切比雪夫

刘钝 苏淳

(中国科学院自然科学史研究所)(中国科学技术大学)

  切比雪夫,П.Л.(Чебb Iшев,ПaфHутий Лbвович)1821516日生于俄国卡卢加;1894128日卒于彼得堡.数学.

  帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫出身于贵族家庭.他的祖辈中有许多人立过战功.父亲列夫·帕夫洛维奇·切比雪夫(ЛевПaвлович Чебb Iшев)参加过抵抗拿破仑(Napoleon)入侵的卫国战争,母亲阿格拉费娜·伊万诺夫娜·切比雪娃(AгpaфеHaИвaновa Чебb Iшевa)也出身名门,他们共生育了五男四女,切比雪夫排行第二.他的一个弟弟弗拉季米尔·利沃维奇·切比雪夫(Влaдимир Лbвович Чебb Iшев)后来成了炮兵将军和彼得堡炮兵科学院的教授,在机械制造与微震动理论方面颇有建树.

  切比雪夫的左脚生来有残疾,因而童年时代的他经常独坐家中,养成了在孤寂中思索的习惯.他有一个富有同情心的表姐,当其余的孩子们在庄园里嬉戏时,表姐就教他唱歌、读法文和做算术.一直到临终,切比雪夫都把这位表姐的像片珍藏在身边.

  1832年,切比雪夫全家迁往莫斯科.为了孩子们的教育,父母请了一位相当出色的家庭教师П.H.波戈列日斯基(Погорелский),他是当时莫斯科最有名的私人教师和几本流行的初等数学教科书的作者.切比雪夫从家庭教师那里学到了很多东西,并对数学产生了强烈的兴趣.他对欧几里得(Euclid)《几何原本》(Elements)当中关于没有最大素数的证明留下了极深刻的印象.

  1837年,年方16岁的切比雪夫进入莫斯科大学,成为哲学系下属的物理数学专业的学生.在大学阶段,摩拉维亚出生的数学家H.Д.布拉什曼(Брa шмaн)对他有较大的影响.1865930日切比雪夫曾在莫斯科数学会上宣读了一封信,信中把自己应用连分数理论于级数展开式的工作归因于布拉什曼的启发.在大学的最后一个学年,切比雪夫递交了一篇题为“方程根的计算”(Вb Iчисление корней урaвнений,1841)的论文,在其中提出了一种建立在反函数的级数展开式基础之上的方程近似解法,因此获得该年度系里颁发的银质奖章.

  大学毕业之后,切比雪夫一面在莫斯科大学当助教,一面攻读硕士学位.大约在此同时,他们家在卡卢加省的庄园因为灾荒而破产了.切比雪夫不仅失去了父母方面的经济支持,而且还要负担两个未成年的弟弟的部分教育费用.1843年,切比雪夫通过了硕士课程的考试,并在J.刘维尔(Liouville)的《纯粹与应用数学杂志》(Journal des mathématiques pures et appliquées)上发表了一篇关于多重积分的文章.1844年,他又在L.格列尔(Grelle)的同名杂志(Journal für die reine und angewandte Mathematik)上发表了一篇讨论泰勒级数收敛性的文章.1845年,他完成了硕士论文“试论概率论的基础分析”(Опb Iт елементaрногоaнaлизa теории вероятностей1845),于次年夏天通过了答辩.

  1846年,切比雪夫接受了彼得堡大学的助教职务,从此开始了在这所大学教书与研究的生涯.他的数学才干很快就得到在这里工作的B.Я.布尼亚科夫斯基(Буняковский)MB.奥斯特罗格拉茨基(Острогрaдский)这两位数学前辈的赏识.1847年春天,在题为“关于用对数积分”(Об интегрировaнии с номошьюлогaрифмов,1847)的晋职报告中,切比雪夫彻底解决了奥斯特罗格拉茨基不久前才提出的一类代数无理函数的积分问题,他因此被提升为高等代数与数论讲师.他在文章中提出的一个关于二项微分式积分的方法,今天可以在任何一本微积分教程之中找到.1849527日,他的博士论文“论同余式”(Теория срaвнений,1849)在彼得堡大学通过了答辩,数天之后,他被告知荣获彼得堡科学院的最高数学荣誉奖.切比雪夫于1850年升为副教授,1860年升为教授.1872年,在他到彼得堡大学任教25周年之际,学校授予他功勋教授的称号.1882年,切比雪夫在彼得堡大学执教35年之后光荣退休.

