中国科学院数学研究所 袁向东

 

  高斯,CF(GaussCarl Friedrich) 1777430日生于德国不伦瑞克;1855223日卒于格丁根.数学、天文、物理、大地测量.

  高斯出生在一个普通城市工人家庭.其父格布哈德·迪特里希·高斯(Gebhard Dietrich Gauss)受教育不多,但能写会算,为人勤奋,靠手艺维持家庭生计,做过园林工人、运河工人、街道小贩,还出任过丧葬机构的会计.据说迪特里希·高斯虽忠厚却性情暴躁,在家尤为专制.小高斯是他第二个妻子的独子.高斯的母亲多罗西娅·本茨(Dorothea Benze)出身石匠家庭,聪慧而善良,能读但不会写,婚前在一个贵族家当女仆,在其夫去世后长期随高斯生活,母子相伴,直至96岁谢世.多罗西娅的弟弟天份颇高,是高斯长辈中智力最突出的一位,他靠自己钻研成为艺术锦缎的著名织匠.

  高斯幼年时的生活跟当时一般市民家的孩子雷同.有一个故事说因父母为生计奔波,小高斯有时无人照料,大约在34岁时,曾堕入离家不远的运河,几乎溺死.另一个故事说高斯自幼对数字有特殊的敏感,在3岁时就发现过父亲算账时的计算错误。这些故事大都是高斯晚年对人谈起的.高斯成年后还常对人说,他在学会说话前就会计算了.

  高斯接受教育的状况受制于当时德国的社会背景.他出生的城市不伦瑞克是座古城,在17世纪初仍是能跟汉堡和阿姆斯特丹相媲美的贸易中心.后因城市民众暴动和欧洲30年战争的破坏而衰落.1671年它失去政治独立地位,并入不伦瑞克-沃尔芬比特尔(现德国下萨克森州)公爵领地;1673年成为该领地的首府.在18世纪,它像其他德国城邦一样,经济政治状况落后于资本主义蓬勃发展中的英国和法国.高斯降生时不伦瑞克的统治者是 C W.费迪南德(Carl Wilhelm Ferdinand)公爵,一位久经沙场的贵族;他按传统的封建方式管理他的领地:典型的特征是以农业为其财政的主要来源,并保护组织起来的个体织匠抵制纺织机械的使用.他在教育方面虽未实行义务教育,但他的大多数臣民都能识字并掌握一些初等算术知识.至于社会下层有天赋的儿童要想获得较高等的教育,则非有贵族、富商或其他有影响的保护人的资助不可.

  1784年,高斯像普通市民的孩子一样入小学读书.他进的圣·凯瑟琳小学给他带来了好运.该校教师 JG.比特纳(Büttner)称职而热心,他教的班由50多名年龄各异、原有知识参差不齐的学生组成;比特纳发现高斯才智出众,特意从汉堡弄来一本算术教科书给高斯读.一个故事说,一次高斯在班上几乎不加思索就算出了1+2+3++100的和,令比特纳惊讶不已.当时任比特纳助手的 M.巴特尔斯(Bartels)只比高斯大8岁,酷爱数学(后到俄国喀山大学任教授,是非欧几何创立者之一罗巴切夫斯基的老师),对高斯的数学才能特别器重,他们常在一起讨论算术和代数问题.

  高斯的父亲不希望儿子继续升中学读书.让子女多读书并非当地工人阶层的风尚;读小学时,高斯晚上经常秉父命上织机织布.经老师们的帮助,高斯于1788年进入预科学校(相当于现在的中学),这里班级的编排较正规,但课程颇显陈旧,而且过份强调古典语言特别是拉丁语的教学.高斯的目标是学术上的深造,当时的人文学科特别是科学经典都是拉丁文写的,于是他充分利用学校的条件攻读拉丁语,不久成绩就名列前茅.他还学会了使用高地德语(路德翻译圣经用的那种德语,即现在的标准德语),高斯原来只会使用本地方言.至于他的数学程度,教师在看了他的第一次数学作业后便认为,高斯已没有必要上该校的数学课了.

  1791年,位于不伦瑞克的卡洛琳学院的教授 EAW.齐默尔曼(Zimmermann)向费迪南德公爵引介了14岁的天才少年高斯.公爵接见高斯时为他的朴实和腼腆所动,欣然应允资助高斯的全部学业.此后,高斯在经济上便独立于父母,父亲也不再反对儿子的继续深造.

  1792年,高斯入家乡的卡洛琳学院(Brunswick Collegium Carolinum)学习,开始脱离家庭的独立生活.这所学校不同于普通的大学,它由政府直接兴办和管理,目标是培养合格的官吏和军人,在德国各城邦的类似学校中属于最优秀之列,其教学强调科学方面的科目.高斯在校的三年间,全身心地投入学习和思考,获得了一系列重要的发现:入学前他就研究算术-几何平均(1791),此时发现了它和其他许多幂级数的联系(1794);发现最小二乘法(1794);考虑了几何基础问题,即平行公设在欧几里得几何中的地位(1792);由归纳发现数论中关于二次剩余的基本定理,即二次互反律(1795);研究素数分布,猜想出素数定理(1792).在这一时期,贯穿高斯一生的研究风格的一个重要方面已趋成熟:不停地观察和进行实例剖析,从经验性质的研究中获得灵感和猜想.高斯在学院学习期间还开始了对数学经典著作的钻研,阅读了I.牛顿(Newton)的《自然哲学的数学原理》(Philosophiae naturalis Principia mathematica) L.欧拉(Euler)的代数与分析著作和JL.拉格朗日(Lagrange)的若干论著,以及雅格布·伯努利(Jacob Bernoulli)的《猜度术》(Ars conjectandi)等.

