许以超

(中国科学院数学研究所)

  李, M S(LieMarius Sophus)18421217日生于挪威努尔菲尤尔埃德;1899218日卒于挪威克里斯蒂安尼亚(今奥斯陆).数学.

  李在家中是六个孩子中最小的一个,小学和中学毕业后,从1859年到1865年就读于克里斯蒂安尼亚大学,学习数学和科学.毕业后,担任家庭教师,这时他对天文有些兴趣,又想去学机械,直到1868年,在一个极偶然的机会,他看到了JV.彭赛列(Poncelet)J.普吕克尔(Plücker)的论文,才使他走上了数学工作的道路.普吕克尔提出了射影空间的概念,即打破了传统,不用空间中的点而用空间中直线为元素,构成新的空间,研究它们的几何性质.在当时,这种新的思想,深深地吸引了他,使得他去考虑其他类型的空间,从而成为李群这个学科的创始人.所以他虽然从来也没有见过普吕克尔,但总是声称自己是普吕克尔的学生.

  李的早期工作属于微分几何范畴.他的第一篇论文,使得他获得了国外的奖学金.在1869年秋,他来到柏林.在那里,他和F.克莱因(Klein)交上了朋友.(克莱因比李小7岁,和李一样,也是受了普吕克尔的影响而对几何感兴趣,但是普吕克尔是克莱因的老师.)他们两人具有迥然不同的风格.克莱因是一个代数学家,他常常被迷人的问题的特殊性所倾倒,而李却是一个分析学家,他常常撇开特殊情况,而力图用适当的一般性来理解问题.然而他们两人之间的友谊,对他们两人在数学上的进步却是非常关键的.

  1870年夏天,李和克莱因一同到了巴黎,他们结识了G.达布(Darboux)C.若尔当(Jordan).这时,李受法国analla-gmatic学派思想的影响,发现了他的著名的接触变换.应用于曲面情形,这种变换将直线映为球,将主切曲线映为曲率线.

  这年7月,法国和普鲁士间爆发了战争.8月,他决定步行到意大利,但是在枫丹白露附近,他被误会为间谍而抓了起来,过了一个月,才被达布营救出狱,他转道意大利,再回到德国.

  1871年,李得到了克里斯蒂安尼亚大学的奖学金,同时在中学母校中做兼职教员.1872年,他在克里斯蒂安尼亚大学获得了博士学位.这期间,他和A.迈耶(Mayer)同时独立地建立了偏微分方程的积分理论,这个理论现在已经成为普通教科书的内容之一,在李获得博士学位后,他在克里斯蒂安尼亚大学主持了一个数学讲座.

  大概在1870年左右,群论成为当时数学研究的主流之一.到1872年,克莱因发表了他的著名的埃朗根纲领,即几何学是研究空间中图形在一已知变换群之下不变的性质的学科.受他的影响,李从1873年开始,从研究接触变换的不变量转向了研究变换群理论.这是他最有成就的研究领域.他考虑n维空间中依赖于r个参数的光滑映射所构成的群,他命名为有限连续群(有限是指依赖于有限个参数,连续实际上是指光滑),这个理论在19世纪70年代已经做好了奠基工作,但是发表得比较迟.

  1873年,李还和PLM.西罗(Sylow)一起,担任了N.阿贝尔(Abel)遗著的编辑工作.

  李在1874年和安娜·伯奇(Anna Birch)结婚,婚后生有二子一女.

  直到1876年,他又回到微分几何方面的研究,同年他和GO.萨斯naturvidenskab”.

  1882年,由于GH.阿尔方(Halphen)和利格尔(Legu-erre)在微分不变式方面的文章,促使他再次转向变换群的研究.

  在克里斯蒂安尼亚大学的十多年中,李非常孤立,学生们对他的研究工作不感兴趣.在国外,除了克莱因、迈耶和CE.皮卡(Picard)外,也没有人注意他的工作,例如,在《进展》(Fortschri-tte)杂志中关于李的工作的报道是由李本人写的,这实际上是一种反常现象.直到F.恩格尔(Engel)的到来,才逐渐打破了这种状态.其原因在于,李的思想被隐藏在他的极复杂的表达和算式中,李不善于抽象提炼,也是受了当时时代潮流的影响太深之故.