  35年间,切比雪夫教过数论、高等代数、积分运算、椭圆函数、有限差分、概率论、分析力学、傅里叶级数、函数逼近论、工程机械学等十余门课程.他的讲课深受学生们欢迎.AM.李雅普诺夫(Ляпунов)评论道:“他的课程是精练的,他不注重知识的数量,而是热衷于向学生阐明一些最重要的观念.他的讲解是生动的、富有吸引力的,总是充满了对问题和科学方法之重要意义的奇妙评论.”

  1853年,切比雪夫被选为彼得堡科学院候补院士,同时兼任应用数学部主席.1856年成为副院士.1859年成为院士.切比雪夫曾先后六次出国考察或进行学术交流.他与法国数学界联系甚为密切,曾三次赴巴黎出席法国科学院的年会.他于1860年、1871年与1873年分别当选为法兰西科学院、柏林皇家科学院的通讯院士与意大利波隆那科学院的院士,1877年、1880年、1893年分别成为伦敦皇家学会、意大利皇家科学院与瑞典皇家科学院的外籍成员.同时他也是全俄罗斯所有大学的荣誉成员、全俄中等教育改革委员会的成员和彼得堡炮兵科学院的荣誉院士.他还是彼得堡和莫斯科两地数学会的热心支持者.他发起召开的全俄自然科学家和医生代表大会对于科学界之间的相互了解与科学在民众中的影响起到了很大的作用.

  19世纪以前,俄国的数学是相当落后的.在彼得大帝去世那年建立起来的科学院中,早期数学方面的院士都是外国人,其中著名的有L.欧拉(Euler)、尼古拉·伯努利(BernoulliNikolaus)、丹尼尔·伯努利(BernoulliDaniel)C.哥德巴赫(Goldbach)等.俄罗斯没有自己的数学家,没有大学,甚至没有一部象样的初等数学教科书.19世纪上半叶,俄国才开始出现了像H.И.罗巴切夫斯基(Лобaчевский)、布尼亚科夫斯基和奥斯特罗格拉茨基这样优秀的数学家;但是除了罗巴切夫斯基之外,他们中的大多数人都是在外国(特别是法国)接受训练的,而且他们的成果在当时还不足以引起西欧同行们的充分重视.切比雪夫就是在这种历史背景下从事他的数学创造的.他不仅是土生土长的学者,而且以他自己的卓越才能和独特的魅力吸引了一批年轻的俄国数学家,形成了一个具有鲜明风格的数学学派,从而使俄罗斯数学摆脱了落后境地而开始走向世界前列.切比雪夫是彼得堡数学学派的奠基人和当之无愧的领袖.他在概率论、解析数论和函数逼近论领域的开创性工作从根本上改变了法国、德国等传统数学大国的数学家们对俄国数学的看法.

  切比雪夫是在概率论门庭冷落的年代从事这门学问的.他一开始就抓住了古典概率论中具有基本意义的问题,即那些“几乎一定要发生的事件”的规律——大数定律.历史上的第一个大数定律是由雅格布·伯努利(Bernoulli Jacob I)提出来的,后来 SDB.泊松(Poisson)又提出了一个条件更宽的陈述,除此之外在这方面没有什么进展.相反,由于有些数学家过份强调概率论在伦理科学中的作用甚至企图以此来阐明“隐蔽着的神的秩序”,又加上理论工具的不充分和古典概率定义自身的缺陷,当时欧洲一些正统的数学家往往把它排除在精密科学之外.

  1845年,切比雪夫在其硕士论文中借助十分初等的工具——ln(1x)的麦克劳林展开式,对雅格布·伯努利大数定律作了精细的分析和严格的证明.一年之后,他又在格列尔的杂志上发表了“概率论中基本定理的初步证明”(Démonstration èlèmentairedune proposition génerale de la théorie des probabilités 1846)一文,文中继而给出了泊松形式的大数定律的证明.1866年,切比雪夫发表了“论平均数”(Oсредних величинaх,1866),进一步讨论了作为大数定律极限值的平均数问题.1887年,他发表了更为重要的“关于概率的两个定理”(Oдвух теоремaх относительно вероятностей,1887),开始对随机变量和收敛到正态分布的条件,即中心极限定理进行讨论.

