阿达玛

吴新谋

(中国科学院数学研究所)

  阿达玛,J(HadamardJacques)1865128日生于法国凡尔赛,196310 17日卒于巴黎.数学.

  阿达玛的父亲是巴黎一所著名中学的拉丁文教授,母亲皮卡德(Picard)是优秀的钢琴师.在父母的影响下,阿达玛本人既有很好的拉丁文修养,又有很好的音乐修养.到20世纪50年代为止,历史上只有五位法国数学家同时以第一名的成绩考取高等师范学校和综合工科学校,阿达玛是其中之一.虽然他在综合工科学校考得了有史以来的最高分,他还是进了高等师范学校.毕业后他先后在巴黎比丰中学、波尔多理学院和巴黎大学理学院任职,1909年到法兰西学院任教,一直到退休(1937).从1912年直到退休,他还曾在综合工科学校和中央工艺和制造学院任教授.在法兰西学院他创办了一个著名的讨论班,显出他是个非凡的现代数学促进者.他还曾多年兼任法国教育部督学.

  1892年,阿达玛获得法国国家博士学位,1912年他被选为法国科学院院士,他还是苏联、美国、英国、意大利的科学院院士或皇家学会的会员以及许多国家的名誉博士,在1892年和1908年,阿达玛以其数学上的重大成就两次获得法国科学院奖.

  阿达玛是中国人民的老朋友.早在1936年春,他即受熊庆来教授的邀请在清华大学讲学三个月.阿达玛有一个具有正义感的家庭.在中国的抗日战争期间,他在巴黎积极参加法国人民支援我国人民的运动.他有两个女儿和三个儿子.两个女儿是法国共产党党员,他的妻子经常协助两个女儿工作。两个儿子在第一次世界大战中牺牲,第三个儿子在第二次世界大战中牺牲于北非.阿达玛因此而获“法国荣誉军团司令”的光荣称号.

  阿达玛从早期起就致力于把AL.柯西(Cauchy)在分析上的局部理论推广到全局.在复域里,他的博士论文“泰勒展式所定义的函数的研究”(Essai sur létude des fonctions données parleur développement de Taylor1892)首次把集合论引进复函数理论,更简单地重证了柯西有关收敛半径的结果,并用自然而精密的方法探索奇点在收敛圆上的位置及性质,从而使在收敛圆外的解析延拓(如果可能的话)显得更切实可行.这些都是从已给泰勒级数的系数所形成的集合入手的,从而得到一系列重要结果.以收敛圆为割线、缺项级数定理、极奇性定理、奇性结合定理、有限差距和奇点的阶等概念,至今仍是函数论的基本内容.他和他的学生M.芒代尔布罗伊(Mandelbrojt)合著的《泰勒级数及其解析延拓》(La sérle de Taylor et son prolongement analytique 1926)则已成为经典.他沿着这个新途径研究函数的极大模得到了著名的三圆定理(解析函数在同心圆周上的极大模是同心圆半径的凸函数),他把这些一般结果应用到研讨整函数的泰勒级数的极大模的衰减和这个函数的亏格间的关系,完善了JH.庞加莱(Poin-caré)的结果,并因此获得了1892年法国科学院大奖.凭借这些及其博士论文中的许多结果,他证明了黎曼(Riemann)ζ函数的亏格为零,对黎曼猜想作出了重大突的素数的个数),从而建立了解析数论的基础.

  在实域里,阿达玛的贡献体现在常微分方程定性理论、泛函分析、线性二阶偏微分方程定解问题和流体力学等方面.在常微分方程方面,他用不同的方法稍后独立地证明了AM.李雅普诺夫(ЛяпyHoB)有关稳定性的结果.庞加莱的定性理论就是把常微分方程柯西问题的局部结果推广到全局.阿达玛认为这个推广之所以成为可能,是因为庞加莱得到了.伽罗瓦(Galois)用群处理代数方程解法的思想的启示[见阿达玛在美国得克萨斯州休斯敦的赖斯大学所作的两次报告“H.庞加莱的早期科学工作”(Theearly scientific work of Henri Poincaré 1922)和“H.庞加莱的后期科学工作”(The later scientific work of Henri Poincaré1933),这些报告精辟地总结了庞加莱广博精深的工作].这种思想使阿达玛关心并重视泛函分析,他在线性泛函的表示问题上的结果实际上是F.里斯(Riesz)定理的前身.关于泛函微商问题,在获得1908年法国科学院奖的论文中,阿达玛得到了拉普拉斯方程△u=0的格林函数满足一个非线性积分方程的重要成果.这个结果的进一步深入构成了P.莱维(Lévy)的博士论文的主体.这篇论文受到了阿达玛的赞赏.但他的期望远不止此.他注意到这个积分方程只与支柱有关,而与同维的椭圆型微分方程无关.阿达玛的《变分学教程》(Lecons surle calcul des variations1910)奠定了泛函分析的基础.1928年他在泛函分析会议上所作的报告“泛函分析的发展和科学作用”(Le développement etie rle scientfiquedu calcul fonctionnel)是有影响的文献.阿达玛的行列式定理在弗雷德霍姆(Fredholm)抉择(alternative)定理的证明中居重要地位.

