狄利克雷

中国科学院数学研究所 袁向东

 

  狄利克雷,PGL(DirichletPeter Gustav Lejeune)1805213日生于德国迪伦;185955日卒于格丁根.数学.

  狄利克雷生活的时代,德国的数学正经历着以CP.高斯(Gauss)为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期.狄利克雷以其出色的数学教学才能,以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果,成为高斯之后与CGJ.雅可比(Jacobi)齐名的德国数学界的一位核心人物.

  狄利克雷出身于行政官员家庭,他父亲是一名邮政局长.狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣,据说他在12岁前就自攒零用钱购买数学图书.1817年入波恩的一所中学,除数学外,他对近代史有特殊爱好;人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生.两年后,他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校,在那里曾从师物理学家G.欧姆(Ohm),学到了必要的物理学基础知识.

  16岁通过中学毕业考试后,父母希望他攻读法律,但狄利克雷已选定数学为其终身职业.当时的德国数学界,除高斯一人名噪欧洲外,普遍水平较低;又因高斯不喜好教学,于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学,那里有一批灿如明星的数学家,诸如PS.拉普拉斯(Laplace)A.勒让德(Legendre)J.傅里叶(Fourier)S.泊松(Poisson)S.拉克鲁瓦(Lacroix)JB.比奥(Biot)等等.

  18225月,狄利克雷到达巴黎,选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读;其间因患轻度天花影响了听课,幸好时间不长.1823年夏,他被选中担任M.法伊(Fay)将军的孩子们的家庭教师.法伊是拿破仑时代的英雄,时任国民议会反对派的领袖.狄利克雷担任此职,不仅收入颇丰,而且受到视如家人的善待,还结识了许多法国知识界的名流.其中,他对数学家傅里叶尤为尊敬,受其在三角级数和数学物理方面工作的影响颇深.另一方面,狄利克雷从未放弃对高斯1801年出版的数论名著《算术研究》(Dispui-sitiones arithmeticae)的钻研.据传他即使在旅途中也总是随身携带此书,形影不离.当时还没有其他数学家能完全理解高斯的这部书,狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人.可以说,高斯和傅里叶是对狄利克雷学术研究影响最大的两位数学前辈.

  1825年,狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文,题为“某些五次不定方程的不可解”(Mémoire sur L'impossibilite de quelques équations indéterminées du cinquieme degré).他利用代数数论方法讨论形如x5+y5=A·z5的方程.几周后,勒让德利用该文中的方法证明了xn+yn=znn=5时无整数解;狄利克雷本人不久也独立证明出同一结论.(后来狄利克雷再次研究费马大定理时,证明n=14时该方程无整数解.)

  182511月,法伊将军去世.1826年,狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A.洪堡(von Humboldt)的影响下,返回德国,在布雷斯劳大学获讲师资格(他在法国未攻读博士学位,而由科隆大学授予他荣誉博士头衔,这是获讲师资格的必要条件),后升任编外教授(extraordinary professor,为介于正式教授和讲师之间的职称)

  1828年,狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林,任教于柏林军事学院.同年,他又被聘为柏林大学编外教授(后升为正式教授),开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯.由于他讲课清晰,思想深邃,为人谦逊,谆谆善诱,培养了一批优秀数学家,对德国在19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响.1831年,狄利克雷成为柏林科学院院士.同年,他和哲学家M.门德尔松(Mende1ssohn)的外孙女丽贝卡·门德尔松-巴托尔特(Rebecca Mendelssohn-Bartholdy)结婚.

  1855年高斯去世,狄利克雷被选定作为高斯的继任到格丁根大学任教.与在柏林繁重的教学任务相比,他很欣赏在格丁根有更多自由支配的时间从事研究(这一时期主要从事一般力学的研究).可惜美景不长,1858年夏他去瑞士蒙特勒开会,作纪念高斯的演讲,在那里突发心脏病.狄利克雷虽平安返回了格丁根,但在病中遭夫人中风身亡的打击,病情加重,于1859年春与世长辞.  

  狄利克雷的主要科学工作如下.

