西

北京工业大学 沈永欢

  柯西,AL(CauchyAugustinLouis)1789821日生于法国巴黎; 1857522日卒于法国斯科.数学、数学物理、力学.

  柯西之父路易-弗朗索瓦(CauchyLouisFrancois)1760年生于鲁昂,年轻时学习出色,1777年获巴黎大学颁发的会考荣誉奖,毕业后任诺曼第最高法院律师,后任鲁昂总督C.蒂鲁(Thi-roux)的秘书.1785年蒂鲁出任巴黎警察总监,弗朗索瓦成为他的首席幕僚.1794年蒂鲁被处决,弗朗索瓦举家迁居阿尔居埃避风.1799年雾月十八政变中,他积极支持拿破仑,于次年被新设的上议院选为负责起草会议纪要和执掌印玺的秘书,并安家于卢森堡宫.

  弗朗索瓦亲自对长子柯西进行启蒙教育,教孩子语法、诗歌、历史、拉丁文和古希腊文.弗朗索瓦与PS.拉普拉斯(Laplace)过从甚密,与JL.拉格朗日(Lagrange)也交往颇多,所以柯西在童年时就接触到两位大数学家.

  柯西从小喜爱数学,当一个念头闪过脑海时,他常会中断其他事情,在本上算数画图.这引起拉格朗日的注意.据说在1801年的一天,拉格朗日在弗朗索瓦办公室当着一些上议员的面说:“瞧这孩子!我们这些可怜的几何学家都会被他取而代之.” 但他也告诫弗朗索瓦,在柯西完成基本教育之前不要让他攻读数学著作.

  1802年秋,柯西就读于先贤祠中心学校,主要学习古代语言.在校两年中,成绩优异,多次获奖.但他决心成为一名工程师.经过一年准备后,于1805年秋考入综合工科学校;180710月又以第一名的成绩为道路桥梁工程学校录取,并在1809年该校会考中获道桥和木桥大奖.

  1810年初,柯西被派往瑟堡,任监督拿破仑港工程的工程师助理。在他的行囊中,装有拉格朗日的《解析函数论》 (Traité desfonctions analytiques)和拉普拉斯的《天体力学》(Mécanique cé-leste)。年底,他被授予二级道桥工程师职务,其工作受到上级嘉奖,然而他把绝大部分业余时间用于钻研数学.在拉格朗日建议下,他研究了多面体,于18112月向法兰西研究院递交第一篇论文(文献[1](2)1pp 718),证明了包括非凸情形在内,只存在9种正多面体.18121月,又向巴黎科学院递交第二篇论文(文献[1](2)1pp2635),证明具有刚性面的凸多面体必是刚性的.AM.勒让德(Legendre)对两文极为欣赏.两个月后,柯西成为爱好科学协会通讯会员.

  1812年底,由于健康状况下降,柯西返回巴黎,不久向科学院递交了关于对称函数的论文.就在这时,他确定了自己的生活道路:终生献给“真理的探索”即从事科学研究.18133月,他被任命为乌尔克运河工程师.18141815年拿破仑一世的惨败中断了运河工程,使他有时间潜心研究.他在1814年向法兰西研究院递交的论文中,有关于误差论的研究和标志他建立复变函数论起点的关于定积分的研究.1815年底,他以关于无限深流体表面波浪传播的论文获科学院数学大奖.

  18157月,路易十八重返巴黎.11月,政府禁止L.普安索(Poinsot)在综合工科学校授课;12月初,宣布由柯西以替补教授名义接任普安索,讲授数学分析.

  18163月,王室发布了重组法兰西研究院和巴黎科学院的敕令,清洗了一批院士,L.卡诺(Carnot)G.蒙日(Monge)也在其中;同时柯西被国王任命为力学部院士.9月被任命为综合工科学校分析学和力学正式教授,为一年级新生讲授数学分析.

  柯西在综合工科学校的教学内容,集中体现在他写的《分析教程第一编·代数分析》(1821)、《微积分概要》(1823)、《微积分在几何学中的应用教程》(1826)和《微分学教程》(1829)中.这些论著首次成功地为微积分奠定了比较严格的基础.1823年,他出任巴黎理学院力学副教授,代替SD.泊松(Poisson)讲授力学;1824年底出任法兰西学院代理教授,代替JB.比奥(Biot)讲授数学物理.这些教学工作都持续到1830年.

  柯西同时积极参加科学活动,经常出席科学院每周一召开的公开会议,在纯粹与应用数学的各种委员会中起重要作用.他在波旁王朝复辟时期写了大约100篇论文或注记.1826年起,他独自编辑出版定期刊物《数学演习》(Exercices de mathématiques),专门发表自己的论著.

  18307月革命再次推翻了波旁王朝,奥尔良公爵路易-菲力浦(LouisPhilippe)即位.一直激烈反对自由派的柯西,把此事看作国家的灾难.综合工科学校学生在起义中离开校园,率领民众战斗,对柯西刺激很大.内阁通过了公职人员必须宣誓效忠新国王的法令,而保王党人(柯西也在其中)认为宣誓就是背叛.起义中发生的一些暴烈行为,使柯西愤慨.所有这些因素,促使柯西下定决心离开法国.

  柯西先去瑞士的弗里堡,试图筹建瑞士科学院,但未成功.1831年夏迁居都灵,10月在拉格朗日组建的都灵科学院露面.次年初撒丁国王特为柯西在都灵大学重设高级物理即相当于数学物理的教席.在都灵期间,柯西主要从事教学工作.

