闵科夫斯基

杜瑞芝

(大连理工大学)

  闵科夫斯基,H(MinkowskiHermann)1864622日生于俄国阿列克索塔斯(AлeKcoTax,今属立陶宛)1909112日卒于德国格丁根.数学.

  闵科夫斯基出生在一个犹太血统的商人家庭.父亲经商有道,但因是犹太人而受到沙俄政府的迫害.在闵科夫斯基8岁时,父亲带全家搬到当时东普鲁士首都柯尼斯堡定居,转营造纸原料的出口生意.闵科夫斯基弟兄三人,他排行老三.大哥麦克斯(Max)在俄国时因种族歧视而不能进预科学校,以后一直没有得到正规教育,成年后与其父合伙经商,父亲死后成为一家之主.二哥奥斯卡(Oskar)早年在柯尼斯堡的预科学校读书,后成为医生和医学家,曾发现胰脏和糖尿病之间的关系,以“胰岛素之父”的称号闻名于世.闵科夫斯基则因数学才能出众,被誉为小神童.三兄弟以能力超群、性格迷人而被称为“人间三奇才”,在柯尼斯堡曾轰动一时.

  闵科夫斯基于1873年进入阿尔斯塔特预科学校读书.他从小就表现出特殊的数学天赋,有“极好的记忆力和敏捷的理解力”.少年闵科夫斯基还爱好文学,他熟读莎士比亚、席勒和哥德的作品,尤其迷恋于哥德的著作,几乎全部能背诵下来.他只用五年半时间就学完了预科学校八年的课程,然后进入当地大学读书.当时德国的大学生可以自由选择任何大学注册,随便流动.闵科夫斯基不久就转到柏林大学听课,三个学期之后又到柯尼斯堡大学学习.在大学期间,他先后受教于Hvon亥姆霍兹(Helmholtz)A.胡尔维茨(Hurwitz)F.林德曼(Lindeman) L.克罗内克(Kronecker)EE.库默尔(Kummer)H.韦伯(Weber)K.魏尔斯特拉斯(Weierstrass)GR.基希霍夫(Kirchhoff)等.

  在柯尼斯堡大学,闵科夫斯基与比他晚一级的D.希尔伯特(Hilbert)结为终生挚友.1884年,年轻的德国数学家胡尔维茨到柯尼斯堡大学任职.闵科夫斯基和希尔伯特很快与他建立了友谊,共同的科学爱好把他们紧密地联系在一起.在以后的一段时间里,他们每天定时到一片苹果树下散步,共同讨论当前数学中的实际问题,相互交换对问题的新的理解,交流彼此的想法和研究计划.这种友谊对他们各自的科学工作产生了重要的影响.

  闵科夫斯基在大学期间,曾几次因出色的数学工作而获奖.特别是在1882年,他成功地解决了巴黎科学院悬奖的数学问题,获得科学院的大奖.1885年夏,闵科夫斯基在柯尼斯堡大学获博士学位.经过短暂的服兵役之后,他于1886年被聘为波恩大学讲师,1892年升任副教授.1895年,希尔伯特转任格丁根大学教授,闵科夫斯基接替了他在柯尼斯堡大学的正教授职位.1896年,闵科夫斯基转到苏黎士瑞士联邦技术学院任职,直到 1902年.在此期间,他又有幸与胡尔维茨共事.1902年,他再次接受老朋友希尔伯特的建议,到格丁根大学任教授.

  闵科夫斯基于1897年与柯尼斯堡附近一位皮革厂厂主的女儿奥古斯苔·安德勒(Auguste Adler)结婚,婚后生有两个女儿.

  1909 1 10日,闵科夫斯基突患急性阑尾炎,因医治无效于112日去世,年仅44岁.