  高斯的志向不是谋取官吏的职位,而在于他最喜好的两门学问:数学和语言.1795年,他离开费迪南德公爵管辖的领地,到格丁根大学就读.格丁根大学的办学方式追随英国的牛津和剑桥大学,资金较其他德国大学充裕,较少受政府和教会的管理和干涉.高斯选中这所大学另有两个原因.一是它有藏书(尤其是数学书)极丰的图书馆;二是它有注重改革、侧重科学的好名声.当时的格丁根对学生可谓是个“四无世界”:无必修科目,无指导教师,无考试和课堂的约束,无学生社团.高斯完全在学术自由的环境中成长,将来从事什么职业完全由他自己抉择.入学初期,语言学家 G.海涅(Heyne)对高斯作数学家还是语言学家可能曾在高斯脑际徘徊.有两个支持这种看法的旁证:高斯到校第一年所借阅的25本书中,仅有5本科学著作,其余皆属人文学科,而且高斯终其一生始终未改对语言和文学的爱好;那个时代以数学为职业者收入不丰,高斯当时仍在靠公爵的补贴生活,寻找有较高收入的职业是高斯一生中经常考虑的问题.

  1796年是高斯学术生涯中的第一个转折点:他敲开了自欧几里得时代起就搅扰着数学家的尺规作图这一难题的大门,证明了正十七边形可用欧几里得型的圆规和直尺作图.这一成功最终决定了他走科学之路而非文学之路,高斯真正认识了自己的能力之所在.在注明330日的“科学日记”中,高斯写道:“圆的分割定律,如何以几何方法将圆分成十七等分”.所谓“科学日记”是1898年偶然在高斯的孙子的财产中发现的一本笔记;高斯在上面记录他的众多科学发现,并称之为 Notizen journal(日志录).日记中简要记载着他自1796年至1814年间的共146条新发现或定理的证明.由于高斯的许多发现终身没有正式发表,这本日记成了判定高斯学术成就的重要依据.

  在格丁根学习期间,高斯在日记中记录了许多重要信息:

  179648日,得到数论中重要定理二次互反律的第一个严格证明;

  179717日,开始研究双纽线;

  1797319日,认识到在复数域中,双纽线积分具有双周期;

  17975月,由实例计算得到算术-几何平均和双纽线长度间的一些关系(双纽线函数是椭圆函数的一种)

  179710月,证明了代数基本定理.

  1798年秋,高斯突然离开格丁根回到故乡,原因不详,很可能是费迪南德公爵不愿由他资助的学生在他所辖的领地之外的大学获取文凭.正是在公爵的要求下,高斯于1799年接受了海尔姆斯台特(Helmstedt)大学的博士学位,名义上的导师是 JF.普法夫(Pfaff),当时德国最负盛名的数学家,高斯在格丁根求学期间曾访问过他,但尚不知他们之间有无学术上的联系.[有一则故事表明他们二人在数学界的地位.在高斯成名后,他的好友 A.洪堡(Humboldt)曾询问法国大数学家、力学家 PSM.拉普拉斯(Laplace)谁是德国最伟大的数学家.拉普拉斯答是普法夫,洪堡惊鄂之余追问道:那么高斯呢?拉普拉斯戏谑地说:高斯是全世界最伟大的数学家!]高斯博士论文的题目很长:“单变量有理整代数函数皆可分解为一次或二次式的定理的新证明”(Demo-nstratio nova theorematis omnem functionem algelraicam rati-onalem integram unius variabilis in factores reals primi vel secundi gradus resolvi posse17998月在公爵资助下出版).高斯在给他大学时的同学 W.波尔约(Bolyai)的信(17991216)中说:“题目相当清楚地讲明了文章的主要目的,虽然它只占篇幅的三分之一,其余是讲述历史和对其他数学家[JR.达朗倍尔(dAlembert)LAde 布干维尔(Bougainville)、欧拉、拉格朗日等]相应工作的批判,以及关于当代数学之浮浅的各种评论.”此文反映了高斯研究风格的另一个方面:强调严密的逻辑推理,这是区别于18世纪大部分数学家的高斯风格的主要特征.在此论文中,他并未具体构造出代数方程的解,而是一种纯粹的存在性证明.这类证明此后便在数学中大量涌现.还应指出,他的证明虽然必须依赖复数,但因当时的数学家仍在为虚数的本质争论不休,所以高斯尽量避免直接使用虚数.他预先假定了直角座标平面上的点与复数的一一对应。而将论及的函数分为实部和虚部分别加以讨论.高斯的证明也并非在逻辑上完美无缺,如他视连续函数的一些性质自然成立而未加证明[这些性质后来为捷克数学家 B.波尔查诺(Bolzano)首先证明].高斯可能认识到这一问题,此后又给出了代数基本定理的另外三个证明(181518161849),最后的证明是为庆祝他获博士学位50周年而作,方法跟博士论文基本一致,只是“现在大家都认清了复数是什么”,所以他直接运用了复数.

  1796年解决正十七边形的作图到1801年,是高斯学术创造力最旺盛的时间.按数学史家 O.梅(May)统计,在这6年间(19岁—24)高斯提出的猜想、定理、证明、概念、假设和理论,平均每年不少于25项,其中最辉煌的成就是1801年发表的《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae),它把过去一直是零星成果堆砌成的数论,织成一张结构紧凑、自成系统的网;以及在1801年中根据少量观测数据准确预报小行星“谷神星”的运行轨道.天文学是当时科学界最关注的课题,高斯的这项预报引起了轰动.上述两项成就使他不仅在数学界而且在科学界一举成名.

  1802年初,圣彼得堡科学院聘高斯为外籍院士;同年9月又邀请他出任圣彼得堡天文台台长,这是极崇高的荣誉.高斯出于对公爵的忠心,也因公爵打算为他创造更好的工作条件(计划专为高斯在不伦瑞克修建小天文台)并给他提薪,高斯最终决定留在家乡.

