格拉斯曼

吉安师范专科学校 陈竹如

  格拉斯曼,HG(GrassmannHermann Günther) 1809415日生于德国波美拉尼亚的斯德丁(今波兰什切青)1877926日卒于斯德丁.数学.

  格拉斯曼出生于一个知识分子家庭,父亲贾斯特斯(Justus)研究过神学、数学和物理学.母亲J.美登沃尔德(Medenwald)是一位牧师的女儿.在他们家的12个孩子中,格拉斯曼排行第三.他40岁才结婚,妻子MT.纳普(Knappe)是一个地主的女儿,生有11个孩子,其中卢多尔夫(Ludolf)成为物理学家,赫尔曼(Hermann)成为数学家,其他人也多有成就.

  格拉斯曼最初的教育来自母亲和一所私立学校.18岁时他通过了中等学校的最后考试,随后与他的长兄古斯塔夫(Gustav)一起在柏林大学学了三年神学和古典语言文学.

  1830年秋,格拉斯曼回到斯德丁,开始自学数学和物理.1832年在斯德丁得到一个大学预科助教的职位. 1834年通过斯德丁的教会代表会议主持的第一级神学考试,这年秋天到柏林的格沃贝舒里学校当副校长,1835年又被派到斯德丁新成立的奥托学校任教.他教过数学、物理、德语、拉丁语和宗教等课程.同时,在任教期间仍进行神学、数学和自然科学等方面的研究.1839年,他在斯德丁通过了第二级神学考试.次年又在柏林通过了数学、物理、化学和矿物学方面的考试,从而取得了担任中等学校各级教学工作的资格.此后,格拉斯曼在教学上花了较大的精力,编写了几本中学课本.1852年,他接替父亲的工作,在斯德丁大学预科做了四级教师,这是一个可以获得教授头衔的职位.

  格拉斯曼兴趣广泛,多才多艺,早在青年时期就在多方面取得成绩.1846年,他的《解析几何》(GeometrischeAnalyse)得到公众好评,并获得莱比锡科学协会的最高奖赏.1845年,他出版了《电动力学理论》(Neue Theorie der Elektrodynamik),书中以新的定律取代了安培关于两个极小的电流元件相互作用的基本定律.1853年又发表文章“混色理论”(Zur Theorie der Farbenmischung)1864年,他因物理方面的成绩被选为利奥波德学会会员.另外,他还是梵文权威,也曾努力学习过哥德语、立陶宛语、古波斯语、俄语和教会斯拉夫语,并在此基础上研究比较语言学.1860年,他开始对吠陀经典赞美诗进行深入研究,此书至今仍在广泛应用。18761877年间,他又写成赞美诗的德文译本.他的这些成绩得到学术界的好评,很快为学者们所接受,使他在1876年成了美国东方学会的成员.蒂宾根大学哲学系授予他名誉博士学位.

  格拉斯曼的数学成就远远走在他那个时代的前面.他是一位自学成才的数学家,1832年就开始了一种新的几何演算法的研究.他意识到自己工作的深远意义,到1840年已把全部精力集中到数学方面的研究.1843年秋,他完成了名著《线性扩张论》(Die lineare Ausaenuangslehre)的第1卷,于1844年发表.可惜的是它的基本意义没有被当时人们所领会,因为其内容实在比当时的数学水平深得多,而且叙述抽象,在文中还夹杂着哲学理论和神秘的教义.1845年以后他又写了很多书和文章,将他的理论应用到物理及代数曲线和曲面上,但也没有获得人们的理解.于是他把《线性扩张论》修改加工,更名《扩张论》(Die Ausaenuangslehre),于1862年在柏林出版.但此书还是没有用具体明确的例子说明他的新概念,仍然十分难懂,没有受到学术界重视.连续几次失败使他失望,53岁以后逐渐离开数学,专门研究梵文.

  直到格拉斯曼晚年的时候,人们才注意到他的数学著作的价值.1871年,他被选为哥丁根科学院的通讯会员.这时他已年老体弱,但一直坚持工作.在他去世后,专家们努力把他的《扩张论》向数学界介绍,还有人为他写了传记,在他一百岁诞辰时出版了他的论著全集.

  格拉斯曼在数学上的主要贡献表现在他对多维空间的研究.多维空间产生的原因之一,是在解决代数和分析的问题时试图利用几何方法.当时已有用几何方法解决纯代数问题的先例.但是如果未知数多于三个,三维空间就不够用了。为了保留有效的几何思想方法,就需要引入抽象的n维空间概念。这种空间的点由n个坐标决定,从而把在三个变数时起作用的几何方法应用到任意个变数的情形.

   在解析几何与综合几何的基础上,GW.莱布尼兹(Leibniz)曾设想过这种几何分析,但他没有深入阐述自己的观点.格拉斯曼首次提出了多维欧几里得空间的系统理论.1844年他在《线性扩张论》中引入欧几里得n维空间概念,研究了点、直线、平面和两点间的距离,并推广到n维空间,研究了抽象几何空间中的n阶曲线,发展了莱布尼兹把代表几何实体的符号按一定规则来处理的代数思想.

  《线性扩张论》所论述的几何分析,是一个介于解析几何与综合几何的边缘领域.几何分析的所有体系具有共同特点,它们的基本成分是有向线段的几何加法,并且借助于复数的平面几何描述.在《线性扩张论》中格拉斯曼融合坐标、向量及复数等概念于n维空间,大胆地开拓了数学的新领域.

  “向量空间”概念在以前数学家的论著中是不够明确的,格拉斯曼第一个明白地解释了“n维向量空间”的概念,他把n维向量空间的向量和与积用纯几何方法来定义,发展了通用的向量演算法.

