豪斯多夫

方嘉琳

(辽宁师范大学)

  豪斯多夫,F(HausdorffFelix)1868118日生于德国布雷斯劳[Breslau,今波兰弗拉茨瓦夫(Wroclaw)]19421 26日卒于波恩.数学.

  豪斯多夫是犹太人,他的父亲是一位富裕的商人.在豪斯多夫年幼的时候,随着父母迁往莱比锡.在莱比锡读完中学后,又在当地和弗来堡、柏林等地学习数学和天文学.1891年在莱比锡大学毕业并取得博士学位.

  豪斯多夫的兴趣极为广泛,不仅对数学、天文学和光学有兴趣,而且也酷爱文学、哲学和艺术.他的朋友主要是艺术家和作家.豪斯多夫曾用DrPaul Mongre的笔名出版了两本诗集和一本哲学著作(Das Chaos in Kosmischer Auslese 1898);还有大量的富有哲理的散文和文章.在1904年曾发表一部滑稽戏的剧本(Der Arst Seiner Ehre),这部戏在 1912年上演,获得相当大的成功.他在18911896期间,曾发表过4篇天文学和光学的文章以及数学中许多分支的文章.1896年成为莱比锡大学讲师,1902年成为副教授.以后主要致力于数学,逐渐减少了非科学的写作,特别是1904年以后,主要研究集论.1910年,他作为副教授去波恩大学,在那里写出了著名的专题著作《集论基础》(Grundzügeder Mengenlehre),发表于1914年.这本专著影响极大,使豪斯多夫成为公认的一般拓扑的奠基人.1913年,豪斯多夫在格赖夫斯瓦尔德(Greifswald)大学任教授.1921年回到波恩大学任教授,在波恩一直非常活跃,直到1935年,因为他是犹太人而被迫隐退.但他仍继续从事集论和拓扑学的研究工作.他的成果只能在国外发表.1941年,他作为犹太人将被送到拘留营去.当拘留变得紧迫时,豪斯多夫和他的妻子、妻妹一起于1942126日自杀于波恩.

  豪斯多夫在数学的集合论、拓扑学、连续群理论、泛函分析、数论、概率论、几何学等许多分支中都有建树、最主要的贡献是在集合论和点集拓扑学方面.

  豪斯多夫将他的前辈导入的一些概念给予适当的概括,导入了许多新的观念、方法和定理,发展为有系统的完美的理论,并为进一步发展提供了强大的动力.他是点集拓扑和度量空间的一般理论的他建者.

  豪斯多夫的《集论基础》(1914)一书在数学文献中是很珍贵的,他概括了前人广泛的工作,使之成为新理论的支柱,创建并完成了拓扑和度量空间的理论.由于它的阐述清晰、准确而优美,所以很容易读,直到今天仍有价值.他发展了D.希尔伯特(Hilbert)(1902)H.外尔(Weyl)(1913)分别用公理化方法研究还将有面几何及黎曼曲面时所提出的概念,用邻域的语言给予公理的描述,定义了拓扑空间.在豪斯多夫之前,MR.弗雷歇(Frechet)F.里斯(Riesz)等虽然都企图建立拓扑空间,给出过各种定义及相关概念,但第一个令人满意的拓扑空间定义是豪斯多夫在《集论基础》中提出的.他定义的拓扑空间建立在抽象集X上,使每个xX对应一个子集族(x),{(x)}xX称为邻域系统,满足

  (1)xX(x),且对U(x),有xU

  (2)xU(y),则V(x)使VU

  (3)U1U2(x)U(x),使UU1U2

  (4)xyXxy 开集U(x)V(y)

  由{(x)}x∈X生成的拓扑空间称为豪斯多夫空间.它是最重要的拓扑空间之一.形成拓扑的各种方法,首先由豪斯多夫在1927年给予系统的描述.

  在欧氏空间的子集类中,G.康托尔(Cantor)曾导入并研究过开集、闭集、闭包、内部等概念,豪斯多夫的《集论基础》将它们推广于抽象空间,并建立了两个可数性公理:

  (1)xX,子集族{(x)}是可数集.

  (2)所有的{(x)}x∈X的集是可数集.

  关于同胚的概念,H.庞加莱(Poincare)曾在狭窄的意义下导入并研究过.弗雷歇于1910年首先讨论了抽象空间上的同胚概念,但在内容上详尽无遗的论述和系统讲解是豪斯多夫在《集论基础》中给出的.1935年,他还首先注意到正规性是闭映射的不变量.

  关于欧氏空间的子空间,EL.林德勒夫(Lindelf)曾讨论过集的凝聚点的概念,豪斯多夫在《集论基础》中,在拓扑空间上详尽地讨论了集合的凝聚点及其简单性质,并由此推出任一第二可数空间可表现为两个不相交集的并,其中之一是完全集,另一集是可数集.

  关于子空间的系统研究也是从豪斯多夫《集论基础》开始的.

  设{As:sS}是X的子集族,如果对S的任意不同元素组成的有限序列s1s2,…,sk,以及由01组成的序列i1,…,ik,有

 

  其中A0=AA1=XA,则称{As:sS}为独立集组成的.1936年,豪斯多夫得出:基数m0的集X的所有子集族含

  有由独立集组成的基数为2m的子族.早在1934年,G.费契田厚茨(Fichlenholz)和Л.B.坎托罗维奇(KaHTopoBИЧ)也曾得出过类似结果.