  此后,高斯虽从未完全放弃对数论、代数、几何及分析学的研究,但其主要精力和时间逐步转向更有实际效用的科学,如天文学、测地学、物理学和应用数学.学术研究重点的转移也带来了高斯结交朋友方面的转折.高斯在纯数学的研究中是相当孤独的,没有同事和助手,即使在他创作高峰期也几乎未进行过直接的学术交流.W.波尔约虽是跟高斯有过长达50年通信联系的数学家,但未见他们在数学思想上的深入讨论.唯一的例外是法国女数学家 S.热尔曼(Sophie Germain),她曾化名男子和高斯通信(18041805)讨论数论问题,二次互反律的一个证明就跟她的想法有关.但是,在天文学界和物理学界,高斯却有不少挚友,他们不仅切磋学术,而且过往甚密.现存的7000多封高斯的通信中,跟这些人的信件占极大比例.

  18021803年间,高斯先后访问了 W.奥尔伯斯(Wilhelm Olbers)博士[医生兼天文学家,1802年发现了小行星“小惑星”(Pallas)]和著名天文学家F.察赫[Zach,为当时德国最著名的塞堡(Seeberg)天文台的台长,1801127日晚第一个在高斯预报的位置上重新观测到谷神星],讨论了天文和大地测量问题,从此高斯开始了天文观测和野外测量.奥尔伯斯为堵绝圣彼得堡良好的工作条件对高斯的引诱,提议由高斯出任正在筹备中的格丁根新天文台的台长(1804年此建议得到格丁根方面的确认)1804年底,高斯又开始跟年轻的 FW.贝塞尔(Bessel,后成为一流的理论及实用天文学家)进行维持终身的通信.据现存信件可知,高斯的长期通信者还有 CL.格林(Gerling,物理学家,高斯的学生)HC.舒马赫(Schumacher,高斯的学生,天文学家)JG雷普索尔德(Repsold,仪器制作家,曾和高斯探讨消色差双物镜镜片的设计等问题)

  1805年,高斯跟制革商的独生女约翰娜·奥斯多夫(Johanna Osthoff)结为伉俪.此次婚姻颇为美满,得二子一女,高斯分别以三个小行星发现者的名字为他们的教名.跟宁静的家庭生活相悖的是政治环境的骤变.自1789年法国大革命后,德法之间爆发了多次短期战争.为扼制拿破仑在中欧的扩张,德国最主要的部分普鲁士决定加强跟法国的对抗.1806年,曾任普鲁士将军的费迪南德公爵率部与法军决战,70多岁的沙场老将在战斗中负了致命伤,同年11月死于阿尔唐纳(Altona),这意味着高斯失去了经济来源,从此必须完全靠自己的努力维持生计.

  1807年,高斯携全家迁往格丁根,出任格丁根天文台台长(实际上新天文台尚在建设中,他需亲自为其购置仪器设备),同时担任格丁根大学天文学教授.高斯选择台长为其主职,教授只为次职,这跟他不喜欢当时的教学有关.1802年高斯在致奥尔伯斯的信中说过:“我真的不喜欢教课……对真正有天赋的学生,他们绝不会依赖课堂上的传授,而必是自修自学的……做这种不值得感谢的工作,唯一的代价是教授浪费了宝贵的时间.”在以后的通信中,可看出他对当时大多数学生无钻研兴趣、很少或根本没有学习动力,甚至有的学生缺少必要的常识不满.至于对禀赋好的学生,高斯愿意“偶尔给他一点提示,以便他找到最近的路.”

  格丁根原属汉诺威公国,此时已划归法国控制下的西伐利亚王国(1814年汉诺威公国复辟后,格丁根才摆脱法国统治).法国政府征收的高额赋税给了高斯当头一棒,他无力筹足大学教授需交的2 000法币.德、法两国的多名学者闻讯主动伸出援助之手,均遭高斯婉拒;最后是一位匿名者替他交纳了全部税金[后知此人是法兰克福的大主教达尔贝格(Dahlberg)伯爵,曾任罗马帝国的重臣].法国入侵,费迪南德伯爵战死,加上此次征税,无形中加深了高斯在政治上的保守倾向,纵观其一生,他对政治上的变革或激烈行为都持旁观或反对的态度.高斯到格丁根后所受的第二次打击是爱妻在生第三个孩子时难产,不久便去世了(180910).时隔不到半年,新生儿也夭折而去.高斯以独有的克制精神和毅力,很快从精神沮丧中复原.为了正常的生活和工作,为让不满4岁的儿子和刚2岁的女儿得到照顾,高斯于18108月跟格丁根大学法学教授的小女儿米纳·沃尔德克(Minna Waldeck)成婚.第二次婚姻也得二子一女:欧根纳(Eugene)、威廉(Wilhelm)和女儿特雷泽(Therese).在这一非常时期,高斯完成并发表了他的理论天文学方面的名著《天体沿圆锥曲线的绕日运动理论》(Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis So-lem ambientium),阐述他预测天体轨道的方法,首次发表他的最小二乘法,提出现称高斯分布的著名统计规律.

  1814年,格丁根天文台新址基本建成.为配置最好的望远镜等设备,高斯多方奔走,如于1816年赴巴伐利亚会见光学仪器制造家 Gvon 赖兴巴赫(Reichenbach)等,买到了他最中意的装备.1818年,高斯发表了“确定行星对任意点的引力,假定行星质量按下述比例均匀分布在它的整条轨道上,即每一部分轨道上的质量正比于行星通过该段轨道所用的时间”(Determinatio attra-ctionis quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta si eius massa per totam orbitam ratione temporisquo singulae partes describuntur uniformiter esset dispertita),文中利用椭圆积分、算术-几何平均等工具探讨了困难的天体摄动问题.该文是高斯结束其理论天文学研究的标志,此后他的天文研究主要在天文观测,记录特殊天象,计算并报告他对观测数据的分析,亲自调试仪器以达到最佳观测条件,一直到1854年他最后病倒为止.

