埃利·嘉当

虞言林

(中国科学院数学研究所)

  嘉当,(Cartan lie)1869419日生于法国多洛米约;195156日,卒于巴黎.数学.

  嘉当出生在法境阿尔卑斯山的一个小村庄里,父亲是一个铁匠.由于幼年时的天才表现,大为当时政治家D.昂托南(Anto-nin)赏识,被保荐获得国家助学金,从而得以完成初等教育.1888年嘉当进入法国高等师范学校,毕业后先后在蒙彼利埃大学、里昂大学、南锡大学、巴黎大学任教.1912年成为巴黎大学教授直至退休.1931年当选为法国科学院院士,后来还得到许多荣誉学位,并为一些科学社团选为国外院士.

  嘉当对近代数学的发展做出了极大的贡献.流形上的分析是当今极为活跃的数学分支,嘉当可以称得上是该分支的重要缔造者.他无疑是本世纪最伟大的数学家之一.嘉当的工作大致分为李群,微分方程和几何三部分,当然它们之间有联系.

  一、李群

  嘉当之前研究李群的只有两位.一位是S.李(Lie),另一位是W.基灵(Killing).李考虑的是一个解析流形上带有n个解析参数的一族解析变换,而这族变换构成一个群.后来基灵在他的文章中隐约提到研究对象需有一个战略上的转移,即摆脱承受变换作用的解析流形而只讨论带有n个参数的一族元素,他们构成一个群G.到了嘉当这个观点就被十分明确地提出来了,达到了现代人们关于李群论的基本认识.关于李群的研究分为两个方面.我们先谈第一个方面,即关于李群的局部研究.李群在单位点处的切空间是一个向量空间,李群的乘法运算自然导出上一个李括号运算.这就使成为一个代数,称为G的李代数.对G的局部研究就是考察它的李代数.一个根本的问题是列举出所有互不同构的李代数,即李代数的分类问题.复单李代数的分类几乎被基灵解决了.这里所谓的“几乎”,是指基灵的证明中有不少漏洞,而且关于例外李代数的结论也说得不完全.嘉当是第一位对复单李代数分类给出彻底而又严格的解答的人.并且嘉当进而解决了实单李代数的分类和单李代数的不可约线性表示的问题.嘉当处理上述问题的方法强而有力,已成经典.以复单李代数的情形为例,我们来简述他的方法.李括号运算可写为一个映射[] ×,人们需要把这种映射分类.为此嘉当先在中找到一个特殊的子代数η(现通称为嘉当子代数),接着讨论下列两个问题:(1)讨论李括号映射的限制映射[]:η× ,得知它可以被很好的把握,用一种根系的观念来完全刻划.(2)讨论如何从[]:η× 决定[] ×的问题.解决的过程虽然复杂,但也能完成.在以上嘉当的工作中我们还需提到一件事.这就是嘉当在解决单李代数的表示问题时,于1913年发现了旋量.这一发现在日后量子力学中起着很重要的作用.

  李群研究的第二方面是讨论李群的整体性质,即它的拓扑性质.嘉当和H.外尔(Weyl)对紧李群的整体研究垄断了当时的局面.他们用的方法不同,嘉当的方法对非紧群也能给出非常全面的了解.嘉当算出的覆迭变换群就是G的基本群.嘉当证明了这个覆迭变换群同构于G的中心,从而借助韦尔的一个定理,用代数法算出G的中心,于是便得到G的基本群.为了计算G的贝蒂数,嘉当引入一个极富创见的方法.用现代术语来说,这就是用G上的微分式和外微分算子造出德·拉姆(de Rham)上同调群,嘉当并断言德·拉姆上同调群的维数就是贝蒂数(嘉当本人对此断言未给出证明,而是由德·拉姆去完成的).接着容易论证,G上左不变微分式可以代替上面提到的微分式.从而贝蒂数的计算化为纯代数问题,因而最终得到解决.嘉当的这个方法也可以推广到齐性空间的情形.关于非紧李群,嘉当证明了这种李群拓扑上等价于一个欧氏空间和一个紧李群的乘积.因此它们的拓扑也就容易处理了.

  二、偏微分方程组

  嘉当在前人处理普法夫方程的基础上,意义深远地处理了偏微分方程组的问题.从问题的提法到研究的方式均不同于经典的做法,表现了强烈的几何倾向.经典的微分方程问题是求解下列方程

   

 

  这称为普法夫方程组.原方程组的解显然对应于普法夫方程组的解,而后者是以(x1,…,xmz1,…,zp;…,trs,…)为参数的流形M中的一个m维子流形.嘉当对普法夫方程组做了如下意义重大的更动.把次微分式.由它们构造出一个最小的微分式集合I,使得:若ω1,ω2I称为由F(xzt)dzr—∑trsdxs生成的微分理想.I=0比起普法夫方程组来说,增加了许多方程,但是增加的只不过是保证原普法夫方程组可解的条件.因此I=0的解(M中的子流形,其上I为零)就是原普法夫方程组的解.引进I的好处在于I不依赖于参数x,未知函数z的具体取法,因而I=0是以一种不变的方式陈述了偏微分方程组(或普法夫方程组)的问题.如果NMm'维子流形(m'不必等于m)IN上为零,即NI=0的一个解.此时又若pN,记Np点的切空间为Ep,我们进一步称N是以Ep为初值,方程I=0的解.显然这样的Ep需满足I强加其上的一个代数条件,不难把这个条件明确写出来.对于Mp点处一个m'维切空间Fp,如果它满足关于Ep的那个代数条件,我们就称Fp为可积元素.嘉当考察当给定一个可积元素Fp时,如何去找I=0的解使其具初值Fp.嘉当对可积元素引进了一个“正规条件”概念,并证明如果可积元素Fp满足正规条件,则可一步步解出上述的N.这样的N称为I的一个一般解.对于不满足正规条件的可积元素Fp,欲求的解称为“奇解”.嘉当提出了一个求奇解的方法,叫延拓法(prolongation).具体说来就是按一定计划增加新的变数,扩充原来的微分理想,使得原微分理想的奇解就是新微分理想的一般解.嘉当具体详细地描写了延拓法,不过没有证明:奇解总可以用这种延拓法求得.这事后来由仓西正武(西正武,Kuranishi Masatake)和松田道彦(松田道彦,Matsuda Michi-hiko)解决.