  18337月,柯西前往布拉格,担任查理十世(路易十八之弟)之孙博尔多公爵(Le duc de Bordeaux)的宫廷教师,每天讲授数学、物理和化学.他尽心尽力,甚至重新编写了算术与几何教本.但王子对数学缺乏兴趣,与柯西关系不甚融洽.183810月,公爵年届18,教育告一段落,柯西在家人和朋友劝说下重返巴黎.查理十世授予他男爵封号,柯西对此十分看重.

  宫廷教学使柯西研究进度放慢,他在布拉格以《数学新演习》(Nouveaux exercices de mathématiques)为题继续出版他的《演习》,撰写了关于光和微分方程的一些论文,以石印形式在小范围内流传.回巴黎后,他首先去科学院,发表了关于光的研究成果.

  FJ.阿拉戈(Arago)1836年创办了《巴黎科学院通报》,(Comptes rendu Acad SciParis),使院士们能迅速发表成果.柯西充分利用这个有利条件,几乎每周在《通报》上发表一篇论文或注记。不到20年,他在《通报》上发表了589篇文章.他的多产使科学院不得不限制其他人送交论文的篇幅不得超过4页.可是柯西还不满足,18399月起又以《分析与数学物理演习》(Exercices d'analyse et de physique mathématique)为题继续出版他的《演习》.

  18397月,M.普鲁内(Prony)的去世使天文事务所(与法兰西研究院齐名,事实上的天文科学院)出现一个空缺.柯西于11月当选,但由于他拒绝向路易-菲力浦宣誓效忠而未获任命书.

  回巴黎后,柯西同耶稣会士一起,参与创建天主教学院,热衷于宣传天主教.这使他与一些同事关系尴尬.

  18435月,柯西竞选由于SF.拉克鲁瓦(Lacroix)逝世而空缺的法兰西学院数学教席,但得票极少,败于G.利布里(Libri).年底在天文事务所新的几何学部委员选举中,他又败于他的对手普安索.这两次失利对他是沉重的打击.他开始离群索居,但仍勤奋工作.

  18482月革命后,宣誓不再成为任命的障碍.18493月,柯西被委任为巴黎理学院数学天文学教授.

  18506月,利布里被缺席判处10年徒刑,法兰西学院又出现空缺教席.柯西再次竞选,败于J.刘维尔(Liouville)

  185112月政变后,新政权要求公职人员宣誓效忠.柯西仍不妥协,致使他在理学院的教学工作停止一年多.1853年,拿破仑三世同意柯西可以例外,使他得以重登理学院讲坛,直至去世.

  1848年后,他的发表节奏放慢,1853年停止出版《演习》;但继续审读论文,并从事宗教活动.

  1857512日,柯西患重感冒,21日病情突然恶化,次日与世长辞,享年68岁.

  除巴黎科学院外,柯西还是18个科学院或著名学术团体的成员,其中有英国皇家学会、柏林科学院、彼得堡科学院、爱丁堡皇家学会、斯德哥尔摩科学院、哥本哈根皇家科学学会、格丁根皇家科学学会、波士顿科学院等.

 

数学分析严格化的开拓者

 

  分析严格化的需要

  18世纪的分析学家致力于创造强有力的方法并把它们付诸应用,分析中的一些基本概念,则缺乏恰当的统一的定义.由于没有公认的级数收敛概念,导致了许多所谓“悖论”,其实只是由于概念含混而出现的错误.数学家逐渐认识到,分析基本原理的严格检验,不能依赖于物理或几何,只能依靠它自身.当时的法国——欧洲数学中心的数学家们集中在几个大学教书.教学和写作教材特别要求澄清基本概念,阐明基本原理.

  已有一些数学家对当时分析的状况不满.CF.高斯(Gauss)批评JL.达朗贝尔(d'Alembert)关于代数基本定理的证明不够严格,还说数学家们“未能正确处置无穷级数”.NH.阿贝尔(Abel)说得更加明确:“人们在今天的分析中无可争辩地发现了多得惊人的含混之处…….最糟糕的是它还没有得到严格处理.高等分析中只有少数命题得到完全严格的证明.人们到处发现从特殊到一般的令人遗憾的推理方式.”(Oeuvres2pp263265)

  正是柯西,怀着严格化的明确目标,在前述4个教材中为数学分析建立了一个基本严谨的完整体系.在《分析教程》前言中,他说:“至于方法,我力图赋予……几何学中存在的严格性,决不求助于从代数一般性导出的推理,这种推理……只能认为是一种推断,有时还适用于提示真理,但与数学科学的令人叹服的严谨性很不相符.”他说他通过分析公式成立的条件和规定所用记号的意义,“消除了所有不确定性”,并说:“我的主要目标是使严谨性(这是我在《分析教程》中为自己制定的准绳)与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致.”

  极限与无穷小

  柯西规定:“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值,最终与此固定值之差要多小就有多小时,该值就称为所有其他值的极限.”“当同一变量相继取的数值无限减小以至降到低于任何给定的数,这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量.这类变量以零为其极限,”“当同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数,如果它是正变量,则称它以正无穷为其极限,记作∞;如果是负变量,则称它以负无穷为其极限,记作-∞.”[2]从字面上看,柯西的定义与在此以前达朗贝尔、拉克鲁瓦所给的定义差别不大,但实际上有巨大改进.

   
个数”开始,写出一系列不等式来最终完成证明.在讨论复杂表示式的极限时,他用了ε-δ论证法的雏型.由于有明确的把极限转述为不等式的想法,他就能从定义出发证明关于极限的一些较难命题.

