贝尔特拉米

王青建

(辽宁师范大学)

   贝尔特拉米,E(BeltramiEugenio)18351116日生于意大利克雷莫纳(Cremona)189964日卒于罗马.数学.

  贝尔特拉米出生在一个艺术之家.祖父乔瓦尼(Giovanni)是一位宝石雕刻师,擅长制作浮雕宝石.父亲欧金尼奥(Eugenio)从事微型绘画业.贝尔特拉米本人是位音乐爱好者,对数学与音乐之间的联系尤感兴趣,这或许得益于家庭的艺术熏陶.

  1853年贝尔特拉米就读于帕维亚(Pavia)大学学习数学.这是意大利的著名学府之一,G.卡尔达诺(Cardano)G.萨凯里(Saccheri)L.马斯凯罗尼(Mascheroni)等数学名家曾在此学习或执教.贝尔特拉米在校师事于当时任应用数学教授的F.布廖斯基(Brioschi),并在以后的科学生涯中与这位教授有很相像的经历.布廖斯基早年也在帕维亚大学读书,后来回母校执教10年,1865年任参议员,1884年起任国家科学院(林琴学院)院长;贝尔特拉米亦为母校执教了15年,1898年任国家科学院院长,次年成为参议员.这种师生足迹的巧合在数学史上较为罕见.

  1856年,贝尔特拉米因经济困难被迫离开学校,为一个铁路工程师当秘书.最初在维罗纳(Verona),后来到了意大利文化古都米兰.除工作外,业余继续进行数学研究,在那里写出并发表(1862)了他的第一篇数学论文.

  18613月意大利王国建立.同年贝尔特拉米在波伦亚(Bologna)受聘为代数和解析几何候补教员.第二年正式执教于波伦亚大学,同时担任了公共教育代理人及评议员.1864年转教于比萨大学,任测地学教授.1866年返回波伦亚大学任理论力学教授.在比萨时与数学家E.贝蒂(Betti)成为好友;在波伦亚又与擅长几何研究的AL.克雷莫纳(Cremona)共事,由此开始了他数学创造的辉煌时期,其声望与日俱增.1870年罗马成为意大利首都,新扩建的罗马大学立即聘请贝尔特拉米为该校理论力学教授,但他直到1873年才赴任.同年当选为国家科学院院士.1876年又回到母校帕维亚大学任数学物理教授,同时讲授高等力学.1891年再去罗马大学执教.1899年在他担任国家科学院院长职务仅一年和成为王国参议员的当年卒于罗马.

   贝尔特拉米的数学著作主要分为两部分:1872年以前着重论述曲线和曲面的微分几何学,其中尤以构造伪球面模型最为著名.1872年以后转向应用数学研究,在流体力学、位势理论、波动理论、热力学、光学、弹性理论及电动力学方面做出一定成绩.

  19世纪是微分几何学长足发展时期,CF.高斯(Gauss)G.拉梅(Lamé)GFB.黎曼(Riemann)等人做了很好的奠基工作.由于在数学理论及应用方面都有广泛的研究课题,微分几何学吸引了大批数学家.贝尔特拉米置身于这种学术环境中,又有其老师及同事的影响,从事数学研究之初便全力投入这一领域.

  1862年贝尔特拉米发表的第一篇论文便论述曲线的微分几何.1864年他在《数学杂志》(Giornale di Matematiche)2期上发表文章“分析应用于几何的研究”(Ricerche di analisi applicata alla geometria),扩展了法国数学家拉梅几年前在较局限的范围内关于微分不变量的研究,第一个对曲面论的不变量作了研究,给出了具有几何意义的两个微分不变量,被认为是微分几何中不变量方法应用的开端.第二年他又以同样的题目在该学刊第3期上发表文章,指出只有在常曲率曲面上,线()素能写成ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2的形式,即只有测地线能用uv的线性表示来描述.对正曲率R-2,该形式是

ds2=R2(v2+ a2)du2- 2uvdudv+(u2+a2)dv2

              ×(u2+v2+a2)-2

  就局部而言,测地线在这种情形中如同一个球面上的大圆.将R变为iR

ds2=R2[(a2-v2)du22uvdudv(u2+a2)dv2]

              ×(a2-u2-v2)-2

  通过这种方式得到的线()素定义常曲率-R2的曲面,为在u2v2a2区域内的测地线提供了一种新的几何模型.如果在这样一种曲面上的测地线能与非欧几里得几何的“直线”相一致的话,这种几何确实就是罗巴切夫斯基的非欧几何.1866年,他又在《数学纪事》(Annali di Matematica)7期上发表文章,独立认识到常曲率曲面是非欧几里得空间,并给出双曲几何模型.

  1868年,贝尔特拉米在《数学杂志》第6期上发表了他最重要的数学著作“论非欧几何学的解释”(Saggio di interpretazionedella geometria noneuclidea),系统总结了他这几年在微分几何学中的成果,并用它们来建立非欧几何的模型.非欧几何在19世纪二、三十年代创立后只有少数数学家对它感兴趣,原因之一是其抽象性大大超出人们的想象.高斯去世(1855)后他的有关非欧几何的通信及手稿引起人们的注意,因名家效应导致一批人转向对它的研究.贝尔特拉米这篇论著的发表是非欧几何发展史上的一个里程碑.其主要结论是:如果非欧几何中有矛盾,这种矛盾也将在曲面的欧氏几何中出现.它从理论上消除了人们对非欧几何的误解.

