普吕克

徐州师范学院 侯德润

  普吕克,J(PlückerJulius)1801616日生于德国埃尔伯菲(Elberfeld)1868522日卒于波恩(Bonn).数学、物理学.

  普吕克出身于亚琛(Aachen)的一个商人家庭.青年时代毕业于杜塞尔多夫(Düsseldorf)地方的大学预科,以后曾到波恩、海德堡、柏林和巴黎等地的大学学习.1824年从马堡(Mar-burg)大学获得博士学位.1825年在波恩大学担任讲师.1828年被提升为特别教授.1833年在柏林任特别教授,同时担任弗里德里希·威廉(Friedrich Wilhelm)高级文科中学的教师.1834年在哈雷(Halle)大学任数学教授,以后又继 K.明休(von Miün-chow)之任,在波恩任数学(18361847)

  虽然普吕克接受初等教育是在他的祖国,但他却从法国和英国的科学中汲取了很多营养.他是一位几何学家,但却把他一生中的很多年代奉献给了物理科学.当他刚开始研究数学时,德国只有一位享有国际盛誉的数学家,他就是CF.高斯(Gauss)1826年起通过 AL.克雷尔(Crelle)在柏林创办的《纯粹与应用数学杂志》(Journal für die reine und angewandte Mathe-matik),使得普吕克、J.斯坦纳(Steiner)等人通过他们在解析几何和射影几何方面的工作很快驰名于世,他们的研究领域不是G.蒙日(Monge)和高斯的微分几何,而是属于JV.庞斯列(Poncelet)JD.热尔岗(Gergonne)一派的.但是普吕克的解析学派和柏林的以斯坦纳为首的综合学派之间又产生了分歧,再加上这两个人之间的个人倾轧,结果导致普吕克在柏林只住了一年就离去.

  1828年,普吕克出版了他的第一本书——《解析几何的发展》(Analytisch-geometrische Enlwicklungen)的第一卷,1831年又出了第二卷.在每一卷中他讨论了以直线、圆和圆锥曲线为研究内容的平面解析几何.他用一种漂亮的方式论证了许多定理和结论.在这两卷中所用到的点坐标是非齐次仿射坐标,在第二卷中使用了平面上的齐次直线坐标,以前常被叫做普吕克坐标.圆锥曲线被当作直线的包络来看待.这一著作反映出普吕克解析几何的特点,这就是,对于出现在圆锥曲线和它们的束的方程中的代数符号所进行的运算是很漂亮的.他能够不用消去法而得到几何结果.除去LO.黑塞(Hesse)以外,只有他才能如此出色地使用代数方法.普吕克在第一卷中对不同阶数的互相密切的圆锥曲线的处理方法也令人注目.

  1829年,普吕克引入了所谓三线坐标,他从一个固定的三角形出发,任一点P的坐标取为从P到该三角形各边的带正负号的垂直距离,各距
的重心坐标,这是另外一种类型的齐次的点坐标.然而,在普吕克的《解析几何的发展》中,他只使用了非齐次的点坐标.在第二卷的末尾,他详细解释了现在被叫做对偶性原理的互反性原理.在庞斯列和热尔岗的争论中,普吕克倾向于支持庞斯列:他引入对偶性是借助相关配极,而不是使用更现代化的一般原理(如同热尔岗所做的那样).因此,普吕克的工作可看作是在KGC.斯陶特(Staudt)建立的纯射影几何之前的过渡阶段.

  1832年以后,普吕克感兴趣的是对高于二次的高次平面曲线的一般处理.虽然他在下一本书《解析几何的体系,尤其是关于三次曲线理论的详尽描述》(System der analytischen Geometrieinsbesondere eine aus
理圆锥曲线的一般(或射影)点的线坐标,但是这本书的大部分包含了平面三次曲线.普吕克对这些曲线的考虑是从下列由庞斯列提出的定理开始的:一条三次曲线的三条渐近线与曲线相交的三个有限点位于一条直线上.用解析的方法说明这条定理,它等价于把曲线方程写成pqr+λs3=0(pqrs,为线性形式)的可能性.一条三次曲线由四条具有方程p=0q=0r=0s=0的线以及曲线上的一个点来确定.普吕克给出了这样确定的三次曲线的作图法.一种基于这些作图法的实的仿射分类导致219种不同的类型.