  其次,他首次放弃了过去定义中常有的“一个变量决不会超过它的极限”这类不必要的提法,也不提过去定义中常涉及的一个变量是否“达到”它的极限,而把重点放在变量具有极限时的性态.

  最后,他以极限为基础定义无穷小和微积分学中的基本概念,建立了级数收敛性的一般理论.

  函数及其连续性

  柯西以接近于现代的方式定义单元函数:“当一些变量以这样的方式相联系,即当其中之一给定时,能推知所有其他变量的值,则通常就认为这些变量由前一变量表示,此变量取名为自变量,而其余由自变量表示的变量,就是通常所说的该自变量的一些函数.” 他以类似方式定义多元函数,并区别了显函数和隐函数,用他建立的微分方程解的存在性定理在较强条件下证明了隐函数的局部存在性.

  柯西给出了连续的严格定义:“函数f(x)是处于两个指定界限之间的变量x的连续函数,如果对这两个界限之间的每个值x,差f(x+a)-f(x)的数值随着a无限减小.换言之,……变量的无穷小增量总导致函数本身的无穷小增量.” 在一个附录中,他给出了闭区间上连续函数介值性质的严格证明,其中用到了“区间套”思想.

  在柯西之前,B.波尔查诺(Bolzano)1817年给出连续的定义,并利用上确界证明了介值定理.但他的工作在很长时间内未引起人们的注意.有人认为柯西读到了波尔查诺的著作,采用了他的思想,但故意不加声明.这种看法缺乏佐证材料.

  微分学

  柯西按照前人方式用差商的极限定义导数,但在定义中多了一句:“当这个极限存在时,……用加撇符号y′或f(x)表示.” 这表明他已用崭新的方式考虑问题.他把导数定义转述为不等式,由此证明有关的各种定理.例如他给出了用不等式陈述的微分中值定理,首次给出了ε-δ式(所用符号也是ε,δ)的证明,由此推出拉格朗日中值定理.他还得到了“柯西中值定理”

  柯西关于微分的一种定义也富有独创性.他称f(x)的微分是“当变量α无限趋于零而量h保持不变时方程

  的左端所收敛的极限”.

  柯西以割线的极限位置定义切线,用中值定理证明极值点处切线的水平性.他证明了f(x0)==f(n-1)(x0)=0时用f(n)(x0)的符号判断极大、极小的命题.他由自己的中值定理推导出洛必达法则.这样,他就为微分学的应用奠定了严格的理论基础.

  积分学

  18世纪绝大多数数学家摒弃GW.莱布尼茨(Leibniz)关于积分是无穷小量的无穷和的说法,只把积分看作微分之逆.柯西则不同,他假定函数f(x)在区间[x0X]上连续,用分点x1x2,…,xn-1把该区间划分为n个不必相同的部分,作和

S=(x1-x0)f(x0)+(x2-x1)f(x1)

++(X-xn-1)f(xn-1)

  并证明(实际上隐含地用了“一致连续性”)“当各个部分长度变得非常小而数n非常大时,分法对S的值只产生微乎其微的影响”,因而当各个部分长度无限减小时 S具有极限,它“只依赖于f(x)的形式和变量x的端值x0X0.这个极限就是我们所说的定积分.” 这样,他既给出了连续函数定积分的定义,又证明了它的存在性.他还指出这种定义对于不能把被积函数转化为原函数的一般情形也适用.他给出了现在通用的广义积分的定义.

   柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿-莱布尼茨公式.他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式,还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积,推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式. 柯西的定义是从仅把积分看作微分逆运算走向现代积分理论的转折点,他坚持先证明存在性则是从依赖直觉到严格分析的转折点.

  级数论

  柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立其完整理论的数学家.他以部分和有极限定义级数收敛并以此极限定义收敛级数之和.18世纪中许多数学家都隐约地使用过这种定义,柯西则明确地陈述这一定义,并以此为基础比较严格地建立了完整的级数论.他给出所谓“柯西准则”,证明了必要性,并以理所当然的口气断定充分性.对于正项级数,他严格证明了比率判别法和他创造的根式判别法;指出∑un与∑2nu2n同时收敛或发散,由此推出一些
ukun-k)对于一般项级数,他引进了绝对收敛概念,指出绝对收敛级数必收
对于幂级数,柯西得到了收敛半径公式 [后来J.阿达玛(Hadam
一个函数可为它的泰勒级数代替只当后者收敛且其和等于所给函数(文献[1],(2)2pp276282)

  影响

  在柯西手里,微积分构成了由定义、定理及其证明和有关的各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系.他的分析教程成为严格分析诞生的起点.无怪乎阿贝尔在1826年说,柯西的书应当为“每一个在数学研究中热爱严谨性的分析学家研读”.柯西的级数论对拉普拉斯的触动是众所周知的:后者读了柯西的论文后,赶快逐一检查他在《天体力学》中所用的级数.柯西对PGL.狄利克雷(Dirichlet)GFB.黎曼(Riemann)K.魏尔斯特拉斯(Weierstrass)都有直接影响.

  缺陷

  柯西没有系统使用ε-δ方法,通常更多依赖“充分接近”、“要多小就有多小”这类比较模糊的语言,未能区别逐点收敛与一致收敛(但晚年时已有所觉察)、逐点连续与一致连续,有时不能恰当处理累次极限,因而出现了一些错误的断言及“证明”.例如:连续函数项收敛级数具有连续和并可逐项积分;多元函数对每个自变量分别连续则整体连续;函数f(xy)在过点(x0y0)的每条直线上取到极大值则它在该点取到极大值.