  闵科夫斯基的主要科学贡献在数论、代数学和数学物理等方面.在代数学中,他对二次型理论进行了重要研究.自从19世纪初CF高斯(Gauss)关于二元二次型的先驱性工作问世以来,推广他的工作到n元型是许多数学家的目标,如FGM.艾森斯坦(Eisenstein)C.埃尔米特(Hermite)HJS.史密斯(Smith)MEC.若尔当(Jordan)JH.庞加莱(Poincaré)等人都曾深入研究过这个问题.1881年春,巴黎科学院出榜公布了征求解答的题目:求一个整数分解为5个平方数之和的表示法的数目.闵科夫斯基当时还是一名年轻的大学生,他被这个问题强烈地吸引住,开始潜心于这项研究之中.他深入钻研了高斯、PGL.狄利克雷(Dirichlet)和艾森斯坦等人的论著,掌握了狄利克雷级数和高斯的三角和方法.受高斯工作的启发(高斯在研究把一个整数分解为3个平方数之和时利用了二元二次型的性质),他认识到把一个整数分解为5个平方数之和的方法与4个变元的二次型的性质有关.由此,闵科夫斯基研究了n个变元的二次型,引进了有关概念的定义,特别是对“型的亏格”(genus of a form)提出了更一般、更自然的定义.他推广了高斯的方法,探讨了具较少变元的型用具较多变元的型表示的问题,得到整系数n元二次型的理论体系.这样一来,大奖问题的解就可以很容易地从一般理论中得出.闵科夫斯基向巴黎科学院递交了长达140页的论文,他的工作远远超出了原问题的范围.英国数学家史密斯早在1867年就发表了有关的研究结果,这次他又将自己以往的工作加以完善,圆满地解决了大奖所提出的问题.闵科夫斯基是在不了解史密斯以往工作的情况下,独立地得到了比史密斯更好的结果.最后,闵科夫斯基与史密斯同获1883年的巴黎科学院数学大奖.

  在以后的很长时间内,闵科夫斯基继续研究n元二次型的理论.他通过三个不变量刻画了有理系数二次型在有理系数线性变换下的等价性,完成了实系数正定二次型的约化理论(1905),现称闵科夫斯基约化理论.其中,提供了在每个等价类(在具实系数的变换下)中只给出
所有约化型的基本域是一个可部分空间,深入研究了该域及其相关域的性质.

  当闵科夫斯基用几何方法研究n个变元的二次型的约化问题时,获得了十分精采和清晰的结果.他把用这种方法建立起来的关于数的理论称为“数的几何”,这是他最有独创性的工作.考虑一个正定二次型

  F(xy)=ax2+2bxy+cy2(1)

  它的几何模式是椭圆.(1)式当x=py=q(pq是整数)时取值m,表明椭圆EmF(xy)=m通过点(pq).显然,Em是一个中心在原点的椭圆.对于具三个变量的二次型

F(xyz)= ax2+by2+cz2+ axy+ bxz+cyz

  方程F(xyz)=m的几何模式为中心在原点的椭球.为了证明n元二次型存在最小上界,闵科夫斯基首先建立了一个普通的几何引理.对于二维的情形,闵科夫斯基引理是:

  平面xoy上的域R总包含异于原点的整坐标点,如果该域满足条件

  (1)R关于坐标原点对称,即它必须同时含有(xy)-x-y)

  (2)R是凸的,即如果(x1y1)(x2y2)R内任两点,那么包含这两点的线段

(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2)(0≤λ≤1)

  也在R内;

  (3)R的面积大于4

  任何中心在原点的椭圆都满足条件(1)(2),而当mπ>4

  闵科夫斯基建立的这个引理十分重要,后来被称为“数的几何中的基本定理”,“全部数的几何都基于这个引理”.利用这一引理, 闵科夫斯基首先证明给定判别式D的二元正二次型存在最小上界.考虑椭圆EmF(xy)=m,为了求出所有m的最小值M,闵科夫斯基注意到(利用引理),对于足够小的正数α,椭圆Eα内不包含任何异于得到彼此相离的无穷多个椭圆(1).当α增大并达到最小值M时,这些椭圆将相互接触但不重叠(2).设A述所有椭圆包含在中心在原点,边长为(2n+1+c)的正方形中( 2),即有不等式

   


 

  这个结果还可以拓广到任意有限维空间(n元正二次型).对于n维空间,闵科夫斯基引理可叙述为:如果每一个中心在坐标原点的对称凸体,其体积大于2n,则除原点之外,至少还有另一个整点在其中.利用Г函数的渐近表达式,闵科夫斯基得到下列估计式:

 

  闵科夫斯基发现,在上述的几何论证中,椭圆可以用任意对称的凸曲线来代替,在高维空间中,则可用对称凸体来代替.通过凸体变化的精巧性,他在数论的各领域中又得到许多新的结果.例如,他建立了具给定判别式的整数二次型类数的有限性定理,研究了实数的有理分数逼近法和代数单位理论.他的几何方法推动了连分数理论的发展,他建立的一种算法已成为判断一个数是否为代数数的准则.此外,他还在n维空间中定义了支撑超平面和支撑函数的概念,证明了凸体在其任一边界点处存在支撑超平面.

