科瓦列夫斯卡娅

杜瑞芝

(辽宁师范大学)

  科瓦列夫斯卡娅,CB(KoBлeBckaя,Coфbя BacилbeBHa)1850115日生于俄国莫斯科;1891210日卒于瑞典斯德哥尔摩.数学、文学.

  科瓦列夫斯卡娅的父亲柯文·克鲁科夫斯基(KopBиH-Kpy-KoBcKий、BB)是匈牙利国王马休斯·柯文(Mathias Korvin)的后裔,在俄罗斯部队任陆军中将.母亲柯文·克鲁科夫斯卡娅(KopBиH-KpyKoBCKaя,E.Φ.)出身于俄国贵族家庭.1858年,柯文·克鲁科夫斯基退职,带全家到靠近立陶宛边界的帕里宾诺庄园定居.科瓦列夫斯卡娅早年受到良好的家庭教育.她的伯父博览群书,是一位科学爱好者,他经常来帕里宾诺庄园作客,给小科瓦列夫斯卡娅讲一些有趣的科学故事.科瓦列夫斯卡娅卧室里的糊墙纸是她父亲早年学习微积分时的笔记,那些奇怪的公式和符号使她困惑不解.这些都激发了她强烈的求知欲.不久,她在数学方面就表现出特殊的天赋.据说,科瓦列夫斯卡娅14岁时曾自学三角学,既无教师,又无课本.她通过在圆上作弦的方法,居然能解释正弦函数并推导出一些三角公式,被誉为“新帕斯卡”.16岁以后,她很渴望能进大学学习.但19世纪的俄国,大学是妇女的禁区.1866年冬,科瓦列夫斯卡娅的父亲请彼得堡的一位著名数学教师AN.斯特兰诺留勃斯基(CTpaHHoлюбocKий)为她私入授课.在此期间,她很快掌握了解析几何和微积分.

  19世纪60年代,俄国正处在从农奴制向资本主义过渡的时期,反对沙皇专制统治的革命民主主义运动蓬勃发展.许多进步妇女起来为争取上大学的权利而斗争,科瓦列夫斯卡娅也加入了这个斗争行列.她中断了在斯特兰诺留勃斯基那里的学习之后,为能进大学学习而四处奔走,甚至直接拜访了大数学家П.Л.切比雪夫(ЧeбbIшeB),请求他的帮助,也未获成功.在这种情形下,要想继续深造只有出国.而未婚女子到国外求学会引起各种流言蜚语.当时,一些进步女青年常采取“假婚”的方式来摆脱困境,即与某位男青年形式上结为夫妇,然后共同出国.1868年,科瓦列夫斯卡娅与青年学者、莫斯科大学古生物系毕业生BO.科瓦列夫斯基(KoBaлeBCKий)举行了假结婚.第二年,他们共同来到德国.

  在德国,科瓦列夫斯卡娅克服了重重困难,终于进入了海得堡大学,在数学家L.柯尼希贝格(Konigsberger)的教授下学习数学,并兼听大物理学家HLF.亥姆霍兹(Helmholtz)的物理课.柯尼希贝格在课堂上经常向学生们颂扬他的老师,号称“数学分析之父”的K.魏尔斯特拉斯(Weierstrass),激起科瓦列夫斯卡娅对这位数学大师的崇敬之情,她决心到柏林去,在魏尔斯特拉斯的直接指导下研究数学.1870年,经柯尼希贝格的推荐,她到柏林拜见了魏尔斯特拉斯,向他表述了自己献身科学的决心和对数学的爱好.魏尔斯特拉斯对她进行了测试,她的解题才能使魏尔斯特拉斯大为欣赏.于是他亲自向柏林大学校方请求,让科瓦列夫斯卡娅非正式地随班听课,但遭到拒绝.魏尔斯特拉斯决定做她的私人教师.18701874年,他利用星期天单独给科瓦列夫斯卡娅授课,并共同讨论数学问题,从未间断过.科瓦列夫斯卡娅在这4年内学习了椭圆函数论及其应用、综合几何学、阿贝尔函数、复变函数和变分法等课程,并与她的老师共同研究了有关的课题.她很快就成为魏尔斯特拉斯最得意的学生,魏尔斯特拉斯曾说:“可以肯定,在我的学生中,在勤勉、才能、热情和爱科学方面,可以和她相比的实在不多.”科瓦列夫斯卡娅的所有数学研究都直接受到魏尔斯特拉斯的影响,他们之间结下了深厚的友谊,直至科瓦列夫斯卡娅去世.

