罗巴切夫斯基

大连理工大学 杜瑞芝

  罗巴切夫斯基,Н.И.(Лобачевский,НиколайИванович)1792121(俄历1120)生于俄国下诺夫哥罗德(今高尔基城)1856214日卒于俄国喀山.数学.

  尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基出生在一个土地测量员的家庭,他是伊万·马克西莫维奇·罗巴切夫斯基(Лобачевский,Иван Максимович)和普拉斯科维亚·亚历山德罗娃·罗巴切夫斯卡姆(Лоσачевская,Прасковья Александрова)的次子.伊万·马克西莫维奇是一个天主教徒,从外埠移居到下诺夫哥罗德,在当地的奉献节教堂供职.他体弱多病,早年去世.普拉斯科维亚·亚历山德罗娃是一位顽强而开明的妇女,她竭尽全力维持家计,并送三个儿子(亚历山大(Александр)、尼古拉和阿列克谢(Але-ксей))到喀山中学寄读.从此以后,罗巴切夫斯基一直在喀山学习和工作.

  罗巴切夫斯基用4年时间读完了中学课程.在此期间,他得到数学教师Г.И.卡尔塔舍夫斯基(Карташевский)的特别指导,激发了他对数学的兴趣.1807年春进入喀山大学.在这里他听过许多著名教授的课,特别是CF.高斯(Gauss)的朋友、数学教授JMCh.巴特尔斯(Bartels)和天文学教授 И.А.利特罗夫(Литтров)对罗巴切夫斯基有很大影响.在大学期间,

  他掌握了多种外语,并系统地研读了一等数学家的原著,在数学方面表现出特殊的才能.年轻的罗巴切夫斯基富于幻想、倔强并有些自命不凡.这种性格使他经常违反学校纪律.学校的行政领导曾指责他的行为具有“无神论的特征”,是“令人愤怒的”.但他的特殊才能和优异的学习成绩一向为教授们所欣赏,在他们的庇护下,罗巴切夫斯基顺利地结束了学业,于1811年获得物理数学硕士学位,并留校工作.1814年任教授助理,1816年升为额外教授,1822年成为常任教授.从1818年起,罗巴切夫斯基开始担任行政职务,最先被选进喀山大学校委会,他很快成为最积极工作的委员.1822年担任新校舍工程委员会委员,1825年被推选为该委员会的主席.在这期间,还曾两度担任物理数学系主任(1820182118231825).由于罗巴切夫斯基的工作成绩卓著,在1827年,大学校委会决定选举他担任喀山大学校长.当时正是俄国反动势力和宗教统治的嚣张时期之后,由于他的出色工作,数年之后喀山大学成为俄国的第一流学府.

  罗巴切夫斯基担任大学校长期间(18271846),不仅显示出他卓越的行政管理才能,而且表现了他所独具的教育家的天才.他曾把喀山大学从火灾和传染病流行等混乱不堪的状态中挽救出来.在他的领导下,建造了许多校舍(教学楼、图书馆、天文台等),充实了图书馆的藏书,他还亲自担任过图书馆馆长(18251835).作为一位杰出的教育家,罗巴切夫斯基认真研究并写出了许多有关教学法的著作.他还对几乎所有系的教学工作给予了极大的支持和影响.所有这些,使罗巴切夫斯基成为喀山大学全体师生思想上的鼓舞者,他的工作奠定了喀山大学兴盛和发达的基础.

  在辞去大学校长的职务之后,罗巴切夫斯基被任命为喀山学区的督学助理.在他的晚年,由于眼睛巩膜病变,导致双目失明.

  罗巴切夫斯基在1832年与贵族小姐瓦尔瓦拉·阿列克谢耶夫娜·莫伊谢耶娃(Варвара Алексеевна Моисеева)结婚,他们共有7个子女.当罗巴切夫斯基的工作得到公认后,他被封为世袭贵族,他为自己的家族设计了族徽,其图案象征着智慧、勤劳、轻捷和欢乐.