  柯西在证明一些定理时,实际上用了实数系的完备性,例如有界单调数列必收敛,但就像在谈到收敛准则充分性时那样,他认为这些都是不言自明的,未能意识到建立实数理论的必要性.

  总之,柯西在分析的严格化方面做出了卓越贡献,但尚未完成分析的算术化.

 

复变函数论的奠基人

 

  19世纪,复变函数论逐渐成为数学的一个独立分支,柯西为此作了奠基性的工作.

  复函数与复幂级数

  《分析教程》中有一半以上篇幅讨论复数与初等复函数,这表明柯西早就把建立复变函数论作为分析的一项重要工程.他以形式方法引进复数(“虚表示式”),定义其基本运算,得到这些运算的性质.他比照实的情形定义复无穷小与复函数的连续性.

   柯西利用实级数定义复值级数的收敛性并证明了一些收敛判别
“按虚表示式
z的模小于或大于R而收敛或发散”.他把1/R刻画为“当n无限增加时an的数值的n次根所收
指数函数和三角函数,并讨论了对数函数和反三角函数的多值性.他利用函数方程求出了复二项级数之和.

  在很长时间中,柯西坚持对复数的形式看法.1847年,他提出用同余等价观念看待复数,把复数的运算解释为模i21的运算,而把i看作“一个实在但不定的量”(文献[1](1)10).到了晚年,他采纳了复数的几何表示(文献[1](1)11)

  复积分

  柯西写于1814年的关于定积分的论文(发表于 1827)是他创立复变函数论的第一步.他在文中批评欧拉、拉普拉斯、泊松和勒让德都用了“基于实过渡到虚的归纳法,……这类方法,即使在使用时十分谨慎,多方限制,仍然使证明显得欠缺”.他宣布自己的目标是“用直接的严格的分析方法建立从实到虚的移植”.文中给出了所谓柯西-黎曼方程(实际上达朗贝尔于1752年,欧拉于1776年即已写出这个方程组;柯西于1841年得到了这个方程组的极坐标形式);讨论了改变二重积分的次序问题,提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念并计算了许多广义积分.

  柯西写于1825年的关于积分限为虚数的定积分的论文,是一篇力作.奇怪的是他本人似乎没有充分看出此文的价值,生前一直未发表.文

x保持介于界限ac之间,y保持介于界限bd之间时为有限且连续,……我们能容易地证明上述积分的值即虚表示式 AiB不依赖于函的“柯西积分定理”.柯西本人用变分方法证明了这条定理,证明中曲线连续变形的思想,可以说是“同伦”观念的萌芽.文中还讨论了被积函数出现一阶与m阶极点时广义积分的计算.

  应当指出,高斯于1811年致FW.贝塞尔(Bessel)的一封信中已表述了积分定理,称它为“一条非常美妙的定理”,说他“将在适当时候给出它的一个不难的证明”,但他一直没有发表.

  柯西于1831年得到关于圆的积分公式

  由此证明复函数可局部展开为幂级数,并在实际上指明了后者的收敛半径是原点到所给函数最近极点之间的距离(文献[1],(2)12 pp 6061).他还得到了所得幂级数通项和余项的估计式,后来发展为他独创的“强函数法”.

  残数演算

  术语“残数”首次出现于柯西在1826年写的一篇论文中(文献[1](2)15).他认为残数演算已成为“一种类似于微积分的新型计算方法”,可以应用于大量问题,“例如……直接推出拉格朗日插值公式,等根或不等根情形下分解有理函数,适合于确定定积分值的各种公式,大批级数尤其是周期级数的求和.具有有限或无限小差分和常系数、末项带或不带变量的线性方程的积分,拉格朗日级数或其他类似级数,代数或超越方程的解,等等.”

  他给出了m阶极点x1处的残数公式

  他先后得到关于矩形、圆和一般平面区域的残数定理

f(z)dz=2πiEf(z)

  其中E表示“提取残数”即求f(z)在区域内所有极点处残数之和.他还详细讨论了极点位于矩形边界时如何适当修正系数2πi(文献[1](2)6pp124145)

  1843年,柯西向科学院递交了很多短论,表明残数演算可用于椭圆函数论.次年刘维尔发表了有界双周期函数恒等于一常数的定理后,柯西立即指出它可以从残数理论推出并可推广到一般情形.1855年,他证明了

  其中Z(z)是在区域S中只有孤立极点的函数,积分沿S的边界,NP分别为Z(z)S中零点和极点的个数(文献[1](1)12pp285292).他对残数演算的兴趣终生不减,去世前三月还发表题为《残数新理论》(Théorie nouvelle des residues,见文献[1],(1)12)的论文.残数演算很快引起了同时代数学家的注意,越出了法国国界.18341837年在意大利和英国分别出现了有关的综述.MPH.洛朗(Laurent)1865年出版了专著《残数理论》(Théorie des residues).俄国第一篇关于复变函数的论文是Ю.索霍茨基(Сохоцкий)1868年发表的关于残数及其应用的学位论文.

  复变函数论的建立

  柯西对复变函数的研究也有不足.首先,对于这一理论的对象,他一直未能明确界定,实际上未能明确建立作为复可微性的解析性概念.其次,他没有区分孤立奇点的不同类型,只注意了极点.最后,他没有区别极点和分支点,未能认识多值函数的本质.在法国,洛朗、刘维尔、V.皮瑟(Puiseux)C.埃尔米特(Hermite)紧接着进行了许多研究.CA.布里奥(Briot)JC.布凯(Bouquet)1859年出版了《双周期函数论》(Théorie desfonctions doublement périodiques eten particulierdes fonctions elliptiques),阐明了柯西理论的对象,系统阐述了复变函数论,对于把柯西的观念传播到全欧洲起了决定性作用,标志着单复变函数论正式形成.

