戴德金

胡作玄

(中国科学院系统科学研究所)

  戴德金,R(DedekindRichard)1831106日生于德国不伦瑞克;1916212日卒于不伦瑞克.数学.

  戴德金的的父亲是一位法学教授,母亲是一位教授的女儿.戴德金是四个孩子中最小的,7岁起在家乡上中学.开始他对化学和物理学很有兴趣,而把数学只看作是辅助性学科.但是,他很快就感觉到物理学缺少条理和严格的逻辑结构,于是就专心学习数学.1848年戴德金进入了卡罗琳学院,这也是CF.高斯(Gauss)的母校.在这里,他学到了解析几何、代数分析、微积分以及力学和自然科学.18491850年间,他还给低年级学生授课.1850年复活节,他进入格丁根大学学习时,已经有了相当的根底.当时格丁根大学刚建立起数学和物理学讨论班,在这里他跟MA.斯特恩(Stern)学到数论的基础知识,跟W.韦伯(Weber)学习物理.1851B.黎曼(Riemann)也参加讨论班,他们很快结下了深厚的友谊.戴德金在大学里还学习物理和天文,并听过高斯讲的最小二乘法,还听过他的高等测量学以及其他人开的课程,他只上了四个学期,就在高斯指导下准备博士论文.论文题目是“关于对此高斯写了如下的评语:“戴德金先生准备的论文是关于积分学的一项研究,它决不是一般的.作者不仅显示出对有关领域具有充分的知识,而且这种独创性也预示出他未来的成就.作为批准考试的试验论文,我对这篇论文完全满意.”这时戴德金觉得虽然他的知识教中学富富有余,可是他总觉得格丁根的课程度不高.在格丁根,听不到P.狄利克雷(Dirichlet)C.雅可比(Jacobi)J.施泰纳(Steiner)讲授的高等数论、高等几何、椭圆函数、数学物理等最新的课程,因此他花两年时间又弥补他受教育的不足.1854年夏天,他取得大学讲课资格,年底开出概率论和几何两门课程.1855年高斯去世后,狄利克雷来到格丁根,接替其教授职位.戴德金自己讲课,同时也听狄利克雷讲授的数论、位势理论、定积分及偏微分方程等课程,获益匪浅.他很快同狄利克雷有了密切的交往,并同他进行了多次富有成果的讨论.据戴德金后来回忆,狄利克雷把他变成一个新人并大大扩展了他的学术方面的视野.他也参加了狄利克雷和他的朋友们的社交活动.1855年冬季到1856年,戴德金听黎曼讲授了阿贝尔函数和椭圆函数的课程,他自己也在18561857年和18571858年冬季学期,先后给四个学生讲授伽罗瓦理论.他可能是第一个开伽罗瓦理论课的人.在讲课中,他引进了域的概念,并且把置换群的概念用抽象群的概念来取代.

  1858年戴德金被任命为瑞士苏黎世综合工业学院教授,在讲授微积分的课程中深感到分析基础的薄弱,从此开始实数理论基础的研究.18599月,戴德金陪黎曼到柏林大学访问,在这里他遇到了K.魏尔斯特拉斯(Weierstrass),也遇到了L.克罗内克(Knonecker)1862年,他被家乡的高等工业学院聘请为教授,于是他返回故乡,一直在不伦瑞克工作,直到1916212日去世,他终生未婚,同他二姐住在一起.在他亲属的关怀下,他有充分的时间和自由从事基础数学的研究工作,但是不伦瑞克是个小地方,他同别人的交流不是太多.他有时也到外地旅游,曾在1874年遇到了G.康托尔(Cantor),两个人的思想交流和书信往来推动了集合论的诞生.

  他在格丁根及瑞士期间只发表了十篇论文,大部分是与他讲的课有关的小题目.他关心他所讲的课的基础的严密性,为此花费了大量时间.讲课之余,他致力于狄利克雷的18561857年度的数论讲义和黎曼全集的编辑工作.在这个过程中,也theorie)第一版在1863年刊行,除了狄利克雷的讲课笔记,他还加进一些新材料.而在1871年第二版中,他加进完全由自己写的附录X,他首次发表了自己的域论及理想理论以及由此建立的一般的代数数论.而独立的、系统的代数数论是他在18761877年用法文发表的《代数整数论》(Sur la Théorie des Nombres entiers algébrigues).其部分内容收入《数论讲义》1879年第三版.而更为完整的理论则作为1894年第四版的附录Ⅺ发表,这是他自己在代数数论研究方面的定稿.