  在这一系列的研究中,切比雪夫首先引出并提倡使用的随机变量的概念,后来成了概率论与数理统计当中最重要的概念.他创造的“矩方法”可以解决许多困难的极限估值问题,直到今天仍被广泛应用.导致产生这一方法的,是他在1882年建立的一个著名不等式:若ξ是一个随机变量,a是其平均数,σ是|ξ-a|2的平均数,则对于任何正数k,使|来成了一系列更为精确地估计概率的工作的先导.他在中中极限定理的

(n为项数)的方幂渐近展开独立随机变量和的分布函数.这一猜想完全被后来的研究所证实并影响到本世纪对收敛速度的一致估计和分布函数的渐近展开研究.

  切比雪夫引出的一系列概念和研究题材为俄国以及后来苏联的数学家继承和发展.AA.马尔科夫(Мaрков)对“矩方法”作了补充,圆满地解决了随机变量的和按正态收敛的条件问题.李雅普诺夫则发展了特征函数方法,从而引起中心极限定理研究向现代化方向上的转变.以20世纪30年代AH.柯尔莫哥洛夫(Колмогоров)建立概率论的公理体系为标志,苏联在这一领域取得了无可争辩的领先地位.近代极限理论——无穷可分分布律的研究也经CH.伯恩斯坦(Бернштейн)A.Я.辛钦(Хинчин)等人之手而臻于完善,成为切比雪夫所开拓的古典极限理论在20世纪抽枝发芽的繁茂大树.关于切比雪夫在概率论中所引进的方法论变革的伟大意义,苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫在“俄罗斯概率科学的发展”(Роль сусской нaуки в сaзвии теории вероятносгей,ИБИД,стр,5364)一文中写道:“从方法论的观点来看,切比雪夫所带来的根本变革的主要意义不在于他是第一个在极限理论中坚持绝对精确的数学家(A.棣莫弗(de Moivre)PS.拉普拉斯(Laplace)和泊松的证明与形式逻辑的背景是不协调的,他们不同于雅格布·伯努利,后者用详尽的算术精确性证明了他的极限定理),切比雪夫的工作的主要意义在于他总是渴望从极限规律中精确地估计任何次试验中的可能偏差并以有效的不等式表达出来.此外,切比雪夫是清楚地预见到诸如‘随机变量’及其‘期望(平均)值’等概念的价值,并将它们加以应用的第一个人.这些概念在他之前就有了,它们可以从‘事件’和‘概率’这样的基本概念导出,但是随机变量及其期望值是能够带来更合适与更灵活的算法的课题.”

  切比雪夫对解析数论的研究集中在他初到彼得堡大学任教的头四年内,当时他正担任着高等代数与数论的讲师,同时兼任欧拉选集数论部分的编辑;后一任命是布尼亚科夫斯基向彼得堡科学院推荐的.1849年,欧拉选集的数论部分(L Euleri commenta-tiones arithmeticae collectae 1849)在彼得堡正式出版了.切比雪夫为此付出了巨大的心血,同时他也从欧拉的著作中体会到了深邃的思想和灵活的技巧结合在一起的魅力,特别是欧拉所引入的ξ函数及用它对素数无穷这一古老命题所作的奇妙证明,吸引他进一步探索素数分布的规律.

  素数分布的规律是数论中的基本问题,自欧几里得以来许多大数学家都为此绞尽脑汁而没有获得什么实质性的进展.如果以π(x)表示不大于x的素数的个数,所谓素数分布问题就是要找出一个用x来表示的x(x)的公式.法国数学家AM.勒让德(Legendre)和德国数学家C F.高斯(Gauss)分别研究过4000003000000以内的素数表,前者认为

  猜测就是著名的素数定理.

  在德国,当时正由PGL.狄利克雷(Dirichlet)、稍后又由B.黎曼(Riemann)倡导着一场革新数论研究方法的运动,他们应用数学分析为工具来考察这一古老的学科,在许多重要问题上获得长足进步.其实这种思想在欧拉的著作中就已现端倪,ξ函数正是分析学中的一个结果,兼具分析之长和谙熟欧拉思想的切比雪夫自然就成了这场方法论革新运动在俄国的呼应者.

