施泰纳

杭州大学 方茂炽

  施泰纳,J(SteinerJakob)1796318日生于瑞士伯尔尼乌岑斯多夫;186341日卒于德国柏林.数学.

  施泰纳的父亲尼克劳斯·施泰纳(Niklaus Steiner)是个小农兼小店主,母亲名叫安娜·巴巴拉·韦伯(Anna Barbara We-ber).他们共有8个孩子,施泰纳是最小的一个.在这个家族里,除施泰纳外,还有他的甥外孙KF.盖泽尔(Geiser)也是个数学家.

  施泰纳从小就和他的哥哥姐姐一样,要在农田和小店里帮助父母亲干活,未能进学校读书,直到14岁还没有学过写字.不过他很早就有口算的本领,这帮了父母亲很大的忙.由于渴望学习,1814年春天他离开家乡来到瑞士西南部的城市伊弗东.他在JH.佩斯塔洛齐(Pestalozzi)的学校里既当学生又当教师.在那里,佩斯塔洛齐主张与学生“对话”的教学改革思想对施泰纳产生了很大的影响.“对话”教学方法就是在教师的引导下,启发学生自己得出数学结论.施泰纳积极支持这一方法,在自己的教学中身体力行,后来这方法成为他教学工作的主要方法.他在这里进一步发现了自己的数学才能,因为他常常成功地对教材中的定理提出新的证法而被教师采纳,从而使他自信他能够教授数学.在伊弗东的几年可说是施泰纳一生中的一个转折.1826年施泰纳在给普鲁士教育部长的申请书中特别提到这段经历.

  1818年秋,施泰纳离开伊弗东来到海德堡.在那里,他靠做私人教师维持生活,同时继续研习数学,包括微积分和代数.对他影响最大的教师是F.施魏因兹(Schweins),他的关于组合分析的讲义,为施泰纳后来的两篇论文提供了基础.

  施泰纳于1821年复活节来到柏林.为了得到教书的许可证,他不得不参加学院考试.他考得不很成功,因而只领到教数学的有限的许可证.不过总算得到了一个正式的工作,他成为韦尔德尔文科中学的教师.开始时对他的教学反映是很好的,但不久他就与校长不和,终于在1822年秋被解雇.

  被解雇后直至1825年,施泰纳再次靠做私人教师维持生活.182211月到18248月,施泰纳进柏林大学读书.他的同学中有后来成为著名数学家的CGJ.雅可比(Jacobi)1825年他成为柏林师范学校的助理教师,4年后任该校高级教师.

  在柏林期间,施泰纳同NH.阿贝尔(Abel)AL.克雷尔(Crelle)和雅可比友好,他们共同把一种有生气的新潮流注入数学中去.他们的努力得到了由克雷尔所创办的《纯粹与应用数学杂志》(Journal für die reine und angewandte Mathematik)很大的帮助,它后来成为一本著名的杂志,又称克雷尔的杂志.它的第一卷于1826年出版.施泰纳在第一卷上发表了他的一篇重要著作“若干几何考察”(Einige geometrische Betrachtungen)和受佩斯塔洛齐的启发而写成的文章“关于平面和空间分割的若干法则”(Einige Gesetze über die Teilung der Ebene und desRaumes).从此以后,施泰纳在克雷尔的杂志上发表了大量的论文.他还有许多文章发表在JD.热尔岗纳(Gergonne)创办的《数学年刊》(Annales de Maghématiques)上.此外,他在1832年和1833年连续出版了两本著名的书,后面将详细介绍.

  数学上的巨大成就给施泰纳带来了荣誉和地位.1833年施泰纳获得了柯尼斯堡大学名誉博士学位.183475日他荣任普鲁士科学院院士.1834108日,施泰纳被任命为柏林大学特任教授,他保持这一职位直到去世.1853年他成为意大利的林且科学院的通讯院士.18541855年冬天他在巴黎时成为法兰西科学院通讯院士.

  施泰纳脾气暴躁,举止粗鲁,言谈生硬,加上自由主义的政治观点,因此他得罪了不少人.他在韦尔德尔文科中学与校长不和以致被解雇,虽然说法不一,但这可能也是其中的一个原因.后来在柏林师范学校教书时,他再一次遇到了类似的麻烦,受到校长严厉的对待.在学术活动中也暴露出这些缺点.他偏爱综合方法的几何而走向极端,厌恶分析法。他曾威胁说,如果克雷尔继续发表J.普吕克尔(Plücker)的分析学文章,他将停止为克雷尔的杂志投稿.他的“对话”教学法也过于偏激.他教几何不用图,在黑屋子里给研究生上课.他在指导别人时老是喜欢夸耀自己.晚年发表的文章常常把别人的成果和自己的混在一起,而不说明哪些是别人的成果.

