皮亚诺

陈竹如

(吉安师范专科学校)

  皮亚诺,G(PeanoGiuseppe)1858827日生于意大利库内奥(Cuneo)附近的斯皮内塔(Spinetta)村;1932420日卒于都灵(Turin).数学、逻辑学.

  皮亚诺的父母巴尔托洛梅奥(Bartolomeo)C.罗斯亚(Rosa)41女,皮亚诺是第二个孩子.他们家以耕作为生,虽处在文盲充斥的农村,但皮亚诺的父母有见识且很开明,让子女都接受教育.他家住在离省城库内奥3英里的地方,每天皮亚诺和其兄米切勒(Michele)必须步行去省城念书.为了方便孩子们上学,他父母把家搬到城内,直到他最小的妹妹小学毕业,才又搬回农场.他的舅舅M.卡瓦罗(Cavallo)是一位牧师和律师,住在都灵.由于皮亚诺勤学好问,成绩优异,舅舅接他去都灵读书.开始时他接受私人教育(包括舅舅的教育)和自学,使他能于1873年通过卡沃乌尔(Cavour)学校的初中升学考试而入了学.1876年高中毕业,因成绩优异获得奖学金,进入都灵大学读书.他先读工程学,在修完两年物理与数学之后,决定专攻纯数学.在校5年,他学习的科目十分广泛.18807月他以高分拿到大学毕业证书,并留校当E.奥维迪奥(Dovidio)的助教,一年后又转为分析学家A.杰诺其(Genocchi)教授的助教.1882年春杰诺其摔坏了膝盖骨,皮亚诺便接替他讲授分析课.1884年任都灵大学微积分学讲师.189012月经过正规竞争,皮亚诺成为都灵大学的临时性教授,1895年成为正式教授,他一直在都灵大学教书,直到去世.

  1887年皮亚诺与卡罗拉·克罗西亚(Crosio·Carola)结婚,她是一位画家的女儿.他们没有孩子.

  皮亚诺是许多科学协会的会员,也是意大利皇家学会会员.他在分析方面的研究颇有成绩,是符号逻辑的奠基人,又是国际语的创立者.皮亚诺于1932420日夜里因心绞痛逝世.按照他的意愿,葬礼非常简朴,他被葬在都灵公墓.1963年,他的遗骸被迁往老家斯皮内塔的家族墓地.

  皮亚诺作为符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人而著名.他的工作是独立于JWR.戴德金(Dedekind)而做出的.虽然戴德金也曾发表过一篇自然数方面的文章,观点与皮亚诺的基本相同,但表述得不如皮亚诺明晰,没有引起人们注意.皮亚诺以简明的符号及公理体系为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面.他在逻辑方面的第一篇文章出现在他1888年出版的《几何演算——基于格拉斯曼的“扩张研究”》(Calcolo geometrico secon-do lAusdehnungslehre di HGrassmann)一书中.该文独立成章共20页,是关于“演绎逻辑的运算”(Operations of deductivelogic)的.皮亚诺不同意BA·W·罗素(Russell)的观点,而是G.布尔(Bode)FWKE.施勒德(Schrder)CS.皮尔斯(Peirce)H.麦科尔(Mccoll)等人工作的综合和发展.1889年皮亚诺的名著《算术原理新方法》(Arithmetices principianova methodo exposita)出版,在这本小册子中他完成了对整数的公理化处理,在逻辑符号上有许多创新,从而使推理更加简洁.书中他给出了举世闻名的自然数公理,成为经典之作.1891年皮亚诺创建了《数学杂志》(Rivista di Matematica),并在这个杂志上用数理逻辑符号写下了这组自然数公理,且证明了它们的独立性.皮亚诺用两个不定义的概念“ 1”和“后继者”及四个公理来定义自然数,说所谓自然数是指满足以下性质的集合N中的元素:

  (1)1N的一个元,它不是N中任何元的后继者,若a的后继者用a+表示,则对于N中任何aa+1

  (2)对于N中任意元a,存在而且仅存在一个后继者a+

  (3)对于N中任何ab,若a+=b+,则a=b

  (4)(归纳公理)N的一个子集合M,若具有以下性质:1M;当aM时,有a+M,则MN

  19世纪90年代他继续研究逻辑,并向第一届国际数学家大会投了稿.1900年在巴黎的哲学大会上,皮亚诺和他的合作者C.布拉利-福尔蒂(BuraliForti)A.帕多阿(Padoa)M.皮耶里(Pieri)主持了讨论.罗素后来写道:“这次大会是我学术生涯的转折点,因为在这次大会上我遇到了皮亚诺.”皮亚诺对20世纪中期的逻辑发展起了很大作用,对数学做出了卓越的贡献.

  皮亚诺在《数学杂志》上公布他和他的追随者的逻辑与数学基础方面的结果.他还在上面公布了他的《数学公式》(Formulario)的庞大计划,并且在这项工作上花费了26年的时间.他期望能将他的数理逻辑的概念应用在数学各分支的所有已知结果上,试图从他的逻辑记号的若干基本公理出发建立整个数学体系.他使数学家的观点发生了深刻变化,对布尔巴基学派产生了很大影响.

  皮亚诺的《数学公式汇编》(Formulario mathematico)共有5卷,18951908年出版,仅第 5卷就含有 4200条公式和定理,有许多还给出了证明,书中有丰富的历史与文献信息,有人称它为“无尽的数学矿藏.”他不是把逻辑作为研究的目标,他只关注逻辑在数学中的发展,称自己的系统为数学的逻辑.

