策梅罗

张锦文

(中国科学院软件研究所)

  策梅罗,EFF(ZermeloErnst Friedrich Fer-dinand)1871727日生于德国柏林;1953521日卒于德国弗赖堡,数学.

  策梅罗的父亲是一位大学教授.策梅罗从小在柏林读书.1889年大学毕业后,在柏林、哈雷、弗赖堡等地钻研数学、物理和哲学,1894年策梅罗在柏林获得了博士学位,其博士论文为“变分演算的探索”(Untersuchungen zur variationsrechnung).此后,他去格丁根,向格丁根大学提交的授课的资格论文为:“关于球面上旋转运动的流体力学研究”(Hydrodynamische Untersuchungen berdie Wirbetbewegungen in einer kugelflche1902)1899年策梅罗执教于格丁根大学,讲授集合论课程,并深入地研究了G.康托尔(Cantor)的集合论,1904年发表了论文“每一集合都能够被良序地证明”(Beweisdass jede Menge Wohlgeordnet WerdenKann)190512月,他被格丁根大学任命为教授.1908年他发表了“集合论基础I(Untersuchungen über die Grundlagen derMengenlehre I)的论文.1910年他在苏黎世任教授职位,1916年他因健康不佳辞职了.策梅罗离开格丁根一年之后,D.希尔伯特(Hilbert)表彰了他在集合论基础方面的成果,并从他创办的沃尔夫斯可尔(Wolfskehl)基金的利息中奖给策梅罗5000马克,这也促使他的健康得到了恢复.从1916年至1926年,策梅罗一直住在黑林山.1926年他被聘为弗赖堡大学荣誉教授.1935年他因驳斥希特勒的统治制度,与学校失去了联系.第二次世界大战后,他要求复职,1946年被该校确认.

  策梅罗对物理和数学应用一直有浓厚的兴趣,在变分法、气体运动学等方面他都有研究结果.策梅罗在关于变分演算的论文中,他扩充了KWT.魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的关于在一类曲线上积分值的方法,其中被积函数具有任意的高阶导数.同时,他还给出了一种在曲面空间中邻域概念的精确定义.他长期致力于变分演算的研究和教学.1904年他与H.霍恩(Hahn)一起为《数学百科全书》(Encyklopdie der mathematischen Wissenscha-ften)写了一篇有关变分演算进展的报告.1929年他还撰写了关于航空方面的研究论文.1929年策梅罗撰写了关于体育锦标赛各方力量计算方法的文章,这种方法曾被用于国际象棋比赛.1933年他撰写了“关于椭圆截面的中心”(Uber die Bruchlimienzentrierter Ovale)的论文.

  然而,策梅罗的主要贡献在集合论基础,他首先提出了选择公理,并运用它解决了康托尔的良序问题,证明了良序定理;它还是公理集合论的主要开创者之一.

  集合论是康托尔于19世纪后30年内创立的一门研究无穷对象的数学理论.康托尔对这一领域的主要概念与定理都作了正确的表述与证明,他采用了新的推理方法,成功地使用了无穷推理.集合论不仅为实数系与微积分奠定坚实的基础,而且对整个数学的发展起了推动作用,形成了现代数学的起点,然而,1900年前后人们发现了集合论还存在严重的基础问题,这正是策梅罗所面临的问题.

  1899年,策梅罗在格丁根大学任教,他深受希尔伯特及其学派的影响,他从数学物理和统计力学转向了数学基础.正如30年后,他在他的履历表中所说:“30年前,当时我是格丁根大学的一名无薪水的讲师(privatdozent),我深受希尔伯特的影响,他对我的数学发展的影响我怀有最大的谢意.作为一个结果,我开始去研究数学基础,特别是康托尔集合论的基础,我通过在格丁根的数学家们的丰富的合作的成果懂得了它的真正的意义”.1899年,希尔伯特研究欧几里得空间的纯粹的形式公理化,并出版了《几何基础》(Grundlagen der Geometrie1899)一书,接着,希尔伯特又在研究实数系统的协调性.与此同时,策梅罗发现了一个悖论,这就是后来的罗素悖论,其实他比B.罗素(Russel)早两年就发现了它,并且告诉了希尔伯特.1903年希尔伯特曾写信给G.弗雷格(Frege),说在三、四年前策梅罗已经发现了这个悖论.虽然策梅罗并未发表这一悖论,但他曾同哲学家E.胡塞尔(Husserl)讨论过它,并指出:含有它的所有子集合所组合的集合作为元素的集合(例如所有集合所组合的集合)这本身就是一个矛盾,对于这一悖论表示沉默,不去发表它,而不是由它恐吓集合论,这标志着策梅罗对集合论的基本态度与罗素有着重要的区别.在19001901年的冬季学期,策梅罗第一次讲授集合论课程.他的讲义的第7节是关于集合的比较.这一节的部分内容是关于无穷基数的加法,他很快就发表了它,并且于190139日由希尔伯特在格丁根科学院作了介绍,策梅罗的这篇论文已经直接与间接地使用了任意的选择.这种使用使他获得了可数多基数的和集合是良定义的.

