若尔当

冯长彬 赖章荣

(赣南师范学院)

  若尔当, C(JordanCamille)183815日生于法国里昂;1921122日卒于巴黎.数学.

  若尔当出身于名门望族.他的父亲毕业于巴黎综合工科学校,是一位工程师;他的母亲是画家PPde 沙畹(Chavannes)的妹妹;他的一位叔祖与他同名,是一位相当有名的政治家,曾参加过从1789年法国革命到波旁(Bourbon)王朝复辟之初的许多活动;他的堂兄A.若尔当因发现“较小物种”而闻名,该物种至今仍以其名(Jordanons)称之.作为一名卓越的学生,若尔当具有从AL.柯西(Cauchy)H.庞加莱(Poincarè)等法国数学家的共同经历:他17岁以优异成绩考入巴黎综合工科学校;1861年,他的博士论文发表于《综合工科学校杂志》(Journal de lècolePolytechnique12pp113194);直到1885年,他在名义上一直是一名工程师.该职业为他提供了充足的时间用于数学研究,他发表的120篇论文中的大部分都是在他作为一名工程师而退休之前写出的.从1873年到1912年退休,他同时在综合工科学校和法兰西学院任教.1881年被选为法兰西科学院院士;1895年又被选聘为彼得堡科学院院士;1885年至1921年一直担任法国《纯粹与应用数学杂志》(Journal de Mathematiques Pures et Appli-ques)的主编及发行人;19211月逝世于法国巴黎.

  一般认为,若尔当在法国数学家中的地位介于C.埃尔米特(Hermite)与庞加莱之间.他与他们一样,是一位多才多艺的数学家.他发表的论文几乎涉及到他那个时代数学的所有分支.

  他早期发表的一篇论文,用组合观点研究多面体的对称性,属后来命名的“组合拓扑学”范畴,这在当时还是非常独特的.

  他作为代数学家,年仅30岁时就得以成名.在其后的几十年中,他被公认为群论的领头人.

  1845年以前,数学家们对E.伽罗瓦(Galois)的深奥理论还一无所知.J.刘维尔(Liouville)A.塞雷特(Serret)使之通俗化的努力也未引起重视.若尔当是使伽罗瓦理论显著增色的第一人,也是第一位在伽罗瓦开辟的方向上系统研究有限群及其应用者.他于1869年证明了一个基本结果:群G的任一合成列

 

  (其中每项都是其前一项的一个正规子群,且在它们中间不可能再插入其他正规子群)中,相邻群的阶的商(若不计及出现次序)由该群唯一确定(Jourde Math.,14(1869) 2 pp129146).实际上此定理早已出现在若尔当的“关于伽罗瓦的评述”(Commentaire sur Galois,刊于MathAnnalen18691 p152)一文中,虽然在那里未给出证明.商群的符号也是若尔当1872年引进的.1889年,现的次序并视同构为同一,则商群GHHH′,…唯一确定.换句话说,对群G的任何合成列(1),有相同的商群集合.

  1870年,若尔当把他前十年中关于置换群的知识及其与伽罗瓦关于方程理论的联系组织到他的667页巨著——《置换和代数方程专论》(Traité des substitutions et des équations algébriquesGauthierVillars1870,下文简称为《专论》)中去.该名著给出了伽罗瓦理论头一个全面而清楚的介绍.

  在《专论》的第一篇“关于同余”中,若尔当首先总结了Pde费马 (Fermat) C F.高斯(Gauss)关于整数间同余和幂剩余的主要结果,然后追随伽罗瓦的工作,详述了伽罗瓦域GF(q)的结构.

  《专论》篇幅的三分之一多被第二篇“关于置换”所占.若尔当和几乎所有他的前人一样,把置换群定义为置换的这样一种集合:集合中任两成员的积仍属于该集合.我们今天在群的定义中作为公设的其他性质,被作为这种群的明显性质或作为附加条件而不是在定义中指定.《专论》对置换群明白地建立了同构和同态的概念.

  在本篇中,若尔当还利用把一个群分解成其子群的陪集的方法证明:“有限群的任一子群的阶是该群的阶的因子.”(现称为拉格朗日定理,实际上拉格朗日只证明过“置换群的任一元的阶是该群的阶的因子.”但若尔当慷慨地认为此定理属于拉格朗日和柯西.)又追随柯西,证明了“一个群的阶可被p整除,则该群包含一个p阶的元素.”接着,若尔当定义了“可迁”及“本原”的概念,证明了一些与之有关的定理.

