雅可比

中国科学院数学研究所 井竹君

  雅可比,CGJ(Jacobi Carl Gustar Jacob)18041210日生于德国波茨坦;1851218日卒于柏林.数学.

  雅可比是犹太银行家西蒙·雅可比(Simon Jacobi)和他的妻子莱曼(Lehmann)的第二个儿子.雅可比有一个长他三岁的哥哥莫里茨(Moritz),后来在彼得堡成为著名的物理学家.弟弟爱德华(Eduard)在其父去世后掌管了银行.他还有个妹妹雷泽(Therese)

  雅可比自幼聪敏,幼年随他舅舅学习拉丁文和数学.181611月进入波茨坦大学预科学习.1821年春毕业.当时他的希腊语、拉丁语和历史的成绩都很优异;尤其在数学方面,他掌握的知识远远超过学校所教授的内容.他还自学了L.欧拉(Euler)的《无穷小分析引论》(Introductioin analvsin infinitorum),并且试图解五次代数方程.

  18214月雅可比入柏林大学.开始两年的学习生活,他对哲学、古典文学和数学都颇有兴趣.该校的校长评价说,从一开始,雅可比就显示出他是一个“全才”.像CF.高斯(Gauss)一样,要不是数学强烈地吸引着他,他很可能在语言学上取得很高成就.雅可比最后还是决定全力投身于数学.18258月,他获得柏林大学理学博士学位.之后,留校任教.1825年到1826年冬季,他主讲关于三维空间曲线和曲面的解析理论课程.年仅21岁的雅可比善于将目己的新观点贯穿在教学之中,启发学生独立思考,是当时最吸引人的数学教师.他的成功引起普鲁士教育部的注意.

  18265月,雅可比到柯尼斯堡大学任教.在那里他结识了物理学家F.诺伊曼(Neumann)H.多费(Dove)、数学家F.贝塞尔(Bessel).一年之后,发表了几篇关于数论中有关互反律(后人称为“雅可比符号的互反律”)的论文,受到高斯的赞赏.由此开始数学创作的黄金时代.182712月获得副教授职位,这次提升与高斯、AM.勒让德(Legendre)对他早期工作的赞扬有关(而高斯不是一个轻易表态的人)1829年发表了他的第一部杰作《椭圆函数理论新基础》(Fundamenta Nova Theoriae Funcctionurn Ellipticaram1829,见《雅可比全集》第一卷).同年夏天雅可比去巴黎旅行,途中访问了在格丁根的高斯,并结识了勒让德、JBJ.傅里叶(Fourier)SD.泊松(Poisson)和其他法国数学家.18327月被提升为教授.在此前一年,即1831911日与玛丽·施温克(Marie Schwinck)结婚,他们生有5个儿子和3个女儿.18427月受普鲁士国王的派遣,和贝塞尔参加在曼彻斯特举行的不列颠科学促进协会(British Associationfor the Advancement of Science)的年会,回国途中在巴黎科学院作了报告.

  在柯尼斯堡大学的18年间,雅可比不知疲倦地工作着,在科学研究和教学上都做出惊人的成绩.他对椭圆函数理论的透彻研究在数学界引起轰动,从而与NH.阿贝尔(Abel)齐名.雅可比在椭圆函数理论、数学分析、数论、几何学、力学方面的主要论文都发表在克雷勒的《纯粹和应用数学》杂志(Crelles Journal fürdie reine und angewardte Mathematik)上,平均每期有三篇雅可比的文章.这使他很快获得国际声誉.他孜孜不倦的研究工作并没有影响他的教学活动.每周要用810小时给学生讲解他喜爱的课程——椭圆函数理论,并将自己的研究精髓教给学生,使学生受到科研的熏陶,打破了常规的教学方法.他还开创了学术讨论班,这在当时数学界还是很新奇的事物.当时,他同数学家贝塞尔、物理学家F.诺伊曼三人成为德国数学复兴的核心.