  闵科夫斯基通过n维空间中的对称凸体定义了一种新的“距离”:对于点x=(x1x2,…,xn)y=(y1y2,…,yn)定义其距离为

 

  由此得到著名的闵科夫斯基不等式(即三角不等式)

 

  其中akbk(k= 12,…,n)为非负实数,r1.闵科夫斯基由此确立相应的几何,建立一种类似于现代度量空间的理论.他的工作为20世纪20年代赋范空间理论的创立铺平了道路.

  为了研究凸体几何,闵科夫斯基还引进几个凸体“混合体积”(mixed volume)的概念.设 K1K2K3是空间中三个凸体,t1t2t30是三个实数,当xj在凸体Kj(j=1 2 3)中变化时,点t1x1+t2x2+t3x3形成一个新的凸体,记为

t1K1+t2K2+t3K3

  这个新的凸体的体积可以表示为t1t2t3的一个齐次多项式,而混合体积V(K1K2K3)则定义为该多项式中t1t2t3项的系数.闵科夫斯基发现了这些新量之间的奇妙关系和更典型的概念:如果K1是半径为1的球,则V(K1KK)等于包围K的凸曲面面积的三分之一;而V(K1K1K)等于该曲面曲率的平均值的三分之一.他还证明了两个混合体积间的不等式

  [V(K1K2K3)]2

V(K1K1K3)·V(K2K2K3)

  由此他给出一个关于球的等周性的非常简单的新证明.作为混合体积和支撑超平面的一个美妙应用,他证明了有m个面的凸多面体完全由它各面面积及其之间的距离所确定.他还由此构造出具有常宽()的所有凸体.

  1896年,闵科夫斯基出版了专著《数的几何》(Geometrie derZahlenLeipzing),其中系统地总结了他在这一领域的开创性工作.在以后的论著中,他继续把自己在这方面的结果应用于数论的不同领域,特别是推广和明确了П.Л.切比雪夫(ЧeбьIшeB)和埃尔米特的不等式.切比雪夫在1866年的论文“一个算术问题”(Oб oдHoM apифMeT-ичecKoM Boпpoce)中证明,存在无穷多对整数xy,满足不等式

 

  埃尔米特在1880年改进了上述结果,得到

 

  闵科夫斯基在他的《丢番图逼近》(Diophantische Approximationen Leipzig 1907)[5]一书中,证明了存在无穷多对整数xy,满足不等式

 

  此处ξ0,η0为任意给定的数值,α,β,γ,δ为实数.

  闵科夫斯基早年就对数学物理有强烈兴趣,在波恩大学任职期间,他曾协助物理学家H.赫兹(Hertz)研究电磁波理论.1905年以后,他几乎把所有精力都用在研究电动力学上.在他的倡导下,他和希尔伯特联合主持的讨论班的主要课题就是运动物体的电动力学.1908年,闵科夫斯基在科隆举行的德国科学家和医学协会年会上,以“时间和空间”为题报告了他在电动力学方面研究的新结果.他放弃了HA.洛伦茨(Lorentz)A.爱因斯坦(Einstein)在相对论原理中作为分离的实体而使用的时间和空间概念,提出四维的时空结构,即通过

ds2=c2dt2-dx2-dy2-dz2(c为光速)

  为狭义相对论提供了四维时空的数学结构.这种结构后来被称为“闵科夫斯基世界”.据此,同一现象的不同描述能用简单的数学方式表出.诺贝尔物理学奖获得者M.波恩(Born)曾说,他在闵科夫斯基的工作中找到了“相对论数学的整个武器库”.也正是由于闵科夫斯基的工作,爱因斯坦才有可能奠定广义相对论的基础.

  闵科夫斯基生命虽短,成就丰硕.他一生共发表29种论著,其中包括二次型理论、数的几何、凸体的几何学和数学物理等方面.1911年,由希尔伯特主编,出版了闵科夫斯基的全集.闵科夫斯基一生勤勉、刻苦,热爱科学,“科学无时无刻不引起他的兴趣,永远不会使他疲倦”[8].他一生最亲密和最可信赖的朋友希尔伯特评价说,闵科夫斯基的气质尤如铜钟的音响,他在工作时的愉快和性格之开朗是那样清澈透明;他的坚定和忠诚是那样完全彻底;他那理想主义的抱负和生活信念是那样纯正无杂.