克罗内克

邵明湖

(辽宁师范大学)

  克罗内克,L(KroneckerLeopold)1823127日生于德国布雷斯劳附近的利格尼茨(Liegnitz,今属波兰)18911229日卒于柏林.数学.

  克罗内克生于一个富裕的犹太家庭,他的父亲伊西多·克罗内克(Isidor Kronecker)是一个商人,对哲学有浓厚兴趣.克罗内克进入利格尼茨预科学校之前,在家中接受私人教师的教育.在预科学校,他幸运地遇到了对他后来的数学生涯产生重要影响的第一位数学教师EE.库默尔(Kummer),并与之结成了终生好友.10多年后他们在柏林成为同事.当1881年庆祝库默尔获得博士学位50周年时,克罗内克说库默尔提供了他“理性生活”的“最本质的部分”.库默尔的特别指导使克罗内克很早便显露了数学才能,但克罗内克有着广泛的兴趣,并取得优秀成绩.哲学、古典语言、音乐都是他喜爱的科目,并成为他的终生爱好.他甚至对军事和政治也有独到的见解.1841年春,克罗内克进入柏林大学.当时的柏林大学拥有PGL.狄利克雷(Dirichlet)这样的大师,还有奠定了椭圆函数论基础的CGJ.雅可比(Jacobi)和近代综合几何学的开创者J.施泰纳(Steiner).狄利克雷对他的影响是深刻的,这体现在他的每一篇作品中.而雅可比的学术兴趣则主导了克罗内克的一生——椭圆函数论始终是克罗内克兴趣的中心.但施泰纳的几何学似乎从没有引起克罗内克真正的兴趣.这期间,有的学期他是在波恩大学过的,因为库默尔成了那儿的教师.此时的克罗内克在社交生活中也非常活跃,曾参加过击剑社团,加入学生组织.1845年,克罗内克以讨论代数数域中可逆元的论文“论复单位元“(De Unitatibus Complexis)获柏林大学博士学位.在口试中,狄利克雷考问了他在定积分、级数、微分方程方面的知识.

  此后8年,克罗内克是在家乡度过的.他经营了舅父留下的大宗产业,并取得很大成功,成为一个商人、银行家和农场主.这段经营保证了他余生可以优裕地从事数学创造活动而无经济之忧.1848年,他与表妹范妮·普劳斯尼茨(Fanny Prausnitzer)结婚,他们有6个孩子.在乡居的8年时间里,克罗内克一直没有论文发表,但在商务活动之余,他却一直保持着与以前的老师库默尔(当时任布雷斯劳大学教授)的频繁通信.对数学创造的向往使他仍然保持了数学思维的活跃.也许这种在一定程度上的与世隔绝对克罗内克来说是一种幸运,因为这使他慢慢成熟起来.“但是”,在克罗内克去世后继任柏林大学教授的FG.弗罗贝尼乌斯(Fro-benius)对此评论道:“这对他的同事们来说却是巨大损失,因为他们不能参入他的发展过程.当他经过8年沉默之后发表他在余暇中给出的结果时,只有不超过三位的数学家能跟上他的思路.”

  

巴黎,在那里结识了C.埃尔米特(Hermite)和其他一些法国领头的数学家.

  1855年,克罗内克重返柏林.就在这一年,狄利克雷离开柏林接替了高斯在格丁根的职位.根据狄利克雷的提名,库默尔被任命接替他成为柏林大学教授.次年,由于库默尔的安徘,K.魏尔斯特拉斯(Weierstrass)来到柏林并成为柏林科学院成员.从此,这三位数学精英揭开了柏林数学界的新篇章.定居柏林后,克罗内克以很快的速度发表了一系列论文,内容涉及数论、椭圆函数论、代数,尤其是探讨了这些学科之间的相互依赖性.1861123日,经库默尔和魏尔斯特拉斯等人推荐,克罗内克成为柏林科学院院士.之后,他利用院士之便在柏林大学义务开设了一系导致库默尔于1844年开始的一系列论文中创立了理想数的理论,他借此证明了费马大定理对所谓“正则素数”成立.库默尔理论的核心是将分圆整数分解成素因子的乘积,当素因子不存在时,引入理想素因子.戴德金的代数数理论对高斯的复整数和库默尔的理想数做了一般处理,将其推广为一般的代数结构——理想.今天,理想的概念几乎出现在所有的数学分支中.

