沃尔泰拉

邵明湖

(东北师范大学)

  沃尔泰拉, V(Volterra Vito) 186053日生于意大利安科纳;19401011日卒于罗马.数学、自然哲学

  沃尔泰拉的父亲是一位布商,在小沃尔泰拉两岁时去世,留下沃尔泰拉和他的母亲几乎一文不名.他们不得不寄居在沃尔泰拉的一个舅舅家里,之后迁居都灵和佛罗伦萨.沃尔泰拉在佛罗伦萨度过了他的大部分青年时代.

  沃尔泰拉非常早熟,11岁时他便开始学习J.贝特朗(Ber-trand)的《算术》(Traité darithmétique)AM.勒让德(Legendre)的《几何》(Elémentsde géomeétrie).他表述了有独创性的问题并试图解决它.从这时起他对数学和物理学的爱好便已明显表露出来.13岁时他读了J.凡尔纳(Verne)的《从地球到月亮》(From the earth to the moon)之后曾试图解决由地球和月亮构成的引力场中枪弹的弹道问题,这是著名的三体问题的一种限制形式.在他的解法中时间被分成许多小的间隔,在每一段上力被认为是常数,而弹道则是一系列的小抛物弧形.大约40年后,在他52岁的时候,沃尔泰拉在巴黎大学的一次演讲中演示了这一解法.在研究自然现象时,把它所发生的时间分为许多小的间隔,并认为在每一小间隔上导致该现象的因素是常量,从而达到研究该现象的目的,这一思想方法后来被沃尔泰拉应用到很多问题的研究中,如微分线性方程、泛函等.

  因为家境贫寒,沃尔泰拉的家人要求他经商,尽管他热爱科学.沃尔泰拉不愿从事自己不喜欢的工作.他的家人为说服他,请来了一位远亲.这位远亲是一位工程师,家人希望他能说服沃尔泰拉放弃科学而从事商业.但结果出人意料,这位著名的工程师在认识到沃尔泰拉的巨大才能和热情之后,反而转过来劝说沃尔泰拉的家人让他献身科学事业.这成为沃尔泰拉科学生涯的一个转折点.后来这位远亲成为沃尔泰拉的岳父.

  1878年沃尔泰拉完成高中学业进入佛罗伦萨大学自然科学系学习,两年以后在比萨大学听取了E.贝蒂(Betti)U.迪尼(Dini)等人的数学和物理学课程.起先他对迪尼的分析学工作很感兴趣.1881年他证明存在函数F(x),它在一个区间Ⅰ内有有界的但黎曼(Riemann)不可积的导数.这一工作后来成为H.勒贝格(Lebesgue)关于这一课题研究的出发点.沃尔泰拉最感兴趣的还是贝蒂的课程,在贝蒂的影响下,沃尔泰拉开始致力于力学和数学物理的研究.

  1882年沃尔泰拉获得物理学方面的博士学位,在他的博士论文中他重新独立地发现了一些早先由GG.斯托克斯(Stokes)发现的结果.沃尔泰拉一毕业便被指定为贝蒂的助手,次年,他23岁时便被提升为比萨大学的力学教授.贝蒂去世后,沃尔泰拉继任他为数学物理教授.1892年他被任命为图灵大学的力学教授,1900年继E.贝尔特拉米(Beltrami)之后为罗马大学的数学物理教授.作为对他的科学成就的承认,1905年沃尔泰拉成为意大利王国的参议员.第一次世界大战中以及在后来的反法西斯斗争中,他在意大利政治舞台上很活跃.他在第一次世界大战中参加了意大利空军的工作,为完善飞艇做出了贡献,并为此获得战争十字勋章.1917年初,沃尔泰拉创立了意大利战时发明办公室,他经常来往于英、法等国,以协调这些国家之间的战时科技研究合作.他是第一个提出在飞艇中以氦取代氢的人.

  192210月法西斯主义在意大利取得政权,沃尔泰拉是从一开始就意识到它对民主制度的威胁的少数人士之一,他参加签署了反法西斯主义的“知识界宣言”,当时他是林琴科学院(Accademia dei Lincei)的院长.当意大利参议院中讨论墨索里尼炮制的“国家安全法”时,沃尔泰拉不顾个人安危极力反对.1931年,因拒绝宣誓效忠法西斯政府,沃尔泰拉被罗马大学解雇.1932年由于同一原因他被剥夺了意大利科学界的所有会员资格.1931年以后,沃尔泰拉相继在巴黎、西班牙、比利时、捷克斯洛伐克和瑞士等地讲学,只在意大利呆过很短时间.193812月他患静脉炎,但并未停止科学工作,直至194010月去世.