  JH.庞加莱(Poincaré)在谈论复变函数论的四位奠基人——高斯、柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯时说:“柯西早于后两位,并为他们指明了道路.” E.皮卡(Picard)在比较高斯与柯西对这一领域的贡献时说:“人们不大可能认为高斯没有抓住高度重要的事物;然而,忠于他的‘少而精’的格言,他无疑一直在等待以使他的作品更加成熟,而柯西这时却公布了自己的发现.因而应当把柯西看作这一开辟了远大前程的理论的真正奠基人.”

 

弹性力学理论基础的建立者

 

  柯西之前的研究

  18世纪,理性力学迅速发展,成为微积分学应用的一个特殊领域. 1788年,拉格朗日的《分析力学》(Mécanique analytique)出版.书中不借助几何图形,只从虚位移原理出发推导出全部质点系力学.WR.哈密顿(Hamilton)曾说这本书是“科学诗篇”.在 1811年的增订第 2版中,拉格朗日通过把固体或流体看成无穷多个质点组成的系统,进一步研究了连续固体和流体力学.在此之前,欧拉已建立了流体力学基本方程组.但在当时,固体力学还局限于不可变形的物体.

  19世纪初,数学家们开始研究弹性面的平衡和运动.S.热尔曼(Germain)和泊松于1815年各自独立地得到了各向同性的可挠弹性表面的方程.稍后,CLMH.纳维尔(Navier)1820年向科学院递交了引人注目的论文,应用拉格朗日和JBJ.傅里叶(Fourier)的分析方法,研究有负载的弹性板在不忽略其厚度时的微小变形.但他把由伸缩引起的弹性力与由弯曲引起的力完全分开,假定前者总沿它所作用的截面的法向,而这在一般情况下是不成立的.他于1821年写的论文,使用了分子模型,是弹性论中极富创造性的研究,但此文直到1827年才发表.

  当时应力和应变概念尚未建立,其特性更未得到数量刻画.由于未能把应力表示为变形的函数,连续介质力学的基本方程难于应用到弹性体上。柯西于18221830年间发表的一系列论文,使用连续物质和应力-应变模型,成功地解决了这些问题.

  应力柯西把应力规定为由外力和物体变形等因素引起的物体内部单位面积截面上的内力.他认为,对物体内任一闭曲面S,在研究S的外部对内部的作用时,可以忽略物体各部分的相互体力,等价地用定义在S上的应力场来代替.这可使计算大为简化,并为实验证实.由于欧拉已有类似想法,所以现代称它为欧拉-柯西应力原理.

  对于物体中任一点P,柯西通过点P处三个分别平行于坐标面的截面上的应力来描述该点处任一截面上的应力.分射以σ,σxy,σxz(σyx,σyy,σyz;σzx,σzy,σzz)表示点P处平行于yz(zxxy)坐标面的截面上的应力的xyz分量,柯西得到点P处法向量方向余弦为vxvyvz的截面上应力σvy的分量为

σvx=vxσxxvyσyx+vzσzx

σvy=vxσxyvyσyyvzσzy

σvz=vxσxzvyσyzvzσzz

  现称为柯西斜面应力公式.由于σxy=σyx,σyz=σzy,σxz=σzx9个量σxx,…,σzz中只有6个是独立的.用现代语言,这9个量构成一个2阶对称张量——应力张量.σvy沿截面法向的分量为

  在点P取所有可能的截面,沿法向取长度为σvn的向径,则其端点构成一个二次曲面,现称为柯西应力二次曲面.在以此二次曲面三个互相垂直的轴为法向的截面上,应力垂直于截面.这就是柯西引入的主应力.以这3个轴作为坐标轴,应力矩阵成为对角矩阵.于是,求一点处的应力状态归结为求3个主应力.

  应变与几何方程

  柯西把应变规定为在外力作用下物体局部的相对变形.对于微小变形,他用类似于研究应力的方法研究一点处的应变状态,指出它可用6个分量εxx,εyy,εzz,εxy,εyz,εzx描绘,现称为柯西应变张量或小应变张量.设ξ,η,ρ分别为xyz方向的位移分量,他用略去高阶无穷小的方法得到反映应变与位移之间关系的几何方程

  对于应变,同样可构造应变二次曲面,建立主应变概念.

  应力与应变之间的关系

  对于微小变形,柯西假定主应力分别沿主应变方向.起初他考虑各向同性情形,此时3个主应力与主应变成等比例,由此得到用ε线性表示σ或用σ线性表示ε的公式,其中有两个常数.后来他进而研究各向异性情形,此时用ε线性表示σ的公式中有34=81个分量即81个弹性常数.由对称性,他推出其中只有36个是独立的(文献[1](2)9pp 342372).这些公式是胡克定律的推广,现在通称为广义胡克定律.

  弹性体运动和平衡方程

  1828年关于弹性体与非弹性体内部运动和平衡的论文中,对各向同性物体内任何一点,柯西得到

  度,他还写出了非各向同性的弹性体的运动和平衡方程.

  总之,柯西确定了应力和应力分量、应变和应变分量概念,建立了弹性力学的几何方程、运动和平衡方程、各向同性及各向异性材料的广义胡克规律,从而奠定了弹性力学的理论基础,成为19世纪继拉普拉斯之后法国数学物理学派最杰出的代表.