  高斯退出理论天文学研究的一个原因是大地测量工作引起了他的兴趣.1815年前后,中欧各重要国家出于经济和军事目的,纷纷开始大规模的大地测量.1816年,舒马赫应丹麦政府之请,测绘全丹麦的地理形状,他请高斯协助.在一系列准备之后,高斯于1818年正式同意担负将丹麦的测地工作向南延伸,并开始参加艰苦的夏季野外测绘,冬季则对所获数据进行分析整理.1820年,汉诺威政府正式批准高斯对汉诺威全境作地理测量的计划,任命高斯为实施计划的负责人.18181825的八年间,高斯请他前妻所生之子约瑟夫(Joseph)和若干军人为野外考察的助手,工作井然有序,表现了高斯的组织才能.高斯动用军人的理由是“农夫们尊敬军官”,“军队管理中的纪律和秩序对任何事情都有益而无害”.为提高测量精度,高斯发明了“日光反射信号器”(1820)和光度计(1821).至于实测数据汇集后的计算,几乎由高斯一人承担.他每年撰写的测地报告后汇集于《利用拉姆斯登(Ramsden)仪观测所确定的格丁根与阿尔唐纳两天文台之经度差》(Bestim-mung des
ch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsector1828).长年的劳累损伤了高斯强壮的体魄;1825年医生诊断他患有气喘病和心脏病,迫使他停止了野外作业.此后高斯仍指挥整个计划的执行,并于1847年完成汉诺威全境的测量.

  高斯全力关注测地工作的十年(18181828),是他创造活动的又一个高峰期.高斯在1825年致奥尔伯斯的一封信中说,他这些年未能把充斥脑际的许多思想加以实现.尽管如此,他的两项理论成果已成永垂青史之作.1822年,丹麦哥本哈根科学院设奖征答地图制作中的难题,高斯以“将给定凸面投影到另一面而使

获头奖.此文在数学史上首次对保形映射作了一般性的论述,建立了等距映射的雏形.1827年,高斯写成《曲面的一般研究》(Disquisitiones generales circa supe-rficies curvas1828年出版),这是他积10多年思考测地问题所得之精萃,提出了内蕴几何的新观念,成为此后长达一个多世纪微分几何研究的源泉.测地问题中的大量计算也推动高斯完善他的最小二乘法和对统计规律的严格研究,如他的《与最小可能误差有关的观测值的组合理论》(Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae Ⅰ& Ⅱ,1823),以数学的严格性推广最小二乘法,使它在任何概率误差的假设下,都以最适当的方法来组合观测值.

  在第二次创造高峰期的后期,高斯因测地工作得到额外的津贴(1825年开始领取.此前的18071824年间,高斯的薪金一直固定未动,而家庭负担有增无减),他的经济状况有了根本好转;但高斯却在为他自我感觉到的创造力开始下降担忧.在1826219日致奥尔伯斯的信中,他抱怨自己不能再如此努力而成果不佳,觉得应该去搞有别于数学的其他领域.

  1828年高斯到柏林参加了他一生中唯一的一次学术会议:柏林自然科学工作者大会.洪堡希望他到柏林科学院工作以发挥更大的影响,并答应为他提供磁学研究的仪器.高斯当时对磁学的兴趣确实在增长,但对到柏林就职并不热心.在18221825年间,柏林方面曾和高斯谈判他来柏林的条件,高斯发现这个大都市的办事效率很低,要他担负的领导或顾问方面的责任也过多,因此高斯宁肯留在格丁根.高斯此次柏林之行最大的收获是结识了年轻的、才华横溢的实验物理学家 W.韦伯(Weber).高斯正准备全力投入的物理学各学科原非他熟悉的领域,他正需要一个象韦伯这样的合作者.

  高斯一旦决定转变研究方向,他进入新课题的加速度是惊人的,他发表的下述文章和发明就是明证:

  
s allgemeines Grundgesetz der Mechanik)

  1830年,发表了《论平衡状态下流体性质的一般理论原则》(Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequ-ilibrii)

  1832年,发表了《以绝对单位测定的地磁强度》(Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata)1833年,又与1831年到格丁根工作的韦伯合作发明了电磁电报.

  高斯跟韦伯的合作对他深入磁学研究影响颇大,1833年他们在格丁根兴建了地磁观测站.洪堡曾设想建立全球的地磁测量网,高斯和韦伯的参与加速了这项计划的实施.为使测量准确,他们精心设计以铜材代替铁材,以免磁针受其他铁器的干扰.不久,格丁根的观测站成了地磁测量的中心,各国纷纷仿照他们的设计建站,到1834年欧洲已建起了几十处磁观测站.为促进交流,高斯和韦伯组织了磁学会(Magnetisch Verein),出版年刊《磁学会年度观测成果》(Resultate aus den Beobachtungen des magne-tischen Vereins18361841年间共出版6卷,其中有高斯的15篇和韦伯的23篇文章)1837年,他们改进了测量地磁强度的仪器,发明了双线地磁仪.1839年,高斯发表《地磁的一般理论》(Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus),澄清、简化并发展了已有的地磁理论.1840年,除和韦伯合作出版了不朽的《地磁图》(Atlas des Erdmagnetismus),高斯还发表了《与距离平方成反比而发生作用的引力



地磁学之余,高斯还探讨了若干光学问题.

  在高斯全力投入物理研究的时期,他的家庭生活和人事关系屡屡出现麻烦.夫人米纳在生育特雷泽后身体虚弱,经常卧床不起;儿子欧根纳在选择学业上跟高斯意见相悖.欧根纳是高斯所有孩子中最富语言和数学才能的一个,他想选读科学方面的学科,但终拗不过父亲的威严,不得不进大学去读法律;于是在大学他常放纵自己,时因赌博而负债.父子间的不睦最终导致欧根纳于1830年出走,远度重洋移居美国.米纳不堪这一打击,次年便病故了.高斯的另一个儿子威廉热衷务农,这在父亲眼里是无前途的职业,他因在德国生活不如意,于1832年征得高斯的同意,携妻去了北美.此后父子们再未见面.高斯的第二次婚姻不能说美满,对高斯唯一的安慰是女儿特雷泽十分孝顺,在米纳去世后担起了全部家务,直到高斯去世后才出嫁.在30年代初期,高斯还因一个地磁实验方案而对德高望重的洪堡进行严厉的抨击,造成两人感情上的疏远.