  19048月,策梅罗在发现了J.柯尼希(Knig)试图反证连续统假设中的一个疵瑕,他把注意力转向了良序问题.当策梅罗与E.施密特(Schmidt)交谈时,他的思路变得具体化了.924日他完成了他的证明,并送给了希尔伯特.很快他的题为“每一集合都能够被良序地证明”的论文就发表了.策梅罗的这一论文解决了当时人们期待已久的一个重大问题.因为,任意两个无穷集合能否比较大小,这是集合论的一个根本问题.为了回答这一问题,康托尔建立了良序集合的概念,它不仅是一全序(任意两个元素都可以比较大小),而且这一集合的任一子集合都有关于这一全序的首元素(最小元素).一切良序集合都是可比较的.因之,如果每一集合都能够被良序,那么一切集合都是可比较的了.康托尔1883年在“关于无穷线性点集合(5)(ber unendlicheli-neare Punktmannigfaltigkeiten 5)中指出:“良序集合这一概念对于全部集合论是根本的.每一确定的集合总可以作成一个良序集合,我认为这是一个带有根本性的,内容丰富的,由于其普遍有效而特别值得注意的思维规律.我将在以后的一篇论文里讲到它.”康托尔没有能履行他的诺言,他一直没有给出这一问题的数学证明.1900年希尔伯特在巴黎国际数学家大会上的讲演“数学问题”(Mathematiche probleme)中,所提出的23个未解决的问题,第一个就是康托尔的连续统猜想和良序问题,他称每一集合都能被良序为康托尔的另一个值得重视的命题.他说:“我感到迫切需要的是,对康托尔这一值得注意的命题作出直接的证明.”4年之后,策梅罗作出了这一证明,建立了良序定理:每一集合都是能被良序的.从而解决了康托尔的关于任意两个无穷集合都是可以比较的这一集合论的根本问题.这就是前边已经提到的策梅罗1904年的那篇论文的主要结果.在这一论文中,为了证明良序定理,他陈述了一条重要原则,并称之为选择公理(文献中人们也称之为策梅罗公理).关于这一公理,虽然在19世纪人们已开始注意到它了,但是,对它并没有一个清晰的概念,也未能发现它的重大价值.比如,1890G.皮亚诺(Peano)在证明常微分方程解的存在性定理时,曾用到了它,他给出了不够清晰的陈述,还对它提出了怀疑.而策梅罗的陈述是清晰的、严谨的、合乎现代术语的,尤其用它解决了康托尔提出又经希尔伯特所强调的良序问题,显示了它的重大价值,一方面引起了人们对选择公理的广泛注意,同时也引起一些著名数学家比如E.波莱尔(Borel)H.勒贝格(Lebegue)R.贝尔(Baire)关于无穷特别是关于不可数无穷的任意选择的可接受性的争论.这种争论一直延续到现在还在学者中激烈地进行着.从数学发展史来看,选择公理是平行公理之外,最引人注意的一条数学公理.赞成它的,怀疑它的,反对它的论点都有市场,而且各方面都开展了研究,获得了许多重要的结果,发现了一系列等价形式,其中一些结果在数学的论证中几乎是不可缺少的.虽然如此,至今选择公理是否具备了充当数学公理的资格,仍无定论.选择公理是怎样一个数学命题呢?它的产生和影响如何呢?

  策梅罗对于良序定理的证明是从任一不空集合M出发,建立M的一良序,令SM的所有非空子集合M'所组成的集合,他第一次明确地陈述了后来称之为选择公理的原则:“对于每一子集合M',人们伴随一个在M'中出现的元素m',并且可以称之为M'的特征元素”.换句话说,策梅罗假定了存在一个函数rSM,使得对于S中的每一M'都有r(M')M'.对于函数的上述记法在康托尔1895年的《超穷数理论基础文集I(Beitrge zurBegründndung der transfintenMengenlehre I)中已经有了.策梅罗采用它描述一函数rSM,作为一特殊种类的覆盖而由公理给出.接着,他指出:“这些覆盖r的数目等于积∏m(上述所有非空子集合M',其势为m'),所以在任何情况下都不等于0.对于其中任一覆盖都是可以考虑的,并且,从它就能得到M的元素的一个确定的良序”.作为1904年论文的结束语,策梅罗又详细地讨论了这一公理.他指出:“前边的证明基于覆盖r总是存在的,所以,根据这个原则,对于不空集合的无穷总体总存在一映射,根据它每一集合都对应于它的元素之一,或者,形式地说,集合的无穷总体(其中任一个都含有至少一个元素)的积不等于空集合.的确,这一逻辑的原则不能够归约到更简单的原则,但是在数学的推演中到处都是毫不踌躇地运用它.”

