波莱尔

冯长彬

(赣南师范学院)

  波莱尔,.(BorelFélix-douard-Justin mile)18711月生于法国阿韦龙省的圣·阿弗里克;195623日卒于巴黎.数学.

  波莱尔的父亲霍诺雷(Honoré)是一位新教的乡村牧师.母亲TS.埃米莉(milie)出身于当地一商人家庭.波莱尔是他们的第三个孩子.他的启蒙教育是从他父亲所在的教会学校里获得的.1882年,他作为早已知名的神童进入蒙托邦附近的公立中学就读.后来又获得奖学金,在巴黎准备上大学.他与G.达布(Daboux)之子为友,和达布家族过从甚密,并受其熏陶而决心从事数学的教学和研究工作.1889年,波莱尔以第一名的成绩进入巴黎高等师范学校.1893年毕业后受聘到里尔(Lille)大学任教.在里尔大学的三年中,他完成了自己的学位论文并获得博士学位(1894),论文题目是“有关函数论的几个问题”(Sur quelqu-es points de la théorie des fonctions);此外还发表了22篇文章.1897年受聘回到巴黎高等师范学校.

  1901年,波莱尔与P.阿佩尔(Appell)的长女玛格丽特(Marguerite)结婚,她当时才17岁.玛格丽特是一位小说家,写有小说不下30部,曾任文人协会会长,是丈夫多方面的好帮手.他俩没生孩子,遂选定波莱尔的大姐之子、双亲早逝的F.勒博(Le-beau)为子.1906年,他们用波莱尔的一笔奖金办起了《每月评论》(La revue du mois)杂志.许多作家、政治家、知名学者如数学家H.庞加莱(Poincaré)E.嘉当(Cartan)等都曾为该杂志撰稿,使它成功地迎合了各方面人士的兴趣.该杂志共出22期,1920年因经济危机而被迫停刊.这段时期,波莱尔还编写教材、写通俗读物、出版丛书,并向通俗杂志和日报投稿,与各界人士交往,反映了他对纯数学、应用数学及公众事务的广泛兴趣.1909年,波莱尔取得了巴黎大学专为他增设的函数论教授职务,并代表科学公会出席大学委员会.1910年,他成为巴黎高等师范学校管理理科学员的副校长,开始了他一生中最快乐的时期.可惜第一次世界大战使该时期大大缩短.战后他转入巴黎大学任概率论和数学物理教授.其间他安排了几次时间较长的旅行和出国,包括1920年跟随老朋友、数学家P.班勒卫(Painlevé)在中国为期5个月的学术交流.1921年,他被选为法国科学院院士.

  波莱尔是出色的政治活动家.1924年到1936年,他是国民议会(下院)中的激进分子,阿尔萨斯事务委员会主席,财政委员会副主席;1925年任海军部长;1926年被选为阿韦龙省总顾问;1927年被选为圣·阿弗里克的市长.除德国占领期外,他担任后两个职务差不多直到逝世.

  波莱尔也是一位爱国者.在第一次世界大战中,他的服役项目是在前线探测定线,并在班勒卫领导的战时办公室中组织为战事服务的科学研究工作.他的兴趣因此更加转向应用方面.一闻义子血染疆场,他便多次要求直接上前线参战.他被任命为在索姆省与佛兰德省(属比利时)一带活动的重炮连的指挥官.第二次世界大战法国被占领前,他是为国防服务的研究组织的负责人,已68岁高龄.1940年到1941年间,德国法西斯分子把他和另三位年迈的巴黎科学院成员投入监狱.但愤怒的社会舆论迫使德国人释放了他.他回到阿韦龙省继续从事抵抗运动.

  波莱尔更是一位著名的科学事业的组织家.法国一些重要的科学法规的制定、统计学研究所和国家科学研究中心的建立以及数学家号轮船的命名都是他所倡导的.他在很多教学和科研机关中担任领导职务,如统计学研究所理事会主席和巴黎统计学会主席,法国数学会主席,国际科学协会副主席,教育学会高级顾问等.他还帮助计划和筹集资金建立了亨利·庞加莱研究所,并从1928年该所初建直到他去世,一直担任该所所长.他领导巴黎高等师范学校科学研究多年,十分关注科学的普及和教育工作,为此还编辑出版了《科学新闻汇集》(La nouvelle collection scientifique19101922)和《科学教育丛书》(Bibliothéque dEducation parla science 19241946).这两部丛书中有许多文章被译成各国文字广泛流传.作为国会活动家,他极力设法增加拨款或以各种其他形式促进法国科学的普及和发展.他还经常亲自主持各种科学讲坛.

