过”“那样说过”,前者则只是单纯的读讲稿;而弗罗贝尼乌斯这一年49岁,精力充沛,给高木以很好的印象.高木回忆说“老师中弗罗贝尼乌斯最年青,讲的是伽罗瓦理论和整数论,内容虽无甚特殊,但神态自如,不拿讲稿侃侃而谈,有生以来还是第一次听到如此生动的课……出国之前曾有人恐吓说弗罗贝尼乌斯轻视日本人……,实际上他并不可伯.每当我拿一些问题去请教时,他常常一面说问题很有趣,一面说Denken Sie nach(请自己认真思考一下),同时借给我各式各样的论文抽印本.‘自己认真思考一下’,有生以来还是第一次有人这样教训我”.“自己认真思考”这一教导使高木终生受益.但总的讲来,高木对自己在柏林的学习并不满意.

  19004月,为了到斯特拉斯堡听韦伯的课,中途高木曾在格丁根暂停.凭他敏锐的感觉,高木发现了在格丁根存在着一位罕见的数学大师希尔伯特.于是他决定转至格丁根继续留学.5个月后(19009)希尔伯特在巴黎世界数学家大会上发表了著名的关于23个待解决数学问题的讲演.这篇著名的讲演也经常被看作为20世纪的数学宣言.

  当时格丁根的数学教授有1886年来自莱比锡的F.克莱因(Klien),和1895年由柯尼斯堡转来的希尔伯特,1900年时克莱因51岁,希尔伯特38岁.副教授有AM.舍恩弗利斯(Scho-enflies)RA.费希尔(Fisher)、希林(Schilling),讲师有EFF.策梅罗(Zermelo)、阿布拉罕(Abraham).高木对格丁根的学习环境十分满意.后来他回忆这段生活时说“此处与柏林完全不同,这很使我吃惊.每周一次的座谈会,也可以说是从德国、从世界各大学荐选来的少壮派的聚会,实际上这里是世界数学的中心”.克莱因以其能够在不同数学分枝中发现并抓住其内在的共同本质而著称,希尔伯特则更是如此.高木对他们这种高度的洞察能力,十分敬服,赞叹不已.

  1897年希尔伯特出版了他的名著《代数数域理论》(Berichtüber die Theorie der algebraischen Zahlkrper)(通常被称为《整数论报告》),高木在日本时即读过此书.或许在国内已开始思考,但决定以代数数论为自己的研究方向则是当高木来至格丁根并受到希尔伯特指导以后.

  在格丁根,高木取得了他的第一项研究成果:他部分地解决了克罗内克猜想.

  所谓克罗内克猜想是指:虚二次域K的阿贝尔扩张都可由具有K中元素复数乘法的椭圆函数的变换方程来确定.这一猜想是克罗内克于1880年提出来的,在当时算是比较难以解决的问题.高木的结果是:当

  1901年,26岁的高木留学三年之后回国.1903年发表了他在格丁根时已得出的研究成果,标题为“关于有理系数复数域上的阿贝尔域(ber die im Bereiche der rationalen complexen Zah-len Abelschen Zahlkrper),发表在《东京帝国大学理学部纪要》195(1903)1�42页,并以此文获得博士称号.1904年他被任命为教授.

  高木在1903年发表了他的学位论文之后,大约沉寂了10年,这10年的心血大都用于平静的教学工作.从1914年开始高木进行了新的关于类域的研究.到1920年,高木把1915年以来发表的数篇短文汇总起来,写成了他的成名之作:“关于相对阿贝尔域的理论”(ber eine Theorie der relative-Abelschen Zablkper),刊载在《东京帝国大学理学部纪要》41(1920)1�133页上.此文是开创高木类域论的重要论文.

  类域(class field)的概念是希尔伯特于1898年首先引入的,同时他还提出了一些猜想和定理(1902)1907Ph.富特温勒(Furtwngler)给出了其中部分定理的证明.高木对类域的概念进行了拓展,希尔伯特最初给出的定义后来被改称为绝对类域(absolute class field).高木证明了:代数数域k的任何阿贝尔扩张K均可表示成k上的类域.此定理通常被称为是类域论的基本定理或主定理.