  数论

  狄利克雷在柏林的早期数论工作,集中在改进高斯在《算术研究》及其他数论文章中的证明或表述方式.如高斯给出的二次互反律的第一个证明相当烦琐,需对8种情形作分别的处理;狄利克雷简化了这一证明,把全部情形归结为2种.其后,他在高斯的理论中引入了一些更深入的问题和结果.如为解二元型理论中的某些困难问题,他开始讨论三元型的课题,提出了一个富有成果的新领域.1837727日,狄利克雷在柏林科学院会议上,提交了对勒让德的一个猜想的解答,他证明任一形如

an+bn=012,…

  的算术级数,若ab互素,则它含有无穷多个素数(即算术级数的素
是复数)和二元二次型类数的计算等分析学工具和方法,成为解析数论的开创性工作.

  1842年,狄利克雷开始研究具有高斯系数的型,首次运用了“盒子原理”——若将多于n个的物体放入n个盒子,则至少有一个盒子含有多于一个的物体,它在现代数论的许多论证中起重要作用.1846年,他在属于代数数论的单元理论的文章“复单元理论(Zur Theorie der complexen Einheiten)中,获得了一个漂亮而完整的结果,现称狄利克雷单元定理:对由一个不可约方程及其r个实根和s对复根定义的代数数域 K=Q(α),一切单元构成的阿贝尔群的秩为r+s-1,其有限阶元部分由域中单位根组成.

  1863年,狄利克雷的《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlen-theorie)由他的学生和朋友R.戴德金(Dedekind)编辑出版,这份讲义不仅是对高斯《算术研究》的最好注释,而且融进了他在数论方面的许多精心创造,之后多次再版,成为数论经典之一.

  分析狄利克雷是19世纪分析学严格化的倡导者之一.1829年,他在克雷尔(Crell)杂志发表了他最著名的一篇文章“关于三角级数的收敛性”(Sur la convergence des séries trigonométri-ques).该文是在傅里叶有关热传导理论的影响下写成的,讨论任意函数展成形如

1/2a0+(a1cosx+b1sinx)+(a2cos2x+b2sin2x)+

  的三角级数(现称傅里叶级数)及其收敛性.早在18世纪,D.伯努利(Bernoulli)L.欧拉(Euler)就曾在研究弦振动问题时考察过这类级数.傅里叶在19世纪初用它讨论热传导现象,但未虑及其收敛性.AL.柯西(Cauchy)1823年开始考虑它的收敛问题.狄利克雷在文中指出柯西的推理不严格,其结论也不能涵盖某些已知其收敛性的级数.他进而考虑形式上对应于给定函数f(x)的三角级数的前n项的和,检验它跟f(x)的差是否趋于零,后成为判断级数收敛的经典方法.狄利克雷证明:若f(x)是周期为2π的周期函数,在-π<x dx有限,则在f(x)所有的连续点处,其傅里叶级数收敛到f(x),在函数的跳跃点处,它收敛于函数左右极限值的算术平均.这是第一个严格证明了的有关傅里叶级数收敛的充分条件,开始了三角级数理论的精密研究.

  1837年,狄利克雷再次回到上述课题,发表题为“用正弦和余弦级tionen durch Sinus-und Cosinusreihen)的文章,其中扩展了当时普遍采用的函数概念(即由数学符号及运算组成的表达式为函数的概念),引入了现代的函数概念:若变量y以如下方式与变量x相关联,即只要给x指定一个值,按一个规则可确定唯一的y值,则称y是独立变量x的函数.为说明该规则具有完全任意的性质,狄利克雷举出了“性状极怪”的函数实例:当x为有理数时,y=c;当x为无理数时,y=dc 现称狄利克雷函数).但狄利克雷的连续函数概念仍是直观的,并根据等距取函数值求和的方法定义其积分.在此基础上,狄利克雷建立了傅里叶级数的理论.

  数学物理

  1839年,狄利克雷发表了3篇涉及力学的数学论文,讨论多重积分估值的方法,用于确定椭球体对其内部或外部任意质点的引力,开始了他对数学物理问题的研究.这方面最重要的文章发表于1850年,提出了研究拉普拉斯方程的边值问题(现称狄利克雷问题或第一边值问题):求满足偏微分方程

  的位势函数V(xyz),使它在球面边界上取给定的值.这一类型的问题在热力学和电动力学中特别重要,也是数理方程研究中的基本课题.狄利克雷本人曾用所谓的狄利克雷原理给出了问题的解.1852年,他讨论球在不可压缩流体中的运动,得到流体动力学方程的第一个精确解.