布尔

张锦文 李娜

(中国科学院软件研究所)(河南大学)

 

  布尔, G(BooleGeorge)1815112日生于英国林肯;1864128日卒于爱尔兰科克.数学、逻辑学.

  布尔的父亲是一位鞋匠.布尔青少年时期,在当地上了小学和短时间的商业学校.他自学了希腊语和拉丁语,后来又学会欧洲几个国家的语言.从商业学校毕业后,布尔原想做一名牧师,但由于生活所迫,他在16岁那年接受了中学教师的职务,18311835年,先后在唐卡斯特和瓦丁顿的一些中学教书.就在这个时期,他对数学产生了深厚的兴趣,并决定继续自学数学.1835年,他在林肯市创办了一所中学,仍是一面教书,一面自修高等数学.他先后攻读了著名科学家I.牛顿(Newton)的《自然哲学的数学原理》(Philosophiae naturalis principia mathematica)J.拉格朗日(Lagrange)的《解析函数论》(Théorie des function analytiques)1835年发表了他的第一篇科学论文“论牛顿”(On Newton) 21岁时,他就精通PS.拉普拉斯(Laplace)的《天体力学》(Mécanique céleste),这在当时被认为是最深奥的学问.这一事实足以证明他自学取得的成功.

  1839年,24岁的布尔决心尝试受正规教育,并申请进剑桥大学.当时《剑桥大学期刊》(Cambridge Mathematical Journal,布尔曾投稿的杂志)的主编DF.格雷戈里(Gregory)表示反对他去上大学,他说:

  “如果你为了一个学位而决定上大学学习,那么你就必须准备忍受大量不适合于习惯独立思考的人的思想戒律.这里,一个高级的学位要求在指定的课程上花费的辛勤劳动与才能训练方面花费的劳动同样多.如果一个人不能把自己的全部精力集中于学位考试的训练,那么在学业结束时,他很可能发现自己被淘汰了.”

  于是,布尔放弃了受高等教育的念头,而潜心致力于他自己的数学研究.他写了许多论文,其中包括线性变换方面的某种开拓性的工作[这一工作为后来的A.凯莱(Cayley)JJ.西尔维斯特(Sylvester)所发展].布尔的主要贡献在于利用代数的方法来研究推理、证明等逻辑问题.因而形成了代数学的一个独立的分支,它为逻辑学的研究奠定了数学基础.从这一基础出发就发展出了布尔代数.1844年,他发表了著名的论文“关于分析中的一个普遍方法”(On a general method in analysis),因此获皇家学会的奖章.

  1849年,34岁的布尔分别获得牛津大学和都伯林大学的名誉博士学位.随即被聘为爱尔兰科克皇后学院(今爱尔兰大学)的数学教授.从此,他才有了比较安稳的生活保证.他保持这个职位一直到15年后患病逝世为止.在此期间,他于1857年被推选为伦敦皇家学会会员.

  1855年,布尔和G.爱维累斯特(Iwirester)爵士的侄女玛丽·爱维累斯特(Mary Iwirester)结婚.他们的长女玛丽嫁给数学家CH.欣顿(Hinton),三个外孙都有科学建树.另一个女儿艾丽西亚(Alicia)在四维几何方面的研究中取得成果,以后又与数学家HSM.考克斯特(Coxeter)合作.第四个女儿露西(Lucy)成为英国在大学担任化学教授的第一个妇女.布尔最小的女儿E.莉莲(Lillian),便是受到广泛阅读的小说《牛蛇》的作者 B L.伏尼契(Voynich)

  1864128日,布尔因患肺炎(这是由于他坚持上课,在11月的冷雨中步行三公里而受凉引起的),不幸于爱尔兰的科克去世,终年 59岁.

  布尔被B.罗素(Russell)描写成纯粹数学的发现者.布尔的名字被用来作为表示某种数学体系的形容词(甚至是不用大写字母的).然而,这并没有使布尔的名字真正家喻户晓,它只是少数人给予的一种荣誉称号.

  布尔的研究大致可分为逻辑和数学两部分.他在数学上的成就是多方面的.但在逻辑方面,他的主要贡献就是用一套符号来进行逻辑演算,即逻辑的数学化.大约200年以前,GW.莱布尼茨(Leibniz)曾经探索过这一问题,但最终没有找到精确有效的表示方法.因为它牵涉到改进亚里士多德(Aristoteles)的工作,而人们对于改进亚里士多德的工作的尝试总有点犹豫不决.布尔凭着他卓越的才干,创造了逻辑代数系统,从而基本上完成了逻辑的演算工作.1847年,他出版了这方面的第一本书《逻辑的数学分析,论演绎推理的演算法》(The mathematical analysis of logicbeing an essay towards a calculus of deductive reasoning),此书并不厚,但足以使他出名,并且使科克的学院聘他任教.1854年,他又出版了《思维规律的研究,作为逻辑与概率的数学理论的基础》 (An investigation into the laws of thoughton whichare founded the mathematical theories of logic and probability)一书,其中完满地讨论了这个主题并奠定了现在所谓的数理逻辑的基础.为这一学科的发展铺平了道路.

  对于逻辑代数,布尔的方法是着重于外延逻辑(extensionallogic),即类(class)的逻辑.其中类或集合用xyz,…表示,而符号XYZ,…则代表个体元素.用1表示万有类,用0表示空类或零类.他用xy表示两个集合的交[他称这个运算为选拔(election)],即xy所有共同元素的集合;还用xy表示x中和y中所有元素的集合.[严格地讲,对于布尔,加法只用于不相交的集合.后来,由WS.杰文斯(Jevons)推广了这个概念.]至于x的补x′,记作1-x.更一般地,x-y是由不是y的那些x所组成的类.包含关系,即x包含在y中,他写成xy=x.等号=表示两个类的同一性.