  1843年初雅可比患了严重的糖尿病.在得到普鲁士国王的捐款之后去意大利休假数月.18446月底回到柏林,开始接受普鲁士国王的津贴,在柏林大学任教,并被选为柏林科学院院士、伦敦皇家学会会员.

  1848年革命期间,由于他在一次即席演讲中得罪了王室而失去津贴.当维也纳大学决定聘请他时,普鲁士当局意识到他的离开将会造成的损失,因而恢复了他的待遇.

  1851年初雅可比在患流行性感冒还未痊愈时,又得了天花,不久去世.他的密友PGL.狄利克雷(Dirichlet)在柏林科学院发表纪念讲话,总结了他在数学上的杰出贡献,称他为JL.拉格朗日(Lagrange)以来科学院成员中最卓越的数学家.

  雅可比最重要的贡献是和挪威数学家NH.阿贝尔(Abel)相互独立地创立和发展了椭圆函数理论;引入并研究了θ函数和其他一些超越函数的性质;大胆地使用复数,发展了复变量椭圆函数.他的第一部杰作《椭圆函数理论新基础》成为该领域的经典著作.该著作的第一部分研究变换问题,第二部分给出椭圆函数的表示.在第一部分中,雅可比从第一类椭圆函数的微分出发,用二次变换将它化简为勒让德的标准
出了三次和五次变换的例子和有关模方程的例子.经组合两个变换,他
圆积分



sinam(iuk)=itan am(uk)

  这里模数kk′满足方程k2+k2=1.这样,他得到椭圆函数的双周期性、零点、极点.他还证明当对第一个模数和第二个模数应用同样变换时模方程的不变性.第一部分工作的最后,他研究了满足所有变换模数的三阶微分方程.

  这著作的第二部分集中研究椭圆函数用无穷级数乘积和傅里叶级数的表示问题.椭圆函数sin amucos amu,△amu的第一种表示是用无

  穷乘积的商形式给出.记q=e-πk/K,雅可比用q来表示模和周期,例如

  椭圆函数还可用傅里叶级数展开式来表示.

  雅可比引进函数

  来讨论第二类椭圆积分.他将第三类椭圆积分化简成第一类和第二类椭圆积分,而第三个超越函数仅依赖于两个变量.他又引入“雅可比函数”

   

   

  公式

  雅可比又将这工作应用于数论.从恒等式

  断,即任何整数可以表示成至少四个整数(零也是整数)的平方和.

  雅可比证明了以e-(an+b)/2为通项的级数的收敛性,这是整个椭圆函数理论发展的基础.

  1829—1830年冬季,雅可比第一次作椭圆函数理论的报告,他强调双周期性是椭圆函数的基本性质.他用θ函数理论来建立椭圆函数理论.1835—1836年,他证明有关四个θ函数乘积之和的著名定理,并且将各类椭圆函数定义为θ函数之商,从而第一个创立了θ函数理论.1839—1840年期间,他继续这些研究,这部分工作收集在《雅可比全集》的第一集、第二集中,包括了对椭圆函数历史的概述.

  关于复变量椭圆函数理论,他研究了超椭圆积分等问题,其中有关双周期函数的论文(1835年)成为现代复变函数理论中的经典著作.他对阿贝尔函数也作过研究,发现了超椭圆函数.

  在椭圆函数理论的整个发展过程中,高斯、勒让德、阿贝尔、雅可比他们对其理论都作过精心研究.阿贝尔和雅可比的许多发现同高斯年青时(1798年)作过的但没有发表的工作(高斯从来不太在乎他的研究论文的发表)相交迭.勒让德自1786年以来用了40年时间对椭圆积分作了系统的研究,并将其分为三类.但阿贝尔和雅可比看到了问题的实质.他们把勒让德的思路颠倒过来,研究椭圆积分的逆,即椭圆函数,这样就大大地简化了整个问题,使得椭圆函数理论迅猛地发展起来.

