勒让德

徐州师范学院 侯德润

  勒让德,AM(LegendreAdrien-Marie)1752918日生于法国巴黎;183319日卒于巴黎.数学.

  勒让德出身于一个富裕家庭,就读于巴黎的马扎林(Maza-rin)学院.他受过科学教育,特别是数学方面的高等教育.他的数学老师 JFM.阿贝(Abbè)是一个小有名气并且在宫庭中受到尊敬的数学家.1770年勒让德18岁时,就在阿贝的主持下通过了数学和物理方面的毕业论文答辩.他的经济条件足以使他全力以赴地从事科学研究工作.但尽管如此,他还是在1775年到1780年在巴黎的军事学校教过数学.他的研究工作受到科学界的注意,并在1782年获得柏林科学院的奖励.1783330日,他取代 PS.拉普拉斯(Laplace)作为一名力学副研究员被选进科学院,1785年被提升为合作院士.

  1787年,他被科学院指派担任巴黎和格林尼治天文台联合进行的大地测量工作,并参加了皇家学会.1790年前后,与一位19岁的姑娘玛格丽特·库塞(Marguerite Couhin)结婚.1791413日,他被任命为一个三人委员会的委员,设置该委员会的目的是解决为确立标准米而进行的天文运算和三角测量问题.1793年科学院被查禁,他一度被迫隐居,由他的年轻妻子帮助他创造了一个安静的环境继续从事研究工作.他们一直没有子女.

  1794年,巴黎行政区的公众教育委员会任命勒让德为马拉(de Marat)专科学校的纯粹数学教授.不久该校解散,他又担任公众教育国家执行委员会第一办公室主任,领导处理度量衡、发明创造以及对科学工作者的奖励等事宜,不久成为该委员会的高级秘书.1799年,他继拉普拉斯之后在巴黎综合工科学校担任研究生答辩的数学主考人,1815年辞职,得到一笔3000法郎的养老金.1813年,JL.拉格朗日(Lagrange)去世,由勒让德取代了他在经度局的位置,并在那里终其余生.

  勒让德在数学方面的贡献,首先表现在椭圆函数论.有许多理由足以说明他是椭圆函数论的奠基人.在他之前,C.麦克劳林(Maclaurin) JR.达朗贝尔(d'Alembert)曾研究过可以用椭圆或双曲线的弧表示的积分.GC.法尼亚诺(Fagnano)1716年曾证明,对任意给定的椭圆或双曲线,可以用无穷多种方法指定两条弧,使得其差等于一个代数量.他还证明过,伯努利双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)的弧能够像圆弧那样被代数地加以乘、除.这是椭圆积分简单应用的第一个说明.这一积分被勒让德记作F(x),他认为用它可以决定所有其他的积分.从法尼亚诺的研究出发,L.欧拉(Euler)着手处理更一般的椭圆积分,并得出了现在称为第一类和第二类椭圆积分的加法定理.1768年,拉格朗日把欧拉的发现纳入通常的分析程序.1775年,J.兰登(Landen)又证明了双曲线的每一条弧能够用一个椭圆的两条弧来度量.1786年,勒让德出版了他的关于椭圆弧的积分的著作.其中第一部分是在他知道兰登的发现之前就已写出的.他避免应用双曲线的弧,而采用作一个适当构造的椭圆弧的表的办法来代替.他给出兰登定理的一个新的解释,并且用同一方法证明了每一个给定的椭圆是一个无限多的椭圆序列的一部分.求出两个任意选定的椭圆的周长,就可以求得所有其他椭圆的周长.有了这条定理,就有可能把一个给定椭圆的求长问题化成两个其他的和圆相差任意小的椭圆的求长问题.

  不过,这一课题及一般形式的超椭圆函数理论,需要更系统的处理.这正是勒让德在他的“关于椭圆超越性的论文”(Mémoire sur les transcendantes elliptiques1793)一文中所提供的.他提出对这一类型的所有函数应进行比较,将其区别归类,把每一个变成可能的最简形式,并利用最容易、最快速的近似法对其求值,进而作为一个整体从理论上建立一个算法系统.