  策梅罗1904年论文中的函数r,现在统称为选择函数,他的公理就可以归结为不空集合的选择函数总是存在的.当M为无穷集合并可以具有任意给定的基数时,它的元素也是一些无穷集合(它们也可具有任意基数),选择函数就是对M的元素按统一的方法在其中分别再选择出“特征”元素.这样,策梅罗的论述本身就产生了一些方法论问题.第一,怎样借助于M的总体去定义一个合法的集合(即选择函数)呢?第二,它是一条逻辑原则吗?第三,最重要的,选择公理是否有效呢?对于这些问题,很快就在法国、德国、英国,意大利展开了广泛的争论,人们发表了不同的见解.策梅罗本人在他的书信与论文中又作了进一步的论证.1907年夏季,策梅罗清理人们对他的公理与良序定理证明的批评意见,认识到了人们对它们的误解,为了避免主观性和错误的解释,他又写了在多方面相互联系的两篇论文,每篇都是在16天之内完成的.第一篇论文回答人们对他的批评,并给出了良序定理的一个新的证明.第二篇论文给出了集合论的第一个公理系统,人们称之为策梅罗系统,并记做系统Z

  策梅罗在文献[4]中给出7条公理,他相信它们是相互独立的,而且他承认他自己不能证明它的协调性.这7条公理是:

  是说,每一集合都是由它的元素所决定的.

   初等集合公理,存在一个没有元素的集合,并称它为空集合;对于对象域中的任意元素ab,存在集合{a}和{ab}

   分离公理,如果一命题函数p(x)是对于一集合S为确定的,那么就存在一集合T,它恰好含有S中的元素x并使命题函数p(x)把真值的那些元素.(对于策梅罗来说,一命题函数p(x)对一集合S是确定的,这意指由上属于关系和逻辑规律决定了对于S中每一元素x来说,p(x)成立或不成立都是唯一确定的.)

   幂集合公理,如果S是一集合,则S的幂集合仍然是一集合,换言之,一集合S的所有子集合仍然组成一集合.

   并集合公理,如果S是一集合,则S的并仍然是一集合.

   选择公理,如果S是不空集合的不交集合,那么存在S的并的一子集合T,它与S的每一元素都恰好有一个公共元素.

   无穷公理,存在一集合Z,它含有空集合,并且对于任一对象a,若aZ,则{a}Z

  这些公理的名称是策梅罗给出的,而且上述提到的域是他的出发点,而属于关系符号∈是他从皮亚诺的符号中借来的.该文中,策梅罗还在他的系统中建立了两集合等势的概念.关于选择公理,不难看出这是通常所说的罗素乘积公理,这也是策梅罗独立地给出的,并且是他借助于一般的选择原则推导出的,两者也是等价的.

  策梅罗的这一公理系统是他研究康托尔集合论中的基本原则的结果,空集合与无穷集合的存在是康托尔理论的基本出发点,策梅罗当然也就保留了它们.其他公理(除选择公理外)都是运算性质的,由已知对象ab,存在集合{a}与{ab};由已知集合S和命题函数p(x),存在集合{x|xSp(x)};由已知集合S存在S的并集合∪(S)和幂集合(S).这些运算一方面保存了康托尔集合论中概括原则的合理部分,另一方面则剔除了由概括原则所能引出悖论的不合理部分.

  1908年之后,人们从各种不同的角度研究推广了策梅罗系统.A.弗伦克尔(Fraenkel)Th.斯克朗(Skolem)独立地指出了上述公理Ⅲ中的命题函数的“确定”性是不严谨的,应把它改为形式系统中的公式,并且分离公理不能保证把那些有意义的合理的集合都刻画出来,例如,令ωN为第n个无穷基数,在策梅罗的上述系统中就不能证明:

0,ω1,ω2,…,ωn,……}

  是一集合,从而就不能证明ωω是集合.因此,他们建议增加下述公理:

   替换公理,对于任一公式A(xy),如对于每一集合x,都有唯一的集合y使得A(xy)成立,那么对于任一集合S都存在一集合T,使得对于任意的对象t,有tT当且仅当有zSA(zt)成立.