  纵观高斯一生,他待人接物都极力避免感情用事,而且厌恶争吵,即使在有人议论他有剽窃他人成果的嫌疑时也能泰然处之,如高斯正式发表最小二乘法在法国数学家勒让德之后,因而招来非议,高斯对此并未拍案而起,只是在给友人的信中摆明事情的原委.前述争吵是发生在米纳长期患病之后,足见它对高斯造成的心理压力之重,使他无法控制自己的感情.

  这一时期的另一不测事件是由汉诺威的新君主压制民主引起的.受1830年法国资产阶级革命的影响,汉诺威公国曾于1831年通过了一部较为民主和自由的宪法.183711月,新国王 E.奥古斯特(August)取消这部宪法,要求公职人员(包括大学教授)对他本人宣誓效忠.遂有格丁根大学7位教授奋起抗议,其中有高斯最亲密的合作者韦伯,以及高斯的大女婿、东方学专家 GHAvon.埃瓦尔德(Ewald).人们期待高斯采取公开的行动,以其崇高的威望声援他的同事.但高斯保持了沉默.七教授被解760职,其中三人被逐出境外.此时高斯除私下请洪堡为韦伯说情外,未对政府的行动表示异议.实际上高斯不赞成政治上的任何激进行为,倾向于维持王室的统治.况且,时年高斯的母亲已95岁高龄,他本人也年过6旬;高斯不愿因为这一事件改变习惯的生活方式(1848年德国爆发革命时,高斯也是站在保守的保皇分子一边的).韦伯的离去中断了高斯一生中最成功的合作研究,对他后期的物理研究带来了无法弥补的损失.

  19世纪40年代初期开始,高斯几乎完全退出了物理学的创新研究,只从事例行的天文观测,计算汉诺威测地工作中遗留下的问题,对老的研究课题、发表过的评论或报告作些修饰,解决一些小的数学问题.此后的出版物正反映了他的这种状态.他对EE.库默尔(Kummer)新创立的理想论(1845)没有强烈的反应,对海王星的发现(1846)亦很漠然.CG.雅可比(Jacobi)在参加纪念高斯获博士学位50周年大会后说,跟高斯谈数学问题时,他总是把话题叉开而谈些无聊的事.在40年代,高斯对格丁根大学的事务有了较多关注,担任过教授会的负责人;花了几年时间,将大学丧偶者基金会的财务预算奠基于可靠的统计规律之上;他对教学的兴趣也比以前浓厚了.(我们注意到,高斯在大学开的课,大部分是天文学方面的,唯有在当教授的第一年讲过一次数论,他最常讲的课是最小二乘法及其在科学中的应用.)

  晚年的高斯在学术圈子以外的人眼里是位科学奇人,而高斯本人却极端热衷于从报纸、书本和日常生活中收集各种统计资料.在1848年革命时期,他几乎每天到学校守旧派成立的文学会(高斯是会员)附属的阅览室寻觅各种数据.如果某个学生正在看的报是他所寻找的,高斯会一直瞪着他直到对方递过来这份报纸.他因而被学生戏称为“阅览室之霸”.据说这一习惯对他从事投资活动(主要是买债券,包括德国以外发行的债券)大有裨益,他身后留下的财产几乎等于其年薪的200倍,说明他是个理财的好手.

  高斯生命的最后几年仍保持学者风度,没有间断过阅读和参加力所能及的学术活动:

  1850年,心脏病加重,行动受到限制.

  185171日有日蚀,高斯作了他最后一次天文观测.

  1851年,核准 GFB.黎曼(Riemann)的博士论文,给予高度评价.

  1852年,改进傅科摆,解决一些小的数学问题.

  1853年,为黎曼选定为获讲师资格需作的答辩题目(几何基础)

  18541月,全面体检诊断高斯心脏已扩大,将不久于人世.但病情奇迹般地得到缓解.

  18546月,听了黎曼关于几何基础的答辩报告,出席格丁根到汉诺威间铁路的开通仪式.

  18548月,病情恶化,下肢水肿.

  185523日清晨,高斯在睡眠中故去.

  高斯的葬礼有政府和大学的高级官员出席,他的女婿在悼词中赞扬高斯是难得的、无与伦比的天才.送葬抬棺者中有24岁的JWR.戴德金(Dedekind),他曾选修高斯的最小二乘法课.

  高斯的大脑有深而多的脑回,作为解剖标本收藏于格丁根大学.

  《高斯全集》(Carl Friedrich Gauss'Werke)的出版历时67(18631929),由众多著名数学家参与,最后在 F.克莱因(Klein)指导下完成.全集共分12卷.前7卷基本按学科编辑:第12卷,数论;第3卷,分析;第4卷,概率论和几何;第5卷,数学物理;第67卷,天文.其他各卷的内容如下:第8卷,算术、分析、概率、天文方面的补遗;第9卷是第6卷的续篇,包括测地学;第10卷分两部分:Ⅰ,算术、代数、分析、几何方面的文章及日记,Ⅱ,其他作家对高斯的数学和力学工作的评论;第11卷也分两部分:Ⅰ,若干物理学、天文学文章,Ⅱ,其他作家对高斯测地学、物理学和天文学工作的评论;第12卷,杂录及《地磁图》.

  以下介绍高斯最主要的学术贡献.

 

 

  高斯被后人誉为“数学王子”.这种赞誉恰如其分,他是数学史上一个转折时期的杰出代表人物,起着承上启下的作用.18世纪的数学处于由微积分的创立而促成的分析学蓬勃发展的时代,它的代表人物往往毫不顾及推理的严格性,而得到大量跟天文学、力学等自然科学有联系的分析学成果.数论、代数和综合几何方面只有较零散的结果.高斯强调数学作为一门严谨的科学,必须要追求明确的定义、清晰的假设、严格的证明以及成果的系统化,倡导了至今已延续近200年的现代数学传统.

