庞加莱

李醒民

(中国科学院科技政策与管理科学研究所)

  庞加莱,J H(Poincaré Jules Henri)1854429日生于法国南锡;1912717日卒于巴黎.数学、物理学、天体力学、科学哲学.

  庞加莱的父亲莱昂(LéonPoincaré)是一位第一流的生理学家兼医生、南锡医科大学教授,母亲是一位善良、聪明的女性.庞加莱的叔父安托万(AntoinePoincaré)曾任国家道路桥梁部的检查官.庞加莱的堂弟雷蒙(RaymondPoincaré)曾于1911年、1922年、1928年几度组阁,出任总理兼外交部长.19131月至1920年初,担任法兰西第三共和国第九届总统.

  庞加莱的童年是不幸的,也未表现出什么超人的天才.在幼儿时,他的运动神经共济官能就缺乏协调,写字画画都不好看.5岁时,白喉病把他折磨了9个月,从此就留下了喉头麻痹症.疾病使他长时期身体虚弱,缺乏自信.他无法和小伙伴作剧烈的游戏,只好另找乐趣,这就是读书.在这个广阔的天地里,他的天资通过家庭教育和自我锻炼逐渐显露出来.读书增强了他的空间记忆(视觉记忆)和时间记忆能力.他视力不好,上课看不清老师在黑板上写的东西,只好全凭耳朵听,这反倒增强了他的听觉记忆能力.这种“内在的眼睛”大大有益于他后来的工作,他能够在头脑中完成复杂的数学运算,他能够迅速写出一篇论文而无需大改.

  15岁前后,奇妙的数学紧紧地扣住了庞加莱的心弦,他曾在没有记一页课堂笔记的情况下赢得了一次数学大奖.1873年底,庞加莱进入综合工科学校深造.1875年,他到国立高等矿业学校学习,打算做一名工程师,但一有闲空就钻研数学,并在微分方程一般解的问题上初露锋芒.1878年,他向法国科学院提交了关于这个课题的“异乎寻常”的论文,并于翌年81日得到数学博士学位.由于工程师的职业与他的志趣不相投,他又想做一个职业数学家.在得到博士学位后不久(1879121),他应聘到卡昂大学作数学分析教师.两年后,他提升为巴黎大学教授,讲授力学和实验物理学等课程.除了在欧洲参加学术会议和1904年应邀到美国圣路易斯科学和技艺博览会讲演外,庞加莱一生的其余时间都是在巴黎度过的.

   庞加莱的写作时期开始于1878年,直至他1912年逝世——这正是他创造力的极盛时期.在不长的34年科学生涯中,他发表了将近500篇科学论文和30本科学专著,这些论著囊括了数学、物理学、天文学的许多分支,这还没有把他的科学哲学经典名著和科普作品计算在内.由于他的杰出贡献,他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉,也受到英国、俄国、瑞典、匈牙利等国政府的奖赏.早在33岁那年,他就被选为法国科学院院士,1906年当选为院长;1908年,他被选为法兰西学院院士,这是法国科学家所能得到的最高荣誉.

  庞加莱被认为是19世纪最后四分之一和本世纪初期的数学界的领袖人物,是对数学和它的应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师.他的研究和贡献涉及数学的各个分支,例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等,当代数学不少研究课题都溯源于他的工作.

  1.函数论.如果说18世纪是微分学的世纪,那么19世纪则是函数论的世纪.庞加莱是因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的,他本人也因此在数学界崭露头角.

  所谓自守函数,就是在某些变换群的变换下保持不变的函数.自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广,它不仅对其他各种应用是重要的,而且在微分方程理论中也扮演着主要的角色.

  自守函数的名称今天已用于包括那些在变换群z=(az+ b)/(cz+d)或这个群的某些子群作用下的不变函数,其中ab cd可以是实数或复数,而且ad-bc=1.此外,在复平面的任何有限部分上,这个群完全是不连续的.更一般的自守函数则是为研究二阶线性微分方

  1880年以前,F.克莱因(Klein)在自守函数方面作了一些基本的工作,后来他在1881年至1882年与庞加莱合作.庞加莱在受到IL.富克斯(Fuchs)有关工作的吸引而注意到这件事后,对这个课题已作了先行的工作.他以椭圆函数理论为指导,发明了一类新的自守函数,即他所谓的富克斯函数,这是比椭圆函数更为普遍的一类自守函数.后来,庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况,并考虑了这种群的几种类型,他把这种群叫克莱因群.对这些克莱因群,庞加莱得到了新的自守函数,即在克莱因群变换下不变的函数,庞加莱把它叫做克莱因函数.这些函数有类似于富克斯型函数的性质,但基本域比圆要复杂.此后,庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分.这样,整个这类线性微分方程都可以用庞加莱的这些新的超越函数来解了.