  椭圆函数理论在19世纪数学领域中占有十分重要的地位.它为发现和改进复变函数理论中的一般定理创造了有利条件.如果没有椭圆函数理论中的一些特例为复变函数理论提供那么多的线索,那么复变函数理论的发展就会慢得多.

  雅可比第一个将椭圆函数理论应用于数论的研究,得到同余式和型理论中的一些结果,这一思想为后继数学家所沿用.他这方面的研究结果是通过J.G.罗森海因(Rosenhain)的听课笔记流传下来的.他还给出元根的“标准算法”,该文章于1839年发表.

  雅可比研究工作的特点是将不同的数学分支联系起来.他将椭圆函数理论用于积分理论、微分方程理论,其中尾乘式原理就是他提出的.他又将椭圆函数理论用于动力学和分析力学,创立了哈密顿-雅可比方程.他寻找最一般的代换,得到哈密顿-雅可比方程积分的新理论.这一方法解决了力学和天文学中一些十分重要的问题,并使微分方程的研究进入一个新的发展时期.后来,A.克莱布什(Clebsch)改进了雅可比的工作;10年之后 H.L.F.亥姆霍兹(Helmholcz)把雅可比的力学原理全部用到一般物理学中.

  雅可比对行列式理论也做了奠基性的工作.1841年初他系统地研究了行列式理论,推广了代数行列式的应用,建立了函数行列式(后来称之为雅可比行列式),并将其应用到函数组的相关性、多重积分的变量变换和偏微分方程的研究中.

  有关一阶偏微分方程和分析力学的大部分研究工作是他去世之后以“动力学讲义”(Vorlesungen über Dynamik)为题发表的(1866年由克莱布什发表).

  雅可比在数学物理方面也做过实质性的贡献.他将椭圆函数理论应用于椭球吸引力的研究和有关旋转流体物质结构理论研究中.C.麦克劳林(Maclanrin)、J.R.达朗贝尔(d′Alembert)、P.S拉普拉斯(Laplace)和J.L.拉格朗日(Lagrange)证明当均匀流体取旋转椭球形状且绕固定轴均匀旋转时,其形状不会改变.而雅可比发现即使流体形状是一般椭球体时,也满足平衡条件.

  雅可比对数学史的研究也感兴趣.1846年1月作过关于R笛卡儿(Descartes)的通俗演讲,对古希腊数学也作过研究和评论.1840年他制订了出版欧拉著作的计划(因欧拉的孙子发现欧拉有许多文章未发表).

  有趣的是雅可比关于椭圆函数理论的研究工作同他强大的竞争者阿贝尔的工作保持着平行,他们独立地创立了椭圆函数理论.同时,雅可比有一颗高贵没有偏见的心灵.由于具有慷慨的天性,他毫不妒忌地赞扬了阿贝尔有关证明不能用代数方法得到一般五次方程的解的结果,尽管他对此问题作过探讨而未能得到这样的结论.

  雅可比在数学和其他学科的许多领域中辛勤地工作过,是数学史上最勤奋的学者之一.他和欧拉对待数学创作具有同样的态度,两者都是多产的作者.就处理繁复的代数问题能力而言,除了20世纪印度数学天才S.拉马努金(Ramanujan)以外,他们两人是无人可匹敌的.他们俩在处理确定问题时都能从巨大的数学方法兵工厂中找到能够解决问题的最好武器.欧拉在纯粹和应用数学之间花费的时间几乎相等,而雅可比更倾向于研究它们内在有关的数学问题.他所理解的数学,有一种强烈的柏拉图(Platonic)格调.

  现代数学中的许多定理、公式和函数恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式以及许多数学符号都冠以雅可比的名字,可见雅可比的成就对后人影响之深.1881—1891年普鲁士科学院陆续出版了由C.W.博尔夏特(Borchardt)等人编辑的七卷《雅可比全集》和增补集,这是雅可比留给世界数学界的珍贵遗产.