  格拉斯曼与WR.哈密顿(Hamilton)同时分别建立了超复数,格拉斯曼还引入了超复数的两类乘法(内积和外积),从而建立了一种有n个分量的超复数几何学,所以他是复抽象几何学的奠基人.

  由于坐标选择带有任意性,可能使问题复杂化.人们希望把几何学和物理学上确实重要的部分,与由坐标的选择额外产生的部分分开,于是便产生了张量概念.用张量来描述的物理定律和几何定理所得到的结果,在任何坐标系下都具有不变的形式.

  这是一种有n个分量的趋复数,下面用n=3的情况为例来说明他的思想.设两个超复数α=α1e1+α2e2+α3e3,β=β1e1+β2e2+β3e3,其中αi和βi是实数,而e1e2e3是原始的或定性的单元.α和β都是空间中的一个有向线段,αi和βi分别是α和β在各轴上的投影长度.其加减法由下式定义,

  α+β=(α1+β1)e1(α2+β2)e2(α3+β3)e3

  对超复数的内积,他假设ei|ei=1ei|ej=0ij,α和β的内积α
 
间的夹角,则

  (ab分别是α,β的线向量)

  对超复数的外积P,他假设[eiej]=-[ejei]=eij(1ij n)[eiei]=0(1in)

  P=[αβ]=(α2β3-α3β2)[e2e3](α3β1-α1β3)[e3e1](α1β2-α2β1)[e1e2]

  且有αβ=-βα.

    
     

  所以|P|就是一个平行四边形的面积.如果两个向量位于同一直线,则它们的积是0;否则它们张成一个位于某一平面并有一确定面积的平行四边形.

  对两个积abcd相等,格拉斯曼解释为:它们位于平行平面之中,张成的面积相同,并且从cd和从ab有相同的旋向.至于三个向量的积,则可构成一个有向平行六面体.他还考虑了高阶乘积.1855年又对超复数给出了16种不同类型的乘积及其几何意义.并在力学、磁学、晶体学等方面作了应用.

  与格拉斯曼几乎同时而独立地用分析方法研究n维几何的,还有A.凯利(Cayley)G.黎曼(Riemann),他们都是通过与普通解析几何作形式类比而进行的,但影响不及格拉斯曼.虽然他的n维超复数分析终究未建立起来(因为没有发现这种分析的应用),但他的思想引导数学家进入张量理论.张量的引入,使数学家们既采用坐标又摆脱具体坐标系的影响,使推导简化,而且能充分反映事物的属性.它在力学、几何学、电磁场及相对论等方面有着广泛的应用.20世纪80年代欧美国家掀起了学习和应用张量的热潮.我国随着计算数学、应用数学的发展,张量理论也受到很多专家的重视.

  J.吉布斯(Gibbs)O.希维赛德(Heavislde)创立向量代数,也受到格拉斯曼的很大影响.向量代数可以从格拉斯曼和哈密顿的概念中导出,吉布斯曾说过他更喜欢格拉斯曼的限制较少的概念.格拉斯曼的著作还影响着线性矩阵代数的诞生,在其著作中已有这方面知识的萌芽.1862年,格拉斯曼提出了矩阵化成三角式的方法,并论述了这种方法与射影变换之间的关系.

  在代数方面,格拉斯曼的工作远远超过了哈密顿的四元数,他不只考虑实数有序四元数组,而且考虑实数有序n无数组.格拉斯曼还发展了一项他称为“代数的”乘法,它遵守定律eiej=ejeii=1,…,n,并导致了今天的多项式环.

  格拉斯曼和哈密顿、凯利等数学家是近世代数的先驱,他们推出了不同于普通代数的、遵守某种结构规律的代数方法,具有深远的意义.就象罗巴切夫斯基(ЛoбaЧeBCKИй)的发现导致几何的解放一样,格拉斯曼的工作导致了代数的解放,打开了现代抽象代数的大门.

  格拉斯曼的分析研究还涉及普法夫方程

ω=A1(x1xn)dx1+…=An(x1xn)dxn=0

  的积分理论.他提出了一个重要定理:

  如果把k视为ω类——就是说,ω可以变换成交量的极小数量——那么,当k=2h时,ω可变换成为范式Zn1dZ1++Z2ndZn,而当k=2h-1时,则可变换成P·(dZhZh1dZ1+…+Z2h-1dZh-1),这里的PZ1Z2h-1的函数.

  格拉斯曼还研究了算术基础,他在《算术教本》(Lehrbuchder Arithmetik1861)中对算术基础作了科学论证,给出自然数加法和乘法的定义,并证明了加法和乘法的基本性质,如交换律、结合律、分配律等.他的研究以(ab)1=a(b1)为依据.

  由于格拉斯曼的贡献,很多数学名词以他的名字命名,如格拉斯曼坐标、格拉斯曼锥体、格拉斯曼平面线性生成等等.他还首创了以坐标表示给定空间的子空间的方法,从而导致了称为格拉斯曼代数流形的映射点.

  数学中的形式主义学派认为数学的真实性必须也只须建立在其公理系统的无矛盾性上.格拉斯曼可以说是这个学派的奠基人之一.这种形式主义观点,后来在D.希尔伯特(Hilbert)的学派中得到发展.

  在政治上,格拉斯曼有很强的责任感.他参加了1848年德国的政治革命,并和他的兄弟罗伯特(Robert)办报纸,主张形成一个团结的、在普鲁士领导下的德国.格拉斯曼的一生是积极学习积极工作的一生,为社会作出了宝贵的贡献.