  罗巴切夫斯基的科学活动和创造与他的唯物主义的认识论有密切联系.他的青少年时代正是法国唯物主义哲学传入俄国的时期,他的世界观在西方进步哲学的影响下形成和发展.他坚定地相信“真理来源于客观实践而不是主观认识,…一切生活现象首先通过感觉被我们接受,而由感觉所得到的知识(感性认识)必须经过理性的抽象整理”.他正确地提出了数学与现实的关系问题,驳斥了康德的先验论的唯心主义见解.罗巴切夫斯基认为,最初的数学抽象,包括几何学的基础概念在内,反映了最普遍和最简单的现实关系及物质世界的特征.想把数学从单纯理智的体系中推导出来是全然无效的.他在自己的科学活动中始终如一地贯彻这种思想.

  罗巴切夫斯基最重要的数学贡献是创立了一种新的几何体系,这是第一种非欧几何学,现在通称为罗巴切夫斯基几何学.自从欧几里得《几何原本》问世以来,历代数学家都为其中的平行公设所困惑,许多学者都尝试用欧几里得其他公设来证明平行公设,结果都归失败.罗巴切夫斯基从1816年开始试作平行公设的证明,后来发现了其中的错误.1823年他完成了自己第一部有关著作《几何学》(Геомерии).这是一本独出心裁的教科书、反映了罗巴切夫斯基关于几何学基础的深刻思想.在这本书中,他把全部几何命题按是否依赖于平行公设分为两部分.不靠平行公设得到证明的命题的总体,现在通常称为“绝对几何学”.在《几何学》的前5章里,罗巴切夫斯基阐述了绝对几何学的命题,然后转向不用平行公设无法证明的定理.这种原则上的划分正是罗巴切夫斯基进一步研究的基础.但是,当《几何学》送交科学院院士Н.И.富斯(Фусс)审定时,却遭到了尖锐的批评,因而未能及时付印.

  在证明平行公设的尝试屡遭失败后,罗巴切夫斯基确立了平行公设不依赖于欧几里得其他公设的信念.他提出了与欧几里得平行公设对立的平行公设,并由此经过严密的推导得到一系列命题,构成了逻辑上无矛盾且与绝对几何学不相冲突,但又和欧几里得几何不同的新几何体系.他称这种新的体系为“虚几何学”(воображаемаЯ ГеОметрия)

  1826 211(新历 23)物理数学系的学术会议上,罗巴切夫斯基做了题为“附有平行线定理的一个严格证明的几何学原理简述”(Cжатое иэложениеначал геометрии со строгим цокаэателы о парчалльных)的报告,阐明了他所发明的“虚几何学”原理.这一天被后人公认为非欧几何学诞生的日子.由于罗巴切夫斯基所提出的公设与通常的直觉不一致,他所建立的命题初看起来又近乎荒诞,因此他的报告没有引起任何人的兴趣,甚至连原稿也被遗失了.

  18291830年罗巴切夫斯基在喀山大学《喀山通讯》(ка-энский вестник)上发表了研究论文“论几何学原理”(о-нача-лах геометрии),其中前三分之一的内容是属于 1826年的论文的.

  这是最早的非欧几何文献.《喀山通讯》只是一种地区性的刊物,所以这篇论文仍未得到广泛的注意.

  但是罗巴切夫斯基没有灰心,他不屈不挠地继续进行研究.几年之后,他在《喀山大学学报》(ученые записки казанского университета)上发表数篇文章,系统论述非欧几何学的原理及应用:“虚几何学”(1835)、“虚几何学在某些积分中的应用”(при-менение воображаемойгеометрии1836)、“具有完善的平行线理论的新几何学原理”(18351838)等.1837年,

  他把修改后的“虚几何学”译成法文“Géométrie imaginaire”发表在《纯粹与应用数学杂志》(Journal für die reine und angewan-dte Mathematik 17(1837)pp295320)上. 1840年,他用德文出版了另一本书《平行线理论的几何研究》(Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien),向国外介绍自己的学说.高斯对这本书十分欣赏,并在1842年推荐罗巴切夫斯基成为格丁根科学协会成员.1855年,罗巴切夫斯基已双目失明,但他仍不放弃发表自己的见解,口授完成了《泛几何学》一书,分别用俄文(Пангеометрия,1855)和法文(Pangéométrie1856)发表.