  若尔当《专论》第二篇第三章讨论的是他称之为线性置换的概念,写成矩阵的形式就是

x=Ax

  在大多数情况下,系数域是一个素域GF(p),但在某些情况下也会把素域扩充到伽罗瓦域GF(pr).为了把矩阵A简化为众所周知的“若尔当标准形”,他必须把“特征方程”Det(A-λI)=0的根加到基域上去.若尔当利用他的标准形来确定与给定的一个置换A可交换的线性置换集.他研究的主要问题是伽罗瓦域GF(p)上我们现在称之为“典型群”的合成.他实际上是一般线性群和有限素域上典型群结构的最早研究者.

  《专论》第三篇中,若尔当十分巧妙地把他的结果应用于广泛的问题之中.他确定了一些方程的伽罗瓦群的构造,这些方程是以一些几何构形的参数(如三次曲面上的27条线,四次曲面上的28条二重切线及库默尔曲面上16个二重点,等等)为根的.

  若尔当的典型群知识也是解决可解有限群问题的关键,对此问题,若尔当从一开始就付出了巨大的努力.现在看来,要对所有可解群给出一个能刻画它们各自特征的完整分类似乎是不可能的.若尔当大概也认识到了这一点,于是,在《专论》第四篇中,他致力于建立能机械地给出所有具有给定阶数d的可解群的方法.他设想的解决方案实际上是一个庞大的递推系统:假设阶数为d的素因子p的乘方pn 的可解群已完全清楚,然后再给出d阶可解群.这也许只有理论上的价值,但在研究该方案的过程中,他得到了许多重要的新概念,如群的极小正规子群及特征为2的域上的正交群(他称其为“次交换群”)等等.

  《专论》包含了若尔当对H.阿贝尔(Abel)提出的问题的解答,即确定一个给定次数的、能用公式求解的方程,以及识别一个给定的方程是否属于这一类.可解方程的群都是交换群,若尔当称它们为阿贝尔群,而阿贝尔群这个术语此后也就用于交换群.若尔当还导出了一个方便应用的、可解群的充要条件:群L可解,当且仅当存在L的正规子群序列

 

  使商群FIGFHG,…皆为阿贝尔群.

  《专论》问世后,若尔当的名声远播法兰西内外,国外许多学生都渴望能听到他的报告.J.迪厄多内(Dieudonné)对《专论》也作了高度评价(Jordans Oeuvres1961,卷1)

  F.克莱因(Klein)S.李(Lie)1870年来到巴黎与若尔当一起研究.这时的若尔当正研究一个全新的课题:三维空间中所有运动群的确定.他主要是受物理学家、矿物学家A.布雷威(Bravais)的启迪开始此项研究的,布雷威为确定晶体的可能结构而研究了运动群.若尔当于1867年发表的一篇题为“关于运动群”(Sur les groupes de mouvemente)的短文中宣称,已经完全确定三维欧氏空间中所有可能的刚体运动群;他还发表了“关于运动群的研究报告”(Annali di Mat., 2 18681869).若尔当考虑的不只是有限的刚体,而是整个空间的螺旋运动,平移和旋转为其特例.运动群被定义为这样一个集合,它包含其中任二元素的乘积,且每个元素都有逆.若尔当限定自己只考虑拓扑意义下的闭集.他既考虑了离散平移群、连续平移群及它们的各种混合类型,又考虑了离散旋转群、连续旋转群的各种类型.还通过平移、旋转的合并而得到所有的闭运动群.若尔当因此开创了在群的标题下研究几何变换的工作.这很可能就是李及克莱因分别构想出他们的“连续变换群”及“离散变换群”理论的源头(这两种类型都能在若尔当的分类中找到),也对克莱因埃朗根纲领(Erlanger Programm,用无限变换群对几何进行分类)的提出产生过直接影响.18704月至6月间,来自挪威的李与来自德国的克莱因住在巴黎两个邻近的房间,克莱因回忆说:“我们住在两对门,并且主要通过个人接触、特别是和青年数学家接触寻找科学灵感.若尔当给我留下了深刻的印象.他的论置换的书刚出版,它使我们觉得深奥莫测” (Felix KleinGesammelte mathAbhandlungeaIp51)

  布雷威的工作还启发若尔当着手研究他称之为群的解析表示,即今所谓群的表示理论.把置换群用形如

 

  的线性变换来表示,是若当尔开创的.19世纪末至20世纪初被FG.弗罗贝尼乌斯(Frobenius)等推广到一切有限抽象群的表示上去.