  这时期阿达玛的注意力已开始转向偏微分方程.他遵照庞加莱的名言“物理不仅给数学提供有意义的课题并预示其解决”,坚持柯西提倡的定解问题的方向,明确了定解问题的含义,完善了适定性的要求(解的存在性、唯一性和对数据的连续依赖性).他比较、分析了大量结果,紧紧抓住了这样一个矛盾,即拉普拉斯方程△u=0的狄利克雷问题在支柱上每一点只需给未知函数的值,而柯西(Cauchy)-柯瓦列夫斯卡娅(KoBaлeBcKaя)定理则要求在支柱上每一点给出未知函数值和它的微商值.经过反复讨论,出乎意料之外地发现柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理在方程、支柱和数据不全是解析时是不真的.进一步探索,他发现形式极相似的方程,却有迥然不同的适定问题.这个从物理上看极为自然的现象,在数学方面导致了根据二阶方程的特征表达式分型(椭圆、双曲、抛物)的结论.这三个型的方程有没有共同点呢?阿达玛提出了基本解.这不仅从他对前人工作的总结得来,从他本人以前的成就也必然得出这个结论.有了基本解,正规双曲型方程的柯西问题的解,只要支柱是空向的,已给数据适当正规,就可以用一个发散积分的有限部分(此概念是分布论前身之一)来表示;对于椭圆型方程就可以形成势来代表解,并通过这个势所满足的弗雷德霍姆型积分方程求得狄利克雷问题的解.间接地求抛物型方程的基本解的步骤也是由阿达玛提出来的.阿达玛有一句名言:“所有线性偏微分方程问题应该并且可以用基本解解决”.由于所有工作都是紧紧联系几何以及数学其余各分支学科,并有其物理背景的,所以他的解法是大范围的,几何和物理意义是清楚的,一般用积分表示,计算切实可行,并可进一步进行探索.阿达玛不愧为二阶偏微分方程理论的总结者、奠基者和开拓者.他的著作《柯西问题和线性双曲偏微分方程》(Le problème de Cauchy et les équationsaux dérivées partielles linéaires hyperboliques 1932)已成为经典.他在流体力学方面的工作,大部分包含在其著作《波传播和流体动力学方程教程》(Lecons sur la propagation des ondes et leséquations delhydrodynamique1903)一书里,在那里他通过有关混合问题的讨论说明引进波的概念的必要性,对许贡纽(Hugoniot)的重要工作进行简化、增补和应用,对特征理论做了详尽的讨论,从而指出方程组和单个方程有本质的不同,并在附录中指出流体滑动的可能性,这些都在后来的气动力学大范围研究中起了重要的作用.

  阿达玛是20世纪以来,庞加莱以后少有的多面手.他兴趣极为广泛.他给J.唐纳里(Tannery)的《单变量函数论导引》(Intro-duction à la Théorie des fonctions dune variable)写的一个附录“克罗内克指数的某些应用”(Sur quelques applications delindice de Kronecker1910)是受欢迎的介绍拓扑的文章.他的几篇写打牌的文章是有关概率论的,是M.弗雷歇(Fréchet)众多研究的出发点.他的分析教程末一章是介绍概率论的出色教材.他对伽罗瓦理论的理解极深,曾写过多篇关于伽罗瓦理论的文章.阿达玛晚年的著作《数学领域中发明的心理学研究》(Essaisur la psychologie de linvention dans le domaine mathématique1959)事实上是他的数学思想的自述.阿达玛认为,理论和应用好象树和树叶,树负载着树叶,树叶滋养着树.他并提到在向C.埃尔米特(Hermite)提出自己的博士论文稿时,埃尔米特曾提醒他要找些应用,这样他才在整函数理论方面做出了重大贡献,并建立了解析数论的基础.阿达玛指出,人们对所从事的工作的现状要有一个全面精确的认识,这样就能很有秩序地把这些认识储存在脑海中,象演员从后台很自然地及时地出场演出精彩的节目.科学的发明常常带有偶然性,为什么有些人能够抓时机做出发明,而有些人则不能,就是因为前者有高水平的知识储存在脑海中,因而能抓住适当的时机,而后者则否.阿达玛强调,既要重视推理的严格性,也要重视直觉,直觉能帮助发现问题和选择问题.阿达玛在物理方面也造诣很深,在相对论、惠更斯(Huyghens)原理和地球物理方面都有贡献.甚至在生物学方面,他对羊齿类标本丰富的收集也受到了我国学者的敬佩.在《J.阿达玛全集》(OEuvres de Jacques Hadamard 1968)中,他的文章涉及很多方面,诸如解析函数、数论、级数、行列式、实变函数、集合论、泛函方程、积分方程、变分学、几何、拓扑、常微分方程、偏微分方程、水动力学、力学、概率论、代数、逻辑学,还有科学家传记,教育学及数学史等.阿达玛知识的渊博使其当时在法兰西学院主持的讨论班成为世界第一流的.几乎每一次报告,他都能提出中肯的评价;遇有疑难,又不耻请教.正因为这样,他才能多年胜任法国教育部督学.

  1964年,阿达玛的最后一部著作《偏微分方程论》(La théoriedes équations aux dérivées partielles 1964)在我国由科学出版社出版.遗憾的是阿达玛未能看到此书在我国的问世.这本书详尽分析了许多古典结果,包括了他本人晚年的研究成果.这本书可被称为偏微分方程经典理论的百科全书.