  经过几年的努力,科瓦列夫斯卡娅写出了三篇出色的论文,分别研究偏微分方程理论、阿贝尔积分和有关土星光环等课题.18748月,根据魏尔斯特拉斯的推荐,没有经过考试和答辩,格丁根大学授予科瓦列夫斯卡娅博士学位,这是数学史上的第一位女博士.

  科瓦列夫斯卡娅和科瓦列夫斯基正式结婚后,于1874年秋季返回俄国.科瓦列夫斯卡娅怀着满腔热情,希望用自己的学识为祖国人民服务.但是沙皇统治下的俄国,仍像几年前一样黑暗.从1874年起,科瓦列夫斯卡娅放弃了科学工作,以后的几年内,她进入社交界,也发表过戏剧评论和科普报导等.魏尔斯特拉斯曾多次来信劝导她重返数学界,但都未能奏效.1878年以后,科瓦列夫斯卡娅开始对自己的现状不满.她写信给魏尔斯特拉斯,表达了希望恢复数学研究的愿望.然而,这种愿望由于她的女儿的出世而未能实现.直到1880年在彼得堡召开的科学大会,才真正激励了科瓦列夫斯卡娅重新从事数学研究的热情.

  1880年末,科瓦列夫斯卡娅又来到柏林,在魏尔斯特拉斯的指导下进行数学研究.18811883年,她完成了几篇关于光的折射的研究论文.在此期间,她仍为自己的就业问题而奔走.不幸的是,1883年春她的丈夫因为破产而自杀.这对科瓦列夫斯卡娅无疑是一沉重打击,她勇敢地挑起生活的重担,并继续从事数学研究.188311月,科瓦列夫斯卡娅在她的朋友、著名瑞典数学家MG.米塔格-列夫勒(Mittag-Leffler)的帮助下,受聘担任斯德哥尔摩大学讲师,终于登上了大学的讲台.她用德语讲授数学课程,清晰易懂,引人入胜,颇具魏尔斯特拉斯的风格,大受欢迎.1884年,她被提升为该校的数学教授,并担任《数学学报》(Acta Mathematica)的编辑.1889年,被任命为斯德哥尔摩大学的终身教授.

  在斯德哥尔摩大学任职期间,科瓦列夫斯卡娅研究了刚体绕定点旋转的问题.这个问题已有100多年的历史,被称为“数学水妖”.许多著名数学家都曾致力于它的研究,甚至L.欧拉(Euler)1157 JL.拉格朗日(Lagrange)也只得到了某些特殊情形下的结果.法国科学院曾三次悬赏,给在该问题的研究中有所突破的人颁发鲍罗丁(Bordin)奖金.1888年,法国科学院再次悬赏征求刚体旋转理论的论文.在用匿名提呈的15篇论文中、有一篇如此杰出,受到评奖委员会的高度赞赏,以致法国科学院把奖金从三千法郎增至五千法郎,这就是科瓦列夫斯卡娅提交的论文.188812月,科瓦列夫斯卡娅荣获鲍罗丁奖.这项工作在1889年又得到瑞典科学院的奖赏.

  188912月,由切比雪夫等三位著名科学家联名推荐,科瓦列夫斯卡娅当选为俄国科学院通讯院士,她是历史上第一个获得科学院院士称号的女科学家.

  科瓦列夫斯卡娅不幸于1891年春患肺炎逝世,终年只有41岁.从青年时代起,科瓦列夫斯卡娅就接受民主主义革命思想,她积极支持女权运动,同情巴黎公社.(科瓦列夫斯卡娅的姐姐、姐夫参加了巴黎公社起义,其姐夫被捕入狱.为营救姐夫,她曾只身进入战火中的巴黎,并参加营救公社伤员的工作.)在妇女倍受歧视的年代,她勇敢地冲破传统的偏见和社会的压制,屹然独立,献身科学.科瓦列夫斯卡娅刻苦勤奋,勇于探索,以短暂的一生,在科学领域取得了杰出的成绩.她在数学、文学和政治等方面都留下了出色的成果.