  波莱尔用自己的品格、智慧和勤奋赢得了许多荣誉.他曾获战争十字勋章(1918)、反抗勋章(1945)、荣誉军人十字勋章(1950)、国家科学研究中心第一枚金质奖章(1955)等.1955年他出席国际数理统计协会在巴西召开的一次会议,返程中不幸在船上跌了一跤,严重影响了他的健康.终于在次年逝世,终年85岁.

  尽管波莱尔多才多艺,他却首先是一位19世纪末、20世纪初杰出的数学家.他的数学研究面很宽.在数论、代数学、分析数学、函数论、几何学、概率论以及它们在力学、数学物理、统计学中的应用方面都有论著.他同时是一位有才干的数学教师,自编、出版了许多讲义和文集,如《函数论讲义》(Lecons sur la théorie desfonctions1898)、《复变数单值单演函数讲义》(Lecons sur lesfonctions monogèns uniformes dun variable complex1917)、《发散级数讲义》(Lecons sur les sèries divergentes1901)、《函数论专辑》(Collection de monographies sur la Théorie de fo-nctions18981952)、《概率论及其应用专集》(Collection de mo-nographies des probabilités et de leurs applications 19371950)等等.他编的讲义总是充满最新发现和新奇的科学理论,包括他本人的一些工作和设想.因此,他讲授的课程往往代表着该学科的发展动向.他的文集更是名著荟萃,在整个学术界产生过深远影响.以《函数论专辑》为例,共收入专题论文50卷,其中10卷属波莱尔本人,包活最后一卷“不可达到的数”(Les nombres ina-ccessibles1952).其余各卷分属 H.勒贝格(Lebesgue)R.贝尔(Baire)R.奈望林纳(Nevanlinna)P.蒙泰尔(Montel)N.鲁金(Lusin)诸大家.波莱尔在科学、特别是数学上是多产的,正如M.弗雷歇(Fréchet)所说:“仅仅为了归纳、简述波莱尔的作品就需要数卷篇幅.”在他不下300种的作品中,有30余本著作多次再版,不少译成了外文.

  波莱尔的数学活动可以用第一次世界大战为界作大致分期:战前以纯数学为主,特别是函数论及其有关领域;战后则以应用数学、概率论及其应用为主.他对解老问题远没有对提出新创见那样热情.早在1891年,他便受G.康托尔(Cantor)集合论的强烈诱惑,决心将自己的毕生工作与20世纪的数学统一起来.他那篇被EF.科林伍德(Colingwood)誉为“一个重大的科学事件”的1894年学位论文,探讨了实变函数的现代理论以及测度、发散级数、非解析连续、可数概率、丢番图近似、解析函数值的度量分布等理论.所有这些都与康托尔的思想、特别是可数集概念有关.论文中两个最有名的结果是海涅-波莱尔有限覆盖定理及可数点集测度为零的证明.

  海涅-波莱尔定理是说:“如果直线上一有界闭区间被某可数个开区间所覆盖,则必可从这可数个开区间中选出有限个也覆盖它.”波莱尔清楚地认识到从可数中选出有限的重要性,并首先把它叙述成一个独立的定理.这正是后来勒贝格指出的此定理的功绩所在.定理后来被推广到任意维有界闭集及从不可数中选取有限的情形,由P.库辛(Cousin)首先发表,成为集合论的一个基本定理.许多德国和法国的数学家都称之为波莱尔定理.由于HE.海涅(Heine)先前证明实数系的有界闭区间上连续函数的一致连续性时利用过这一性质,故此定理也被称为海涅-波莱尔定理.它已成为大学数学分析教材的基本内容.