  勒让德后来的研究,从几个方面完成了这一理论.1809年,他发表了“各种不同定义的积分的研究”(Recherches sur diverses sortes dintégrales difinies)一文,继续从事对欧拉积分(这一术语是勒让德给出的),特别是对Г函数的研究.1811年,勒让德在《积分练习》(Exercices de



 

  第三类积分为

  其中η为参数.每一个椭圆积分可被表示为这三种超越类型的一个组合.

  

 

   

  定理指出:

   
(μ)可以被一个任意常数(整数或有理数)相乘.经过这样的研究,勒让德对三种类型的积分中的每一种都导出了许多结果.

  
角.根据兰登定理,他建立了一种变换,后来称之为二次变换,即如果

  复使用这种变换,勒让德建立了椭圆函数表,于1817年公开发表.

  1826年,勒让德又出版了《椭圆函数论》(Traité des foncti-ons elliptiques),在第二卷中列有9张这种表.最后一张表是函数FE
时取10位小数,在45°至90°之间时取9位小数.他曾写信给 CGJ.雅可比(Jacobi),说他在无任何外力帮助的情况下致力于如此冗长而乏味的工作,但却乐此不疲,并认为这一工作的重要性完全可以和 H.布里格斯(Briggs)的对数表媲美.

  1827年,雅可比也开始研究椭圆函数.他写信把自己的和NH.阿贝尔(Abel)的发现告诉给勒让德.面对年轻对手的挑战,勒让德的态度是非常热心和直率的.他在《椭圆函数论》第3卷的序言中赞扬了这位“柯尼斯堡的年轻几何学家”以及阿贝尔.后来又发表了《椭圆函数论》的3个附录.前两个主要介绍了雅可比的工作,也提到阿贝尔,其中包括椭圆函数和勒让德积分的反函数.勒让德以其惯有的略嫌冗长的模式讨论了将椭圆函数推广到复数域和双周期.附录三主要讨论阿贝尔的工作和他的大定理.183234日,勒让德总结他的工作说:“我们仅接触到这一课题的表面.可以预言它将随数学家的工作而日趋成熟,最终将构成超越函数分析中的一个最漂亮的部分.”

  数论是勒让德特别关注的第二个重要领域.早在1785年,他所发表的“不定分析的研究”(Recherches danalyse indétermi-née)一文中即载有二次剩余互反律及其若干应用的一个说明,把数分解成三个平方数的理论的概述,还陈述了一条以后变得很有名的定理:“每一个首项和公比互素的算术级数中都含有无限多个素数.”1798年,他又发表了他的《数论随笔》(Essai sur la théoriedes nombres)一书的第一版.他在这本书里,用更系统和更彻底的方法处理了“不定分析的研究”中的那些论题.该书是18世纪数论学科的主要著作之一.第二版以《数论》(Théorie des nom-bres)为名于1808年出版.在这一版的引言中,勒让德提到要高度注意严密性,这一点是值得赞扬的.在这一版中,他利用和 Pde费马(Fermat)的无穷递减法有关的技巧证明了整数乘积的变换性.作为欧拉和拉格朗日的一个直接追随者,勒让德和他们一样,经常使用连分数的算法,用来解一阶不定方程,并用来证明费马方程x2-Ay2=1 恒有一个整数解.以后他又给第二版增加了两个附录(18161825).第二个附录中含有方程x5+y5=z5不可能有整数解的一个漂亮的证明.接着就是对这条定理的更复杂情形的考察.该书第三版分成两卷,于18305月问世.第三版发展了第一版中的内容,并添上一些在很大程度上受到 CF.高斯(Gauss)影响的新思想.这一版特别有价值.它和高斯的《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae1801)一起同为这门学科中的标准著作.