  在数学方面,科瓦列夫斯卡娅在德国、法国和瑞典的科学杂志上共发表了10篇纯粹数学和有关数学物理的论文,它们是:

  1.“关于偏微分方程理论”(俄文K TeopииypaBheHийBчacTHbIX пpoи3BoдHbIX,德文Zur Theorie der partiellen Differential-gleichungen1875)

  2.“论某一形式的第三类阿贝尔积分简化成椭圆积分”(俄文OпpиBeдeHииHeKOTOPOTO Kлacca aбeлeBbIX иHTeгpaлoB Tpetbeгo paHгaK ллипTичeCKиM иTheгpaлaM、德文ber die Reduction einer bestimmten Klasse Abelscher Integrale dritten Ranges aufelliptische Integrale1884)

  3.“对拉普拉斯土星光环形态研究的补充和意见”(俄文 ДoбaBлeHия и зaMeчaHия K иccлeдoBaHию Дaплaca ФopMe Koлцa CaTypHa,德文Zustze und Bemerkungen zu Laplaces Untersu-chungen über die Gestalt der Saturnsringe1885)

  4.“论光线在结晶介质中的折射”(俄文 OпpeлoMлeHииcBeTaB KpиcTaлличecKиX cpeдax,德文ber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln1883)

  5.(①文5与文6是同一篇文章“O paпpoctpahehииcBeTa B kpиcTaллиqeckoйcpeдe”,分别在巴黎科学院和斯德哥尔摩科学院的杂志上发表.)“论光在晶体中的传播”(法文 Sur la propagation de lalumiére dans un milieu cristallisé1884)

  6.“论光在晶体中的传播”(瑞典文Om Ijusets fortplantninguti ett Kristallinisktmedium1884)

  7.“刚体绕定点旋转的一个问题”(俄文 Зaдaчa o BpщeHии TBepдoгo Teлa okoлo HeпoдBижHoй ToчKи,法文Sur le problème de la rotation dun corps solide autour dun point fixe1889)

  8.“关于重物绕定点旋转问题的一个特殊情形,其积分可借助时间的超椭圆函数实现”(俄文МeMyap oб oдHOM чacTHOM cлyчae зaдaчиo BpaщeHии Tяжeлoгo Teлa BOKpyг HeпoдBижHOй ToчKи,Koгдa иHTeгpиpoBaHиe пpoизBOдиTcяC пOMOщbю yлbTpaллипTичecKиX ФyHKций BpeMeHи,法文Mémoire sur un cas particulier du problème de la rotation dun corps pesantautour dun pointfixeoù lintégration seffectue à laide de fonctions ultrae-lliptiques du temps1890)

  9.“论确定一刚体统定点旋转的微分方程组的一个性质”(俄文Oб oдHOM cBoйcTBe CиCTeMbI диффepeHциaльHьIX ypaBHeHий,oпpeдeляющeй BpaщeHиe TBepдoгo Teлa OKOлO HeпoдBижHoй ToчKи,法文Surune propriété du système déquations differen-tielles qui définit la rotation dun corps solide autour dun point fixe1890)

  10.“关于Bruns的一个定理”(俄文OБ oдHoйTeopeMe Г.БpyHca,法文Sur un théorème de HBruns1891)

  以上的10篇论文,前3篇即是科瓦列夫斯卡娅在魏尔斯特拉斯指导下的博士论文(18701874),关于光的折射的论文(46)是她重返柏林时(18811883)撰写的,后4篇论文是她在斯德哥尔摩大学任职期间完成的.关于偏微分方程理论和刚体运动方面的论著是她最重要的工作,已被译成英文传世,下面作较详细的介绍.

