达布

蒋中池

(镇江师范专科学校)

  达布,JG(DarbouxJean Gaston)1842814日生于法国尼姆(Nimes)1917223日卒于巴黎.数学.

  达布生于清寒之家,父亲早亡,他早年在家乡尼姆及蒙脱佩勒(Montpellier)读完小学和中学,1861年秋,他以第一名的成绩同时考取了巴黎高等师范学校和工科大学,但他选择了前者.一个如此富有才华的人,竟放弃了将来可能成为国家级工程师职位的机会,而宁愿要一个教师职业,这是以往从未有过的,当时著名的研究F.歌德(Goethe)的法国专家JJ.魏斯(Weiss)曾在当年1120日的报刊上发表文章,赞扬达布的选择具有久长的价值和深远的意义,当时达布年仅19岁,便小有名气了.

  1864年,达布还在巴黎高等师范学校作学生时,便发表了数学处女作,内容是关于正交曲面(sur les sections du tore)的文章.同年毕业,在母校任助教,这为他开展深入研究正交曲面提供了机会.18667月他在母校通过了博士论文,他的论文正是对正交曲面深入研究的成果.以后,他曾先后在家乡尼姆公立中学、路易斯公立中学、法兰西学院、巴黎大学、索邦大学任教.1872年他复受聘于母校再次任教,从1873年到1878年他接替J.刘维尔(Liouville)主讲理论力学的课程,1878年他任导师M.沙勒(Chasles)的助教,1880年他正式接替了沙勒的工作,任高等几何教授直至终身,该年他所任教的高等几何荣获了沙勒奖.从1889年—1903年,他一直任理科部主任,1884年当选为法国科学院院士,1895年被选为彼得堡科学院通讯院士,1900年当选为法国科学院终身院士,1902年被选为英国皇家学会会员.曾应聘为巴黎大学教授、巴黎大学理学院院长等职,作为一个著名人士出现在科学与社会的各种组织中.他是许多科学学会、教育团体、行政机构的会员,以及许多高等院校和科研团体等组织的荣誉成员,总计超过100个.他卒于巴黎马札兰宫官邸,时为巴黎科学院常务秘书.

  19世纪60年代,法国的数学如同德国一样,特别强调专门化.沙勒和C.埃尔米特(Hermite)正是当时数学界杰出的代表人物:沙勒是地道的几何学家,埃尔米特是纯正的分析学家.而达布和C.约当(Jordan)却使这两个方面与自己的思想方法有机地结合了起来,为年轻一代更独立地探讨数学科学铺平了道路.1908年达布出席在罗马召开的国际数学家大会,他在大会的报告中,对19世纪和20世纪数学的特性进行了相互比较,他认为20世纪以来数学研究已开始进入一个全新的阶段,并且开辟了完全未经探索的新领域;他说到20世纪那些勤奋而富有求知欲的英才,他们甚至敢于动摇数学大厦的基柱,他们要求从根本上为哲学提供新的、而且是特别精确的数理文章,注意研究数学起源、自然规律和人们对事物的认识与理解;他特别强调自己赞同年轻一代的这些倾向.

  达布学识渊博,同时擅长分析法与综合法.他是天才的几何学家,但他的研究一开始就有尽最大可能与数学所有不同的领域密切结合的思想,他的几何思想方法广泛体现在分析学、理论力学、微分方程等学科中,特别是在微分几何的研究中表现得最突出,所以达布研究的主要成就是在微分几何和微分方程方面.