  皮亚诺在其他领域中也使用了公理化方法,特别是对几何.从1889年开始,他对初等几何采用公理化的处理方法,给出了几套公理系统.1894年他将这种方法加以延伸,在М.帕施(Pasch)工作的基础上将几何中不可定义的项消减为三个(点、线段和运动),后来М.皮耶里(Pieri)1899年又把几何中不可定义的项消减为二个(点和运动)

  他的许多论文都是对已有的定义和定理给出更加清晰和严格的描述及应用,例如1882HA.施瓦兹(Schwarz)引入了曲面的表面积这个概念,但没有说清楚,一年后皮亚诺独立地将曲面表面积的概念清晰化.

  皮亚诺引入并推广了“测度”的概念.1888年开始他将HG.格拉斯曼(Grassmann)的向量方法推广应用于几何,他的表述比格拉斯曼清晰得多,对意大利的向量分析研究作了很大的推动.


t[01]区间取值时,曲线将遍历单位正方形中所有的点,得到一条充满空间的曲线.稍后D.希尔伯特(Hilbert)和皮亚诺还找到另外一些这样的曲线.

  皮亚诺认为自己最重要的工作在分析方面.的确,他在分析方面的工作是非常新颖的,有不少是开创性的.1883年他给出了定积分的一个新定义,将黎曼积分定义为黎曼和当其最小上界等于最大下界时所取的公共值.这是设法使积分定义摆脱极限概念所作的努力.1886年他率先证出一阶微分方程y=f(xy)可解的唯一条件是f的连续性,并给出了稍欠严格的证明.

  1890年他又用另一种证法把这一结果推广到一般的微分方程组,并给出选择公理的直接明晰的描述.这比EFF.策梅罗(Zermelo)14年.但皮亚诺拒绝使用选择公理,因为它超出数学证明所用的普通逻辑之外.1887年他发现了解线性微分方程的逐次逼近法,但人们把功劳归于比他晚一年给出此法的.皮卡(Picard).皮亚诺还给出了积分方程的误差项,并发展成“渐近算子”的理论,它是解决数字方程的一个新方法.19011906年之间他就保险数学投过稿.作为国家委员会的一员,他曾被请为估计退休金的金额.18951896年他写过理论力学方面的文章,其中有几篇是关于地球自转轴的运动.他的工作还涉及特殊的行列式、泰勒公式及求积公式的推广等等.1893年,皮亚诺发表了《无穷小分析教程》(Lezioni di analisi infinitesimale),书中的清晰而严格的表述令人叹服.它与皮亚诺编辑的杰诺其的著作《微分学与积分学原理》 (Calcolo differenziale e Principii di calcolo integrale)被德国的数学百科全书列在“自L.欧拉(Euler)AL.柯西(Cauchy)时代以来最重要的19本微积分教科书”之中.

  皮亚诺撰写的《数学百科全书》(Encyklopdie der mathematischen Wissenschaften)有很多引人注目的地方.例如对微分中值定理的推广;多变量函数一致连续性的判定定理;隐函数存在定理以及其可微性定理的证明;部分可微但整体不可微的函数的例子;多变元函数泰勒展开的条件;当时流行的极小理论的反例等.

  1900年皮亚诺对国际辅助语发生了兴趣,因为他的语言能力很强,他曾用英语、意大利语、德语和波兰语写各种书评.1903年他在《数学杂志》上发表了对国际语的见解.他想构造一种对学者特别是科学家通用的国际语言.他认为已经存在着大量源于拉丁语的科学词汇,试图选择每个词的合式形式.他把拉丁语的词干加到德语或英语的字中,使学者们能很快识别出来.他认为最好的语法是无语法,主张取消复杂的词尾变化.1908年皮亚诺当选为国际语协会的主席,直到去世.他领导这个协会自由讨论,于1915年出版了《拉丁语-意大利语-法语-英语-德语公共词汇》(Vocabulario Commune ad Latinoitalianofrancaisenglishdeutsch),其中含有14000个词条,皮亚诺把自己后期的精力绝大部分用在这项工作上.他被誉为国际语的创立者.

  皮亚诺的教学工作也很出色,因此曾被军事学院和理工学院聘去兼课.他对教育有浓厚的兴趣,并做出一些贡献.他坚决反对向学生施加过重的压力,1912年他针对小学曾发表过“反对考试”的短文,他说:“用考试来折磨可怜的学生,要他们掌握一般受过教育的成人都不知道的东西,真是对人性的犯罪…….同样的原则也适应于中学和大学.”他很关心教学内容的严谨性,他认为定义一定要准确清晰,证明必须正确无误,可以省去那些困难的内容.他在中学数学教师中间组织了一系列的讨论,试图促进数学教育向清晰、精确和简单化方向发展.

  皮亚诺还注意研究数学史,他曾给出关于数学术语出处的精辟论述.在数学教学中,他常介绍数学史知识,挖掘GW.莱布尼茨(Leibniz)、Ⅰ.牛顿(Newton)等人的数学思想,对同时代的人影响很大.

  皮亚诺还和他的《数学公式》的合作者们一起,创办了一所学校.他的学识和对学生的宽容,使他吸引了一批在数学和哲学上兴趣相投的人,形成他的学派,该学派对数理逻辑与向量分析在意大利的发展起过重大作用.