  布尔相信,头脑会立刻允许我们作一些初等的推理规程,这就是逻辑的公理.例如,矛盾律,即A不能既是B又是非B,这就是公理.它可以表示为

x(1-x)=0

  对于头脑,下列关系也是显然的:

xy=yx

  因而交的这个交换性是另一条公理.同样明显的是性质

xx=x

  这条公理违背了通常的代数.布尔认为可作为公理的还有

x+y=y+x

  x(u+v)=xu+xv

  用这些公理可以把排中律说成

x(1-x)=1

  就是说,任何东西不是x就是非x.布尔还把所有x都是Y表示成x(1-y)=0.所有Z都是x表示成z(1-x)=0,然后,他使用自己的展开方法消去x,解方程得z(1-y)=0.它的含义是:所有Z都是Y.这样,布尔就用他的纯代数方法,取消了三段论前两个前提的中项,得出三段论的结论.另外,没有XY可写成xy=0;有些XY表成xy0;而有些X不是Y表成

x(1-y)0

  布尔试图从这些公理出发,用公理所许可的规程去导出推理的规律.作为平凡的结论,他有1·x=x0·x=0.后来,经德国数学家E.施深入研究,给出了布尔代数的公理化方法的定义:

  (1)如果xy都属于类B,那么xyxyx′均属于B

  (2)在所有的元素中存在一个元素0,使得对于每一个x都有x+0=x;存在一个元素1,使得对每个x都有x·1=x

  (3)xy=yxx·y=y·x

  (4)x(y·z)=(x+y)(xz)x(yz)=(x·y)(x·z)

  (5)对于每一个元素x,存在一个元素x′,使得x+x=1并且xx=0

  (6)在类B中至少存在两个不同的元素.满足上述6个条件的<B,+,·,-01>为一个布尔代数.

  布尔不仅构造了逻辑代数系统,而且十分明白地对系统作了逻辑解释.他认为通过分析可以看清楚,一个系统可作多种解释,并不影响所涉及的关系的真实性.所以,对于他的逻辑代数系统,他给出了两种解释:一种是类演算,一种是命题演算.在类演算里,他用符号10表示全类和空类.这些符号最初来自他的概率论——他的第二本书的一个独立部分.在概率论中,1表示任何事件出现的所有概率之和,0表示不可能性.他还将乘和加分别看作合取和析取,并论证了它们也满足前面的公理.在命题演算的解释中,他令XYZ等代表命题,并假定命题只能接受真、假两种可能情况.1表示真,0表示假,XY表示XY的合取,即“X并且Y”;X+Y表示不相容的析取,即“XY,但不同真”;1-Y表示Y的否定.根据这种解释,X为真记作X=1X为假记作X=0.如果X真则Y假记作X(1-Y)=0X真且Y真记作XY=1.因此,复合命题的真假就可以通过布尔演算由它的支命题的真假唯一决定.这就是现在使用的真值表示方法.用这种方法,使数学家、逻辑学家对逻辑有更广泛更全面的理解.美国数学家FT.贝尔(Bell)对此评论说:“布尔割下了逻辑学这条泥鳅的头,使它固定,不能再游来滑去.”

  布尔提出的类演算和命题演算的区别在于,在类演算中,XYZ等可以取任一类(包括01)为值;而在命题演算中,XYZ等只能取01两个值.因此,命题演算系统可以看作二值代数系统.

  布尔除了把他的逻辑代数应用到概率以外,并没有进一步发展他的代数理论.相反地,他却在其他数学分支方面工作.他对代数几何学、微分方程、概率论、拓扑学和控制系统的研究都有所建树,当代数学不少研究课题溯源于他的工作.例如:

  (1)布尔空间.如果令L是一个具有有限高度的布尔代数,X(a)|aL}作为基底,在X中定义拓扑,则X是紧的完全的不连通的T1空间,而O(a)X中的紧开集,那么这样的空间叫布尔空间.

  fn元布尔函数.如果令a1,…,an∈{01},则A=(a1,…,an)a1an称为01向量;若x1,…,xnB(B是一个布尔代数),则X=(x1,…,xn)x1xn称为布尔向量.令x1=xx0=xf(A)1时,f(x)称为简单布尔函数.

  (3)布尔方程.若f1(X)f2(X)是简单布尔函数,则f1(X)=0f2(X)=1称为简单布尔01方程.

  (4)布尔差分.令f(x1,…,xn)为布尔函数,称如下的“异或运算”为f关于变量xi的布尔差分:

 

  另外,布尔展开式和布尔核整则点也是人所共知的.

  布尔一生共发表了50篇学术论文和两部教科书,其中主要是“论牛顿”(1835)和《逻辑的数学分析,论演绎推理的演算法》(1847),后者是在哲学家W.哈密顿(Hamilton)与布尔的朋友A.德摩根(De Morgan)的论争刺激下完成的.著名的现代逻辑史家IM.波享斯基(Bochenski)对此书有过评价:“我们能够在布尔时代的著作《逻辑的数学分析》中找到一种示范形式展开的清晰表达,这方面他优于许多后人的著作,其中包括罗素的《数学原理》(Principia mathematica).”此外,布尔还著有《差分方程》(Difference equation)(1859)和《有限差计算》(Finite differencecalculus)(1860)等.

  布尔以自学取得成就而著称于世,成为19世纪数理逻辑的最杰出代表.以他的名字命名的布尔代数今天已发展为结构极为丰富的代数理论,并且无论在理论方面还是在实际应用方面都显示出它的重要价值.特别是近几十年来,布尔代数在自动化系统和计算机科学中已被广泛应用.