  自守函数理论只是庞加莱对于解析函数论的许多贡献之一,他的每项贡献都是拓广的理论的出发点.他在 1883年的一篇短文中首先研究整函数的格与其泰勒展开的系数或者函数的绝对值的增长率之间的关系,它与皮卡(EPicard)定理结合在一起,通过J.阿达玛(Hadamard) E.波莱尔(Borel)的结果,导致了整函数和亚纯函数的庞大理论,这个理论在80年之后仍然尚未研究完.

  自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子,它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线.庞加莱给出另外一个一般方法构成这种类似的函数,即通过有理函数的级数,这导致后来被波莱尔和A.当儒瓦(Denjoy)所提出的单演函数理论.代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果,它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值化定理”,这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射.

  尤其是,庞加莱是多复变解析函数的创始人,这理论在他之前实际并不存在.他得到的第一个结果是这样的定理:两个复变量的亚纯函数F是两个整函数的商.在1898年,他针对“多重调和函数”对于任意多复变函数进行了深入的研究,并在阿贝尔函数论中加以应用.他还在1907年指出了全新的问题,导出两个复变函数的“共形映射”概念的推广,这就是现在众所周知的、给人以深刻印象的解析流形的萌芽.庞加莱也对多复变函数的重积分的“残数”概念给出满意的推广,这是在其他数学家早期对这个问题作了多次尝试而揭示出严重困难之后进行的.多年后,他的思想在J.勒雷(Leray)的工作中产生了完满的结果.

  2.代数拓扑学(组合拓扑学).庞加莱最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论,人们公认他是代数拓扑学的奠基人.可以毫不夸张地说,庞加莱在这个课题上的贡献比在其他任何数学分支上的贡献都更为使他永垂不朽.

  庞加莱先在1892年和1893年的科学院《通报》(Comptes Rendus)中发表了一些短文,然后于1895年发表了一篇基本性的论文,接着是一直到1904年在几种期刊上发表的五篇长的补充,这都是论述近代代数拓扑学的方法的.庞加莱认为,他在代数拓扑学方面的工作与其说是拓扑不变性的一种研究,不如说是研究n维几何的一种系统方法.我们现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造:其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵计算贝蒂(EBetti)数的方法.籍助这些方法,庞加莱发现欧拉多面体定理的推广(现在称之为欧拉-庞加莱公式)以及关于流形的同调的著名的对偶定理;稍后他引进了挠率的概念.在这些论文中,他还定义了基本群(第一个同伦群)并证明它与一维贝蒂数的关系,给出两个流形具有相同的同调但具有不同的基本群的例子,他还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起,叙述了G.德拉姆(de Rham)直到1931年才证明了的定理.有人这样正确地说过:直到1933年发现高阶同伦群之前,代数拓扑学的发展完全基于庞加莱的思想和方法.

  此外,庞加莱还指出如何把这些新工具用于那些促使发现它们的问题.在两篇论文中,他定出了复代数曲面的贝蒂数,以及形如Z2=F(xy)(F是多项式)的方程定义的曲面的基本群,从而为后来S.莱夫谢茨(Lefschetz)WVD.霍奇(Hodge)的推广铺平了道路.

  3.阿贝尔函数和代数几何学.当庞加莱一接触到GFB.黎曼(Riemann)K.魏尔斯特拉斯(Weierstrass)关于阿贝尔函数和代数几何学的工作之后,他立即对这个领域发生了浓厚的兴趣.他在这个课题上论文的篇幅在他的全集里和自守函数的论文篇幅差不多,时间是从1881年到1911年.这些文章的主要思想之一是关于阿贝尔函数的“约化”.庞加莱把J.雅可比、魏尔斯特拉斯和皮卡研究过的特殊情形加以推广,证明了一般的“完全可约性定理”.并注意到对应于可约的簇的阿贝尔函数,这是推广某些已有结果和研究某些函数特殊性质的出发点.

  庞加莱在代数几何学方面的最突出贡献是他在1910年至1911年间关于代数曲面F(xyz)=0中所包含的代数曲线的几篇论文.他所运用的卓有成效的方法使他证明了皮卡和F.塞韦里(Severi)的深刻结果,并首次正确地证明了由G.卡斯特尔诺沃(Castelnuovo)F.恩里格斯(Enriques)所陈述的著名定理.在其他问题上,他的方法也极有价值,看来它的有效性还远远没有穷尽.

  4.数论.在这个领域,庞加莱首次给出整系数型的亏格的一般定义.他的最后一篇数论论文(1901)最有影响,是我们现在所谓的“有理数域上的代数几何学”的头一篇论文.这篇论文的主题是个丢番图(Diophantus)问题,即求一条曲线f(xy)=0上具有有理数坐标的点,其中f的系数是有理数.庞加莱定义了曲线的“秩数”,并猜想秩数是有限的.这个基本事实由LJ.莫德尔(Mardell)1922年予以证明,并由A.韦伊(Weil)推广到任意亏格的曲线(1929).他们用的是“无限下降法”,这基于椭圆(或阿贝尔)函数的半分性质;庞加莱在他的文章中发展了一种与椭圆函数的三分性质有关的类似的计算,这些思想似乎是莫德尔证明的出发点.莫德尔-韦依定理在丢番图方程论中已成为基本的定理,但是与庞加莱引入“秩数”概念的许多问题仍然尚未得到解答,更深入地钻研他的论文也许会导出新的结果.

