刘维尔

华东师范大学 李旭辉

辽宁师范大学 邵明湖

  刘维尔,J(LiouvilleJoseph)1809324日生于法国加来海峡省圣奥梅尔;188298日卒于巴黎.数学.

  刘维尔的父亲克劳德-约瑟夫·刘维尔(ClaudJoseph Liou-ville)是一位陆军上尉,母亲名叫泰雷兹·巴朗(Thérése Balland).刘维尔是他们的次子,幼时先后就学于科梅西和土尔.1825年他来到巴黎综合工科学校学习,AM.安培(Ampère)担任分析与力学课的老师,两人曾共同探讨电动力学问题.他于182711月转入桥梁与公路学校,1831年获学士学位.

  毕业后不久,他辞去了在伊泽尔省的工程师职务,期望得到一份教职,以便专心从事学术工作.183111月,他被综合工科学校教育委员会选为L.马蒂厄(Mathieu)的分析与力学课助教,由此开始了自己近50年的科学研究生涯.

  18331838年间,刘维尔曾在成立不久的中央高等工艺制造学校讲授数学和力学,但内容均为初级的.为使自己的教学工作保持在大学水平上,他在1836年攻取了博士学位,论文题为“关于函数或其一部分的正弦与余弦级数展开式”(Sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dc sinuset de cosinus),探讨了傅里叶级数及其在各种力学、物理学间题中的应用,于同年在巴黎成书出版.

  为适应法国数学研究的需要,刘维尔在18361月创办《纯粹与应用数学杂志》(Journal de matématiques pures et appliquées),并亲自主持了前39卷的编辑出版工作(1辑,120卷,18361855年;第2辑,119卷,18561874).该杂志刊登纯粹、应用数学领域所有分支的论文,记录了19世纪中期的40年里数学活动的一部分重要内容,被后人称为《刘维尔杂志》(Liouvilles Journal)

  刘维尔不仅与当时一些重要的数学家保持着密切联系并定期发表他们的成果,而且热心地对年轻学者进行指导,为他们发表著作提供机会.最值得一提的当属他编辑发表E.伽罗瓦(Galois)的文章.18325月,伽罗瓦在决斗中被杀,刘维尔整理了他的部分遗稿并刊登在1846年的《纯粹与应用数学杂志》上,他在代牧方面的独创性工作才得以为世人所知.

  1838年,刘维尔接替马蒂厄成为综合工科学校的分析与力学课教席,一直工作到1851年他转入法兰西学院任数学教席为止.18396月和1840年,他又先后被推举为巴黎科学院天文学部委员和标准计量局成员,定期参与这两方面的活动.

  刘维尔的学术活动在法国革命期间稍有中断.1848423日,他入选立宪会议,是默尔特行政区的代表之一,次年5月竞选议员失败,他的政治活动遂告结束.

  1851年来到法兰西学院后,刘维尔的教学工作相当自由,有更多的时间展开自己的研究工作,广泛与他人探讨.他在此职位上一直工作到1879年.不过从1874年他退出《纯粹与应用数学杂志》的编辑工作后,便不再发表著作,也很少参与法国学术界的活动了.

  刘维尔一生勤于学术工作,生活淡泊宁静,每年都要回到家乡土尔的旧居休假.他在1830年与表亲玛丽-路易丝·巴朗(MarieLouise Balland)结婚,生有三女一子.

  刘维尔的主要学术成就如下.

  1.函数论

  刘维尔认真研究了GW.莱布尼茨(Leibniz)、约翰·伯努利(Johann Bernoulli)L.欧拉(Euler)的著作.他在早期工作中尽可能地扩展微分和积分的概念,尤其是建立任意阶导数的理论.他绘出如下公式:

  这里μ为复数时亦成立.在证明了任意函数f(x)均可展为指数级数

  之后,他定义f的μ阶导数如下:

  应用这个定义,刘维尔处理了初等函数的指数级数展开式及其任意阶导数.例如,他给出

  其导数为

  尽管这些定义与方法并不具普遍的适用性,函数的展开式也未必总是收敛,但这是走向泛函分析的早期努力之一,表明了刘维尔处理当时分析学的精湛技巧.