  罗巴切夫斯基在其他数学领域也做出了许多贡献.在分析领域中,他最先确立了函数的连续性和可微性的区别,在三角级数论和Г-函数论中也得到一些重要结果;在代数学方面,他建立了高次代数方程的一种在两方面的主要论著有《代数学或有限运算》(Алгбра или и,слеские конечных数的消失》(об исчезноении,триескихстрок1834)、《无穷级数的收敛性》(О схоцимост Бесконечыхряцв,1841)和《某些定积分的值》(означен некотрых опрецеленных интегралов1852)

 

罗巴切夫斯基几何学

 

  罗巴切夫斯基发表的几种非欧几何的论著内容大体相似,只在某些细节上有所不同,我们将把它们综合起来说明罗氏几何(即罗巴切夫斯基几何,以下同)的基本内容.

  罗氏几何与欧氏几何(即欧几里得几何,以下同)的基本差异是关于平行线的公设(简称平行公设或平行公理).欧几里得的平行公设是:如果一条直线与另外两条直线相交,在前者同侧的两个内角之和小于两直角,则后二者必在内角之和小于两直角的一侧相交.从这个公设容易得到与它等价的下列定理:“通过直线 AB外一点 C在平面ABC上可作且仅可作一条直线与AB不相交”.罗巴切夫斯基采用了与这个定理相反的假设作为新几何学的基础:“通过直线AB外一点C在平面ABC上至少可以作两条直线与AB不相交.”这个假设叫作罗氏公设,实施罗氏公设的平面叫罗氏平面.由罗氏公设出发可以直接得到下列结果:通过点C在平面ABC内可以作无穷多条直线与AB不相交.事实上,过点C的所有直线关于AB而言可分为两类:一类与AB相交,另一类不相交.罗巴切夫斯基断言:存在两条边界直线,它们把过C的两类直线分开,并且属于与AB不相交的直线类(1).罗巴切夫斯基称这两条边界直线为已知直线AB的平行线.这个定义是在他的《平行线理论的几何研究》中给出的.

事实上,如果从点C作直线AB的垂线CD,设CD长为δ,那么存在一个与δ有关的角π(δ),使得所有过C点的直线,当它与CD所成的角小于π(δ)时将与AB相交,否则不与AB相交.与CD成角π(δ)的两条直线是AB的平行线,除此而外、过C而不与AB相交的直线称为AB的不相交直线(也称为发散线或超平行线).按欧氏几何的涵义,不相交即平行,所以在这个意义上讲,在罗氏平面中,过直线AB外一点可以有无穷多条直线与AB平行.角π(δ)称为线段CD
明,平行角α=π(δ)与平行距离δ之间的函数关系是

  这里k是依赖于单位长度的常数,α=π(δ)称为罗巴切夫斯基函数.由关系式(1)可以立即看出:当δ=0

  在欧氏几何中,平行线间的距离是个常数,但在罗氏几何中情形却大不相同.设EF是过直线AB外一点CAB平行的直线,考察直线EF上一点X到直线AB的距离(2),可以证明,当X沿CE方向(DCE为平行角)向右移动时,它到AB的距离(即垂线段的长度)不仅逐渐变小,而且当X趋向无限远处时,还要趋向于零!这就是说,平行直线EFABCF方向逐渐地逼近.同样可以证明,当X向相反方向移动时,XAB的距离不仅增大,而且趋向无穷.

  因此,在欧氏平面上描绘罗氏平行线时,通常把它们画成渐近线.还应该指出,因为过直线外一点可以作两条直线与已知直线平行,所以应该区别平行线的方向,使两条平行线逐渐接近的方向规定为平行线的方向.

  在罗氏几何中,还有许多不同于欧氏几何的定理、列举几个如下:

  1.如果两条直线与第三条直线相交,内错角相等,那么这两条直线是发散的.

  2.两条平行线与第三条直线相交,在平行方向上的同旁内角之和小于两直角.

  3.三角形内角之和小于π,并且当三角形面积无限增大时,其内角
数,以下同),α,β,γ为三角形的三个角,则有

α+β+γ=π+ KS(2)

  由此可见,三角形面积越小,其内角和越接近于π也就是说,在极小的三角形里,罗氏几何与欧氏几何很相似.如果用△表示三角形的角欠——π与三角形各角和之差,那么由(2)式可得

S=k2·△.