  1866年黎曼去世后不久,黎曼夫人即委托戴德金处理黎曼的遗稿,并设法编辑出版.戴德金很快即首次发表黎曼三篇重要论文:关于三角级数的、关于几何学假设的及关于电动力学的.它们都立即引起极大反响.黎曼其余的遗稿有的很乱,有的分散在文章中,有的发表,有的没有发表.虽然他很努力理解黎曼的思想,但他承认他有许多困难.黎曼继承人A.克莱布什(Clebsch)1872年计划出版黎曼全集,并委托他到格丁根进行三年的主编工作,这事由于戴德金的忙碌及克莱布什的早逝而未能办成.187411月起,余下的工作由H.韦伯(Weber)独自完成,最后黎曼全集第一版在1876年出版.

  戴德金从1858年开始教授初等微积分时,就打算为微积分奠定一个稳固的基础,他在1124日得出了自己的连续性及无理数理论,并在几天之后就告诉了他的朋友H.杜瑞热(Durege),但直到1872年才以小册子形式《连续性与无理数》(Stetigkeit undIrrationale Zahlen)出版.这本书的问世,连同魏尔斯特拉斯的分析基础的传播以及康托尔的集合论的诞生,标志着现代数学新时期的来临.戴德金无理数概念是建立在承认有理数为已知的基础上,于是他再接再厉,于1872年到1878年进一步研究自然数的基础,他的结果写于1888年出版的《数是什么?数应当是什么?》(Wassind und was sollen die Zahlen),这本书有很大影响,特别是影响G.皮亚诺(Peano)得出其著名的算术公理.

 

无理数及自然数理论

 

  无理数理论见于1872年出版的《连续性与无理数》一书.该书首先研究直线的连续性,特别是区别开稠密性与连续性,然后把直线与实数对应起来,最后定义戴德金截断或分割.作者的思想清楚地表达在下面的引文中:“上面把有理数域比做直线,结果认识到前者充满了间隙,它是不完备的、不连续的,而我们则把直线看成是没有间隙的、完备的和连续的.直线的连续性是什么意思?这个问题的答案必须包含研究所有连续区域时所根据的科学基础.只是泛泛而读其最小子集的不间断的连续性,不会产生什么结果.我们必须要有连续性的一个精确定义,使它可以成为逻辑推理的基础.长时期以来,我对这些事情进行了深入思考,但始终没有取得成果,一直到最近我才发现我所要寻求的答案.不同的人对于我的发现将会有不同的判断,但我相信大多数人都会觉得它平凡无奇.在上一段中我曾经指出,直线上每一点p都将直线分成两部分,使得其中一部分的点都在另一部分的点的左方.我确信,连续性的实质就在于它的反面,也就是下面的原理:如果直线上所有的点都属于两类,使得第一类中每一点都在另一类中每一点的左方,那么就存在唯一的一个点,它产生了把直线分成两部分的分划.”(《全集》Ⅲ,p322)

  戴德金的无理数理论的核心是他的“截断”或“分割”(Schnitt)概念.一个截断把所有有理数分成两类,使得第一类中每一个数都小于第二类中的每一个数;如果这个截断不“对应”于一个有理数,那么它就“定义”一个无理数.

  假设我们已经指定某些规则,它把所有有理数分成两类(比如说“左”类和“右”类),使得右类中的每一个数小于左类中每一个数.在这个假设之下,下面三种互相排斥的情形只有一种是可能的.

  (A)在右类中可以存在一个数大于该类中其他每一个数.

  (B)在左类中可以存在一个数小于该类中其他每一个数.

  (C)(A)(B)中所讲的数(A]中最大、[B]中最小)都不存在.

  可能导出无理数的是(c).因为,假如(c)成立,我们假设的规则就在所有有理数的集合中“定义”一个确定的中断或“截断”.仿佛左类和右类趋于交会在一起.但是为了使两类交会,这个“截断”必须用某个“数”填补起来,但是由(c),不可能由有理数填补.这样一来这个截断就定义了一个无理数.接着他给出一个截断大于另一个截断的定义,在定义了不等关系之后,证明实数具有下列性质:(1)若α>β且β>γ,则α>γ,(2)不同实数α及γ之间存在无穷多个数.(3)如果实数全体被划分为两类,且一类中的每一个数都小于另一类中每一个数,则必有一个且仅有一个数产生这个截断.

  有了实数的截断定义之后,自然地可以定义两个截断的加法及乘法,也就迎刃而解了.