  沃尔泰拉的科学创造生涯历时很长,从1881年发表第一篇论文起至1940年最后一篇文章发表,前后60年.对其科学工作的介绍最好先从他对泛函的研究入手.泛函可看成是具有多个独立变量φ1,φ2…,φn的函数y,即y(φ1,φ2,…,φn)这一概念的推广.我们设想变量集φ1,φ2,…,φn由有限变为连续集.要分析地表达这一要求,可认为φx是其下标x的函数,如此泛函y即是函数φ(x)x在某区间变化时所取的一切值的函数.从一般函数到泛函的过渡正好对应于从多变量函数的极大、极小值理论到变分学的过渡.函数论的一些著名的基本概念如连续、导数、微分、偏微分、全微分等都可以扩展到泛函上去.沃尔泰拉看来早在1883年便产生了创造一种函数的一般理论的想法,但他直到1887年才首次发表这方面的工作.“泛函”的名字是后来由J.阿达马(Hadamard)引入的,早已取代了沃尔泰拉原来的术语.1887年沃尔泰拉引入了“线的函数”这一概念,开始了泛函的抽象理论的研究.设n维空间中一闭曲线L由一组方程xi=φi(t)(i=12,…,n)表示,并设对每一这样的L相应有一量y的固定值,则y称为线L的函数.显然y是φi的一个泛函,但不是最一般形式的泛函.沃尔泰拉引入线的简单函数的概念,然后建立了很多关于简单函数的重要定理.

  1890年沃尔泰拉表明,运用他的泛函分析可以将动力微分方程的积分的哈密顿-雅可比理论扩展到数学物理的一般问题上去.其思想即动力方程产生于与单重积分相关的变分问题,而物理方程产生于与多重积分相关的变分问题,它应该被看成是积分区域的边界的泛函.此后几年他没有再在泛函方面做工作.18921894年间他发表了数篇关于数学物理的偏微分方程的论文.他还表明,GR.基希霍夫(Kirchhoff)关于光的波动理论中的惠更斯原理可以推广到二维乃至三维以上的空间.这一结果后来被AIW.萨默费尔德(Sommerfeld)应用到关于X射线衍射的工作中.

  沃尔泰拉是积分方程一般理论的第一个创立者.1896年他开始发表关于积分方程的重要发现.沃尔泰拉给出了一个求解第二类积分方程

 

  的方法.他把这个方程写成

 

  (其中f是未知函数),现在这个方程通常称为沃尔泰拉型积分方程.他把这一方程看成是一线性代数方程组的极限情形,得到公式

 

  其中T(xy)是一个函数,后来被称为解核或预解式,它可以从函数S(xy)通过一些简单步骤构造出来.他还解出了第一类积分方程

 

  其中φ是未知函数,用的方法是化成第二类方程.

  1898年的一次关于引力影响下的液体的振荡问题的讲演中,沃尔泰拉提倡使用无穷行列式于积分方程理论.这一方法后来在E.弗雷德霍姆(Fredholm)利用无穷行列式求解第二类积分方程的工作中变得极为重要.当弗雷德霍姆的工作发表时,沃尔泰拉指出了它与自己的泛函理论的联系.事实上,一个积分方程的解正是一个泛函方程的解的简单情形.这一时期沃尔泰拉做了很多关于弹性理论的著名工作.这些工作之所以重要,不仅因为它们自身具有重要性,而且还因为它们启发了他后来在纯数学方面的一些工作.在这些工作中最著名的也许要数关于“位错”(di-slocation)的理论了.19051906年他发展了一种相当一般的位错理论.第一次世界大战期间他曾在英国访问,一天紧张的活动之后回到自己的房间时,他惊奇地发现好心的主人在他的房间里沿墙摆放了很多展示沃尔泰拉位错的柱体模型.他很受感动,后来时常提起此事.

  他关于弹性的工作是他的积分微分方程理论的来源.1909年他研究了一类这样的方程.积分微分方程出现于很多数学物理分支中,因此,对某些物质来说,电或磁的偏振不仅取决于那一时刻的电磁场,而且取决于物质在此之前的电磁状态.当相应于这一物理事实的术语引入基本方程中时,这些就变成了积分微分方程.

  1910年他又将一些富有成效的概念如“复合”、“可换函数”等引入泛函理论.两个函数F(xy)和Ф(xy)的复合定义为积分

 

  复合称为是第一类的,如果积分的极限是xy;若极限为常数ab,则称为第二类的.显然这两种情形分别相应于沃尔泰拉和弗雷德霍姆积分方程.两个函数F和Ф称为是可换的,如果他们的复合是可换的.复合和可换函数的理论在积分方程及积分微分方程中有广泛的应用.在第一次世界大战前夕写就的一篇文章中,沃尔泰拉系统地阐述了第一类复合理论,引入了一些重要的新思想,其中最著名的是“函数的零次复合幂”,它本质上与迪拉克(Dirac)δ函数一致.

  战后沃尔泰拉最重要的发现是在生物数学领域里.1936年他注意到了生物数学中所建立的方程与动力方程之间的相似性.他发现,对应于动力中的能量守恒原理,有一个人口统计的能量守恒原理.与此同时他也对纯分析做出了贡献.