中国科学院数学研究所 李文林

  格林,G(GreenGeorge)17936月或7月生于英国诺丁汉郡;1841531日卒于诺丁汉郡.数学.

  1793714日,英国诺丁汉郡圣玛丽教堂的命名登记簿上增加了当地面包师G.格林(Green)与其妻莎拉(Sarah)新生男婴的名字——与父亲同名的乔治.格林的具体生日不详,据命名日估计应在当年61日与714日之间.格林8岁时曾就读于R.古达克尔(Goodacare)私立学校.

  据格林的妹夫W.汤姆林(Tomlin)回忆,格林在校表现出非凡的数学才能.可惜这段学习仅延续了一年左右.1802年夏天,格林就辍学回家,帮助父亲做工.19世纪初的诺丁汉郡正处于上升时期.编织业的发达,造成了人口的密集,与拿破仑的战争又促使小麦生意兴隆.1807年,格林的父亲在诺丁汉近郊的史奈登(Sneiton)地方买下一座磨坊,从面包师变成了磨坊主.父子二人惨淡经营,家道小康.但格林始终未忘他对数学的爱好,以惊人的毅力坚持白天工作,晚上自学,把磨坊顶楼当作书斋,攻读从本市布朗利(Bromley)图书馆借来的数学书籍.布朗利图书馆是由诺丁汉郡有影响的知识界与商业界人士赞助创办的,收藏有当时出版的各种重要的学术著作以及全套《皇家学会哲学学报》(Philosophical Transactions of Royal Society).对格林影响最大的是法国数学家PS.拉普拉斯(Laplace)JL.拉格朗日(Lagrange)SD.泊松(Poisson)SP.拉克鲁阿(Lacroix)等人的著作.通过钻研,格林不仅掌握了纯熟的分析方法,而且能创造性地发展、应用,于1828年完成了他的第一篇也是最重要的论文——“论数学分析在电磁理论中的应用”(An essay on theapplication of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism).这篇论文是靠他的朋友们集资印发的,订阅人中有一位EF.勃隆黑德(Bromhead)爵士,是林肯郡的贵族,皇家学会会员.勃隆黑德发现了论文作者的数学才能,特地在自己的庄园接见了格林,鼓励他继续研究数学.

  与勃隆黑德的结识成为格林一生的转折.勃隆黑德系剑桥大学冈维尔-凯厄斯(GonvilleCaius)学院出身,同时又是剑桥分析学会的创始人之一.他建议格林到剑桥深造.18291月,格林的父亲去世,格林获得了一笔遗产和重新选择职业的自由,遂将磨坊变卖,全力以赴为进入剑桥大学作准备.这期间他又完成了三篇论文——“关于与电流相似的流体平衡定律的数学研究及其他类似研究”(Mathematical investigations concerning the lawsof the equilibrium of fluids analogous to the electric fluidwith other similar research183211)、“论变密度椭球体外部与内部引力的计算”(On the determination of the exterior andinterior attractions of ellipsoids of variable densities18335)和“流体介质中摆的振动研究”(Researches on the vibration ofpendulums in fluid media 183312),均由勃隆黑德爵士推荐发表.183310月,年已40的格林终于跨进了剑桥大学的大门,成为冈维尔-凯厄斯学院的自费生.经过4年艰苦的学习,1837年获剑桥数学荣誉考试(Mathematical Tripo)一等第四名,翌年获学士学位,1839年当选为冈维尔-凯厄斯学院院委.正当一条更加宽广的科学道路在格林面前豁然展现之时,这位磨坊工出身的数学家却因积劳成疾,不得不回家乡休养,于1841531日在诺丁汉病故.

  格林生前长期与磨坊领班W.史密斯(Smith)的女儿简(Jane)同居,但始终未正式结婚.最初可能是由于他父亲反对这门婚事,后来则因剑桥冈维尔-凯厄斯学院院委资格只授予单身汉,格林为了事业只好放弃正式结婚的打算.格林去世后,简被承认为其合法遗孀,人们都称她为“格林夫人”,他们生有两个儿子、五个女儿.

  格林短促的一生,共发表过10篇数学论文,这些原始著作数量不大,却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想.