  上述对于分离公理的修改和对于替换公理的陈述,都表明把集合论公理系统与一阶逻辑相汇合,这是斯克朗的意见.也就是说,把策梅罗公理中的“命题函数”或“确定的性质”p(x)改为一阶逻辑中的“公式”p(x),把公理中的自然语言换成了严谨的形式语言,并且在论证过程中都采用一阶逻辑中的逻辑公理和推演规则.它满足了希尔伯特关于形式数学系统的一切要求,构成了一个严谨的形式系统.

  1917D.米尔马诺夫(Mirimanoff)给出了一个无穷的∈降链

…∈A3A2A1

  斯克朗提出,在策梅罗系统中可能存在一无穷的∈降链吗?也就是说,存在一列集合A1A2A3,…,使得有

…∈A3A2A1

  成立吗?这种降链是一种额外的非通常的集合,它的特别形式就是AA.就是说,集合A是属于它自身的.人们主张排除这种属于它自身的集合,也排除这种无穷的∈降链.1925年冯·诺伊曼(von Neumann)给出了排除属于自身的集合和无穷∈降链(亦称含有无穷∈降链的集合为奇异集合)的公理如下:

   正则公理,每一不空集合S都含有一元素T,使得TS没有公共元素.

  文献中也把这一公理称之为基础公理或限制公理.这一公理保证了属于关系∈是一良基关系.策梅罗在他的论文[8][9]中,采纳了斯克朗、弗伦克尔和冯·诺伊曼的意见,把上述列举的9条作为集合论的公理系统.现在文献中通常把这9条称策梅罗-弗伦克尔公理系统,并记做ZF.人们为了特别标出选择公理,文献中也常把上述公理中除选择公理外的系统记做ZF,而把包含选择公理在内的上述系统记做ZFC

  应当指出,分离公理与替换公理不同于其他公理,它们都与公式(p(x)A(xy))有关,因为有无穷多公式,所以对应于无穷条分离公理和无穷条替换公理,文献中常称它们为公理模式,由此,ZF系统实质是一个无穷多条的公理系统.

  关于ZFC,人们对它开展了多方面的研究.已经证明,正则公理相对其他公理是协调的也是独立的,也就是说,在ZFC的公理中除去正则公理所得到的系统内,既不能推出正则公理也不能推出正则公理的否定式.同时,无穷公理,幂集合公理相对其他公理也是协调的和独立的.

  ZFC已成了公理集合论的基础部分,人们在它的基础上进一步研究其他重要的数学命题,其中最著名的是康托尔的连续统假设,它是康托尔在1878年的论文中首次提到的.1883年他在“关于无穷线性点集合(5)”中再次讲到连续统的基数,并说,“我希望,不久就能够有一个严格的证明来解答,那所寻求的势不是别的,正是我们的第二数类的势”.这里所说的第二数类就是所有可数序数,它的势为.就是说,康托尔希望证明

20=1

  1900年希尔伯特的著名讲演中,连续统假设与良序问题是他列举的23个问题中的第一个.如前所述,良序问题在1904年策梅罗解决了,而连续统假设却进展很小.直至1938年,K.哥德尔(Gdel)证明了假定ZF系统是协调的,那么ZF加上连续统假设还是协调的,也就是说,连续统假设相对于ZF系统是协调的,ZF推不出连续统假设不成立.同时,哥德尔还证明了选择公理对于ZF系统是相对协调的,后者对于那些担心选择公理会引出矛盾的学者来说是一个安慰.因为,按照哥德尔的结果,假如人们在证明数学定理时,使用ZF系统被认为是可靠的话,那么加上选择公理仍然可以被认为是可靠的.1963PJ.科恩(Cohen)证明了连续统假设相对于ZF是独立的,同样,选择公理相对于ZF也是独立的.也就是说,ZF系统既推不出连续统假设,也推不出选择公理.在科恩之后,运用科恩创造的力迫方法,人们证明了DA.马丁(Martin)公理,M.苏斯林(Suslin)假设相对ZF系统也都是协调的和独立的.也就是说,ZF系统既不能证明这些命题中的任何一个,也不能证明它们的否定命题中的任何一个.换言之,ZF系统还是一个很不完全的系统.

  ZF系统是否是协调的呢?由哥德尔不完全性定理,它的协调性是不能在它自身中给出证明的.对于多数集合论学者说来,ZF系统的协调性已成为他们的一个信念.不过,1951A.莫斯托夫斯基(Mostowski)在一个更强的系统QM中证明了ZF的协调性.这里说的QM是指奎因(QuineWV)-莫尔斯(MorseAP)系统,也称为莫尔斯-凯莱(KellyJL)系统,这一结果表明了系统QM是很重要的一个公理系统.

  策梅罗是选择公理的开创者,也是第一个集合论公理系统的开创者,他的成果是重大的,影响是深远的.