  勒让德还追随拉格朗日研究过二次型,在某些方面得到了完善的结果.例如,他证明了每一个非8k+7型的奇数是三个平方数的和.在这一结果的基础上,AL.柯西(Cauchy)1812年针对多项式数的情形证明了费马定理.

  勒让德对数论的主要贡献是提出二次剩余的互反律.这是18世纪数论中最富于首创精神的可能引出最多成果的发现.1785年,他用一个冗长而不完善的说明提出这一定律.1801年,高斯对勒让德的陈述进行了批评,并宣称他是第一个能够严格叙述这一命题的人.1808年,勒让德采用了这位年轻的批评者所给出的证明.他发明了记号(p/q),令其等于1-1,以表示pq的二次剩余或二次非剩余.在这种记号下,二次互反律说,如果pq是不同的奇素数,那末

(p/q)(q/p)=(-1)(p-1)(q-1)/4

  1830年,他又把他认为是更好的雅可比的证明补充了进去.

  作为一个非常熟练的计算工作者,勒让德提出了有价值的数表.他编列了二次型的二次和一次的因子以及费马方程x2-Ay2=±1的最小解.后一张表出版于1798年,并在1808年用一种更简略的删节本形式重印.

  勒让德还是解析数论的先驱者.他在1798年提出了素数分布定律的初步形式,1808年又使其更加精确化,呈现为如下形式:如果y是小于纳法发现这一定律的.1793年,高斯由直觉看出了素数的渐近分布定律.但是,第一个明确给出这一条非凡定律的,还是勒让德.

  另一方面,勒让德早在1785年便说明了在每一个算术级数ax+b(

  对数论研究开辟了一个十分广阔的园地之后,勒让德在1830年又试图阐述阿贝尔的关于方程代数解的概念.勒让德认为,他已令人信服地证明了对于高于四次的方程来说,求得一般的解是不可能的.他还对研究方程的数值解法表示过兴趣,特别是研究过根的分离和把它们展开成连分数.1808年,他提出了关于代数基本定理的证明,与 JR.阿尔冈(Argand)1806年给出的证明十分类似.

  在他的《几何学原理》(Eléments de géométrie1794)的附注4(发表于该书的第一版)中,勒让德利用连分数的算法建立了兰伯特定理(1761):圆的周长和直径的比是一个无理数.他改进了这一结果,证明了这个比的平方也是一个无理数,并补充说:“很可能数π甚至不包含在代数无理数中,但是要严格说明这个命题似乎是非常困难的.”

  在他整个一生中,勒让德都对数论有着极大的兴趣.他非常了解这个题目的困难.因此在他最后的几年当中,经历了一个对它不再抱希望的过程.例如,他在1828年写信给雅可比说:“我打算奉劝你不要化太多的时间去研究这类问题;它们是非常困难的,而且往往是毫无成效的.”

  天体力学是勒让德在他早年科学研究生涯中关心过的另一个领域.他年轻时曾从事关于星球的相互吸引问题和它们的平衡方式的研究.17831月,他在科学院宣读过一篇关于这一问题的论文,该文发表在《外国博学者文集》(Recueil des savants étran- gers1785)一书中.他在这篇文章中证明了一条定理:如果旋转体对位于轴的延长线上每一外点的引力为已知,则它对每一外部点的引力也可求得.文章中出现了我们现在所谓的勒让德多项式.对这一多项式的研究引起了以后一系列浩瀚的工作.

  17847月,勒让德在科学院宣读了“关于行星形状的研究”(Recherches sur la figure des planètes).他在此文中推导出勒让德多项式的一些性质,并将这些性质和其他性质运用到万有引力的问题上.此后不久,他又发表了“关于地球形状结果的三角运算”(Mémoire sur les opérations trigonomètriques dont les résultats dépendent de la figure de la terre).在这篇文章中有一个关于球面三角的“勒让德定理”:

  “当一个(球面)三角形的边相对球半径是很小的时候,它非常近似于一个直线三角形.如果从它的每一个角中减去这三个角之和与二直角(之和)之差的三分之一,则按这一方式所得的角可以被看作是一个直线三角形的角,这个三角形和已知三角形有相等的边长.”