 

多产的科学家

 

  柯西全集

  柯西是仅次于欧拉的多产数学家,发表论文800篇以上,其中纯数学约占65%,几乎涉及当时所有数学分支;数学物理(力学、光学、天文学)约占35%.1882年起,巴黎科学院开始出版《柯西全集》,把他的论文按所登载的期刊分类,同一种期刊上的则按发表时间顺序排列.

  《全集》凡27卷,分两个系列.第一系列共12卷,发行于18821911年,包括发表于巴黎科学院刊物上的论文.第二系列共15卷.第12两卷是发表于其他科学期刊上的论文;第345卷是他写的教材;第614卷是他个人出版的刊物——51期《数学演习》, 5期《分析概要》(Resumés analytiques) 8期《数学新演习》和48期《分析和数学物理演习》.第15卷于1974年问世,主要包含他以小册子或石印形式发表的著作.

  《全集》中有8篇文章谈及教育、犯罪和宗教信仰问题;其他非科学著作未收入《全集》.柯西1824年在综合工科学校讲授第二学年分析的讲义已由C.吉兰(Gilain)编辑出版.他的大部分手稿和信件存放于巴黎科学院档案馆.

  在柯西生前和身后,不断有人批评他发表过多;事实上他也确实发表了一些价值很小或内容重复的文章,然而他的绝大多数论著都显示了一位多才多艺的学者对科学的卓越贡献.下面介绍他在前述三个领域外的主要工作.

  常微分方程柯西在历史上首次研究了常微分方程解的局部性态.给定微分方程y=f(xy)及初始条件y(x0)=y0,在f连续可微的假定下,他用类似于欧拉折线的方法构造逼近解,利用微分中值定理估计逼近解之间差的上界,严格证明了在以x0为中心的一个小区间上逼近解收敛,其极限函数即为所提问题的解.他指出这个方法也适用于常微分方程组.柯西还给出了具有非唯一解的初值问题的例子,表明他已洞察到微分方程论的本质.

  柯西的另一贡献是他所称的“界限演算”即现在通称的“强函数法”或“强级数法”.他指出,对以前所用的微分方程积分法,“只要人们不提供保证所得级数收敛且其和是满足给定方程的函数的手段,就往往是虚幻的”.在研究f(xy)在点(x0y0)的邻域内可展开为幂级数的微分方程y=f(xy)时,他用y=F(xy)与之比较,其中F满足:如果

f(xy)=ckj(x-x0)k(y-y0)j

F(xy)=Ckj(x-x0)k(y-y0)j

  则对一切kj|ckj|Ckj.他证明,如果y=F(xy)x0的邻域内有可展开为幂级数的解,则y=f(xy)在该邻域内也有可展开为幂级数的解;他并且给出了选取强函数的一般方法(文献[1],(1)267)

  

  得到

  其中C是任一包围F所有零点的围道,φ是任一多项式(文献[1](1)4p370)

  n维向量,A是给定的n阶矩阵),他引进S(s)=det(A-sI)(I是单位矩阵),得到所给方程组在初始条件x(0)=α下的解(文献[1],(1)56)

  偏微分方程

  柯西与JF.普法夫(Pfaff)同时(1819)发现了一阶偏微分
 

PP399465)

  柯西把傅里叶变换应用于他在研究流体力学、弹性论和光学中遇到的常系数线性偏微分方程.他在 1815年的论文中已正确写出了傅里叶变换的反演公式(傅里叶于18071811年已得到这些公式,但直到18241826年才发表).他还引进了积分号下的收敛因子和奇异因子(相当于δ函数).在大量使用傅里叶变换方面,柯西超过了泊松以至傅里叶本人.

  1821年后,柯西考虑了写成算子形式的线性偏微分方程

  其中Fn1元多项式.他发现,对于满足F(w1,…,wns)这类指数形式的解迭加,以便用傅里叶变换得到通解.对于波动方程,这就是平面谐波的迭加.当给定初始条件

  时,他得到了写为围道积分形式的解(文献[1],(2)12)

  柯西于1842年考虑了一阶线性偏微分方程组的初值问题:

   
 线性的,wk在该邻域内也解析,则所给问题存在唯一解,并可展开为局部收敛的幂级数(文献[1],(1)6pp461470).后来CB.科瓦列夫斯卡娅(Ковалевская)1875年重新发现和证明了这个结果.

  群论

  E.伽罗瓦(Galois)使代数研究的性质起了根本的变化,而柯西是伽罗瓦的先驱者之一.他在 1812年关于对称函数的论文中证明,n元有理函数能取的不同值的数目,或者不大于2,或者不小于包含于n中的最大素数p

  柯西与拉格朗日、P.鲁菲尼(Ruffini)同为最早研究代换群的数学家.柯西定义了代换之积,引进单位代换、逆代换、相似代换、代换的阶以及共轭代换系等概念,证明PQ相似当且仅当存在代换 R满足Q=P-1RP;任一代换群的阶可被群中任一代换的阶整除;n个变量的代换构成的任何群的阶是n!的—个因子(此点其实已为拉格朗日证明);当n4时,n个变量的一切代换构成的群Sn的子群HSn中的指数或者是2,或者至少是n;如果素数p整除一有限群的阶,则在群中存在p阶元.刊载这些结果的论文发表于18451846(文献[1],(1)910及文献[13]),当时即得到广泛传播,对群论的发展有相当大的影响.