  1819世纪的数学家们创立了大量类型的微分方程.他们很快就发现,在许多情况下求方程的显解归于失败.于是,数学家们转而去证明解的存在性.1842年,AL.柯西(Cauchy)给出了微分方程中第一个一般的存在性定理.他讨论了给定初始条件的微分方程的求解问题,证明了常微分方程和几种线性偏微分方程解析解的存在性.对于形如

 

  (i=12,…, m)

  的一阶偏微分方程组,柯西问题就是求满足初始条件

  ui(0x1;,…,xn)=wi(x1,…,xn)(i=1,…,m)的解u(xt)

  柯西假设Fiwi都是解析的,用“优函数方法”得到局部收敛的幂级数解.他以一个简单的解析函数代替原来的Fi,要求其幂级数展开的系数都是非负的,且不小于Fi对应项系数的绝对值.所得到的方程组可以用明显的求积法给出解,这就是原方程组具有初始条件的解的优函数.

  科瓦列夫斯卡娅在她的论文中,把柯西的结果推广到很一般的情形.她首先考虑拟线性方程组

  

  A.如果u(x1,…,xr)10,…,u(x1,…,xr)n0n个任意选择的具有共同收敛域的幂级数,并且它们当(x1,…,xr)=(0,…,0)时的值均为0,那么在空间(tx1,…,xr)中可确定n个幂级数,它们在u1,…,un空间中形式地满足(1),并且当t=0时,它们的值依次等于u(x1,…,xr)10,…,u(x1,…,xr)n0

  B.上述n个幂级数在某一域内绝对收敛并在此域内是确实满足(1)的函数.

  接着,科瓦列夫斯卡娅又研究了方程组

  得到类似的结果.

  她在证明这些结果的过程中,利用了柯西和魏尔斯特拉斯的优函数方法.即以方程组

   

 

  其中Gg都是常数.

  然后,科瓦列夫斯卡娅把柯西的存在唯一性定理推广到包含高阶时间导数的高阶方程组的情形.她考虑方程组

 

  ij=12,…,mk0+k1++kn=knik0ni,和初始条件

 

  假设所有的Fi在点

 

  的一个邻域内解析,所有中φj(k0)(x1,…,xn)在点(x01,…,x0n)的邻域内解析,她证明了上述柯西问题在点(t0t01,…,t0n)附近有唯一的一组解析解.

  在现代数学文献中,关于偏微分方程解的存在唯一性定理通常称为柯西-科瓦列夫斯卡娅定理.它的最简形式可叙述为:

  任意形如

 

 

  

  附近存在唯一的解析解u(tx),它满足

u(t0x)=g(x)

  这里g(x)在点x0附近解析,并满足

 

  科瓦列夫斯卡娅的工作得到数学界的好评,法国数学家H.庞加莱(Poincaré)曾说:“她极大地简化了证明并给出定理的最终形式.”

   科瓦列夫斯卡娅最重要的贡献是对刚体运动的研究.刚体绕定点运动的方程是欧拉在1750年提出的,它们是:

 


                

  其中,ABC是刚体关于定点的惯性椭球的主轴,M是刚体的质量,g是重力加速度,(γ,γ′,γ″)是指向下方的单位向量,pqr是角速度沿各主轴的分量,(x0y0z0)是刚体重心的坐标.

  为确定任意时刻刚体的运动位置,要对这组方程求积.1888年以前,只解决了两种情形.第一种情形要求满足条件x0=y0=z0=0,曾被欧拉和SDB.泊松(Poisson)研究过.此时刚体的重心与固定点重合,这是不受力的对称体的运动.这时没有外力作用于刚体,重力不影响运动,因此旋转轴在刚体内的固定位置上.地球的自转运动就是不受外力运动的一个例子.

   第二种情形要求A=Bx0=y0=0,曾由拉格朗日研究过.此时,定点和重心位于同一轴上,有时这个轴是对称轴的,比如陀螺的旋转便是如此.陀螺绕一个定点旋转,这个定点不是重心,但它与重心都在陀螺的对称轴上.当陀螺旋转时,它本身产生一个力矩,使陀螺保持平衡.