  1884年,恩格尔刚拿到博士学位,于是克莱因和迈耶劝他到克里斯蒂安尼亚大学向李学习变换群,并且帮助李写一本关于变换群方面的综合性著作.恩格尔在李处工作了9个月,由于恩格尔的努力,这部巨著终于完成了,后来,从1888年到1893年分三卷出版.

  1886年,克莱因回到格丁根大学任教,在他的推荐下,李受聘去德国莱比锡继任讲座职务.在这里,李的工作的影响扩大了.而克莱因和JH.庞加莱等人不断地鼓励学生到莱比锡学习这种新数学.所以继恩格尔后,又有了一批学生,其中之一为G舍费尔斯(Scheffers).李和他一起出版了有关变换群、微分方程和接触变换的局部几何方面的教科书.这时,李的工作方向为亥姆霍兹空间问题.这是1868年由Hvon亥姆霍兹(Holmholtz)提出来的.1890年,李发现了亥姆霍兹的文章有问题,经过改进,成了现在的所谓亥姆霍兹-李空间问题.

  不幸的是,李在1889年得了当时称之为神经衰弱的病,在精神病医院治疗后,从1890年开始继续工作.但是他的性格有了很大的变化,尽管他的名望甚高,他仍然变得很多疑和敏感.

  直到1898年,他的挪威朋友劝他回祖国工作,他毅然放弃他在当时世界数学中心——德国的第一流的讲座职务,在9月回到了克里斯蒂安尼亚大学作一个普通教授.在那里,专门为他设立了一个数学讲座.1899年,他因恶性贫血而去世,享年55岁.他的所有著作由恩格尔和P.希加德(Heegaard)编辑成册,并且加上了很好的注解.

  李群及其李代数是20世纪重要学科之一.李群是一个群,又是一个光滑流形,且乘法运算和取逆运算关于流形结构而言是光滑的.李代数是一个具有换位运算(记作[])的线性空间,它适合条件[ab=[ba][λa+μbc]=λ[ac]+μ[bc][[ab]c]+[[ca]b]+[[bc]a]=0,其中abc为向量,λ,μ为数.

  由于在1935H.外尔(Weyl)给出流形的严格定义前,不可能用别的办法理解李群,实际上,李发现的是局部李群,他首先建立了局部李群和它的李代数间的三个基本定理和逆定理.记Un维立方体,U中点xy间可定义乘法x·y=f(xy),只要f(xy)U.在容许情况下有结合律,又原点为单位元素,且对xU,存在yU使

  理说乘法函数f(xy)适合普法夫(Pfaff)方程组

 

  

  则有泊松(Poīsson)括号

 

 

   

 

  

 

  此即以X1,…,Xn为基之n维线性空间在柏松括号下构成李代数.于是李引进了局部李群U的李代数.反之,三个基本定理之逆是极其出人意料之外的.它告诉我们,随便给出一个有限维李代数,即给出适合条

  普法夫方程组(1),且f(xy)定义了一个局部李群.所以李的基本定理给出了局部李群和李代数间的充分必要关系.用现代语言来说,李代数完全决定了李群的局部性质.从这个基本定理出发,就把局部李群的问题,化为纯粹且相对简单的代数问题.

  实际上,李群理论的第一步就是弄清和它的李代数的关系,引进单参数子群.所以李的奠基性工作,使得这个学科能够建立起来.李的另一个工作是希望建立微分方程求解的伽罗瓦(Galois)理论,虽然他未能成功,但是他给出了著名的李定理:线性可解李代数的任一表示有公共特征向量.

  李实际上是微分几何和偏微分方程学家.他具有几何直觉的天赋.李在李变换群方面的工作,给数学展开了一个新的天地.从一开始,李群就和分析、代数及几何密切相关.

  李在李变换群方面的工作,由他的学生恩格尔,W.基灵(Killing),舍费尔斯,舒尔(Schur)E.嘉当(Cartan)继承和发展.特别是嘉当,继承了李的各个方向,成为20世纪最著名的几何学家之一.到19221923年,韦尔在紧李群方面的系统工作,以及在韦尔明确提出流形的概念后,李群才发展成当代重要的学科之一.它在数学的各个分支,在理论物理及其他众多学科中,都得到了大量的应用.