  4.在罗氏几何中,不存在不相等的相似三角形,即如果两个三角形的三个角对应相等,那么它们就全等.

  5.如果两条直线ab具有公垂线d,那么它们将在公垂线的两侧无限远离;并且在其中任一条直线,例如b上,可以作两条垂线cc′,使它们平行于直线a(3)

  6.半径无限增大的圆周的极限不是直线,而是一种特殊曲线,叫作极限圆.

  7.到一条直线等距离的点的轨迹不是直线,而是一条特殊曲线,叫作等距线.

  8.通过三点并不总能作一个圆,而能够作的或者是一个圆,或者是一个极限圆,或者是一条等距线.

  9.半径无限增大的球面不是平面而是一种特殊曲面,叫作极限球面.在极限球面上的几何恰好就是欧氏平面几何,这也是罗巴切夫斯基推导三角公式的基础.

  10.圆周长l与半径r不成正比,而是更迅速地增长,它们之间的关系是

  l=πk(er/k-e-r/k)(3)

  利用er/ke-r/k的泰勒展开式,由(3)式可得

  (4)式表明,当半径r很小或常数k足够大时,圆的周长就很接近2πr

  罗氏几何的一个重要性质在于:在充分小的区域内,它与欧氏几何差异很小,这是因为,区域的缩小形式上等价于单位长度的增大,这也相当于常数k变大.那么在极限情形,当k→∞时,由(1)式可知对;由(2)式可知 α+β+γ→π,即三角形内角之和的极限是π;由(4)式可知 l 2πr,即圆周长与直径之比的极限为π.这就是说,当k无限变大时,罗氏几何就变成了欧氏几何,或者说欧氏几何正好是罗氏几何的极限情形.因而,如果在罗氏几何中添加上这个极限情形,则它也就包括了欧氏几何.在这个意义下,罗氏几何就显得是更普遍的几何学.正因为这个缘故,罗巴切夫斯基把自己的几何体系命名为“泛几何学”,即普遍的几何学.

  在罗氏几何中还有与欧氏几何完全不同的刻划三角形边角关系的正弦定理和余弦定理.这些公式罗巴切夫斯基是在《论几何学基础》中给出的.他在这篇文章中指出:“这些等式可以从球面三角学中的等式转而在通常的几何学和球面三角学中到处都有相同的线段比,因此,通常的几何学、三角学和新几何学将永远是彼此一致的.”

  这就是说,如果我们对半径是r的球写出正弦定理、余弦定理和余弦对偶定理如下:

  那么罗氏平面中的三角公式可以如此得到:把三角形的三边abc分别换成乘积aibici,因为边长abc乘以i相当于球的半径乘以i,所以若设r=ki,并利用关系式

cos(ix)=chx sin(ix) ishx

  那么,罗氏平面中的相应公式可写为:

  罗巴切夫斯基在他的文章中并没有使用双曲函数chxshx,而使用他所
基为什么又把自己的新几何学叫“虚几何学”,它的引入正像数系中虚数的引进一样.

  罗巴切夫斯基从以上事实中看到了他所发现的几何学的无矛盾性.事实上,如果采用下列方法,可以使这种思想变得极其严格:在欧氏空间中引进虚点,产生所谓复欧氏空间,在这种空间中规定纯虚半径的球面,并在这种球面上讨论具有实直角坐标xy以及纯虚坐标z的点集.这种空间里的虚半径的球面显然是双叶双曲面,它的每一叶都是罗氏平面的模型,这模型的结构证明它本身是无矛盾的.