  克罗内克继续库默尔对代数数的研究,他运用一种漂亮的方法克服了唯一因子分解的困难.早在1859年,库默尔便提到克罗内克关于代数数的结果,说克罗内克将要发表这一得到“完善发展的极其简明的关于最一般代数数的理论”.但20年过去了,克罗内克并未发表他的这一著作,因为他自己希望得到更一般的结果.克罗内克的理论出现在1881年为庆祝库默尔取得博士学位50周年的纪念文章中,题为“代数量的一种算术理论概要”(Grundzügeeiner arithmetischen The orieder algebraischen 概念,其核心思想非常简单明晰.实质上,他是将所讨论的域的整数环嵌入一个更大的多项式环,这些多项式的系数在整数环中.这一方法与人们熟知的戴德金的方法有着本质上的不同.

  首先,戴德金认为以如下方式定义“理想”是其理论的主要任务,即对代数数不成立的唯一因子分解定理对于理想来说应该是成立的.而克罗内克注意到“素数”的概念是相对于所考虑的数域的.如果域扩张了,那么原来的素数就不复如初了.为此,素数唯一因子分解定理应属于理论的后一部分,即应在以一种独立于所考虑的域的方式定义了基本概念之后方可考虑.当然,在戴德金的理论中,从一个域到另一个域时必须计算理想;而克罗内克的理论与此无关,在这里,当域扩张或收缩时它是不改变的.

  其次,克罗内克实际上是通过告知如何去计算它们而定义除子的,用戴德金的话说,这等于给出了一种算法以便确定(已知一组理想的生成元)域的一已知元是否在理想中——这是戴德金理论中所没有的.克罗内克的方法体现了他的哲学思想.

  克罗内克对代数数论的贡献尤以所谓克罗内克-韦伯定理著名.该定理即:有理数域的任一阿贝尔扩张一定是一分圆域的子域.这也是他最重要的成果之一.今天,每一个学过代数数论的人都会了解这一定理以其简洁和一般所体现的深刻及其在代数数论中的重要地位.这一深刻的结果是克罗内克在1853年发表的“论代数可解方程”中的一个副产品.但他没有给出证明.后人曾给出几种证明,其中最早的是H.韦伯(Weber)1886年给出的,距该定理发表已30多年.这也旁证了弗罗贝尼乌斯的话是有道理的.

  由克罗内克-韦伯定理出发,克罗内克进一步提出了著名的猜想:每个虚二次域K的极大阿贝尔扩域是将K添加某种椭圆函数(这是双周期函数)在全部有理点处的取值而得到的域.在1880年给戴德金的一封信中,克罗内克称此猜想为“我最迷恋的青春之梦”.至第一次世界大战期间这一猜想才为日本数学家高木贞治(TeijiTakagi)所证明.这也是日本近代学者的第一个具有国际水平的数学成果.

  据说克罗内克在刚开始他的科学生涯时曾经有点瞬眠E.伽罗瓦(Galois),我们无从知道这是否属实,但克罗内克最早掌握了伽罗瓦的思想.就在1853年关于方程的代数可解性的论文中,他发展了阿贝尔和伽罗瓦关于方程可解性的结果,进一步揭示了方程可解的本质特征.当克罗内克致力于解决这一问题时(19世纪40年代),伽罗瓦理论还很少有人理解.后来,克罗内克同埃尔米特一样用椭圆模函数解出了一般的五次方程,与之不同的是,克罗内克运用了伽罗瓦思想.

  克罗内克的工作中体现着深刻的代数思想.早在博士论文中,他就试图将一组单位元表示为群.25年后,他成功地构造出一套公理体系以限定有限阿贝尔群.这表明他的工作是朝着现代数学发展的.后来他创立了有理函数域论,引进了在域上添加代数量生成扩域的概念和模系的概念,并说明了代数数的理论是独立于代数基本定理的.这是他最重要的工作之一.

  克罗内克的数学活动体现了他统一数学的努力.他试图为整个数学奠定一个基础,从这个基础出发可以建立完整的数学体系.在他看来,这个基础便是算术.他关于椭圆函数的工作中,边界公式尤其值得一提,这是在狄利克雷工作方向上的一大进步,揭示了算术与椭圆函数之间最深层的关系,并提供了后来E.赫克(Hecke)用解析方法研究代数数论的基础,它充分体现了克罗内克的统一数学观.

  克罗内克的大部分工作表明,他可以被称作算法家.他的目标是完善技巧,给出简明表达式以自动显示从某一步到下一步的过程.例如克罗内克的除子理论,它当然可看成戴德金理想论的另一种形式,其基本定义很难理解,其实是一种算法,这种算法是要确定代数数域K中的已知整数b是否在由K中的已知整数组a1a2,…,an生成的理想中.对算法感兴趣的读者会更易于理解他的工作.