   若尔当在代数领域得到的最深刻结果是他的“有限性定理”,《专论》出版后12年他才证明.第一个有限性定理是关于对称群σn (n个元的所有置换组成的群)的子群G的.对这样的群,若尔当称满足下述条件的最小数c1为“G的级”:存在G中一个置换,它仅变动c个元.他关于这些群的有限性定理是:若G是本原群且不包含交错群un ,则存在一个绝对常数A,使nAc2logc(换句话说,对给定的级数c,只存在有限多个本原群与对称群及交错群不同)

  第二个、也是最为人熟知的有限性定理,产生于一个来源于线性微分方程理论的问题.L.富克斯(Fuchs)已经确定了所有解均为变量的代数函数的二阶线性方程.若尔当把n阶方程中的类似问题简化为一个群论中的问题:确定复数域上一般线性群GL(nC)的所有有限子群.显然,对n1,有无限多个这样的子群;但若尔当发现,对一般的nGL(nC)的有限子群的无限族是一阶矩阵群G都包含一个正规子群HHGL(nC)中共轭于一个若尔当的最后一个有限性定理是早些时候埃尔米特在整系数二次型理论中得到的结果的有力推广.若尔当更一般地考虑所有n个变量的m次复系数齐次方程式所成的向量空间,幺模群SL(nC)作用于该空间;若尔当考察这种作用的轨道(即在幺模代换下与一给定形式F等价的所有形式组成的集合),考察该轨道内具有()整系数(即系数是高斯整数)的形式.他把所有在()整数系数幺模代换下等价的这种形式归入同一个等价类中,其基本结果是,当m2F的判别式不为零时,这些类的个数是有限的.

  在分析学中,若尔当对严密证明的理解远比他的大多数同时代入更确切.他把自己在综合工科学校的讲稿精心扩展而编出的《分析教程》(Cours danalyse)19世纪80年代初首次出版,被公认是当时最好的分析学教材.把《分析教程》第一版(18821887)同第二版(18931896)、第三版(3卷,19091915)作比较,可明显看到严密性的改进.在该书的第一版中,若尔当给出了曲线的一个定义(3卷,p593),它是由连续函数x=f(t)y=g(t)(t0 tt1 )表示的点的集合.若尔当要求他的曲线没有多重点,因此对tt′∈(t0 t1 ),有f(t)f(t) g(t)g(t),或每个(xy)只存在一个t.这种曲线,现称为“若尔当曲线”.在该书中,若尔当还给出了闭曲线的概念,它要求f(t0 )=f(t1 )g(t0 )=g(t1 );叙述了简单闭曲线把平面分成两部分(内部和外部)的定理,认识到该定理可进行数学证明并首次构思了这样的证明(虽然和许多数学家一样,若尔当本人给出的证明也有问题),这是若尔当对拓扑学的著名贡献之一.该定理第一个严密证明属于O.维布伦(Veblen).后来还被J.布劳威尔(Brouwer)S.亚历山德罗夫(Alexandroff)直接或间接推广.

  19世纪最后十年,若尔当积极参与现代分析的创立.为弄清平面区域E上的二重积分理论,若尔当迈出了19世纪容量(他称之为étendue)理论中最先进的一步.他对[ab]中的点集E引进内容量、外容量及容量的概念,并将之推广到n维空间的点集,还给出了可加性证明.在他的《分析教程》第二版(第一卷,1893)中,写进了他关于容量的研究及其对积分的应用,还详细说明了可由逐次积分求出重积分之值的条件.若尔当的容量理论虽还不令人满意,却比他的前人们[包括G.皮亚诺(Peano)]优越.有界变差函数概念的提出也归功于他,他还证明了这样一个函数必可表为两个递增函数之差.此结果使他得以扩充曲线长度的定义(最一般的定义是后人用测度的概念系统陈述的),并推广熟知的傅里叶(Fourier)级数的收敛准则.他指出:可积函数f(x)的傅里叶级数在那样一些点上收敛于

 

  这些点各有一个邻域,使f(x)在该邻域内是有界变差的(《分析教程》,第二版,1893pp6772)

  对若尔当的《分析教程》,BL.范·德·瓦尔登(Van derWaerden)评价说:“据我所知,这是最早一部把整个经典分析作为一个统一的、完整的逻辑体系来描述的教科书,……对于我,阅读《分析教程》的每一章都是件愉快的事.”