  行列式

  莱布尼茨、拉格朗日、拉普拉斯等人都研究过行列式.在19世纪,很大程度上是柯西使它得到持续发展.事实上,déterminant(行列式)这个术语就是他引入的.与现在通常的做法不同,柯西于1812年从n个元或数a1,…,an出发,作所有不同元之差的积a1a2an(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)(an-a2)(an-an-1);对于这个积中各项所把这样改写后得到的表示式定义为一个行列式,记作S(±a1·1a2·2an·n).然后他把所得式中n2个量排成正方形表

a1·1 a1·2 a1·n

a2·1 a2·2a2·n

……

an·1an·2an·n

  称这n2个量构成一个“n阶对称系”,并用循环代换给出确定各项符号的法则.他引进共轭元、主元等概念,导出行列式的许多性质.他还把行列式用于几何与物理问题,例如求平行六面体体积.在与波有关的问列式.

  数论

  柯西在数论中也得出不少结果或给出一些已有结论的新证明.1813年,他给出Pde费马(Fermat)关于每个正整数是mm角数之和这一论断的第一个证明;他还得到,除4个数外,所有其余的m角数均可取01(文献[1],(2)6pp320353)1840年,他证明若p是形如 4l 3的素数, Ap的二次剩余, Bp的二次

  其中 B为伯努利数(文献[1](1)3p172).他还得到,如果

余的数目,则

  其中 ab大于0小于n(a/n)=1(b/n)=-1.对n=4l1也有类似公式.他由此得到,对n=4l3

  其中h(-n)是真本原类的个数.该式称为柯西类数公式(文献[1](1)3p388)

  解析几何

  柯西有效地应用了直线和平面的法式方程,给出了空间直线方程的参数形式

  他研究了二次曲面的分类,完整地讨论了径面和中心问题,完善了欧拉、蒙日和JNP.阿歇特(Hachette)的有关工作.他在本质上给出了现在教科书上通用的由标准型二次项系数的符号来分类的结果.他还研究了单叶双曲面的母线(文献[1],(2)58)

  微分几何

  欧拉给出了空间曲线的弧微分公式,柯西进一步用弧长作为参数,使xyz的作用对称化.他定义了位于密切平面上的主法线,指出其

  1847年,JA.塞雷(Serret)1850年独立于柯西给出了通称的弗雷内-塞雷公式.

  柯西证明曲面上通过某点的所有曲线在该点的切线位于同一平面上,此即切平面.设曲面方程为u(xyz)=0,他写出点(xyz)处的切平面方程为

  误差论

  拉普拉斯研究了如何使n个观察数据(xkyk)(k=12,…,n)拟合于直线 y=ax+b.柯西在拉普拉斯建议下用类似方法研究了三维数据拟合 z=axbyc的问题(文献[1],(2)12),他提出使一组观察数据拟合于多项式 u=axbycz+…,其中项数依赖于拟合的优度,在计算过程中确定.他假定误差εk=uk-axk-byk-czk-…具有概率密度f,并采用了一些不大可靠的假设,结果得出一个著名的概率密度:若f满足他所作的假设,则它具有傅里叶变换φ(ξ)=eαξN,α,N为常数.当N=1时,就得到通称的柯西概率密度

  (文献[1](1)2pp517)

  数值分析

  象许多同时代数学家一样,柯西也热衷于数值逼近.他计算e到小数点后7位,并估计了取e的级数展开前n项时所产生的误差.他描述了解方程的迭代方法,并在具体例子中给出误差估计.对于微分方程和差分方程,他也给出了许多近似解的误差估计.他首次表述了牛顿求方程根的方法在何种条件下收敛,并借助现称的柯西-施瓦兹不等式推广到复函数情形,给出了数值例子.他把拉格朗日插值公式推广到有理函数,并得到了与高斯、埃尔米特所得结果类似的三角插值公式(文献[1],(1)5(2)3)

  光学

  柯西在两个方面改进了AJ.菲涅尔(Fresnel)的理论.第一,他从以太-分子作用的更一般的理论出发,预言了3条偏振光线的传播,而菲涅尔认为只有2条.第二,柯西指出菲涅尔关于光线中以太分子的振动垂直于偏振平面的看法不对,认为偏振平面平行于光线和以太振动的方向.

  柯西还对光的反射和折射提出了自己的看法,并相当成功地解释了双折射.他还试图在分子基础上解释光速对波长的依赖问题.(文献[1](1)245(2)2)

  天体力学

  柯西证明了天文学中出现的一些级数的收敛性并做了详细的计算,特别对开普勒方程的解和摄动函数的展开进行了细致的讨论,其中有现在天文学教材上仍提到的柯西系数.柯西关心UJJ.勒威耶(Le Verrier)的工作,后者于1845年对智神星平均运动中的大不等式做了冗长的计算,柯西随即用简单得多的方法加以检验.他使用的工具是偏近点角到平近点角的过渡公式以及所谓“柯西混合法”,即在计算摄动函数的负幂时把数值积分与有理积分结合起来,并按平近点角展开摄动函数,对某项后的各项进行渐近估计.(文献[1],(1)5)

 

复杂的人

 

  从柯西卷帙浩大的论著和多方面丰硕的成果,人们不难想象他一生怎样孜孜不倦地勤奋工作.但是,如果不了解柯西的另一些侧面,对他的认识就会是不完整的.

  忠诚的保王党人

  柯西属于波旁有产阶层,毕生忠于波旁王室.他于1808年加入圣会,该会成立于1801年,发展很快,逐渐由初创时的宗教团体演变为具有强烈保王党色彩的政治团体,在波旁王朝复辟时代举足轻重,能左右政局.