  罗巴切夫斯基否定了欧几里得平行公设,但是并没有发生任何矛盾,因此他得出“欧氏几何不是唯一可想象出的几何学”的结论.但是,他始终认为“不应该信赖天赋的感觉所产生的概念”,因此提出通过实验来确定哪一种几何学在现实中成立.于是,他决定在非常大的三角形中测量各角.考虑由地球在它的轨道上两个对径点和天狼星所组成的三角形,他根据当时最新的天文历法计算,确定这个三角形的一个角是直角,另一个角则是平行角.测量结果发现,该三角形的内角和不等于π,它与π有一个小的偏差,但是这个偏差小于当时所允许的观察误差.所以他认为现实世界可能是欧氏几何的.这就解释了他为什么在1826年的报告中附有“平行线定理的一个严格证明”.尽管如此,他认为可以规定上述偏差的大小,然后在此基础上建立新的平行线理论.罗巴切夫斯基在他后来的《具有完善的平行线理论的新几何学原理》中预言,他的几何学会在“分子引力的密接球面”上得到应用.

  几乎与罗巴切夫斯基同时,匈牙利数学家J.波尔约(JanosBolyai)也发现了平行公设的不可证明性和非欧几何的原理,并在1832年,把他的发现作为附录发表在他父亲F.波尔约(FarkasBolyai)的几何著作中.F.波尔约把这个附录寄给高斯评阅,高斯认为这个青年“有极高的天才”,但是他不能称赞这项工作,因为那相当于称赞他自己,J.波尔约的发现与他自己40年来(1792年以来)思考所得的结果不约而同.高斯的态度对J.波尔约无疑是一个沉重的打击,从此他再没有做进一步的研究.至于高斯本人,虽然比较早地得到了非欧几何的要领,但他过于小心谨慎,怕引起“蠢人的叫喊”,而在生前没有公开发表过有关论著.

  因此,虽然现在一般认为非欧几何是由这三位学者彼此独立地发现的,但就发表时间之早,论证的完整和内容的丰富,以及对新几何学始终不渝的捍卫来说,要首推罗巴切夫斯基.

 

罗巴切夫斯基几何的确认

 

  罗巴切夫斯基的发现在他生前没有得到社会的公认.前面已经提到,他在1826年的报告没有引起任何人的兴趣,当他的报告送交评委会审阅时,没有人能作出结论.1832年,他把“论几何学原理”一文送交圣彼得堡科学院,由数学家М.В.奥斯特罗格拉茨基(Остроградский)审查,可是这位著名的学者对罗巴切夫斯基的发现很不理解,他在1832117日对这篇论文给科学院一个很不公正的答复,其结论是:“罗巴切夫斯基先生的论著不值得科学院去注意.”奥斯特罗格拉茨基还在1834年出版了一本嘲笑罗巴切夫斯基论文的小册子.高斯虽然十分欣赏罗巴切夫斯基1840年用德文写的非欧几何著作,还专门学俄文来读他的原著,但他生前没有公开发表过对非欧几何的支持意见.

  高斯去世不久,18601865年,他的通信录发表,他在给天文学家HK.舒马赫(Schumacher)的信中对罗巴切夫斯基的《平行线理论的几何研究》推崇备至,从此罗巴切夫斯基的发现才逐渐引起数学界的重视.1866年在波尔多和巴黎出版了由GJ.乌埃尔(Hoüel)翻译的《平行线理论的几何研究》的法文译本,附有高斯与舒马赫通信的摘录.不久,这本书被译成俄文,在莫斯科的一家杂志上发表.评论罗巴切夫斯基的生活和贡献的文章也开始出现.

  但是,罗氏几何的真正确认是在1868年.这一年,意大利几何学家E.贝尔特拉米(Beltrami)发表了著名的论文“非欧几何解释的尝试”(Saggio di interpretarione della geometria noneuclidea Giornale di Matem.,Vol.,6pp2843121868).在这篇文章中,贝尔特拉米从波兰(-俄国)数学家F.明金(Minding)的工作出发,给出了罗氏几何的直观解释.明金在1839年的文章中证明:如果两个曲面有相等的常曲率,那么可以把其中一个等距映射到另一个上.他虽然研究了负常数曲率的曲面,但没考虑到它和罗氏平面的关系.贝尔特拉米通过计算,的常数,也称罗氏几何的参数).这表明罗氏平面可以看作是负常数曲率的曲面,因此罗氏几何应该与负常数曲率的曲面的几何相符合.为此,他效仿明金,考虑由一条曳物线绕其渐近线旋转而生成的伪球面(4),这是一个负常数曲率的曲面.在某些约定下,贝尔特拉米建立了该伪球面与局部罗氏平面间的等距关系.也就是说,对于罗氏平面上的部分区域来说,罗氏几何的每一种论断,都有伪球面内蕴几何的直接事实.罗氏几何正是伪球面上抽象地叙述的欧氏几何学.