  数学家J.阿达码(Hadamard)最终解决的).这篇写成于1849年的论文可以说是素数分布规律研究的一个里程碑,它后来在1879年和1901年两度在彼得堡印刷;并被相继翻译成德文(Theorie der Congruenzen,1888)和意大利文(Theoriadelle congruenze, 1895)而分别在柏林和罗马出版.在博士论文的基础上,他又于当年用法文撰写了“确定小于某个数的全部素数之数目的函数”(Sur la fonction qui détermine la totalitédesnombres premiers in férieurs áune limite donnée 1849),其中用实数域的ζ函数证明了敬让德公式中的最佳逼近值A不是1.08366而是1,并对可使勒让德表达式与高期表达式同时适用的x值的下限进行了估计,

  

  第二年,切比雪夫又向科学院提交了另一篇重要的论文“论素数”(Mèmoire sur les nombres premiers 1850),其中给出了精确的估计

 

  用途.除此之外,他在该文中还附带地解决了法国数学家J.贝特朗(Bertrand)提出的关于素数分布规律的又一个猜测:对于任何一个大

  切比雪夫关于函数逼近论的创造性构想孕育在1852年,当时他接受了科学院的一项使命到西欧进行数学与技术的综合考察.在大约半年的时间里,他参观了许多著名的工厂和博物馆,同时与西欧的数学家进行了数学交流.C.埃尔米特(Hermite)为首的法兰西学派在函数论方面的工作给他留下了特别深刻的印象.切比雪夫关于函数逼近论的重要论文都是用法文撰写的.回国后不久切比雪夫就向科学院提交了题为“涉及平行四边形的机械原理”(Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogram-mes1854)的研究报告,这是他在函数逼近论领域的第一篇论文.

  函数逼近论的思想来源于机器设计:假定按照理想设计的机器依曲线f(x)运动,而实际制造出来的机器运动的轨迹是g(x)(这种情况是常见的,就象瓦特平行四边形只能近似地将圆周运动转换成直线运动一样);再假定全部零件的参数a1a2,…,an完全确定了机器,切

度,显然它是参数ai的函数;函数逼近论的中心问题就是要寻找使这一函数达到最小值的一组参数.如果上述曲线g(x)由一个多项式来表示,那么使设计标尺达到最小值的g(x)就叫最佳逼近多项式.在这篇论文中,切比雪夫证明了最佳逼近多项式的一系列性质,引入了切比雪夫交错组和符号判别法,证明了具有切比雪夫交错组的多项式就是最佳逼近多项式.特别地,他找到了与零偏差最小的多项式了Tn(x)=cos(n·arccosx),即在区间(11)上,

  在下一篇论文“函数近似逼近的最小值问题”(Sur les questionsde minima qui se rattachent à la représentation approximativedes fonctions 1859)中,切比雪夫把问题推广到一般的函数g(xa1a2,…,an)之上,并就g为实函数的两个具体例子给出了详细的分析,还附带地得到了几个关于确定代数方程实根范围的判定定理.

  在函数逼近论的研究中,切比雪夫创造了许多新的概念和方法.为了纪念他的奠基性工作,后人把Tn(x)叫作切比雪夫多项式,把最佳一致逼近叫作切比雪夫逼近,把若干函数逼近论的定理叫作切比雪夫逼近定理.他还研究了平方逼近、三角逼近和有理函数逼近等不同的课题.除此之外,他的工作与数学其它分支也有着广泛的联系,引导出一些富有价值的成果.例如在论文“积分的极值”(Sur les valeurs limites des intégrales 1874)中,切比雪夫考察了矩问题,即对于区间(AB)上正的未知函数f(x),已知其各阶矩

 

  

  计.在论文“论积分”(Sur les quadratures, 1874)中,切比雪夫运用函数逼近论,发展了埃尔米特提出的一种定积分的近似计算法.数十年内,切比雪夫在函数逼近论领域硕果累累,这些成果又与正交理论、多项式论、矩阵论、内插法、近似积分、误差理论,最小二乘法以及概率论等内容密切联系,极大地丰富了19世纪数学分析的内容.