  达布的研究思想方法和几何学家C.蒙日(Monge)有所相似.但他青年时代的三篇论文却不是纯几何性质的:第一篇论文“偏导数方程式”(Sur Les équations aux dérivées Partielles1870),提出了二阶线性偏微分方程积分法,今天已以达布的名字命名,该论文发表后立即受到MS.李(Lie)的重视,这种积分法是蒙日-安培理论进一步的发展;另两篇论文是他研究GFB.黎曼(Riemann)三角级数的成果.所谓达布上下积分便首次出现在他的“间断函数理论”(Sur la théorie des fonctions discontinues)中,此文还包含实数函数理论的许多结果.这些文章的发表,对法国数学强调严谨性产生了决定性的影响,尤以第三篇论文“大数字函数近似法”(Sur Lápproximation des fonctions detrès grands nombres)最为典型,此论归诸于PS.拉普拉斯(Laplace)的某些研究,并将其与JBJ.傅里叶(Fourier)级数结合起来:用已知的实数奇点,估计一实数解析函数的傅里叶系数,然后将结果运用到多种多样的、对应用来说有重要价值的特征函数.JH.庞加莱(Poincaré)在估计扰动函数的高项时也经常使用达布的这一成果.

  1873年,达布在论文“代数曲线与曲面虚数理论”(Sur uneclasse remarquable de courbes et surfaces algébriques et surla thèorie des imaginaires)中论述了五球坐标(Pentasphericalcoordinates)18731878年,他在巴黎大学讲授力学,在此领域他同样作了一系列研究,特别是关于力的平行四边形公理及方向机械学的研究.

   达布的主要成就,是对曲线和曲面理论的研究.正如其他几何学家一样,他也完全使用了解析式,尤其使用坐标系统解析法.他将多年教学讲义的精髓汇成两本专著《曲面通论教程》(Leconssur Lathéorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal1896)和《正交系与曲线坐标》(Lecons sur Les systémes orthogonaux et Les Coordonnées Currilignes1898).在这两本专著中,他对几何学的擅长和几何性的思想方法有了淋漓尽致的表现,他详细研究了曲面理论、曲线坐标、曲线和曲面的变形、应用、与其他许多数学分支间的联系,不仅包括了他个人取得的许多重大研究成果,而且还系统地介绍和总结了一个世纪以来曲线和曲面微分几何学方面所取得的成就.

   特别是《曲面通论教程》,它不仅成为一部曲面理论的经典著作,而且是一部研究力学、变分法、偏微分方程、极值理论等学科的工具书,这些学科之间的有机关联从前没有一个人比达布理解得更透彻、表达得更清楚.直到A.爱因斯坦(Einstein)发现引力论的时代才懂得充分估价如上研究的价值,从而导致他的这部专著几乎成为每个数学家必备的手头资料.

  《曲面通论教程》的突出的特点,是运用了移动三维坐标,即活动标架.在达布首创的活动坐标系中,有一种称为达布标架,用此标架可以展开有趣的曲面论探讨,而不需要简化到正规标架,他把单参数标架族的概念推广到依赖多个参数的情形,从而使活动标架法与外微分结合,成为研究微分几何学的有力工具.在他这一专题研究中,他以C.蒙日、KF.高斯(Gauss)C.杜班(Dupin)的古典结果为依据,又充分运用了同时代人J.贝特朗(Bertrand)的结果.在这个领域里有许多概念是以他的名字命名的,如达布二次曲面、达布曲线、达布切线、达布方法、达布定理等.

  《曲面通论教程》的主要内容如下:(1)曲线及曲面理论,运动学理论,构建移动三维坐标,一刚体的一或二参数运动化为里卡特(Riccatischen)微分方程式积分.(2)五球坐标理论及其在普通摆线理论中的应用.(3)提出并证明了曲率线达布定理:设三函数x(uv)y(uv)z(uv)为微分方程

 

的独立解,并且x2y2+z2也是这个方程的一个解,则曲面r(uv)=(x(uv)y(uv)z(uv))的参数曲线是它的曲率线,而且其逆也真.他运用这一定理在1872年证明了李定理:在反演群的作用下,曲面的曲率线仍变为曲率线.这是对微型曲面理论所作的深入而细腻的描述,已将C.蒙日、KTW.魏尔斯特拉斯(Weierstrass)HA.施瓦兹(schwarz)的成果首次与李的思想进行了有机的联系.(4)直、曲线重合理论的研究,探讨了拉普拉斯方程和变换的应用.这些重合的焦点面与二阶线性偏微分方程、拉普拉斯变换的关系以及方法的普遍化,黎曼已在研究声波问题时考虑到,而达布对此作出了深入的研究.(5)研究了变分计算的处理方法.(6)研究曲面上的最短距离,提出一批大地投影和大地曲率概念.(7)研究了E.贝尔特拉米(Beltrami)的微分参数以及魏因加滕定律、恒定负曲率的曲面几何学.(8)研究了无限小变形、球面投影等.这些研究为后来用于共轭微分方程的格林定理的完全推广提供了理论基础,事实上格林定理不是G.格林(Green)所证明的,1915年达布证明并给出了现在通常所说的格林定理.

