列维-齐维塔

周冬梅

(辽宁师范大学)

  列维-齐维塔,T(Levi-CivitaTullio)1873329日生于意大利帕多瓦;19411220日卒于罗马.张量分析、数学物理学

  列维-齐维塔的父亲贾科马·列维-齐维塔(Giacomo Levi-Civita)是一名律师,1908年起任参议员.列维-齐维塔在帕多瓦的中学是一名很出色的学生.1890年进入帕多瓦大学数学院学习,师从CG.里奇(Ricci).后来,他们合作创立了绝对微分学.1894年他从该校毕业,次年任帕维亚科学院附属师范学院助教.18971918年在帕多瓦大学教授理论力学,1898年任该校讲师,1902年任该校教授.这一时期是他取得科学成就的主要时期.1914年在该地与T.利贝拉(Libera)结婚.1918年受聘为罗马大学高等分析教授,两年后又受聘为该校理论力学教授,直到1938年因法西斯种族主义政策而被迫离职,三年后卒于罗马.

  列维-齐维塔的科学兴趣很广泛,研究领域涉及张量分析、分析力学、天体力学、流体动力学、弹性力学、电磁学和原子物理学.

  数学贡献

  列维-齐维塔在里奇研究工作的基础上,对张量分析作了重要扩展.

  绝对微分学(现叫张量分析)源出黎曼几何学,这一学科的创立应归功于里奇.他在GFB.黎曼(Riemann)E.贝尔特拉米(Beltrami)EB.克里斯托费尔(Christoffel)ROS.利普希茨(Lipschitz)等人开创微分不变量研究的基础上,在18871896年的10年间发展了张量分析方法,创建了绝对微分学理论.里奇在1892年的一篇文章中对他的方法第一次作了系统论述,并用它来解决微分几何和数学物理学中的一些问题.后来里奇和他的学生列维-齐维塔等人又给出了这一方法的其他更有趣的应用.列维-齐维塔早期的代表作“动力方程变换”(Sulletrasformazioni delle equazioni dinamiche1896)就是论述绝对微分法应用的.为详述绝对微分学的系统理论,1901年,两人合写了“绝对微分法及其应用”(Méthodes de calcul différentielabsolus et leurs applications),发表在《数学年鉴》(Mathemati-sche Annalen)上,成为张量分析的经典著作,为张量分析和拓扑学的发展开辟了道路.它不仅给出了这一算法的综合论述,而且还用这一独特算法给出在欧氏和非欧氏空间特别是黎曼弯曲空间下的几何性质和物理规律的表示.这一文章虽然大部分篇幅致力于建立张量分析技术,但是他们主要关心的是发现微分不变量.在文章结尾,指出了如何把某些偏微分方程及物理规律表示成张量的形式,以便使它们与坐标系无关.由于张量分析研究共变的关系,即从一个坐标系变到另一个坐标系后仍然保持不变的关系,这一性质在相对论中有重要意义.在相对论中观测者的坐标系各不相同,而客观的物理规律对每一观测者都成立,这一特征使绝对微分学成为爱因斯坦广义相对论的有效的数学工具.

  19011905年,张量分析的研究只限于极少数的数学家.1916A.爱因斯坦(Einstein)发表了“广义相对论的基础”(Die Grundlage der allgemeinen Relativittstheorie)一文,成功地运用这一理论表述他的广义相对论,论文几乎用一半篇幅解说这种绝对微分学.“张量分析”这一名称就是他首先开始使用的.爱因斯坦的工作使张量分析和黎曼几何引起世人的注意,促进了它们的发展.

  1917年,列维-齐维塔发表了论文“关于黎曼几何学里的平行性概念”(Nozione di parallelismo in una varietà qualunque econsequente specificazione geometrica della curvature Rieman-nianaRendPalermo).这是相对论之后张量分析中的第一个革新,这篇论文给当时主要作为分析理论研究的黎曼几何学恢复了几何学面目,并使黎曼空间具有明显的几何意义而易于理解.在文章中,他改进了里奇的一个想法,引进现在仍以他的名字命名的向量的平行位移(parallel displacement)或平行转移(paralleltransfer)的概念.这一概念说明了黎曼空间中平行向量的涵义.