  嘉当的微分方程组理论使他在无限李群,微分几何,分析力学,广义相对论等方面得出了深刻的结果.

  三、几何

  嘉当对微分几何学的贡献是巨大的.在众多深刻的结果中特别引人注目的是,他关于活动标架法,纤维丛的联络论以及对称空间的研究.

  活动标架法的先驱当数J.达布(Darboux),里博库尔(Ri-baucour)E.切萨罗(Cesaro).嘉当是活动标架法的集大成者,虽然这个方法至今也还未探索清楚.研究一个物体运动时曾经采用随着物体一起变动的标架来处理问题,这样的标架自然地称为活动标架.在研究空间性质时,类似的标架也就称为活动标架了,不过此时的标架不是随时间而变,而是随地点而变化的.让我们用一个简单的例子来描绘原始的活动标架法.当人们研究欧氏空间中一条曲线时,按照笛卡儿坐标方法,首先在欧氏空间中取一个固定的标架,从而将曲线用数量关系表出.接着再用分析与代数手段研究这个代表曲线的数量关系.这个方法固然可行,但是在复杂一些的情形下,人们常常会迷路,不易从上述数量关系找到几何不变量.假若处理上述问题时不采用固定的标架,而选取一种所谓的J-F.弗雷内(Frenet)标架(这种标架的原点在曲线上,三个坐标轴分别是曲线的切向量、主法向量和次法向量),于是就有一个“规则的算法”很容易得到曲率、挠率这样的几何不变量.这里的弗雷内标架就是活动标架.嘉当将此经典的方法做了极大的推广,处理下面这样一个典型的问题.设E是一个n维流形,其上有一个李群G作用,对于E的一个子流形M,试找出MG作用下的微分不变量,并考虑在找到多少个如此的不变量之后,我们能判断两个已知子流形彼此间是否差一个G中的变换.对上述这样的问题,嘉当首先阐明M上的活动标架就是E中子流形M的密切元素,而后根据这样的标架集合给出推广的规则算法.这就是嘉当的活动标架法.当然这个方法可以自然延伸到别的场合,例如摆脱E的流形M之情形.活动标架法中有强烈的李群背景,这表现在活动标架集合上有李群作用,并且这个李群在“规则算法”中起着主导的作用.正因为有李群的干预,活动标架法处理几何问题时显得异常简捷,自然,并且把F.克莱茵(Klein)的埃朗根纲领(Erlangen program)或多或少地贯彻到微分几何中来.

  纤维丛的联络论包含了两个极为重要的观念.一个是纤维丛,另一个是主丛上的联络.这两个观念实际上都曾隐藏在活动标架法之中.流形M上的活动标架构成一个大空间,它就是M上的主丛;活动标架法中的规则算法的要点之一,是考察无限接近的两个标架之差异.刻划这种差异恰是主丛上的联络.纤维丛的联络论极大地推广了列维-齐维塔(Levi-Civita)的绝对微分学,它使得后来的几何学、拓扑学及理论物理学有了突飞猛进的发展.于是纤维丛的联络论从活动标架法中独立出来了.嘉当是纤维丛联络论的开创人,但是他当年却未能把事情说得明白.

  嘉当在黎曼几何方面最重要的工作无疑是黎曼对称空间的理论.这一理论的发现、发展和完善皆归功于嘉当一个人.像这样的事在数学史中是极为罕见的.黎曼对称空间有几种不同的定义.它可定义为一种特殊的黎曼流形,其截面曲率张量是平行的,也可定义为在黎曼流形各点处皆存在关于该点的中心对称等距映射.后一定义很容易和齐性空间联系起来.嘉当很不寻常地发现可以用单李群的分类来完全刻画黎曼对称空间.黎曼对称空间比经典空间(欧氏空间,非欧空间)广泛,在数学的其他分支中起着日益重要的作用.

  嘉当在微分几何方面的其他工作也很多,像等参超曲面族这样的精彩结果还可列举不少,在此不一一详述.

  嘉当一生写过9本书,186篇论文(见原始文献.)在他的工作中突出显示了深刻性与开创性.作品的难读也称得上是一特点.这使得嘉当晚年(1930年以后)才成大名.当然这也和嘉当本人的谦让及当年垄断法国数学界的流派有关.自1930年以后嘉当对近代数学的影响与日俱增.时至今日,他的全集仍是有待微分几何工作者发掘的一个巨大宝藏.