  5.代数学.庞加莱从未出于代数学本身的需要而去研究代数学,只是当在算术或分析问题中需要代数结果时才去研究它.例如,他关于型的算术理论的工作使他研究次数≥3的型,其上作用着连续自同构群.与此有关,他注意到超复系和由超复系的可逆元素乘法定义的连续群之间的关系;他在1884年就这个问题所发表的短文后来引起E.施图迪(Study)E.嘉当(Cartan)关于超复系的文章.庞加莱在1903年关于线性微分方程的代数积分的文章又回到交换代数的研究上来.他的方法使他引进一个方程的群代数,并把它分解为C上的单代数(即方阵代数).他首次把左理想和右理想的概念引入代数,并证明方阵代数中的任何左理想是极小左理想的直和.

  庞加莱是当时能够理解并欣赏S.李(Lie)及其后继者关于“连续群”工作的少数数学家之一,尤其是,他是早在20世纪初就能认识到嘉当论文的深度和广度的唯一数学家.1899年,庞加莱对于用新方法证明李的第三基本定理以及现在所谓的坎贝尔(Campbeel)-豪斯多夫(Hausdorff)公式感兴趣;他实际上第一次定义了现在所说的(复数域上的)李代数的“包络代数”,并由李代数已给的基对包络代数的“自然的”基加以描述,这个定理在近代李代数理论中成为基本的定理.

  6.微分方程.微分方程及其在动力学上的应用显然处于庞加莱数学思想的中心地位,他从各种可能的角度研究这个问题,他把分析中的全套工具应用到微分方程理论中.几乎每年都要就此发表论文.事实上,整个自守函数理论一开始就是由求积具有代数系数的线性微分方程的思想引起的.他同时研究了一个线性微分方程在一个“非正则”奇点的邻域中的局部问题,首次证明了怎样得到积分渐进展开.他还研究了如何决定(复数域中)所有一阶微分方程关于yy′是代数的且有固点的奇点,这后来被皮卡推广到二阶方程,并在20世纪初期导致P.潘勒韦(Painlevé)及其学派的成果.

  庞加莱在这个领域中的最杰出贡献是微分方程定性理论,它是在其创造者手中立即臻于完善的.他发现在分析微分方程可能解的类型时,奇点起着关键性的作用.他把奇点分为四类——焦点、鞍点、结点和中心,并阐述了解在这些点附近的性态.在1885年后,他关于微分方程的论文大都涉及到天体力学,特别是三体问题.

  对于物理学问题的持久兴趣肯定把庞加莱引向数学物理学的偏微分方程所导出的数学问题,在这方面他从未忽略他所用的方法和他所得到的结果可能存在的物理意义.他在1890年的一篇文章中讨论了狄利克雷(Dirichlet)问题,发明了“扫散方法”,这种极其富于独创性的方法在20世纪20年代和30年代出现的位势理论上起着重要作用.

  此外,庞加莱还在非欧几何、渐近级数、概率论(例如,他最先使用了“遍历性”的概念,这成为统计力学的基础)等数学分支中也有所建树.庞加莱在物理学、天体力学、科学哲学方面的工作请见《世界著名科学家传记·物理学家Ⅰ》.——编者注.

  1911年,庞加莱觉得身体不适、精力减退,他预感到自己活在世上的日子不会很长了.可是,他不愿放下手头的工作去休息,他头脑蕴育的新思想太多了,他不愿让它们和自己一起埋葬.在索尔维会议之后,他投身于量子论的研究,并撰写论文,发表讲演.同时,他还在思考一个新的数学定理,即把狭义三体问题的周期解的存在问题归结为平面的连续变换在某些条件下不动点的存在问题.

  临终前三周,庞加莱抱病在法国道德教育联盟成立大会上发表了最后一次公开讲演.他说:“人生就是持续的斗争”,“如果我们偶尔享受到相对的宁静,那正是因为我们先辈顽强斗争的结果.假使我们的精力、我们的警惕松懈片刻,我们就会失去先辈们为我们赢得的斗争成果.”庞加莱本人的一生就是持续斗争、永远进击的一生.

  1912717日,庞加莱因血管栓塞突然去世.当时他正处在科学创造的高峰时期.V.沃尔泰拉(Volterra)中肯地评论道:“我们确信,庞加莱一生中没有片刻的休息.他永远是一位朝气蓬勃的、健全的战士,直至他的逝世.”