 

  在正交系与曲线理论研究中,达布引入了所谓的“四圆坐标”(tetracyclic coordinates)和“五球坐标”,对它们进行了几何和分析的探讨,并将这些理论充分应用在NH.阿贝尔(Abel)代数整数定理关于n维正交系统的情形中,以及应用于其他新型的正交系统中.特别是对于曲线论的研究,他一反常人思想,以精致的几何直觉和对分析工具的熟练运用,不采用普通的方法,而独树一帜地利用了运动学的简单原理:把曲线r(s)看作质点运动的轨迹,把弧长s看作时间,则当s变化时,曲线在s点的活动标架一方面沿曲线作移动,另一方面又绕s点作转动(见图1).转动的瞬时角速度向量记为ω(s),据运动学中速度迭加原理,标架向量T(s)的端点的瞬时速度是

 

 

  
交角对s的变化率,表明c和a分别是曲线在s处的曲率和挠率,则角速
方法,而向量ω(s)称为达布向量,它为曲线的整体性质研究带来了方便.关于测地线方面的研究,他更紧扣动力学系统的关系,获得了求线方程,达布对此作了论证后也成为一条定理.达布还深入研究过极小曲面,他证明了(u)=(A+Bi)u-2+ai(A,B,a为实数)所对应的曲面是涡线极小曲面,并从中找到了许多规律.例如f(u)
z=Re(3u2),也就是r=(3ξ+3ξη2-ξ3,η3--3ξ2η,3(ξ2-η2)),这是一个九次六阶的代数曲面,它的曲率线都是平面曲线,渐近曲线均为三次挠曲线.达布不但研究并证明了这个曲面是极小曲面,而且还提出了简便的作图法,并据此引伸和归纳出一连串的规律:(1)这曲面是九次代数曲面,即它与任何一条直线有九个交点;(2)直线z=0,x=y与直线z=0,x=-y都在曲面上,而且是它的对称轴;(3)曲率线是曲线ξ=常数和η=常数,各曲率线是亏格为零的平面曲线,而且所在平面是x+ξz--2ξ3=0y+ηz+3η+2η3=0;(4)曲率线的球面象构成两系圆周,各圆周所在的平面都通过两个定点,而且这两个定点又落到球面在一点的两条直交切线上;(5)渐近曲线的方程为ξ+η=常数,ξ-η=常数,而且都为三次挠曲线;(6)曲面与旋转面互为变形;(7)原曲面的附属极小曲面都与原曲面有同一形状;(8)若已知二条抛物线(焦点抛物线)ρ1(ξ)=(4ξ,0,2ξ2-1),ρ2(η)=(0,-4η,-2η2+1),连接ρ1(ξ)的任何点ξ与ρ2(η)的任何点η,并作连接线段的垂直平分平面,则所有这些平面包络成一个茵奈泊(Enneper)极小曲面.

  在常微分方程方面,达布研究了一阶方程、代数积分方程等,他与A.凯莱(Caylay)1872年间,总结HM.克雷洛夫(Крылов)L.欧拉(Euler)JL.拉格朗日(Lagrange)等数学家在19世纪发展起来的微分方程奇解的理论,系统而完整地表达成为现代的形式;在全微分方程方面,他利用交错矩阵求秩适当选取坐标的方法,简明地解决了普法夫问题(Pfaffs problem),亦称为达布定理;在偏微分方面,在对二阶偏微分方程F(xyzpqrst)=0的研究中,他认识到如果根据问题的解中所含任意函数的数目来定义通解是不完全的,他为此重新给出了像现在所用的通解定义:若一个解适当地选取它所含有的任意函数及常数后,根据偏微分方程初值问题的柯西存在定理可以判定它的存在,则这个解就称为一般偏微分方程的通解.他总结了拉普拉斯的级联方法(series association method),并将其应用于所有二阶偏微分方程中,他对用于非线性方程的蒙日方法作了比较精确的阐明,被称为达布方程.