  1872年的小书《连续性与无理数》中,主要的问题是阐述连续性的概念,为此,戴德金定义无理数并把无理数加入到有理数中成为完整的实数集合,这些都是建立在有理数为已知的基础上.从1872年到1878年,连续性问题已经解决,他开始深入下一步的问题——有理数的生成问题,实际上是自然数的生成问题.在《数是什么,数应当是什么》一书中,戴德金阐述了他的自然数理论.在序言中,他说明了自己的观点:他认为,数论是逻辑的一部分,数的概念完全不依赖于空间和时间的表象或直观,而是一种纯粹思想规律的直接产物.他对书名《数是什么,数应当是什么》的答案是“数是人类心智的自由创造,数做为一个工具使我们对于各种各样的事物能够更容易、更精确地掌握”.

  这本书分为14章,戴德金首先细致地讨论了类的概念(他用的词是系统Systeme,实际上是集合).他叙述类的并及交、一类到另一类的映射、“相似映射”(不同元素总映到不同他定义A的链为包含A的所有链的交,用A0表示.他再次指出无穷类和有穷类的差别,即无穷类总存在一个到自身的真子类的相似映射,而有穷类则不存在这种映射.

  他引进的另一个重要概念是单无穷类N,即N存在一个NN然没有对单元素及单元素类加以区别.他在71节给出一类N为单无穷的

  
  
  

  接着在73节他就定义,一个单无穷类N的元素为自然数或序数或简单说
且在这个定义中,已经抽去元素的具体内容,赋予数一个抽象的定义.他没有明确说,
(α)(δ)就是数的公理,但他由这些特征性质导出自然数的其他性质,特别是,他在80节证明数学归纳法,不难看出皮亚诺的公理有着对应关系:

  

  在第10章中证明所有单无穷系是数列,因此它们彼此相似,这也就唯一定义了自然数列.从第11章到第13章,它由上述(α)(δ)定义了数的加法、乘法、幂,并证明简单的算术性质.最后一节讨论有穷类的计数、基数及序数以及它们的初等性质.

 

代数数理论及代数函数论,理想理论

 

  戴德金奠定了代数数的系统理论.代数整数是通常有理整数的推广.代数整数的特殊情形已见于高斯关于四次互反律的研究,他在1832
数,他证明了素因子唯一分解定理(算术基本定理)1844EE.库默尔(Kummer)在研究费马大定理时引进分圆整数,为了弥补有些分圆整数因子不唯一分解,他引进理想数的概念.

  库默尔的理想数相当于今天的除子(divisor),而分圆域中的整数称为复整数(或分圆整数),他证明对于分圆域,关于理想数的唯一因子分解定理成立.两个理想数称为等价,如一个理想数可表为另一理想数与复整数之积,库默尔证明理想数在这种等价之下分为等价类.分圆域的类数是有限的.戴德金把库默尔的理想数加以推广,他注意到,一个理想数由它所整除的所有复整数决定,于是他把理想数看成它所整除的所有复整数的集合,而把后者命名为理想(Ideale).他证明,在所有分圆整数子集中,理想可由下面两条性质刻划:

  (1)一个理想中任何两个分圆整数的和仍属于这个理想.

  (2)一个理想中的分圆整数与任何分圆整数的乘积仍属于此理想.

  这样,他完成从理想数到理想的推广,也就是由数到集合的推广,并且由上述两条性质来定义.更值得注意的是戴德金的理想从分圆域推广到任何代数数域,其后又推广到任意数环乃至一般环上.由1871年到抽象代数学正式建立之前,理想理论成为一个独立的数学分支,有着各种各样的应用.

  戴德金在前人工作的基础上,建立起系统的代数数论.在1871年出版的狄利克雷《数论讲义》第二版上,他加进附录X,其中引进代数数及代数整数的概念,它们是满足有理整系数代数方程

a0xn+a1xn-1+an=0

  的根,当a0=1时,则根称为代数整数.他证明,代数整数经过加、减、乘之后仍是代数整数.而代数数经过加、减、乘、除之后仍然是代数数.这的概念,还推广可除性理论得出素数及单元的概念.在附录X的§163节定义理想及素理想,这是代数数论最基本的概念.

  戴德金的理想定义如下:如K是代数数域,K中代数整数的集合A构成一个理想,如α和β属于这个集合时,则μα+vβ也属于这个集合(μ,vK中任何代数整数).如理想A的每一元素可表为λ1,α1++λnαn(其中λiK中任意代数整数).则称A由α1,…,αn生成,并表为(α1,…,αn).如n=1,即由一个整数生成的理想称为主理想.对于理想可以定义乘法若A=(α1,…,αp)B=(β1,…,βq),则

AB(α1β1,α1β2,…,αiβj,…,αpβq)

  然后他定义整除与素理想的概念.