  《算术研究》是高斯最具代表性的著作.该书共分七节.第一节:一般同余.定义有理整数模一个自然数同余的概念;证明同余的基本性质(包括除的算法).第二节:一次同余.证明整数分解成素数的唯一性;定义最大公因子和最小公倍数;导入同余的符号abmodc,转而它代表比m小且和m互素的整数的个数),实质上研究了素剩余的乘法性质.第三节:幂剩余.研究给定数的幂模()素数的剩余,其基础是费马小定理(ap-11(mod p)p是素数且非a的因子),高斯给出费马小定理的两个证明,由此导出素根的概念.(a称为素根,若aa2a3,…(p)可产生所有与p互素的整数),进而利用公式aeb(modp)定义一个数b关于a的指标e及相关的运算;以指标表示法导出一个数的二次特征的判别准则(即判别一个数是否为模p的二次剩余),该准则欧拉已经知道,而高斯的推导和证明更完全和确切;导出了威尔逊(Wilson)定理.以上三节是高斯为读者阅读书的主要部分而首次系统表述的初等数论知识.第四节:二次剩余.在给出定义后证明了他的“基本定理”:若p是形如4n+1的素数,则当任一正素数是p()二次剩余时,p也是它的()二次剩余;对于形如4n+3的素数,类似的结论对-p成立.此即著名的二次互反律,

 

  这一被誉为数信纸中的“酵母”的定理最早为欧拉提出,勒让德作过繁杂的讨论,但都未给出正确的证明.高斯在证明中首先论证定律对某些素数成立,然后通过对素数的完全归纳法证明之.高斯一生中给出过二次互反律的六个不同的证明.1817年高斯就其证明之一发表评论时说:“高级算术的特点是,通过归纳愉快地发现许多最漂亮的定理,但要证明它们……常常要经过多次失败,最终的成功依赖于深刻的分析和有幸发现的某种结合,数学这一分支中不同理论间的奇妙结合.”他认为寻找定理的新证明“绝非多余的奢侈品,有时候,你开始并没有得到最美和最简单的证明,而恰是这种证明才能深入到高级算术的真理的奇妙联系中去.这是吸引我们去研究的主要动力,并常能使我们发现新的真理.”这反映了高斯对纯数学研究的看法.第五节:二次型.讨论二元二次型f(xy)=ax2+2bxy+cy2(abc为给定的整数).该节主要部分的基础来源于拉格朗日,高斯从他的工作中抽象出型的基本性质、型的变换及等价概念,将型的理论系统化并加以发展,如对给定判别式的型的各个类,皆可选取一个型为其代表,高斯给出了选择最简单的代表的准则;他证明了有关型的复合的重要定理,讨论了用型表示数的问题.第六节:应用.提出了上节引入的概念的重要应用,主要涉及部分分数、循环小数、解同余方程以及区分合成数和素数的准则等.第七节:分圆问题.这是高斯于1896年宣布已完成正十七边形作图后首次公开它的理论基础,高斯证明的结论是:一个正多边形,其边数为奇数p时,可尺为任意非负整数).《算术研究》系统总结了前人的工作,解决了一批最困难的著名问题,系统地形成了一批概念和问题,它直接影响了其后一个世纪的研究模式,实为现代数学史上第一部结构严谨的数论巨著.

  高斯曾称“数论是数学中的女皇”,足见他对数论的重视.在他的科学日记及手稿中,还记载着他的其他数论发现,重要的有:

  (1)根据瑞士数学家 J.兰伯特(Lambert)的素数表和他自制的素数表,对素数的分布作出如下猜测,小于x的素数个数π(x)
分式差

  (2)通过实例找到双纽线函数的周期与算术-几何平均的关系,并给出了证明,实际上早于 NH.阿贝尔(Abel) CGJ.雅可比(Jacobi)的椭圆函数研究.他将双纽线函数表成两个整函数 P
Q本质上是雅可比的θ函数的特例.

  (3)写于19世纪早期的一些手稿表明,高斯已熟悉了最终由F.克莱因等人完成的一种模函数的理论的基本要领.他是从二次型的约化理论出发到达模函数论的.高斯还掌握了模函数的几何表示.

 
的高斯和(1811),后在数论发展中变得十分重要.

  (5)在研究四次剩余的理论时,将整数概念推广到复域;即形如a+ib(ab为整数)的所谓高斯整数.他还对几种特殊情形证明了四次互反律.

  (6)提出二元和三元二次型的代数理论有相应的几何模拟(1830),这是数的几何理论的一个发端.

  高斯是19世纪分析严格化的先躯之一.他在1813年发表了“无穷级数……的一般研究”(Disquisitiones generales circa seriem infinitam)讨论超几何级数

  (欧拉曾研究过它),高斯对它的兴趣在于他发现当取不同的α,β和γ时,几乎可以导出所有当时已知的初等函数和许多诸如贝塞尔函数、球函数那样的超越函数,具有极大的普遍性.高斯在文中给出了该级数收敛的具体判据,使它成为数学史上最早讨论无穷级数收敛问题的文献.高斯还在实质上建立了该级数与Γ函数

  在上文发表前两年,高斯对复函数论也作出了开创性的贡献.在给贝塞尔的一封信(181112)中,他描述了复函数沿复平面上的曲
以及复函数基本定理(若复函数f(z)在曲线c及其内部解析,则其沿c的积分为零).因高斯未公开发表他的成果,而 AL.柯西(Cauchy)的表述较为完整,现称此定理为柯西积分定理.高斯在复分析方面的另一重要成果是获丹麦哥本哈根科学院奖的那篇文章.它实际上解决了任一曲面保形变换到任何另一曲面上的解析条件问题.

  高斯的几何学研究,使他实现了19世纪最富革命精神的两项几何创造:非欧几何和内蕴微分几何.