  如前所说,1830年革命后,柯西离开法国.他在1835年对此事作了如下解释:“人们非常清楚地知道是什么事件使我正式放弃我在法国拥有的三个席位,只有何种庄严的召唤才能使我放弃撒丁国王屈尊授予我的数学物理教席.无庸置疑,我确信我能为路易十六近裔……的进展做出贡献.”(文献[1],(2)10pp189190)这里的“事件”当然指波旁王朝再次倾覆,而“庄严的召唤”当指查理十世聘请他担任其孙的宫廷教师.18525月,柯西为拒绝宣誓效忠拿破仑三世致信巴黎理学院院长,声明他继续忠于波旁王室.

  具有讽刺意味的是,正是推翻了波旁王朝的法国大革命,为科学进步、也为柯西天才的发挥创造了十分有利的条件.革命后科学家和工程师享有的崇高荣誉,综合工科学校的建立,以及许多科学机构的积极活动,都是对年轻有为者从事科学工作的巨大吸引和鼓舞.另一方面,柯西在科学中的卓越贡献,也是对社会革命的促进.情形多少有点像巴尔扎克:他也是保王党人,但《人间喜剧》(La comédie humaine)描绘的却正是贵族阶级只配落得破产的命运.

  热心的天主教徒

  柯西的父亲从小对柯西进行宗教教育,因而柯西童年时即已熟读《圣经》.1816年后,柯西积极参加圣会的慈善活动,访问医院和监狱,宣传教义.1824年,他参与筹组天主教协会,为5名理事之一.他多次在科学院会议上颂扬宗教,司汤达尔(Stendhal)称他为“法兰西研究院中穿短袍的耶稣会士”.1839年,柯西参与创建天主教学院,1842年任该院秘书,热心于院里的教学.1850年曾在《宗教之友》(LAmi de La Religion)上发表两封长信,对反耶稣会的人进行攻击.

  柯西的天主教宗教活动与保王党政治态度是紧密相联的.正如他自己所说:“天主教事务由正统派独揽”,这里“正统派”就是拥戴波旁王室的政治派别.

  落落寡合的学者

  尽管柯西彬彬有礼,但与科学院中的同事关系冷淡.19世纪20年代的一篇文章这样评论柯西:“他的呆板苛刻以及对刚踏上科学道路的年轻人的冷漠,使他成为最不可爱的科学家之一.”

  科学界对复辟的王朝于1816年清洗卡诺和蒙日很反感,因为两人都是受人尊敬的科学家.柯西却毫不犹豫地接受了国王令他接任院士的任命.以柯西的才华和贡献而不通过选举成为院士,实在不是什么光荣.

  柯西在科学院会议上宣扬宗教,加之他性格孤僻,很不欣赏具有自由派色彩的科学家如普安索和阿拉戈,就使他在会议中常处于孤立状态.正如有人回忆的:“他的天主教狂热和多疑的性格,使他在这样的集会上与周围的人很不协调,显得怪诞.”

  作为教师和导师的柯西

  虽然柯西写下了伟大的分析教本,但似乎算不上一位出色的教师,在综合工科学校讲授分析时,由于内容过于抽象,曾多次受到校方和学生的批评.在都灵大学讲课时,开始报名听课的人很多,而其讲课情形,据LF.梅纳勃劳(Menabrea)回忆说:“非常混乱,突然从一个想法跳到另一个公式,也弄不清是怎么转过去的.他的讲授是一片乌云,但有时被天才的光辉照亮;对于青年学子,他令人厌倦.” J.贝特朗(Bertrand)曾这样回忆柯西在巴黎理学院的讲课:“应当承认,他的第一堂课使听众(他们都是优秀学生)的期望落空,他们不是陶醉而是惊讶于他涉及的有点混乱的各式各样的主题.” 不过,他在讲课时所表现出的天才仍使不少人受益,包括后来成为优秀数学家的埃尔米特、皮瑟、布里奥、布凯和C.梅雷(Méray)

  当时巴黎是欧洲数学中心,年轻学子从各地赶来,在巴黎理学院和法兰西学院听课,拜会久负盛名的科学泰斗.同时,法国本土也不断产生年轻的天才.所有这些人都需要得到鼓励和指导.柯西本人起步时也得到过拉格朗日、拉普拉斯和泊松的帮助,但他对后起之秀却不甚热心,有时甚至冷漠无情.在对待JV.庞斯列(Poncelet)、阿贝尔和伽罗瓦的态度上,柯西为人的欠缺至为明显.

  庞斯列关于射影几何的研究招致柯西严厉的批评,说它缺乏严格性.许多年后,庞斯列在回忆柯西于18206月的一天打发他走时,仍然充满怨气和辛酸,说从柯西那里“没有得到任何指点,任何科学评价,也不可能获得理解”.是不是由于庞斯列参加了1812年的远征并在俄国被俘而导致作为保王党人的柯西的反感,就不得而知了.

  阿贝尔写道,对于柯西,“没法同他打交道,尽管他是当今最懂得应当如何搞数学的数学家.”“我已完成了一篇关于一类超越函数的大文章,……我把它给了柯西,但他几乎没有瞟一眼.” 这就是那篇在椭圆函数论中具有划时代意义的论文.傅里叶于18261030日把此文送交勒让德和柯西,并让后者写审定结论.柯西把稿子扔在一边,只是当雅可比注意到此文并通过勒让德征询其下落时,柯西才于1829629日把该文连同他写的一篇颇有保留的评论提交科学院,而这时阿贝尔已去世.此文直到1841年才发表.

  18295月,伽罗瓦把他关于代数方程解的两篇论文呈递科学院.61日的科学院会议决定让柯西进行审查,但他没有作出任何结论,他把这两份手稿丢失了!这两份珍贵的手稿迄今仍未找到.