  他进一步定义两个理想的乘积,并且得出理想论基本定理:代数数体每个非单位的理想可唯一表示为素理想的乘积,由此明显看出一般整数论的理论系统.但是代数整数与有理整数的一个很大不同之处是一般代数整数却不能唯一分解,这反映在代数数域理想的类数问题上,理想在等价关系下分成理想类,对于二次域,理想的分类相当于二元二次型的分类,理想类的乘积相当于二元二次型的组合(Komposition).狄利克雷在1840年应用解析方法得出二次域的类数公式.戴德金对于一般的(其中∑过代数数论k的所有理想a,п过所有素理想β,N表示范),并用它在极点s=1的残数来计算类数

 

  其中hk的类数,g为与域k有关的常数,这公式是以后计算类数的基础.戴德金早在1871年开始研究代数数域的分岐理论,定义共轭差积(他称为基本理想Grundideal),得出两条主定理.1882年证明素数p在代数扩域中分岐的充分必要条件的戴德金判别式定理.1882年的论文(《全集》 I p 352)曾提到推广到相对代数数域上,但后来未发表这方面的结果.在戴德金的系统的代数数论(特别是在狄利克雷《数论讲义》第四版附录Ⅺ所表述的)基础上,希尔伯特从1894年起完成了代数数论大厦的建立.另外,戴德金在1901年发表的“所有代数数域的文中首次提到无穷次扩域,这理论后为W.克鲁尔(Krull)1928年所发展.

  与代数数论相平行的是戴德金和H.韦伯(Weber)合作的《一变
一变量代数函数论有多种表现形式及表述方法,它始于
19世纪初高斯、阿贝尔、雅可比关于椭圆函数的研究,黎曼在1851年把代数函数作为黎曼曲面上的函数来处理,发展了函数论或超越方法的方向.其后从1863年起从克莱布什到马克斯·诺特(Max Noether)发展了代数几何方向,把代数函数作为代数曲线来研究,而戴德金和韦伯与克罗内克则从不同角度开创了第三个方向,算术或代数方向,他们研究复数域C上的代数函数域.戴德金和韦伯在他们1880年完成、1882年发表的著名论文中把代数数论和代数函数论作了对比:代数数域是有理数域添加代数方程的根的扩张,而一变元代数函数域则是有理函数域的扩张.定义完全平行于代数数论,他们接着定义整函数、模及理想.得出理想的乘积及唯一分解定理,这一切均为代数数论的翻版.

  与其有关,戴德金于1877年独立于F.克莱因(Klein)引进模函数J(τ)的概念,由此预示了自守函数的重要理论.他还对纯三次代数数域进行过细致研究.

 

抽象代数学

 

  戴德金是近代抽象数学的先驱.他或明显或隐函地定义抽象代数许多基本概念,而且对研究抽象结构有着明确的理解.

  1858年他给有限群下一个抽象的定义.1877年注意到模的抽象概念不一定非得与代数数联系在一起,只要每元素有逆元素并且运算可交换.同时他也推广具体的理想及域的概念.1897年他在研究群论中引进换位子及换位子群的概念,并证明一个群的换位子的集合构成正规子群.在他通信的启发下,G.弗罗贝尼乌斯(Frobenius)1895年起发展了群的特征标理论,形成群表示论的有力工具.在环论方面,他也有抽象环及单位(可逆元)的观念.另外,他还是格论的创始人.他在1899年引入对偶群的概念,此即后来的格,并且开创了用格来研究群的结构的方法.他的抽象代数的思想后来为D.希尔伯特(Hilbert)及埃米·诺特(EmmyNoether)大大发展,但埃米·诺特认为,她的抽象代数理论“在戴德金那里已经全有了”.

  戴德金终身淡漠自守,不慕名利.但是,他的杰出工作越来越得到数学界的重视,并使他获得许多荣誉.早在1862年,他已成为格丁根科学院通讯院士.1880年在克罗内克的提议下,他成为柏林科学院通讯院士.1900年成为巴黎科学院通讯院士,1910年成为国外院士(associé éfranger),这对任何一位科学家来说都是一项殊荣.此外,他还是罗马等地科学院的院士以及许多大学的名誉博士.在不伦瑞克市政厅里挂着他和高斯等人的肖象,他们都是这个小城的骄傲.

  E.兰道(Landau)1917年格丁根召开的纪念戴德金的讲演中对他作了崇高的评价:“理查·戴德金不仅是一位伟大的数学家,而且是从古到今整个数学历史上真正杰出的人物.他是他那伟大时代的最后一位英雄,高斯的最后一位学生,他本人40多年以来已是经典作家,不仅我们,而且我们的老师乃至老师的老师都从他的工作中受到启发.”这可以说是对戴德金一生的真实概括.