  施泰纳终生未婚,死后留下大约90 000瑞士法郎(24 000美元)遗产.他将三分之一的钱赠给柏林学会用来建立以他的名字命名的奖金,又留下750法郎给他出生地的学校,以奖励擅长心算的学生,其余分给他的亲友.

  施泰纳死后留下了大量的手稿.其中部分手稿被编成二卷的《综合几何讲义》(Vorlesungen über synthetische Geometrie)1867年出版.他在生前发表的许多著作,包括18321833年的两本名著,都汇编成二卷本的《施泰纳全集》(Gesammelte Wer-ke).这一全集是由大数学家K.魏尔斯特拉斯(Weierstrass)编辑的,于18811882年出版.他的另一部分手稿于1931年才被编成《关于圆和球的相切和相交的一般理论》(Allgemeine Theo-rie über das Berühren und Schneiden der Kreise und derKugeln)一书出版.还有一些手稿直至1931年也未出版,不过其主要内容基本上可以在“若干几何考察”一文中看到.

  施泰纳的一生处在综合几何由低潮走向复兴,直至又一次鼎盛的时期.自从 R.笛卡儿(Descartes)Pde费马(Fermat)17世纪创建解析几何学以后的100多年间,几何学已由代数和分析的方法占据统治地位.到了19世纪初,一些大数学家深感综合几何学是被不公正地忽视了,因而作出积极的努力来复兴和发展它.这一复兴综合几何的潮流源于法国.第一个给予重要影响的是G.蒙日(Monge),这位对解析几何和微分几何都做出过重要贡献的人,也对综合几何学倾注热情,他激发了他的一批学生对复兴纯粹几何学的强烈愿望.其中有CJ.布里昂雄(Briancho)LNM.卡诺(Carnot)JV.彭赛列(Poncelet)等.此外还有 M.夏斯莱(Chasles)等人.施泰纳则是德国几何学派中推崇综合方法的第一个人.通过他们的努力,19世纪综合几何学得到了蓬勃的发展.欧几里得几何研究取得了许多十分精美的新结果.17世纪萌发的比较零散的射影几何的一些定理终于发展成综合的射影几何学.这些成果直至20世纪上半叶仍是高中和大学的近世几何和射影几何的主要内容.

  施泰纳研究数学有他追求的目标,这就是:所有数学对象的有机的统一.在18261216日他给普鲁士教育部长的要求教书的申请书中写道:“除了我熟悉和期望它之外,我继续从事教书的愿望已被力求科学的统一和和谐而加强.正如同一个数学分支中相关的定理出现在不同的章节里一样,我相信数学分支本身也是如此.我瞥见了所有数学对象的有机的统一的理想,这时我相信我能够在某一大学里,即使不是作为一个独立的课题,至少在特殊的形式下发现这个统一.”施泰纳对这一理想是贯彻始终的,而且在综合几何学的工作中部分地实现这一理想.他总是力图从一些简单的元素出发构造出新的复杂的数学结构;或是用一种原理把一些分散的定理统一在一个基础之上;或是用一种方法统一地解决一批问题等等.

  施泰纳在数学上的贡献,首先是他推进了射影几何的综合的发展.1832年他发表了名著《几何形的相互依赖性的系统发展》(Systematische Entwicklung der Abhangigkeit geometrischen Gestalten von einander).在这本书里,施泰纳充分地发挥了他所追求的理想,即从简单的结构建造出更加复杂的结构.但是这本书并没有按原定计划全部发表,有些内容发表在他死后出版的《综合几何讲义》第二卷里.施泰纳在这方面最突出的成就是建立了以他的名字命名的

  射影几何基本定理 二射影相关的线束的对应直线的交点组成一圆锥曲线.其逆亦真.

  用度量的公式表示的这一定理,Jde 维特(Witt)和牛顿实质上已经知道了,然而施泰纳第一个认识到这是射影几何的定理,而且他使它成为圆锥曲线的射影处理的基石.