  普吕克还写出了《代数曲线论》(Theorie der algebraischenKurven1839)一书.该书的大部分是用于研究代数曲线在它们的无穷远点邻域内的性质.他不仅考虑渐近线,同时还考虑渐近的圆锥曲线和其他与给定的三次曲线在一定次数上切触的曲线.对于渐近线,他更正了L.欧拉(Euler)在《无穷小分析引论》(Introductio in analysin infinitorum1748)一书中的某些错误.

  尽管射影几何和双有理几何逐渐占有主导地位使人们对研究曲线在无穷远处的状况的兴趣有所削弱,但是《代数曲线论》的第二部分却具有永恒的价值.它包含对在平面内的奇点的新的处理方法,这是一个曾经在G.克莱姆(Cramer)1750年著作中讨论过的关于曲线论的主题.普吕克的著作还解决了几个庞斯列和热尔岗的著作中涉及到曲线的阶和类之间关系的疑点.

  在他1839年的著作中,普吕克证明了下列著名公式,它们通常被称之为“普吕克公式”:

k=n(n-1)-2d-3sn=k(k-1)-2δ-3σ,

σ=3n(n-2)-6d-8ss=3k(k-2)-6δ-8σ.

  这里n为曲线的阶数,k为曲线的类数;作为这条曲线的奇点,它有d个二重点和s个尖点;作为对偶的线曲线的奇点,它有δ个二重切线和σ个拐点.所以一条没有奇点的三次曲线包含九个拐点,而普吕克发现了能够是实的拐点或者是一个,或者是三个.如果三个拐点都是实的,则它们必定在一条直线上.如果把虚的拐点也算在内,则根据前人已经证得的结果,通过任意两个拐点的一条直线上,必定存在第三个拐点.普吕克以一种不完全的推理,证
了普吕克的证明,并且指出这12条线可以分成4个三角形.在《代数曲线几何》(Geometrie der algebraischen Ku-rven)的最后一章中,普吕克讨论了平面二次曲线以及它们可能的奇点的详尽的分类.一条拥有28条二重切线的非奇异二次曲线是他在这些曲线理论中所讨论的中心问题.

  虽然普吕克处理四次曲线的方法以及他关于它们的构形的定理是错误的(以后由黑塞纠正了他的错误),但是普吕克有一种清晰的洞察力,他依靠这种洞察力对过去使他的前辈们感到困惑的所谓克莱姆悖论及其推广给予了一个清楚的解释.这一悖论的重要之点是两条 n(3)
公共点的n次曲线.F.塞韦里(Severi)在他的关于枚举几何的著作中,强调了所谓普吕克-克莱布什(Clebsch)原理,他把这一原理表述成如下形式:如果一组依赖于某些常数的代数方程一般地没有公共解——除非这些常数满足一定的条件——那么后一种情形的这个方程组不但有一个解,而且有无穷多个解.

  1829年,普吕克独立于 E.鲍伯利尔(Bobillier),把以前只是对圆锥曲线来说才有的配极的概念扩充到所有的平面代数曲线.他还研究过代数曲线的焦点问题,两个曲面的密切以及波面问题,这样他就涉及到了代数的和解析的空间几何.这一方面的问题也在《空间几何的新的分析处理方法体系》(System der Geo-metrie des Raumes in neuer analytischer Behandlungsweise1846)一书中被讨论过.在这本书里,他用一种漂亮的方法处理了解析几何中的已经知道了的事实.然而,他本人在这本书中的贡献不如他的更早的著作那样重要.

  1846年以后,普吕克放弃了他的数学研究而去进行物理实验.一直到1864年才又回到了他在几何方面的工作.在这个第二阶段中,他把他的数学成就发表在《以直线作为空间元素建立的新空间几何学》(Neue Geometrie des Raumesgegründet anfdie Betrachtung der Geraden als Raumelemen)一书中.该书出版于普吕克去世的那一年,但只有第一部分.第二部分由当过普吕克物理助教的F.克莱因(Klein)完成.普吕克曾经在和克莱因的多次交谈中提到过他的计划.克莱因就是根据普吕克的这些谈话才把这本书写完的.在这本书中,普吕克试图把空间几何置于把自对偶直线作为元素的基础上,而不是置于把点作为元素或者按对偶的方式把平面作为元素的基础上.这样一来,他就创造了线几何这个领域,一直到20世纪,这种几何都是许多研究的主题.