  克罗内克对数学哲学有强烈信念,试图将一切数学(从代数学到分析)算术化是他的最高愿望.他写道:“有一天人们将成功地将所有数学算术化,就是说将数学建立在最狭义的数概念的单一基础上.”“一切最根本的数学研究结果最终必须可以整数性质的简单形式表达.”他的另一句话是更著名的:“上帝创造了整数,其余一切都是人造的.”不过,我们所了解的他的哲学观点大多是由别人转述的.克罗内克的学生K.亨泽尔(Hensel)在克罗内克的《数论讲义》的前言中写道:“我也必须指出克罗内克自觉地加于广义算术的定义和证明之上的一个要求,对它的严格遵守将他对数论和代数的处理与几乎所有其他的人区别开来.他相信人们在这些数学分支中能够也必须以这种方式限定一个定义,即人们可用有限步验证它是否适用于任意已知量.同样,一个量的存在性证明只有当它包含一种方法,通过它可以实际地发现要证明存在的量时,才可被认为是完全严格的.”这些正是后来重要的数学哲学流派——直觉主义学派所坚持的信念.因此,克罗内克被认为是直觉主义学派的先驱.他的这些原则也正是现代数学的重要领域——构造性数学研究的起点.

  克罗内克基于自己的哲学观,反对魏尔斯特拉斯的数学风格.魏尔斯特拉斯不仅使用实无限,而且钟爱像波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理(有界无穷序列必有聚点)这样的非构造性的存在定理.克罗内克认为魏尔斯特拉斯的方法是不充分的,他要找出“现在分析学赖以存在的一切结论之谬误”.这大大刺激了他的老同事魏尔斯特拉斯.他们原是极好的朋友,从70年代开始,他们的关系变坏了.魏尔斯特拉斯认为克罗内克的信条对他是严重的威胁.这两位数学家在很多方面截然不同:魏尔斯特拉斯高大、闲散,而克罗内克则小巧、精干;一位擅长分析,并形成一个强大的分析学派,另一位则是代数学家.1888年,魏尔斯特拉斯对他的朋友宣称与克罗内克完全断交.而克罗内克却显然没有认识到自己的观点和活动是怎样伤害了魏尔斯特拉斯,因为他一直声称自己是魏尔斯特拉斯的朋友.

  当然,在克罗内克看来,G.康托尔(Cantor)的超穷数理论是无法接受的,它与克罗内克的信条完全对立.克罗内克强烈反对并试图阻止康托尔扩大其影响,他大概不会认识到自己对康托尔造成了何等程度的伤害.由于殚精竭虑地致力于连续统假设的证明和对自己的工作缺乏信心,康托尔一度陷入精神崩溃.来自克罗内克这位权威的精神压力可能也是导致于此的原因.在克罗内克看来,康托尔显然是错误地追随了魏尔斯特拉斯的一位后生.

  克罗内克的哲学被不喜欢它的人称为“暴动”(Putsch).的确,它从来也没有赢得多数人的赞同.但却赢得了一些一流数学家的附和.克罗内克本人对这种和者寡的情形也许不会太在意.事实上,他一生所钟爱的代数学和数论当时便不如魏尔斯特拉斯所擅长的分析学更受大多数人的欢迎.作为教师,他讲课的清晰而漂亮的开场白往往使他的听众认为后续课程一定是易懂的,但不久这一信念就会烟消云散,直到只剩下少数虔诚的听众——许多人去听魏尔斯特拉斯的课了.克罗内克反而很高兴,他会戏谑地说可以在前几排座位后挂一道帘子,以使听众与讲演者之间更密切.这少数忠实的听众便跟随着他,有时课后一起步行回家.并一直继续课堂上的讨论.经过弗里德里希大街的人有时会看到这样的场面:一个矮个子的人兴致勃勃的对一圈青年人讲解着什么,他们都如此全神贯注,根本注意不到是否妨碍了交通.克罗内克一直保持着贵族式的孤傲,但他的家对学生是开放的.他的一些学生后来成为重要的数学家,但他从未努力去赢得一大批追随着.

  克罗内克的理想对于现代数学来说无疑是过于狭隘了,但他的怀疑精神对人们重新批判地检查数学的基础起了鼓舞作用.它导致了数学中两种有建设性的批判运动:有限步构造性证明与存在性证明,以及从数学中驱除不能以有限个词明确表述的定义.这些有利于人们更清楚地认识数学的本质.