  格林是现代位势理论的先驱与奠基人之一.拉普拉斯在引力计算、泊松在电磁问题中都曾用过这样的函数V,它同力场分量(XYZ)的关系为

  拉普拉斯同时指出函数V满足方程

  并采用球调和方法来解此方程.但拉普拉斯和泊松的方法都仅适用于特殊的几何形体,因此有必要发展更一般的理论,这正是格林的工作与前人不同的地方.

  格林认识到函数V的重要性,并首先引进了“位势函数”这一名称,他在第一篇论文“论数学分析在电磁理论中的应用”中写道:

  “这样的函数以如此简单的形式给出电荷基元在任意位置受力的数值.由于它在下文中频繁出现,我们冒昧地称其为属于该系统的位势函数,它显然是所考虑的电荷基元P的座标的函数”.

  格林接着便发展了位势函数V的一般理论,特别是建立了许多对于推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念,其中尤以现用他的名字命名的“格林公式”与“格林函数”最为著名.设有函数UV,在以曲面σ为边界的区域τ内充分光滑.格林从体积分

  出发,应用分部积分法推导得

  以上采用的是格林的原始记号,其中dσ为曲面σ的微元,dω为σ的内法线段微元,而

  

  公式(或称格林定理).用现代记号表示则相当于

  格林还进一步探讨了UV在τ内有奇点的情况,提出格林函数的概念.这是一种带奇性的特殊位势U,满足方程δU=0,且“仅在曲面
的距离”.格林同时假设U在曲面本身上恒等于零.用现代记号表示,格林函数G(rr)满足条件:

  且有

  以及

G(rr)= 0(r∈σ)

  格林未给出函数U的存在与唯一性证明,但却阐述了其物理意义:“为了说明确实存在所述函数U,我们设想曲面是一个接地良导体,在点p′上置一单位正电荷,则由p′及其在曲面上引发的电荷所产生的总位势将等于所要求的U的值”,而“U满足前述论证中所赋予的一切性质”.

  格林公式与格林函数已成为现代分析的基本工具,格林函数更被日益广泛地应用于现代物理的许多领域,如量子碰撞、基本粒子理论与固体物理等.

  格林对于波动的数学理论有浓厚的兴趣并发表了多篇论文,其中最重要的是关于光波的研究.光的波动的数学描述,在19世纪数学家中一直是一个时髦的课题.在格林时代,科学界所持的一种普遍意见是把光看作弹性固体以太的振动,例如AL.柯西(Cauchy)在光以太研究中采用了吸引与排斥形式相互作用的机械模型.格林对柯西和其他学者对以太中力的性质作特殊假设的做法持批判态度,他在论文“论光在两非晶介质公共面上的反射与折射定律”(On the laws of reflexion and refraction of light at the common surface of two noncrystallized media1837)中深刻地指出:

  “我们对于发光以太元之间相互作用的方式知道得如此少,因而最可靠的办法还是以某种一般的物理原理作为推理的基础,而不要去作特殊的假设.”

  格林接着表述他所说的“一般原理”如下:

  “任一物质系统的元素间不论以何种方式相互作用,若以所有的内力分别乘以相应的方向元,则对该物质系统的任一指定部分,此乘积的和永远等于某函数的恰当微分.”

  这实质上相当于能量守恒原理.格林是第一个将这种一般形式的守恒原理引入弹性力学的学者.他由此出发导出了描述光媒质振动规律的偏微分方程.在格林写成他的光学论文时,M.法拉第(Faraday)的电磁感应刚发现不久,格林关于光波的数学研究还不具备突破机械以太观的条件,但他选择一般数学原理作为推导光媒质运动方程的基础而避免对以太的力学性质作人为的假设,说明他在这方面比同时期的其他数学物理学家要高出一筹.格林的光波研究对弹性力学的发展亦有重要意义.现代弹性理论中的一种应变张量就被称为“格林张量”.