  施泰纳认为平面几何的基本概念是一直线l上的点ABC,…的全体组成的点列和通过一点P的直线abc,…的全体组成的线束之间的对应关系(1)ABC,…是abc,…与直线l的交点,他称线束和点列之间的这一关系为射影.如果线束P1P3都与直线l射影相关,则线束P1P3也射影相关.又若P2P3射影相关,则线束P1P2亦射影相关(2)

  然后施泰纳证明了他的关于圆的基本定理(3):“一圆上的任意二点P1P2是二射影线束的中心,它们的对应直线相交于圆的其余的点;在点P1P2的反向切线a2b1对应于直线a1b2.”他还给出了这一定理的对偶(4):“一圆的任意二切线l1l2上的点列关于它们被其余切线所截的对应点对是射影相关的;二切线的交点A1B2分别对应于它们与圆的切点A2B1.”

  在这两个定理的基础上,施泰纳把圆推广到圆锥曲线,于是就得到了上述射影几何的基本定理(5)及另一类似的定理(6):“圆锥曲线的任意二切线上的点列关于被其余切线相截的对应点对是射影相关的.其逆亦真.”它实际上是基本定理的对偶.有了这两个定理,就相当于从最基本的点列和线束及其射影关系出发用两种方法构造了圆锥曲线.施泰纳把前者称为点圆锥曲线,后者称为线圆锥曲线.他还以类似的方法进一步构造了直纹的二次曲面,单叶双曲面和双曲抛物面.

  从这些基本定理出发,施泰纳推导出了一批新的射影几何定理;还把一批先前已经知道的定理在这基础上用统一的形式推导出来.

  施泰纳在书中一开始就使用对偶原理.运用对偶原理,又可以把一些以前分别发现似乎没有关联的定理在对偶原理下统一起来.例如17世纪的帕斯卡定理和19世纪的布里昂雄定理就是一组对偶命题,可以十分工整地写成如下的对偶形式:

  帕斯卡定理(7)在点圆锥曲线上任取六个点ABCDEF.若AB的联线与DE的联线相交得一点PBC的联线与EF的联线相交得一点QCD的联线与FA的联线相交得一点R.那么PQR三点在一条线l上.

  布里昂雄定理(8)在线圆锥曲线上任取六条线abcdef.若ab的交点与dc的交点相联得一线pbc的交点与ef的交点相联得一线qcd的交点与fa的交点相联得一线r.那么pqr三线通过同一点L

  施泰纳的工作有其不足之处,如他没有证明他的圆锥曲线就是圆锥截线;用他的射影为基础的方法对射影几何其实是不够普遍的;他也没有建立对偶原理的逻辑基础.但他以他所追求的理想为指导,并把对偶原理普遍化,系统地发展了综合的射影几何学.

  在《系统发展》这本书的附录里,施泰纳增补了85个“问题和定理”.这些问题吸引和鼓励了一批几何学家去探索,其影响所及,直至20世纪.

  施泰纳的另一重大成就在于用纯几何的方法解决极大极小问题上.不用变分法而用纯几何的方法探讨极大极小问题是19世纪数学家们颇有兴趣的主题之一.施泰纳在这方面的主要著作是18401841年冬天在巴黎写成的“关于平面,球面和空间图形的极大和极小”(Ueber
名的

  等周问题的解:在所有周长相等的平面图形中圆的面积最大.其逆亦真.

  这是个看上去简单、直观而又具有基本意义的定理,但用纯几何方法并不容易.施泰纳却给出了五种证明.

  可是施泰纳在证明时无形中假定了一个前提,即存在着一条曲线,它确实包围着最大的面积.然而这并不是必然的事实,正如有界的无穷实数集未必包括它的上界一样.这个存在性是需要加以证明的.那时的数学家还不能普遍认识到这一点.PGL.狄利克雷(Dirichlet)看到了这一点并试图说服施泰纳,但他坚持这是不证自明的.不过他毕竟有些踌躇不安,所以有一次他写道:“如果假定有一个最大的图形,那么证明就会变得非常容易了.”这个存在性的证明直到19世纪70年代魏尔斯特拉斯运用变分法才得到解决.当然后来人们不用变分法也能把施泰纳的证明严格化.

  施泰纳在同一著作中还研究了其他平面图形及空间图形中棱柱、棱锥和球的极值性质.

  施泰纳在极值问题的研究中常常使用他独创的对称化原理.在等周问题的五种证明中就有二种用了对称化原理.他还用这一原理成功地实现了把多边形变换到等积的多边形.在研究空间图形例如球的极值性质时也使用了这一原理.不过由于空间图形比平面图形更为复杂,他的对称化原理有时显得不够严密.