  关于非欧几何,高斯生前从未正式发表他的成果,但从其通信、科学日记及手稿中,可清晰看到他的思想发展脉络,证明他是最早认识到存在非欧几何的数学家.

  (1)17999月,他在科学日记中记道:“在几何基础的问题上,我们获得了很好的进展.”

  (2)同年,W.波尔约在给高斯的信中自称能从欧几里得的其他公理公设推出平行公设.高斯在1217日的回信中婉言否定了波尔约的结论,并说“我可以从存在面积为任意大的直角三角形的假设,严密地导出平行公设.大多数人肯定会把它当作公理.但我不这样做,因为我相信不管三角形三个顶点离得多么远,其面积可能永远在某个限度以内.”

  (3)19世纪初,数学家们已经知道如平行公设不成立,则可导出存在绝对长度单位.但因无法找到这样的单位,勒让德于1794年认定这反而是使人相信平行公设的理由.高斯在给天文学家 CL.格林(Gerling)的信(1816)中表示,绝对长度单位的存在固然值得怀疑,但他无法从存在绝对单位推出任何矛盾.他觉得有一绝对长度单位反而更好,并说:“人们可以取角度为59°59599999 的等边三角形的边长为单位长度.”

  (4)1824年,高斯在回答 FA.陶里努斯(Taurinus)“证明”平行公设的来信时写道:“由三角形的内角和小于180°的假设可导出一种奇异的几何,它跟欧几里得几何大相径庭,但其本身却是相容的.”高斯接着说此类几何由某一常数所确定,“这常数越大,这几何就越接近欧氏几何,当它变成无穷大时,两种几何就一致了.”高斯当时未指出这常数(即绝对单位)的值.实际上它可通过空间曲率K来表示,即
理论一直众说纷纭.我们知道高斯一直认为几何是和力学一样应能以实践检验的科学,他又十分熟悉测量时的误差估计,而在当时的条件下尚不可能对非欧几何进行有说服力的检验,高斯可能是不愿意公布会引起争论而无法作出最终判决的理论.
  关于高斯的内蕴微分几何思想,集中体现在《曲面的一般理论》中.其主要内容为:

  (1)以曲面的参数方程x=x(uv)y=y(uv)z=z(uv)为研究的出发点,定义弧长元素为

ds2=E(uv)du2+2F(uv)dudv+G(uv)dv2

  其中 EFG xyz 对参数的偏导数的有理式组成;并给出曲面上曲线间夹角的定义.

  (2)推广 C.惠更斯(Huygens) AC.克莱罗(Clairaut)关于平面曲线曲率的概念,定义了一个曲面在曲面上一点处的曲率 K=种坐标系(曲线坐标和直角坐标)中给出了曲率用曲面的偏导数表示的公式,证明曲率K完全跟曲面是否在三维空间中或曲面在三维空间中的形态无关.因此当曲面无伸缩地弯曲时,ds保持不变,曲面的所有性质(包括曲率)亦保持不变.这就提出了几何史上一个全新的重要概念,即一张曲面本身就是一个空间.

  (3)研究了曲面上的测地线,证明了测地线构成的三角形的著名

  角形A上的积分,则有

  其中α1;α2,α3为测地三角形的三个内角的值.高斯认定这是“最精美的定理”[即现称的高斯-博内(Bonnet)公式]

 

天文学

 

  高斯曾在给 W.波尔约的信中说,天文学和纯粹数学是他灵魂的指南针永久指向的两极,表明天文学在高斯心目中的地位.高斯是在天文学史上的一个重要时期介入这一领域的.在1800年前后,由于技术和光学仪器的进步,以及观测资料的系统积累,已编制出西方天文学界的第一部可靠的天象图,这对发现新天体大有裨益;又由于外行星的发现(1781年发现天王星),为理论天文学提出了更精确计算行星摄动的问题.

  180111日,意大利天文学家 J.皮亚奇(Piazzi)新发现一颗亮度为8等的星,到同年211日,人们仅观测到它在其轨道上运行了9°,它便行至日光中而无从继续观测.全欧洲的天文学家都期待重新发现这颗现定名为谷神星的小行星.高斯根据拉普拉斯的方法和他在算术-几何平均方面的知识,详细计算了谷神星的星历表,预测了它再次出现的时间和位置.高斯的方法载于《天体沿圆锥曲线的绕日运动理论》,其新思想是充分利用半径向量扫过的扇形面积与相应三角形的比值.高斯不必事先假设被观测天体的运行轨道是椭圆还是双曲线,只要根据三次完全观测(即包含时间、赤经和赤纬的观测)就能算出运行轨道的特性.高斯方法的普适性使得整个计算比前人针对不同天体使用不同的特殊方法要复杂,但它对新发现的星体轨道的计算有本质的优越性,特别是当观测资料像初次发现谷神星那样十分匮乏时(此时很难区分该星是彗星还是行星).高斯的方法遂成为计算天文学的经典.

  在上述著作中,高斯首次发表他的最小二乘法,这是他整理观测数据必不可少的工具.1812年他在致拉普拉斯的信中称,自1802年起几乎每天用最小二乘法计算新的行星轨道.在1803年他还和阿尔伯斯讨论过这种方法,高斯的遗稿证实了上述说法.可见高斯和勒让德同为此方法的独立发明者,不存在剽窃问题.

  高斯在“确定行星对任意点的引力……”以及一些手稿中,继牛顿和拉普拉斯创立天体摄动学说后,提出了一种分析摄动问题的具体模型,即将行星质量假想为按一定方式分布于整个运行轨道上,据此计算星体间的互相影响,探讨了长年摄动问题,对摄动理论做出了基础性贡献.

  高斯对实用天文学的贡献除积累了几十年的观测资料,预报新发现的小行星轨道外,还自制天文仪器六分仪,为提高观测精度而从事几何光学研究,改进了望远镜的质量.