  在高木之前曾有过高斯关于二次式的理论、狄利克雷关于素数的定理、关于有理数域上的阿贝尔域B是圆域的韦伯定理以及希尔伯特和富特温勒关于绝对类域的几个定理,高木从这些表面看来是如此不同的诸多事实中,概括出其内部的共同性质,进行分析并取得出色的结果.他在留学时曾力图解决的克罗内克猜想问题,此时也可以算作是高木类域论一个实际应用的特例,得到肯定的解决.

  1920925日高木贞治在法国斯特拉斯堡举行的世界数学家大会(922日�30)上宣读了上述论文.出席听讲的有KB.菲特(Fueter)J.阿达玛(Hadamard)LP.艾森哈特、(Eisenhart)等人,但无任何反响.回日本之后,高木于1922年又发表了他的第二篇论文“关于任意代数域的互反法则”(ber dasReziprozittsgesetz in einem beliebigen algebraischen Zahlkr-per),载《东京帝国大学理学部纪要》44卷,1�50页.

  对高木类域论的进一步发展作出重大贡献的是两名青年数学家E.阿廷(Artin)H.哈塞(Hasse).阿廷于1923年受到高木第二论文的启发,提出了更一般的互反法则并证明了若干特例.1927年阿廷完成了这个一般的互反法则的证明.这个证明,阿廷受到苏联学者H.Г.切博塔廖夫(ЧeбoTapёB)1926年发表的一篇文章中所用方法的启示.哈塞19259月受委托以“类域论的最新进展”为题,在德国全国数学年会作了报告.后来他以这个报告为基础,在192619271930年分三次以“关于代数域论的最新研究及问题”为题,详细介绍了高木-阿廷类域论(现通常又称为古典类域论)

  希尔伯特1900年提出23个问题中的第9问题:“任意数域中最一般的互反律的证明”.这第9问题,至此可以说,被高木和阿廷以更为拓展的形式得到了明快的解决.1940C.谢瓦莱(Chevalley)完成了类域论的算术化.但是把类域论推广至非阿贝尔扩张的一般体的研究(即希尔伯特23个问题中的第12问题)至今仍在进行.

  1932年,高木57岁时,为出席在瑞士苏黎土召开的世界数学家大会(94日�12)第三次出国.会议主席是1920年听过高木第一篇论文的菲特.当菲特在会上介绍高木时,到会代表鼓掌表示了敬意.会议期间高木举行了一次招待晚宴,出席的有切博塔廖夫(当年38)、谢瓦莱(23)、哈塞(34)BL.范德瓦尔登(van der Waerden29)、弥永昌吉(弥永昌吉,IyanagaShkichi26)、南云道夫(南雪道夫,Nagumo Mitio 27)等人.阿廷因讨厌开会根本未到瑞士来.这大概是高木一生中最愉快的一个夜晚.

  高木的工作终于得到了国内外的一致称赞.1929年瑞典奥斯陆大学为纪念阿贝尔逝世一百周年授予当时世界著名的数学家16人以博士学位,高木是其中之一.1932年苏黎士世界数学家大会上高木被任命为大会副主席并被推选为菲尔兹(Fields)奖的评审委员.

  在日本国内,1923年高木即被选为学术研究会议议员;1925年被选为日本帝国学士院会员,在日本这是最高的终生荣誉学衔.

  高木一生从未担任过任何教育行政职务,以数学教育和数学研究而勤奋工作一生,也是比较平静的学者的一生.直接受教于高木的学生有末纲恕一(末纲恕一,Suetuna Zyoiti)、正田建次郎(正田建次郎,Shda Kenjir)、菅原正夫(菅原正夫,SugawaraMasao)、荒又秀夫(荒又秀夫,Aramata Hideo)、黑田成胜(黑田成勝,Kuroda Sigekatu)、三村征雄(三村征雄, Mimura Yukio)、弥永昌吉、守屋美贺雄(守屋美贺雄,Moriya Mikao)、中山正(中山正,Nakayama Tadasi)等人.

  高木1936年退休.1955年在日本召开了关于代数数论的国际会议,高木被推举为大会的名誉会长.当时他80岁,还数次到会,受到代表们的欢迎.1960228日,高木贞治因脑出血及其合并症逝世,终年84岁.

  1973年日本国岩波书店出版了高木贞治用西文写的论文集:《高木贞治论文集(西文部分)(The collected papers of TeijiTakagi).高木贞治的其他主要著作还有:《解析概论》(岩波书店,1938年初版)、《代数的整数论》(岩波书店,1948年初版)等.