  在别的论文里,施泰纳也常涉及极值问题,例如他证明了在周长相等的三角形中,等边三角形的面积最大.又如在圆锥曲线的研究中,他得到了一连串有趣的结果:“在一个椭圆的内接四边形中具有最大周长的是以该椭圆外切矩形的切点为顶点的四边形.有无数这样的四边形.它们全都有相同的周长,它等于这矩形的对角线的二倍.所有这些周长最大的四边形都是平行四边形;它们共同外切于另一个椭圆,这个椭圆的轴落在已给的椭圆的轴上,且二者共焦点.在已给的椭圆的所有外切四边形中周长最小的是在它的边的切点的法线组成菱形的那一个.”

  施泰纳的第三个主要成就在尺规作图方面.用直尺和圆规的作图问题曾吸引了许多数学家,也取得了十分丰富的成果.G.莫尔(Mohr)L.马斯凯罗尼(Mascheroni)开始为减少直尺和圆规的使用开创了新的研究路子,即所有用直尺和圆规的作图都可用单一的圆规作出来.施泰纳与他们相反,在他于1833年出版的第二本书《用直尺和一定圆进行的几何作图》(Die geometri-schen Konstruktionen)ausgeführt mittelst der geraden Linie undeines festen Kreiscs)中,他证明了:

  所有用直尺和圆规的作图(当然圆弧除外)都可用直尺和一个固定的圆(及其圆心)作出来.

  这个定理实际上彭赛列在1822年就已证得,而施泰纳却把它当作一个法国数学家的猜想,当然他给出的证明是新的,更加优美的.所以人们把这一定理称为彭赛列-施泰纳定理.

  施泰纳在这本书中又一次运用了很高的技巧.他在先奠定了必要的基础之后,把问题分解成八个基本问题,如“通过一点作一直线的平行线”,“求二圆周的交点”等,然后别的问题就均可由此推导出来了.

  在施泰纳的早期工作中,包括他死后出版的生前的手稿《关于圆和球的相切和相交的一般理论》中,可以看到他早就掌握了平面到球面的球极平面射影,并用这一方法解决一些相当复杂的平面和空间几何问题.在“若干几何考察”中第一次作出了关于圆的幂和圆的相似点的理论的系统发展.他运用反演原理解决了诸如马尔法蒂的问题:在一已给的三角形中画三个圆,它们互相相切而且每一个与三角形的两条边相切.特别是他得出并证明了关于圆级数的著名的定理(9):“已给一定大小和位置的两个圆nN,一个在另一个的内部.有一确定的圆级数MM1,…,Mx,它们每一个都不等地与nN相切又彼此依次相切.如果nN间的区间对这一确定的圆级数是可公度的,即如果这包含x+1个圆的级数组成一个u环道序列,使得最后一个圆Mx和第一个圆相切,那么这区间对任一圆级数mm1,…,mx也是可公度的,而且这些级数同第一个级数一样包含x+1个圆组成u环道.”

  施泰纳研究的领域还包括圆锥曲线和曲面,判定二次曲面的新方法,二阶曲面理论,重心问题等,而且都取得了相应的成果.

  随着数学越来越向高度抽象化发展,以直观为主要特征的综合几何早已退出核心数学的圈子.但是综合几何有它本身固有的魅力:结果的丰富多彩,优美直观和方法的灵活多变,引人入胜.因此它总是吸引一些人继续关注它,研究它,在中学数学教学和数学竞赛中更是少不了它.施泰纳的影响也仍然存在于今天的数学界.我们只需指出这样一件事:当今著名几何学家 HSM.考克斯特(Coxeter)在谈到令他颇为赞叹的几何小品时,他举的例子就是施泰纳-莱姆斯(Lehmus)问题,即“两个内角平分线(从顶点到对边的长)相等的三角形是等腰三角形.”这是个看似简单但却不易证明的命题,正因如此,它总是吸引很多人.它至今已经有了一百多种证明了.有趣的是,我国著名数学家吴文俊在研究几何定理的机器证明中也用了这个问题做例子.他的讲演由别人记录整理后出版了一本小册子《分角线相等的三角形(初等几何机器证明问题)》.当然,由于电子计算机的巨大威力和吴文俊理论的普遍性,使这一问题获得了完全的解答,彻底澄清了施泰纳就内外分角线的各种情形的讨论中的不足之处.