  这一开拓性的工作很快就引起了世人的注意.德国数学家K.魏尔斯特拉斯(Weierstrass)R.李普希茨(Lipschitz)以及切比雪夫的学生AH.科尔金(Κоркин)E.И佐洛塔廖夫(Золотaрёв)等人相继为函数逼近论做出了贡献.进入20世纪以来,法国数学家E.波莱尔(Borel)和苏联数学家伯恩斯坦为代表的现代逼近理论更是大放异彩,成为纯粹数学应用于现代科技的一个光辉典范.

  理论联系实际是切比雪夫科学工作的一个鲜明特点.他自幼就对机械有浓厚的兴趣,在大学时曾选修过机械工程课.就在第一次出访西欧之前,他还担任着彼得堡大学应用知识系(准工程系)的讲师.这次出访归来不久,他就被选为科学院应用数学部主席,这个位置直到他去世后才由李雅普诺夫接任.应用函数逼近论的理论与算法于机器设计,切比雪夫得到了许多有用的结果,它们包括直动机的理论、连续运动变为脉冲运动的理论、最简平行四边形法则、绞链杠杆体系成为机械的条件、三绞链四环节连杆的运动定理、离心控制器原理等等.他还亲自设计与制造机器.据统计,他一生共设计了40余种机器和80余种这些机器的变种,其中有可以模仿动物行走的步行机,有可以自动变换船浆入水和出水角度的划船机,有可以度量大圆弧曲率并实际绘出大圆弧的曲线规,还有压力机、筛分机、选种机、自动椅和不同类型的手摇计算机.他的许多新发明曾在1878年的巴黎博览会和1893年的芝加哥博览会上展出,一些展品至今仍被保存在苏联科学院数学研究所、莫斯科历史博物馆和巴黎艺术学院里.

  1856年,切比雪夫被任命为炮兵委员会的成员,积极地参与了革新炮兵装备和技术的工作.他于1867年提出的一个计算圆形炮弹射程的公式很快被弹道专家所采用,他关于插值理论的研究也部分地来源于分析弹着点数据的需要.他在彼得堡大学教授联席会上作的“论地图制法”(Черченйе геогрaфических кaрт,1856)的报告精辟地分析了数学理论与实践结合的意义,这份报告也详尽讨论了如何减少投影误差的问题.在法国科学院第七次年会上,切比雪夫提出了一篇名为“论服装裁剪”(Sur la coupe des vte-ments1878)的论文,其中提出的“切比雪夫网”成了曲面论中的一个重要概念.

  切比雪夫终身未娶,日常生活十分简朴,他的一点积蓄全部用来买书和制造机器.每逢假日,他也乐于同侄儿女们在一起轻松一下,但是他最大的乐趣是与年轻人讨论数学问题.189411月底,他的腿疾突然加重,随后思维也出现了障碍,但是病榻中的他仍然坚持要求研究生前来讨论问题,这个学生就是后来成为俄国在代数领域中的开拓者的Д.A.格拉韦(Грaве)1894128日上午9时,这位令人尊敬的学者在自己的书桌前溘然长逝.他既无子女,又无金钱,但是他却给人类留下了一笔不可估价的遗产——一个光荣的学派.

  彼得堡数学学派是伴随着切比雪夫几十年的舌耕笔耘成长起来的.它深深地扎根在大学这块沃土里,它的成员们大都重视基础理论和实际应用,善于以经典问题为突破口,并擅长运用初等工具建立高深的结果.19世纪下半叶,俄国数学主要是在切比雪夫的领导下,首先在概率论、解析数论和函数逼近论这三个领域实现了突破.科尔金、佐洛塔廖夫、Ю.B.索霍茨基(Сохоцкий)KA.波谢(Поссе)、马尔科夫、李雅普诺夫、格拉韦、Г.Ф.伏罗诺伊(Вороной)C.И.沙图诺夫斯基(Шaтуновский)AH.克雷洛夫(Крылов)HE.茹科夫斯基(Жуковский)BA.斯捷克洛夫(Стеклов)等人又在复变函数、微分方程、代数、群论、数的几何学、函数构造、数学物理等领域大显身手,使俄国数学在19世纪末大体跟上了世界先进的潮流,某些领域的优势则一直保留到今日.

  现在,苏联已经是一个数学发达的国家,苏联数学界的领袖们仍以自己被称为切比雪夫和彼得堡学派的传人而自豪.