  可数点集测度为零的证明蕴含着测度的扩张问题.人们发现19世纪出现的一系列“病态函数”问题大多可通过扩张积分概念来解决.由于函数不连续点的状况决定着函数的可积性,研究函数的不连续点集就提出了怎样度量它的广延或“长度”的问题.容量(content)理论及后来的测度论就是为了把长度概念扩充到普通直线上非完整区间的点集而引起的.然而,波莱尔最初却是在考虑使表示复函数的级数收敛的点集时被引向测度理论的.他的《函数论讲义》包含了他在这方面的主要工作.他利用康托尔已证明的直线上开集的结构定理定义开集的测度;进而定义可数个不相交可测集的并集及具有包含关系的二可测集的差集的测度;然后考虑零测集,证明可数集的测度为零;并证明测度大于零的集必不可数.波莱尔的测度理论是对G.皮亚诺(Peano)C.若尔当(Jordan)容量理论的改进.它把测度的概念从区间的有限集扩张到很大的一类点集,即今所谓“波莱尔集”,波莱尔在测度论中影响颇大,以至在此领域中,字母B往往就代表Borel.早在1905年,他便注意到用概率语言描述点集测度的方便性.1909年,他在事件的可数集上引入概率,从而填补了传统的有限概率与几何(连续)概率之间的空白.与此同时,他还证明了强大数定律的一个特殊情况.他的许多工作都蕴含着有限性思想,包括他在1952年对大多数实数不可达的证明(由于用有限个字母任意排列,我们最多能构造出可数集).但也许正是受此思想束缚,波莱尔对可数以外的实无限和非构造性定义有疑虑(他因此不承认选择公理,因为它需要作不可数无穷个选择),失去了获取更大成果的勇气.他的测度论有待完善,也没有应用到积分中去.现今公认已基本定形的测度和积分的推广理论主要是由波莱尔的学生、法兰西学院教授勒贝格作出的.任一勒贝格可测集都是某波莱尔集与一勒贝格零集的并集,同时又是某波莱尔集与一勒贝格零集的差集.勒贝格等人的工作,开拓了20世纪中叶抽象分析的道路.

  波莱尔的其他一些工作,或出于对未解决的古典问题的挑战,或出于对物理问题和社会问题的兴趣.他的研究结果往往为其他学者开辟出整块的研究领域.

  1896年,他给出了一个轰动一时的皮卡(Picard)定理的初等证明,还建立起一套相应的方法,从而为解析函数值的度量分布理论奠定了基础,为一代学者提供了复变函数论课题.

  他早就注意到复变函数按柯西意义单演和按K.魏尔斯特拉斯(Weierstrass)意义解析的联系和区别.从1894年的学位论文到1917年的《复变数单值单演函数讲义》,他对单演和解析的概念和关系做了大量工作,填补了解析函数与很不连续函数(ve-ry discontinuous functions)之间的空白,开辟了广阔的研究领域.

  可和性级数理论的系统发展也是从波莱尔开始的.他在1899年发表的“发散级数论”(Mémoire sur les séries divergentes)曾荣获法国科学院大奖.他创立了级数的指数求和法和积分求和法,引进了可和性和绝对可和性概念,并证明绝对可和的发散级数可以完全像收敛级数那样进行运算.这就填补了收敛级数与发散级数之间的空白,容许我们对大量的发散级数给出它们的(波莱尔)和或值.级数表示函数的范围大大扩充了.可和性概念一经获得承认,许多数学家就引进了各式各样的可和性新定义,满足波莱尔及其他人提出的部分或全部要求.许多定义被推广到多重级数.各种涉及可和性概念的问题也被提了出来.

  波莱尔在对策论上的一系列文章(19211927)首次定义了策略的应对,考虑了最优策略、混合策略、均衡策略和无限对策,并应用于战争及经济建设.他证明了3个角逐者的极大极小定理,考虑了5个及7个的情况,并于1927年作出了一般性定理真实性的猜想.比J.冯诺依曼(Von Neumann)对一般性定理的证明早一年.因而他至少称得上是对策论的发明者之一.

  波莱尔的成功因素,除了他的非凡才智和充沛精力外,还在于他严于律己.在公务处理和教学科研中,他从不吝惜时间和精力.可是他却没有时间去“闲谈”或进行无价值的活动.并且随着年龄的增加越来越对浪费他的时间者不能容忍.他喜欢务实而不喜欢形式主义、逻辑主义和直觉主义(虽然由于他批评选择公理而常被人视为直觉主义者).他甚至公然放弃一般化而运用特殊的问题和结果作为科学的比喻以预示广阔的理论路子.这种研究方法具有19世纪的特点.可是他的创新对20世纪的分析和概率的影响,却无疑是深远的、带根本性的,一直延及我们这个时代.PA.蒙泰尔(Montel)说:“波莱尔的思想将会长久地继续在研究中发挥影响,就像远处的星光散布到广阔的空间.”