  1832127日和187324日,刘维尔先后向巴黎科学院提交两篇论文,对代数函数和超越函数进行了分类,以此整理NH.阿贝尔(Abel)PS.拉普拉斯(Laplace)等人关于椭圆积分的表示和有理函数的理论,在此基础上,他于1834年给出了初等函数的分类:

  有限个复变量的代数函数为第0类初等函数;ezlogz为第1类初等函数;二者合称为最多第1类初等函数.若已定义最多第n-1类初等函数,则它与最多第1类初等函数的复合称最多第n类初等函数.是最多第n类而非最多第n-1类的初等函数称第n类初等函数.

  初等函数的积分在何条件下仍为初等函数,也是他着重讨论的问题.

  刘维尔涉足科学领域之际,由阿阿尔和C.雅可比(Jacobi)所建立的椭圆函数理论正处于蓬勃发展时期.184412月,刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从雅可比的定理(单变量单值亚纯函数的周期个数不多于2,周期之比为非实数)出发,建立双周期椭圆函数的一套完整理论体系.这是对椭圆函数论的一个较大贡献.围绕双周期性,刘维尔展示了椭圆函数的实质性质,提出如下定理:

  刘维尔第1定理 在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数;

  刘维尔第2定理 椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处残数之和为0

  刘维尔第3定理 n阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值n次;

  刘维尔第4定理 在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期.

  后来,到巴黎访问的两位德国数学家CW.博尔夏特(Borchardt)F.约赫姆塔尔(Joachimsthal)向刘维尔详细请教了他的工作情况,而18501851年刘维尔在法兰西学院讲授的双周期函数课程,也在CA.布里奥(Briot)J.-C.布凯(Bouquet)所著《双周期函数论》(Théorie des fonctions doublementpériodiques1859)一书中得到系统介绍.因此,尽管刘维尔的有关结论很少发表,仍能在法国内外迅速传播并产生影响,双周期函数的讲义后来发表在1880年第88卷的德国《纯粹与应用

  2.微分方程与积分方程

  19世纪,随着各种曲线坐标系的引入和新的函数类如贝塞尔(Bessel)函数、勒让德(Legendre)多项式等作为常微分方程的特征函数而兴起,确定带边界条件的常微分方程的特征值与特征函数,便成为日益突出的重要问题.刘维尔和他的朋友、力学教授C.斯图姆(Sturm)30年代同时钻研了这类问题.

  他们考虑由变密度棒的热传导过程引出的二阶常微分方程:

  (k(x)V(x))+(g(x)r-l(x))V(x)=0x(ab)

  k(a)V(a)-hV(a)=0

  k(b)V(b)+HV(b)=0

  其中k(x)g(x)l(x)是正值函数,hH为非负常数,r为参数.

  刘维尔采用逐次逼近法表达其解:

……

   

  这样,就得到了关于微分方程解的存在性的第一条定理,它发表在183831期的《纯粹与应用数学杂志》上.逐次逼近法成为求解常微分方程的一种典型方法,上述边值问题则被称为斯图姆-刘维尔问题.

  随后,两人着眼于更一般的二阶微分方程

  其中LMNx的连续函数,λ是参数,它可以改写成

  他们证明了下列基本结果:

  (1)仅当λ取递增到+∞的正数序列{λn}的任一值时,原问题才有解;

 

  dx=1加以规范化;

 

  VmVndx=0mn

  后来,在法兰西学院的教学中,刘维尔又引入了伴随边值条件(adjoint boundary values)的概念,将斯图姆-刘维尔理论尤其是斯图姆关于特征函数的有关结论推广到非自伴随高阶方程上刘维尔在扩展导数定义时,除了将被导函数先展开为指数级烽,还利用过拉痖拉斯积发展开式的方法:

  在证明了

  等几个重要公式后,刘维尔展开了如何用其解决几何、力学问题中产生的积分方程:把积分方程变成求导问题,最后得到的微分方程是可解的。

  
程,被D希尔伯特(Hilbert)称为第一类积分方程

  在斯图姆-刘维尔理论中涉及的则是另一种不同类型的方程,即希尔伯特第二类积分方程。它有如下形式:

  通过解积分方程得到微分方程的解,这是斯图姆-刘维尔理论最有意义的一点.而微分方程与积分方程之间的内在联系通过刘维尔的上述努力也愈加清晰了.