  格林关于水波的研究也引起人们的注意.1337年,英国工程师 S.罗素(Russell)首先观察到一种叫“孤立波”(solitarywave)的现象.罗素于1844年第二次在不列颠科学协进会上作浅水波问题报告时,曾埋怨数学家们未能预报与描述他所观察到的现象.然而在此之前,格林已发表了两篇这方面的论文,其中第一篇“论具有较小深度与宽度的可变渠道中波的运动”(On themotion of waves in a variable canal of small depth andwidth1837)几乎是与罗素的第一份报告同时发表,格林在其中导出浅水波方程为:

  其中φ为水平面对平衡位置的位移,2β,2γ分别表示矩形截面渠道的宽与深,它们是x的函数.为了解上述方程,格林作变换:φ=Af(t+X)(AX均为x的函数).将 A,β,γ写成 ωx的函数,设含ω2的项可忽略不计,则变换后原方程化为两个方程:一个是关于函数A的方程,另一个是关于函数X的方程.分别解出这两个方程,得到浅水波方程的解为:

  其中fF是任意函数.经过比较不难看出,格林的上述方法与现代孤立波理论中普遍使用的所谓WKB方法是一致的.

  格林在他的第二篇浅水波论文“关于渠道中波的运动的注记”(Note on the motion of waves in canals1839)中,利用前述理论讨论深度为c的渠道波的速度,获得了与实验数据相符合的近似公式.

  目前所知的第一个非线性孤立波方程是由DJ.科特维克(Kotteweg)G.德 弗里斯(De Vries)1895年给出的.但如果调查一下19世纪水波方面的文献,可以清楚地看出一条线索,说明科特维克与德弗里斯的理论是前人一系列研究的结晶,而格林的工作则处于这条线索的开端.格林无疑是历史上最早试图从数学上描述孤立波现象的数学家.

  格林的著作中还包含许多其他的贡献,它们的意义与影响还有待进一步探讨.n维空间的概念是H.格拉斯曼(Grassmann)1844年首先提出的.但在格林著作中已出现高维几何的思想.格林1833年完成的论文“论变密度椭球体外部与内部引力的计算”,率先发展了n元函数分析,其中使用s个坐标{x1x2,…,xs}来代替通常的三维欧氏坐标,并使用s维球体与椭球体作为相应的三维图形的推广.

  现代分析中扮演重要角色的所谓狄利克雷(Dirichlet)原理,溯其源亦为格林首创.在上述同一篇论文中,格林假设积分(用格林的原始记号)

  存在一个极小化函数V0,并指出V0满足方程

  这正是s维情形的狄利克雷原理.W.汤姆生(Thomson,即后来的凯尔文勋爵)1847年也阐述了同样的原理,而他对格林的工作是十分熟悉的.

  格林的工作孕育了以汤姆生、GG.史托克斯(Stokes)JC.麦克斯韦(Maxwell)等人为代表的剑桥数学物理学派.现代数学物理仍然可以从格林著作中汲取营养.然而这位靠自学成才的数学家生前却默默无闻.他的第一篇论文因未正式发表几乎濒于失传.汤姆生在剑桥当学生时,从一篇论文的文献索引中了解到格林这篇文章的题目,四处寻觅原作而不得.1845年,汤姆生从剑桥毕业,在行将离校的前夕将此事告诉了一位叫霍普金斯(Hopkins)的私人数学教师.出乎他的意料,霍普金斯细心收藏着格林这篇著作的传本.汤姆生带着这篇著作踏上了赴法国考察的旅途,并在巴黎向 J.刘维勒(Li ouville)CF.斯图姆(Sturm)介绍了格林的论文,二者阅后立即意识到该文的价值,认为格林已为位势论及其应用奠定了完整的基础.后来,在德国数学家 AL.克勒尔(Crelle)赞助下,格林这篇论文终于在他去世十年后在克勒尔主编的《纯粹与应用数学杂志》(Jourfür ReiundAugMath)上正式发表(1850),汤姆生并为此撰写了介绍格林生平与工作的导言.1871年,剑桥冈维尔-凯厄斯学院院委NM.费勒(Ferrers)编辑的《格林数学文集》(Mathematical papers ofthe late George Green)在伦敦出版,格林的工作受到了越来越多的重视.今天,格林度过他艰苦自学岁月的磨坊依然存在,到诺丁汉访问的人,很远就可以看到它耸立的风轮.诺丁汉市决定维护好格林遗址,作为对这位磨坊工出身的数学家的永久纪念.