   以上两种情形,都要求刚体是对称的.科瓦列夫斯卡娅在她的论文中指出,欧拉和拉格朗日所考虑的方程组,pqr,γ,γ′,γ″这六个未知量都是时间变量的单值函数,它们只有唯一的奇点,即极点.方程组的通积分在通常情形下是否能保持这一性质呢?如果能保持这一性质,那么这些方程可以借助于下列级数进行积分:

  p=t-n1(p0+p1t+p2t2+)

  q=t-n2(q0+q1t+q2t2+ )

  r=t-n3(r0+r1t+r2t2+)

  γ=t-m1(f0+f1t+f2t2+)

  γ′=t-m2(g0+g1t+g2t2+)

  γ″=t-m3(h0+h1t+h2t2+)

  这里n1n2n3m1m2m3都是正整数.为了使这些级数能表示所研究方程组的通积分,它们应该包含5个任意常数.比较方程组两边第一项的系数,不难确定

n1n2n3=1m1=m2=m3=2

  为确定系数p0q0r0f0g0h0,科瓦列夫斯卡娅进一步分析方程,得到了刚体是非对称的一种情形的解.即当两个惯性力矩相等,并等于第三个惯性力矩的二倍,而刚体重心在由相等的惯性矩决定的平面内时,相当于在条件

A=B2Cz0=0

  下给出了方程组的通积分.

  欧拉方程组具有如下形式的代数积分:

Ap2+Bq2+Cr2-2Mg(x0γ+y0γ′+z0γ″)=C1

Apγ+Bqγ′+Crγ″=C2

γ2+(γ′)2+(γ″)2=1

  科瓦列夫斯卡娅在她限定的条件下导出了第四积分.她用在xy坐标平面内的转轴变换和改变长度单位的办法使y0=0C=1,此时欧拉方程组变为:

 

  其中C0=Mgx0.那么三个代数积分是

2(p2+q2)+γ2=2C0γ+6l1

2(pγ+qγ′)+rγ″=2l

γ2+(γ′)2+(γ″)2=1

   此处ll1是积分常数.然后她导出第四积分:[(p+qi)2+C0(γ+γ′i)][(p-qi)2+C0(γ-γ′i)]=k2k为任意常数。接着,她令x1=p+qix2=p-qi,经过几次变量替换及代数运算,得到方程

 

  这里R1(S)5次多项式,其零点是唯一的,S1S2x1x2的多项式.这组方程引出了超椭圆积分,科瓦列夫斯卡娅用θ函数解出了这些积分.

  科瓦列夫斯卡娅还证明,她引进的关于pqr,γ,γ′,γ″的级数展开式是欧拉方程组的解的必要条件是ABCxyz满足下列四个条件之一:

  (1)A=B=C

  (2)x0=y0=z0(欧拉研究的情形)

  (3)A=Bx0=y0=0(拉格朗日研究的情形)

  (4)A=B=2Cz0=0(科瓦列夫斯卡娅研究的情形)

  刚体绕定点旋转问题如图1 (①引自P.Polubarinova-Kochina,Sophia vasilyevna Kovalevskaya,1957,第60页.)所示.

 

  关于刚体绕定点旋转问题的研究,自从拉格朗日之后,大约有一个世纪停步不前.科瓦列夫斯卡娅的工作,打破了100年来的僵持局面,开辟了在近代力学中应用数学分析方法的新方向.正是这项工作使她获得法国科学院的鲍罗丁奖金.法国科学院举行了隆重的授奖仪式.科学院院长皮埃尔·让森(Pierre Janssen)先生亲自到会致词,高度评价了科瓦列夫斯卡娅的成就.他说:“当今最辉煌、最难得的荣誉桂冠,有一顶将落到一位妇女头上.本科学院的成员们发现,她的工作不仅证明她拥有广博深刻的科学知识,而且显示了她的巨大的创造才智.”

  在文学方面,科瓦列夫斯卡娅曾和瑞典女作家安娜·列夫勒(Anna Leffler)共同创作剧本《为幸福而斗争》(Бapьбa зa CTaCTьe 1877),获得成功.她还写了几部小说,如《童年的回忆》(Ba cпoM-иHaHия дeTCTBa 1890)、《一个女虚无主义者》(Hи ги-лиCTKa1844)等.其中以《童年的回忆》最为著名,已被译成多种文字.

  1948年,苏联科学院出版了科瓦列夫斯卡娅科学著作全集.1950年,莫斯科和斯德哥尔摩分别举行了隆重的纪念大会,纪念科瓦列夫斯卡娅诞生100周年.