  1845年底,刘维尔在《纯粹与应用数学杂志》上发表短篇注记“一类函数的一种一般性质”(Sur une propriété génerale duneclasse de fonctions),研究了特征值方程

Dl(x)T(xx)λ(x)dx=mλ(x)

  其中l为定义于Rn子集D上的实值函数,TD×D上的对称多项式.注记中证明了两条定理:

  (1)λ1,λ2是对应于互异特征值m1m2的特征函数(即原方程的解),则成立正交关系:

Dl(x)λ1(x)λ2(x)dx=0

  (2)l恒正,则所有特征值均为实数.

   进一步,刘维尔还指出了利用正交关系将任意函数展成傅里叶级数的可能性.虽然这些结论不如后来希尔伯特、E.施密特(Schmidt)等人的结果那样深刻,却表明了刘维尔最早意识到这类积分方程的重要性,并在积分方程理论研究工作由特殊走向一般的过程中迈出了第一步.

  3.数论

  刘维尔对数论问题产生兴趣是由费马大定理开始的.1840年,他将费马问题作了转化,证明方程unvn=wn的不可解性意味着x2n-y2n=2xn的不可解性.

  在刘维尔之前,代数数与超越数的区别已经非常清楚了,但超越数的存在性问题迟迟没有结果,ee2,π及π2等无理数究竟是否为超越数也一直吸引着数学家们的注意力.1840年,刘维尔证明了e不是任何二次或四次多项式方程的根,接着又试图采取JL.拉格朗日(Lagrange)的方法,用连分数逼近多项式的根,来证明e的超越性.这一尝试未能奏效,然而他从中意识到,若不可约有理数p/qn次代数无理数x的近似值,则存在正数C,使得

 
 
自然数K均有解p/q,则x是超越数.刘维尔于1844年证明了形如
数”.至此,超越数的存在性问题得到了解决.

  1856年开始,刘维尔放弃了在其他方面几乎所有的数学研究,而把精力投入到数论领域.10年间,他在《纯粹与应用数学杂志》上发表了18篇系列注记和近200篇短篇注记,前者未加证明地给出了许多一般公式,为解析数论的形成奠定了基础,后者则个别地讨论了素数性质和整数表示为二次型的方法等特殊问题.

  4.其他

  1836年,刘维尔与斯图姆共同给出了关于代数方程虚根数目的柯西定理的证明;次年,他又用不同于阿贝尔的方法,解决了二元代数方程组的消元问题.这些都被JA.塞雷(Serret)收入了他编写的《高等代数教程》(Cours dAlgèbre superieure)4(1877),得以在法国的学校中广泛传播.

  为了发表伽罗瓦的著作,刘维尔从18431846年对其手稿进行了彻底的研究.在他为伽罗瓦的著作发表所写的导言中,对伽罗瓦的工作给予了高度评价.他还邀请包括塞雷在内的一些朋友,参加关于伽罗瓦工作的系列演讲.因此可以说,刘维尔间接地推动了近世代数学和群论的发展.

  在几何学方面,刘维尔于1841年和1844年用消去理论证明并推广了M.沙勒(Chasles)建立的曲线和曲面的度量性质,还发现一种新方法,以确定任意椭圆曲面的测地线,这是雅可比在研究双曲超越数时引出的问题.1850年他负责出版了G.蒙日(Monge)的著作《分析在几何中的应用》(Application de lanalyse àla géométrie)5版,在书末附上了C F.高斯(Gauss)的名著“关于曲面的一般研究”(Disquisitiones generales circa superficies curvas)和他本人写的7篇注记.这些注记涉及曲线及其相对曲率和测地曲率、测地线方程、总曲率概念等.

  刘维尔还有少量文章涉及热理论、电学、天体力学和理论力学等问题.