  贝尔特拉米还证明,整个罗氏平面的几何可以在欧氏平面上一个圆的内部实现.在伪欧氏空间中,把一个虚半径的半球面从其中心投影到与这半球相切的欧氏平面上,就可以导出他的这种解释.但是贝尔特拉米没有建立任意两点间的距离公式,也没有搞清如何表示罗氏平面的运动.

  
  整个罗氏平面的几何模型是由德国数学家ChF.克莱因(Klein)
ber die sogenannte nichteuklidische Geometrie)中,拓广了英国数学家A.凯莱(Cayley)1859年提出的射影度量的概念,建立了射影度量与非欧几何的关系.他指出,欧氏几何与非欧几何都可以用纯射影的方法构造出来,并提供了罗氏几何的所谓射影模型.按照克莱因的方法,罗氏平面可看作射影平面上一个圆锥曲线的内部,当这圆锥曲线是圆时,罗氏平面在射影平面上的表示与贝尔特拉米的解释相同.根据这种表示,罗氏平面上的点是圆内的点,直线是圆的弦,平行线由相交于圆周上的弦来表示,发散直线由不相交的弦表示,等等.克莱因给出了两点间的距离和角的大小的射影定义,使圆内部的点、弦以及其他图形满足罗氏几何的公理.这样一来,所有罗氏几何中的论断都是欧氏几何中的定理.因而,罗氏几何的相容性归结为欧氏几何的相容性.对高维罗氏空间也有同样的解释.

  1882年,法国数学家H.庞加莱(Poincaré)联系自守函数的研究,给出了另一种模型,也证明了罗氏几何的相容性.他仍取圆的内部作为罗氏平面,但却把垂直于已知圆周的圆弧看作直线,运动是把圆变成自身的反演.1887年庞加莱提出了罗氏几何的第二种解释,罗氏平面用双叶双曲面表示,就是前文提到的虚半径的半球面.

  CFB.黎曼(Riemann)对罗氏几何的发展也做出了重要贡pothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen)中,发扬了高斯关于曲面的微分几何的研究,建立了黎曼空间的概念,并把欧氏几何和罗氏几何包罗在他的体系之中.正常数曲率的黎曼空间(即黎曼椭球空间),可由某个球面上的几何表示,罗氏平面显然是负常数曲率的黎曼空间.克莱因在1871年的论文中,发挥了上述思想,对所有的几何学进行综合表述,称负常数曲率的曲面上的罗氏几何为双曲几何,正常数曲率的曲面上的黎曼几何为椭圆几何,欧氏几何为抛物几何.在1872年克莱因的《新几何研究的比较分析》(Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen,即著名的《埃朗根纲领》)中,他又从变换群的观点出发,对各种几何进行分类.每种几何都由变换群所刻划,可以看做是某种变换群的不变量理论.

  以上这些工作不仅使罗氏几何最终获得普遍承认,而且使人们认识到这项最富革命性的创造的历史意义.罗氏几何的创立,打破了两千多年来欧氏几何的一统天下,从根本上革新和拓广了人们对几何学观念的认识,为几何学乃至整个数学及其应用开辟了崭新的途径.罗氏几何的创立,还导致几何学基础的深入研究.1899D.希尔伯特(Hilbert)建立了欧氏几何的公理体系,这种研究方法很快扩展到许多数学分支,形成了现代数学的公理化运动.罗氏几何的创立对本世纪初物理学中所发生的时空观念的改革也起了重大作用.罗氏几何首先提出了弯曲的空间,它为更广泛的黎曼几何的产生创造了前提,而黎曼几何后来成为爱因斯坦广义相对论的数学工具.人们在广义相对论的基础上研究宇宙结构,发现宇宙结构更接近于罗氏几何,所以许多人采用罗氏几何作为宇宙的几何模型.