  普吕克在线几何方面的工作和几个在他之前的工作有关,这些工作是:已经由A.凯莱(Cayley)讨论过的空间中六线坐标的概念以及与有理正规曲线相交的线的线丛的概念;L.普安索(Poinsot)和麦比乌斯关于力的系统的研究和线几何紧密相关;由蒙日进行的关于曲面的法线系统的研究,以及后来又由WR.哈密顿(Hamilton)推广的∞2条射线的微分几何.

  在这些发展的基础上,普吕克对线几何的系统研究创建了几何学的一个新领域.他按照对偶的方式引入了六个齐次的线坐标Pij,现在被称为“普吕克坐标”,在它们之间存在一个二次关系Q4(Pij)=0.克莱因和C.塞格雷(Segre)继续进行这方面的研究。把R3中的线几何解释为P5的二次曲面Q4上的点几何.但是这个发展,以及被解释为格拉斯曼簇Gnk上的点几何(SnSk几何的进一步一般化)却没有被普吕克预见到,他把他的工作限制在普通空间的范围内,并且在那里构想出一种以线为元素的四维几何.

  普吕克的代数线几何和哈密顿所创造的微分线几何是截然不同的.普吕克引入了三维、二维或一维的直线的子集的线丛、线汇以及直纹曲面的概念.这些概念直到现在还被使用.他还对线性线丛和线汇进行分类,并且开始了对二次线丛的研究,这里的二次线丛是用普吕克坐标中的二次关系来定义的.(线丛曲面是四阶和四类曲面,并且是由属于和一条给定直线相交的二次线丛的直线的全体构成的.)在以后的许多年代中,这些线丛都是被研究的主题,这些研究是以1868年克莱因的博士论文开始的,在《新几何学》一书中,普吕克仍然采用度量的观点,这种观点导致广泛的计算和对特殊情形的研究.在这个时期中,通过他所制造出来的许多模型,可以明显地看出他对几何形状和细节方面的兴趣.

  普吕克是波恩大学的数学和物理学教授.据说他经常希望让其他的物理学家们知道,他在这两个领域内都是有能力的.特别值得注意的是,他从事研究的是实验的而不是理论的物理.克莱布什在他的著名的关于普吕克的悼辞中,将普吕克的数学的和他的物理见解中的几个关系统一起来.在几何方面,他希望描述三次曲线和其他图形的不同形状,而在物理学方面,他力图更加定性地描述不同的物理现象.但是在这两种情形中,他都从来没有用现代科学的那种公理化的、演绎的模式进行研究.

  普吕克在物理学方面的引路人是M.法拉第(Faraday),他和后者通信.虽然他的1839年的关于波面的论文以及1847年的关于光在二次曲面中的反射的论文既涉及到理论物理,又涉及到数学,可是通常都把它们计算在他的41篇数学论文当中.普吕克还撰写过59篇关于纯粹物理方面的论文,首次发表在《物理化学年鉴》(Annalen der Physik und Chemie)和《皇家学会会报》(Philosophical Transactions of the Royal Society)中.他研究过气体和晶体的磁性性质,以后又研究过稀薄气体中的放电现象,还在波恩和H.盖斯勒(Geissler)合制了一个标准温度计.普吕克依靠他的学生JW.希托夫(Hittorf)的化学经验来研究气态物质的光谱,通过对这些物质的不同光谱的考察,他认清了它们对化学分析的重要性.

  1847年,普吕克开始研究晶体在磁场中的性能.1858年,他借助盖斯勒管(一种带有熔融电极的抽空玻璃管)看到了阴极射线,并对之进行初步探索.后来,希托夫等人对阴极射线作了进一步的研究.他们的研究成果,对于原子物理学和电学具有极其重大的意义,并为电子管和气体放电管的发展奠定了基础.普吕克是第一个看见氢的三条光谱线的人.他的这一发现先于RW.本森(Bunsen)GR.基尔霍夫(Kirchhoff)在海德堡(Hei-delberg)的著名实验.虽然普吕克的成就在德国没有得到承认,可是英国的科学家们却比他的同胞们更能正确评价他的工作,并且在1868年授予他柯勃莱(Copley)奖章.