  事实上,达布在分析学理论方面也作过不少深入的研究,他探讨了连续的概念,曾给出这样的函数例子:当从x=a变到x=b时,这个函数取遍两个给定值之间的一切值,但它却是不连续的函数,比如函数 f(x)连续,这样,连续函数的基本性质与保证函数连续性的条件便是两回事,这对分析基础严密性产生了积极的影响,它向人们提示了原先已被直观地接受了的有关连续函数的性质,还必须对它们进行严密的分析论证;在定积分理论研究中,他对闭区间上的有界函数可积性问题进行了仔细的研究,1875年他把黎曼提出但未给予证明的一个可积性条件阐述得十分完备,证明了有界函数f(x)在[ab]上可积的充要条件,证明了推广意义下可积函数的微积分基本定理的成立,得到“可测函数L可积的充要条件是测度为零”的定理,提出了所谓的高积分、低积分、上限和、下限和等许多后人以达布命名的概念.例如,1875年引入的所谓达布和:设f(x)是定义在区间[ab]上的一元实函数,以任意方式在ab之间插入一些分点a=x0x1x2<…<Xn=b,把整个区间分成若干小区间[xi-1xi]i=12,…,n.设函数f(x)在第i个小区间[xi-1xi]上的下确界和上确界分别为miMi,作出和数

 

  其中△xi=xi-xi-1是小区间[xi-1xi]的长度,称s为下积分或小和;S为上积分或大和,大和与小和统称为达布和.由此获得定积分学的达布定理:当闭区间无限分细,且最大子区间的长度趋于零时,Ss分别趋于Mimi,若Mi=mi,则有界函数在该闭区间上是可积的.他还进一步证明了,一个有界函数f(x)在[ab]上可积的充要条件是:f(x)的间断点组成一个测度为零的集合.1875年他证明了不连续函数也可求定积分,而且不连续点可有无限多个,这些号称“病态函数”的例证破坏了18世纪以来古典数学“天堂般的优美”,很快招致反对之声,JH.庞加莱(Poincaré)尤其批评这种理论,但是真理并不因权威的评判而改变,随着科学的发展,以HL.勒贝格(Lebesgue)为代表的数学家们进行了一场积分革命,引出了可列可加测度理论,一门古典分析的延续学科——实变函数应运创立.从这种巨大的突破中,不难看出达布执著追求的学风和不畏险阻、相信真理的品格.

  达布在解析函数论方面也有重要的研究成果,他研究了球函数、正交函数、代数函数中包括KGJ.雅可比(Jacobi)多项式的分解等问题;在物理学方面,他成功地解决了运动学、动力学、平衡、点系微振等各种问题,像数学一样,许多物理上的概念,如矢量、张量、线、面、束等,都是与他的名字分不开的.1870年他还创办了《数学科学通报》(Le Bulletin des Sciences Mathéma-tiques).他对科学史的评论和关注,在许多文章中都有体现.

  达布曾在新巴黎大学社会学系担任系主任之职达10年之久,他在极端困难的情况下,领导并团结了一大批学者,为该校的建设作了奉献,并获得公众的爱戴.此外,他作为高等教育委员会成员,重新组织了数学教学活动,CF.克莱因(Klein)的许多想法和志向都来源于他的建议.他也满腔热情地、尽全力地从事科学院国际协会的工作.

  19世纪中末期,在赋予法国数学发展特色的人物中,纵然庞加莱是一位非常杰出的人物,可是达布所起的领导作用不能低估,原因不仅是他具有大量的科学论著,他那出类拔萃的成长过程、他的组织才能、教学工作和整个品格都起着非常重要的作用.