  在黎曼空间中,平行性定义如下:当空间中的一个向量在其起点沿一条测地线作平行于它自身的移动时,该向量同测地线(测地线的切线)必须仍然交成相同的角.特别地,测地线的一条切线沿这测地线移动时保持同它自己平行.这就是所谓的列维-齐维塔平行性.

  用数学语言可将上述思想叙述如下:

  在欧氏空间中取一斜交轴,将点(xk)处的向量vk平移到邻近点(xkdxk)处,这一事实可用vk的分量不变即

dvk=0

  表达.但是在黎曼空间里,向量的平移就不能用上式定义.因为vk是向量的分量时,dvk未必是向量的分量.故上面方程不是张量(向量)方程,不能具备与坐标轴的选法无关的几何意义.为弥补这种缺陷,不用普通微分而用共变微分δvk,当

 

  时,我们说向量vk从点(xk)平移到点(xkdxk).这就是列维-齐维塔平行性.

  平行位移的概念被引进后,立即获得许多应用.它可以用来描述一个空间的曲率,特别是用无穷小向量以无穷小步长作平行位移所带来的变化来描述.即使在欧几里得空间中,平行性也是曲率概念的基础,因为一个无穷小弧的曲率依赖于走遍这弧的切向量的方向的变化.在相对论中它是电磁场和引力场的统一表示的基础,在纯粹数学中,这一概念对拓扑中广义空间的近代微分理论的发展也有作用.

  列维-齐维塔的这种思想对黎曼几何学的发展产生了非常大的影响.

  首先,平行这个概念不是度量几何学的概念,而是仿射几何学的概念,由此从列维-齐维塔平行性概念得到启发,在黎曼空间中将度量概念完全去掉,考虑只留下平行性概念的空间并开展理论探讨,先后产生了由CHH.外尔(Weyl)引进的仿射联络几何学和由普林斯顿学派引进的道路几何学.外尔在1918年的名著《时间,空间,物质》(RaumZeitMaterie)中对黎曼流形中列维-齐维塔平行移动作了推广并引进仿射联络的概念.

  1923年,列维-齐维塔完成著作《绝对微分学》(The absolutedifferential calculus),这本书吸收了当时一些人的成果,对1901年与里奇合写的文章进行改善和补充,并增加了平行性理论和相对论的内容.

  其他贡献

  列维-齐维塔在运动现象的稳定性研究中,利用一阶微分方法的周期解,把研究稳定性或非稳定性归结为定点变换.他认为,在近似稳定性中,周期解是不稳定的.他在分析力学上的另一贡献是提出稳定运动的一般理论——在稳定运动中,运动物体总是以相等的速度经过同一点.他在此基础上研究了稳定运动的各种情况.

  在流体动力学方面,他从1906年起撰文论述了液体对浸入其中的固体的平移运动的阻力问题.考虑到固体通过后的液体所形成的形状,他利用对固体经过的无旋流方程的通积分解决了这一问题.1925年他又写了一篇关于管道波的一般理论的文章.

  19031916年间的一些论文中,他对天体力学中三体运动的确定做出了贡献.19141916年,他成功地排除了现在、过去、将来三体碰撞的可能性.他的理论提供了解决经典问题的精确方法——间接法和超越动力方程.不过,F.宗德曼(Sundmann)1912年已经得到类似结果.

  另外,列维-齐维塔对相对论的研究导致他解决了一些原子物理学提出的数学问题.

  总之,列维-齐维塔被认为是20世纪主要数学家之一,在纯粹数学和应用数学的每个领域上几乎都有贡献,论著近200篇,其中《经典力学和相对论力学问题》(Questioni di meccanica classicae relativistica1924)、《绝对微分学讲义》(Lezioni di calcolodifferenziale assoluto1925)已成为标准著作,而《理论力学讲义》[Lezioni di meccanica razionale19261927[U.阿马尔迪(Amaldi)合著]则被公认为经典著作.