  1790年,勒让德发表了“论重积分”(Mémoire sur les inté-grales doubles)一文.他在这篇文章里完成了他关于球体吸引的分析、包括对非均匀球体情形的研究,以及某些微分方程的特殊积分的探讨.

  18世纪末,由Rde普隆尼(Prony)领导的法国勘测局编制了三张数学用表,即:按一直角的每千分之十度计算角的余弦,精确到小数第22位;按一直角的每千分之一百度计算正弦的对数,精确到小数第12位;以及从1200 000各个数的对数,也是精确到小数第12位.这项工作由以勒让德为首的分析学家们组成的一个小组进行准备,勒让德设计了一些新的公式用以确定正弦的相继的差,并根据一些恒等式对计算出来的结果相互验证.1802年,勒让德写道:“这三张表是用新方法计算出来的,主要是基于差分演算的方法,它们是树立于科学事业中最出色的纪念碑之一.”这些手抄表的抄本被收存在经度局中.有一篇解释性的文章发表在《专科学校论文集》(Mémoires de l'Institut1801)里.

  还有一个重要领域是勒让德的著作中所涉及到的,即初等几何——特别是平行线理论.他在这方面的著作《几何学原理》多次再版并被翻译成英文、德文、罗马尼亚文,支配了这门课程的初等教育几乎达一个世纪.附于书中的详细注释至今尚有一定的价值.1793年,公众教育委员会又委托他和拉格朗日合写了一本题为《微分学和几何学原理》(léments de calcul et de géométrie)的教材.《几何学原理》中的教义式的表述,标志着法国在很大程度上对欧几里得的迷信.在非欧几何学家为了使他们的概念被公众接受所作的斗争中,这本书倍受责难.1832年,勒让德曾回忆起他在1794年至1823年为证明欧几里得平行公理所作的种种努力,他本人从未认识到这一切都是徒劳的.实际上,在他的一个似乎是无可挑剔的证明中,可以找到一个谬误.正如I.牛顿(New-ton)的众多信徒一样,勒让德也笃信绝对空间和直线三角形边的“绝对的量”.遵循拉格朗日在《都灵杂录》(Mémoires de Turin1761)中所提出的倍受青睐的“量的齐次性法则”,勒让德在1794年建立了三角形的内角和定理.假若给定三角形的一条边a和该边的两个邻角BC,则此三角形可以唯一确定.第三个角A应为已知各量的函数:

  认为:“这一结果说明一条边a可以等于一个没有维数的纯粹数量,这是荒谬的.”量的齐次性法则必然使得这个长度在一开始就不能在公式便容易得到A+B+C=π.

  直到生命的结束,勒让德从不怀疑这一推理的价值.失败的原因是他在最后的分析中总是依赖那些按欧几里得的观点看来是“显然”的命题.例如:凹向相反的两条凸周线必在有限远处相交;在一个角的内部总可作出一条直线使其与角的两边相交;过不共线的三个点总可以作出一个圆.他在球面几何和球面三角方面的鉴别力并没有使他消除对绝对欧氏空间的盲目信任.他在1832年写道:“这条关于三角形的三个角的和的定理应该认为是那些基本真理之一.这些真理是不容争论的,它们是数学永恒真理的不朽的例子.”

  勒让德的科学活动从大约1770年起到1832年止,在1819世纪各从事了30年.他是拉格朗日的一位杰出的门徒,也超过了欧拉的所有弟子.他和当时其他数学家一样,既处理抽象数学,也研究数学在宇宙系统中的应用.他的著作是过渡性的,很快就陈旧了.但尽管如此,他仍是一位不平凡的计算工作者,一位熟练的分析学家,而且总的说来,是一位优秀的数学家,特别在椭圆函数论和数论方面做出了杰出的贡献.