  关于实直线的波莱尔集的定义由E.波莱尔(Borel)给予概括叙述,HL.勒贝格(Lebesgue)1905年给出了欧氏空间的波莱尔集的理论.在此基础上,豪斯多夫创立了关于度量空间的波莱尔集理论(1914)

  1906年,弗雷歇导入可数紧空间的概念,豪斯多夫于1914年给出了在豪斯多夫空间X中,X的任一无限子集有聚点为可数紧空间的特征之一,并在度量空间中建立了序列紧性和可数紧性的等价性.他证明了任一可度量化空间X是第二可数的当且仅当X是可分的,以及紧可度量化空间是可分的.

  关于连续扩张问题,豪斯多夫在1919年建立了:设A为可度量化空间X的闭子空间,则对X上的任一度量ρ,任一连续函数fAI确定Xf的连续扩张F

 

  豪斯多夫《集论基础》指出紧可度量化空间X到可度量化空间Y的任一连续映射fXY关于空间XY上分别为ρ和σ的距离是一致连续的.

  全有界空间的概念也是豪斯多夫《集论基础》导入的,并在1927年证明了全有界度量空间是可分的[6]

  1914年,豪斯多夫证明了任一度量空间等距于某完备度量空间的子空间,刻画了度量空间的完备化空间,证明了每个自稠密的完备度量空间含有子空间同胚于康托尔集,还证明了在所有完备可度量化空间中贝尔(Baire)纲定理成立.1927年又证明了完备化空间的唯一性[6]

  Л.C.亚历山德罗夫(AлeKcaHДpoЬ)对可分空间证明了完备度量化性关于Gδ集是可继承的,豪斯多夫将此结果推广于任意可度量化空间(1924)

  豪斯多夫和亚历山德罗夫分别于19271925年独立地证明了每个非空紧可度量化空间是康托尔集的连续象,即二进空间.这个结果对点集拓扑学的发展富有启发意义.

  M是可度量化空间X的闭子空间,豪斯多夫于1930年证明了子空间M上的任一距离可扩张为空间X上的距离.

  fML为可度量化空间X的闭子空间M到度量空间L上的连续映射,豪斯多夫证明了如果空间L可作为度量空间Y的闭子空间等距嵌入Y[14],则f可扩张为连续映射FXY,使限制F|XMXMYL上的同胚.

  2X为度量空间(X,ρ)的所有有界非空闭子集族,令

 

  AB的距离,则(2X,ρh)为度量空间.称ρh(AB)为豪斯多夫距离(1914)(X,ρ)等距于(2X,ρh)的闭子空间.但空间X上两个等价的全有界距离ρ和σ,由ρh和σh2X上导入的拓扑未必相同.豪斯多夫距离在度量空间的超空间理论中起着重要作用.

  W.谢尔品斯基(Sierpinski)1930年证明了若度量空间Y是可分完备可度量化空间X在开映射下的连续象,则Y是完备可度量化的.1934年,豪斯多夫证明了若可度量化空间Y是完备可度量化空间X在开映射下的连续象,则Y是完备可度量化的.以后E.麦克(Michael)又推广于仿紧空间Y

  连通性的概念是MEC.若尔当(Jordan)1893年研究平面的紧子集类时导入的.豪斯多夫推广于抽象空间并开始了系统研究.在《集论基础》中包含连通集的一些简单性质,连通分支、拟分支的定义,以及关于紧度量空间的拟连通分支的性质等.该书还导入继承不连通空间.

  极不连通空间是MH.斯通(Stone)1937年定义的,但βNN不是极不连通的事实本身却是由豪斯多夫证明的(1936)

  X上的距离ρ称为非阿基米德的,如果对所有xyzX,有

ρ(xz)max[ρ(xy),ρ(yz)]

  豪斯多夫证明了非空可度量化空间XIndX=0当且仅当在空间X上存在非阿基米德距离(1934)

  在描述集合论方面,豪斯多夫《集论基础》中研究了有序集的理论,如将序型分类,序型的有序积,有序集的表示等问题.他引入的极大原理可用来代替超限归纳法,是和选择公理、良序原理、图基(Tukey)引理、库拉托夫斯基(Kuratowski)引理等命题等价的.

  豪斯多夫提出的Rn中单位球分解(1914),在空间转动理论及变换群的分剖结果的基础上,用选择公理证明了使人感到奇怪的分球定理.以后导致S.巴拿赫(Banach)的分球悖论(1924),即把一个球切成有限个片段,然后重新组合,可得到与原球有相同尺寸的两个球.这一悖论使人怀疑选择公理,引起数学界的极大重视,从而推进数学基础的发展.

  豪斯多夫还彻底解决了波莱尔集的基数定理(1916),这是和亚历山德罗夫同年独立解决的.他还提出了豪斯多夫运算(1927),豪斯多夫递归公式(1914)等.

  1914年,豪斯多夫提出测度问题:是否存在Rn的每个子集均可测的有限可加测度?1923年,他证明了当n=12时存在无限多个解,当n3时无解.

  在数学分析中,豪斯多夫从事矩量问题的研究并获得重要结果,解决了有限区间的矩量问题及矩量的性质.他还得出了求和法及有关傅里叶系数的定理(1921)

  在连续群理论中,豪斯多夫建立了重要的代数算法,导出并研究了群论符号的指数公式(1906).他也给出华林(Waring)问题的简化证明(1909)并提出过任意非整维数(1919)

  豪斯多夫的工作对现代数学的形成和发展起着重要作用,以致现代数学中的某些术语是以豪斯多夫的名字命名的.如豪斯多夫公理、豪斯多夫空间、豪斯多夫距离、豪斯多夫一致空间、豪斯多夫拓扑群、豪斯多夫极大原理、豪斯多夫运算、豪斯多夫递归公式、豪斯多夫-(Young)定理等.