 

测地学

 

  高斯在实施汉诺威公国的测地计划的实测工作中,使用传统的三角测量法,即从长度精确测定的基线出发,选定一个三角形网络将所测的地域覆盖.各三角形的顶点的选取,至少应能保证从两个方向上对其进行目力观测.测出各三角形内角的精确值是提高测地精度的关键.由于地形千变万化,仪器精度不高,使实测工作费时费力;测量时不可避免的随机误差也给数据处理提出了新课题.高斯首先设计了日光反射信号器以提高观测精度.该仪器的主要部件是一面能旋转的镜子,配以必要的光学仪器(如小望远镜),它在测量时既可作为发光的被测目标,又可用于传递信息,成为三角测量的标准仪器.借助这一发明,高斯能进行远距离的观测(反射光在15英里远处仍相当于一等星的亮度),即使在天空有云,无直射阳光照射的条件下仍能保证观测继续进行.这一仪器到1840年才为其他人改进.高斯还曾设想用100个平面镜(每个为 1.5×1.5平方米)制作巨大的反射器,它可将日光反射到月球表面,如果能把天文学家送上月球,他们就能根据反射光轻而易举地决定经度差.

  在测地的理论工作方向,高斯依据前述保形变换的一般理论,给出了平面到平面、球面到平面和旋转椭球面到球面的保形映射实例.他还在《……格丁根与阿尔唐纳两天文台之经度差》一文中,首次提出可将地球表面视为在其上每点与重力方向相垂直的几何面,以后发展出他的位势理论.高斯的测地工作总结于他的论文“高等测地学研究”(Untersuc

  高斯的工作后为德国测地学家所发展,著名的高斯-克吕格尔(Krueger)投影即是其一,它是横向墨卡托(Mercator)投影的推广.

  曾有人对高斯花费巨大精力于野外测量表示婉惜.贝塞尔于1823年就劝告他放弃实地观测,以免虚度年华.高斯回信说:“世上所有的测绘与度量,确实比不上哪怕是将科学真理向前推进一步来得有份量.”但他觉得“不可能凡事都用一种绝对的标准去衡量”,还“应该考虑相对的价值.”无论如何,高斯觉得他为国家做了一件实际有效的工作而感到宽慰,况且因此而获得的津贴彻底改善了他的经济状况.

 

物理学

 

  高斯在物理学方面的第一项成果是于1829年提出的力学中的最小约束原理:一个系统的运动将尽可能少地偏离其自由运动的状态,偏离的程度由各部分质量乘其偏离自由运动路径的距离平方的总和来度量.这是著名的达朗倍尔原理的一种新的等价形式,它明显跟最小二乘法有关,高斯则自称这项成果受益于对毛细现象的研究.后者的成果总结于1830年那篇“论平衡状态下流体性质……”的文章,其中有涉及重积分、边界条件和可变积分界限的变分问题的漂亮解答,给出了平衡流体理论的一个基本定理.高斯说他对流体性质的研究是纯理论性的,属于理论物理学的一种练习,是想看看到底有哪些数学能用于说明自然现象.

  高斯在物理学上的惊人之举是和韦伯合作发明了世界上首例电磁电报.其理论依据来自 HC.奥斯特(Oersted)发现的电流会使磁针偏转(1820) M.法拉第(Faraday)发现的感应电流.他们的电报装置,一端(发报机)是可沿磁棒移动的感应线圈,另一端(收报机)是线圈及用细线悬挂的磁针,中间以导线将两端线圈联成回路(带开关).利用感应线圈的移动和开关的开断,可产生磁针朝两个方向(向左←或向右→)的偏转,即传递两种信号.高斯和韦伯规定了字母与偏转方向间的对应关系.如G对应于←,→,→;N对应于→,←;S对应于←,←,→等等.1833年的第一份电报内容是“Michelmann Kommt(“米舍尔曼来了”,此人是协助他们架设电报装置的机工),共使用了40次磁针偏转,通报距离约1公里.高斯和韦伯在18331845年间常用这部电报机在天文台和物理实验室间互通短小的信息.电报机于1845年毁于雷击.高斯认识到电报在战争及经济活动中的重要性,曾建议政府广泛使用,但未获成功.

  高斯和韦伯合作的地磁学研究达到了更深的理论层次.洪堡的全球地磁观测计划,目标是测定地磁强度、磁偏角和磁倾角随时间和地点的变化,以建立令人满意的地磁理论.高斯首先为磁的度量确立了一套“绝对单位制”(1832).他的基本想法是磁(他称作磁流)能够而且应该以其效应来度量,他定义单位“磁流”为如下强度的力:以单位磁强排斥相隔一单位距离的另一单位“磁流”.他选定力学中度量长度、质量和时间的惯用单位毫米、毫克和秒为基本单位,借助库仑定律将它们引伸到磁学(以至静电学)中,确立了度量磁场强度的标准,韦伯运用这一思想建立了电动力学的绝对单位制.他们的这套单位制在1881年经适当修改后为国际物理学界所接受,即所谓的厘米·克·秒单位制,高斯的名字被选作磁场强度和磁感应的单位名称.

  在《地磁的一般理论》中,高斯进一步定义了磁位势,若以μ代表
证了为什么只有两个磁极,并讨论了磁场线的解析定义.高斯提出的一种新的确定磁力的水平分量的强度和倾角的方法成为实验家的有力武器.在计算磁位势时,高斯用球函数的一个无穷级数表示地球表面上任一点处的磁位势,并利用世界各地磁观测站提供的数据对级数前24项系数进行估值,由此不难算出在任意点处的磁位势.高斯的地磁学研究是他的测地工作的补充,为当时正兴起的对地球进行科学的描述提供了数学的理论和方法.

  高斯一生中多次关注过几何光学的理论问题,为消除光学仪器的色差,他提出将不同质地的凸透镜与凹透镜组合使用,即所谓的高斯物镜,它不仅可用于望远镜,也可用于显微镜.《光的折射研究》(Dioptrische Untersuchungen1840年完成,1843年出版)是高斯主要的光学著作,他分析了光通过一组镜片的路径,证明了任一组镜片可等价于适当选择的单个镜片.