  贝尔特拉米一开始就宣称:如果数学家对非欧几何学的研究成功,将注定会深深地改变经典几何学的整个面貌.对于非欧几何已取得的成果,他主张“冷静地,同时避免狂热与非难地讨论它们是科学家的职责.并且,在数学科学中,新概念的成功不能否定业已取得的事实.”以此为宗旨,他在曲面上给出双曲几何的有限表示法,证明了只要把曲面上的测地线着作直线,双曲平面有限部分的几何在负的常曲率的曲面上成立,曲面上的长度和角度就是欧氏曲面上的长度和角度.对一个这样的曲面,贝尔特拉米为了避免迂回说法,干脆称之为“伪球面”(pseudospherical),它是由一条名为曳物线(tractrix)的曲线绕渐近线旋转而成的.这是非欧几何平面有限部分的模型.贝尔特拉米相信这就是非欧几何的“一个真实的基础(substrato)”,并据此证明了“一块”罗巴切夫斯基平面可以在负的常曲率曲面上实现.他巧妙地利用“映射”将一种几何变为另一种几何,使得非欧几何从虚幻中走了出来,成为眼见为实的“正派”几何.该文第二年被法国《高等师范学校译载.他的方法又被F.克莱因(Klein)JH.庞加莱(Poincaré)等人发扬光大,发展成为数学思维的一个新领域.其中比较著名的例子是进一步阐述非欧几何的贝尔特拉米-克莱因模型.

  贝尔特拉米承认他的这篇论述仅对平面部分有效,同时怀疑将其推广到空间是否有效.就在此时,他读到了由JWR.戴德金整理出版(1867)的黎曼文集中“关于几何基础的假设”(Ueberdie Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen)一文,其中的流形概念对他有很大启发.接着他就在《数学纪事》上发表文章“常曲率空间的基本理论”(Teoria fondamentale deglispazi di curvatura costante18681869),将他关于非欧几何的表述扩展到n2的流形中,并研究了某些特殊的伪球面,得到高维非欧几何学的一些结果.他的工作使一个半世纪以前G.萨凯里(Saccheri)关于平行公设的第一个真正的科学研究(1733)得以复活,并且有了一个较为圆满的结局.巧合的是萨凯里不仅也是意大利数学家,而且也曾在帕维亚大学长期执教.该校学者取得的几何成果或许可看作其影响深远的一个方面.

  贝尔特拉米等人的研究能导出下述结论:在常曲率曲面上可以有三种几何——负的常曲率曲面上的非欧几何、正的常曲率曲面上的球面几何以及零曲率曲面上的欧氏几何,这三种几何彼此不相矛盾,各构成一个完整的体系,但又归于一个总体系中——一个几何的“三位一体”.

  贝尔特拉米在“论非欧几何学的解释”中创用的方法对射影几何发展史亦有一定影响.他以图形的射影性质为基础,在两个曲面之间建立一一对应,利用坐标变换推出“平面射影几何在常曲率曲面上就它们的测地线而言是正确的”的结论,继而建立了“没有任何平行前提假定的平面射影几何的基础”.这是射影几何应用的良好例证.此外他还在纯粹数学中论述过高等代数的有关问题.

  贝尔特拉米在应用数学研究中的突出成就就是在分析问题中引进几何方法,这成为他有关论著的特性,例如“流体动力学研究”(Richerche sulle cinematica dei fluidi18711874)等等.他仅论述位势理论的著作就有约50种之多,其中包括了弹性理论、流体动力学、静电学与电动力学、磁学与电磁学.他将他的几何研究应用于数学物理中,试图把力学、位势理论及弹性理论扩展到非欧几里得空间.在曲线空间中,位势理论和弹性理论的系统化结构的基础是微分参数理论,其主要定义和结果都表示为第一类或第二类微分参数.为了将这些结果推广到空间,给出任意坐标系下的微分参数是必要的.贝尔特拉米对此做了奠基工作.他还从数学角度解释一些物理现象,例如得到常曲率空间各向同性物体的平衡方程,给出麦克斯韦方程的力学解释,阐述了弹性理论中应力分量的“贝尔特拉米方程”.他在罗马大学多年开设弹性理论讲座,并提出一些有关的基本理论和概念,如内阻力、光颤动、光折射等等.他的研究还涉及热力学、光学、热的传导和机械问题.他被誉为多产作者和“意大利的一位著名分析大师”.

  贝尔特拉米去世后,罗马科学院开始编辑他的《数学文集》(Opere matematiche) 1902年出版了第一卷,其中有克雷莫纳写的一篇长达13页的贝尔特拉米传记梗概.这套文集共有4卷,直到1920年才在米兰出齐.其中将他在纯粹数学和应用数学方面的成果进行了汇总.数学中还有些概念和公式是以他的名字命名的,例如微分参数、映象、曲率公式等,这标志着人们对他的崇敬与纪念.