北京师范大学 赵擎寰

  蒙日,G(MongeGaspard)1746510日生于法国博恩;1818728日卒于巴黎.几何学、数学分析、化学、物理学、机械制造、科学技术教育.

  
aune)的一户穷苦人家,祖父务农,父亲为小贩和磨刀人.蒙日弟兄三人,他是长子.

  蒙日先在家乡一所天主教所设的学堂学习,后转学里昂,18岁毕业,留校教物理课.这年夏天回家,他自制测绘工具,画了一幅大比例的博恩平面图,得到一位工程兵军官的赏识,推荐他去梅济耶尔皇家工程学校学习.此校培养设计军事工程的军官,因为他不是贵族子弟,只能接纳他做一名绘图员兼技工,绘制防御区的平面图,制作建筑的模型.这使他失望,但没有自馁,他勤学苦练,并听些允许听的课,他的绘图能力进步很快.不到一年,他请求参加一项防御工事掩蔽体的设计,他不用当时惯用的计算法,而采取图解法,迅速地完成了任务.经过审核,确认他的方法严密,结果正确.这是他迈向画法几何学的第一步,第二年他就担任了数学课的辅导教师.1769年,23岁的蒙日以普通教师的身份,接替数学教授C.博叙(Bossut)任教,但对于设计制图方法,限制他只准在课堂内讲述,对外保密.同年,他的第一篇关于微分几何学的论文写成(1771年在科学院宣读)1770年他兼教该校的另一基础课——物理实验.1772年,被巴黎科学院选为通讯研究员.1775年,皇家工程学校正式授予他“皇家数学和物理学教授”学衔.1776年,他在科学院与 AT.范德蒙得(Van dermonde)AL.拉瓦锡(Lavoisier)等作了多种物理化学实验,验证当时新的理化知识.1777年他和C.于阿尔(Huart)结婚(后生三女).因管理妻子的锻造厂而对锻冶发生兴趣,又由于化学工作的需要,他在学校逐步建起一座化学实验室.略后于拉瓦锡,他以简陋的设备使氢和氧合成水,并首次液化空气、二氧化硫(硫酐)成功.1780年,蒙日当选为科学院的几何学副研究员,并被任命为巴黎卢弗尔(Louvre)流体动力学讲座的教授,于是他移居巴黎.皇家工程学校的课程由旁人接替,他只领导化学研究.1783年他被任命为法国海军学员的主考官.次年,完全离开了皇家工程学校.蒙日在此校的18年间,由一名中等文化程度的青年,通过勤奋自学,成为一位既有科学理论,又有理化实验技术和设计制图本领的科学家.

  海军学员的主考官,负有指导海军学校业务的责任,这些学校是当时法国进行科学教育的学府.蒙日视察了每一个港口,调查了铁矿场、铸造厂和制造厂,了解到许多锻冶和加工技术问题.1786年在海军学校开展的教学改革,为他在大革命时期的科学技术教育革新措施,提供了经验.

  1786年,他与C.贝特莱(Berthollet)、范德蒙得合作写出论文“论不同金属状态下的铁”(Mèmoire sur le fer considéré dan-sses différents états métalliques1786).为海军学员所编的《静力学基础教程》于1788年出版.此书包括了力偶理论、任意二正交力系等,是19世纪法国的名著.1846年由蒙日的学生著名数学家A.柯西(Cauchy)补注出版[3].

  法国大革命开始,蒙日是科学院的积极参加者,1790年加入了雅各宾俱乐部.当时他在科学院制定、推行公制计量单位委员会工作.1792年共和国成立,蒙日担任海军部长.他以过于温和而遭到反对,任职八个月后辞职,回到科学院继续研究计量单位问题,并参加科学普及委员会、保护艺术品和文物的委员会.由所著《画法几何学》(Géométrie descriptive)对雕刻、色彩的论述,及参加保护艺术品和文物工作,可看出他有对艺术品的鉴赏能力.17939月为抵御外侮,蒙日参加了军械委员会,与贝特莱等写了关于锻造与表面硬化钢方面的论文(见他们“就制钢问题致炼铁工人书”(Avis aux ouvriers en fer sur la fabrication de lácier1793)),为军械厂制订操作规程,编写大炮技术文件.他还研究了硝的萃取和提纯及军用气球的制造,对于法国短期内解决军火生产技术,起了很大作用.他同时关心改革科学技术教育问题,提出建立学校培养技工和工程师的建议和方案.1794年他被委派组织委员会筹建中央公共工程学校,即后来成立的综合工科学校(为法国著名的理工大学).此校体现了蒙日的科学技术教育思想,使理论科学与技术科学相结合,成为以后各国理工科大学的模式.蒙日在校任教多年并任校长,培养出大批人才,其中许多是世界知名的学者.

  蒙日建议成立学校培养中等学校师资.1795年元月世界第一所高等师范学校开学(现名巴黎高等师范学校),蒙日讲授画法几何学(géométrie descriptive,由蒙日命名),并辅导作业.学生1200多名,来自全国各地.助教为著名的科学家J.傅里叶(Fourier)SF.拉克鲁瓦(Lacroix).讲授内容的速记稿随后在该校校刊发表,但对外保密.6月,综合工科学校成立,蒙日任教画法几何学和数学.数学讲授内容,当时以未装订的活页散发,正式出版时,书名为《分析应用于几何论稿》(Feui-lles d'analyse appliqée à la géométrie1801)

  179512月蒙日参加了筹建法兰西研究院的工作,研究院成立,他成为研究员.1797年被任命为综合工科学校总监(校长)

  17987月蒙日随拿破仑(Napoleon)去埃及,曾筹建埃及研究院并任院长.在埃及对沙漠中所见“海市蜃楼”现象,作出解释.同年,《画法几何学》的保密令经他的学生们的吁请而取消,在研究院公开出版.179910月他回国继续任综合工科学校总监.

  拿破仑雾月政变,任命蒙日为元老院终身议员,后任议长.1800年,蒙日创办国家工业奖励会.同年,拿破仑提议设立荣誉勋位团,以高级勋位与勋章授予蒙日等科学家.

  1804年拿破仑称帝,学生不往祝贺,拿破仑震怒,蒙日为学生缓颊而得到宽恕.拿破仑要求学校实行军事组织,遭到蒙日的抵制.

  1808年蒙日被封为佩吕斯伯爵(佩吕斯(Péluse)为埃及古文化遗址地名)1809年,他因关节炎症,课程由他的学生、著名科学家F.阿拉贡(Arago)接替.拿破仑失败,波旁王朝复辟,革除了蒙日的职务.1818年蒙日病殁.学生和校友不顾阻止往墓地献了花圈,并捐款建立墓碑.1846年蒙日诞辰100周年,法兰西研究院举行纪念会,建立塑像;200周年(1946)时,苏联科学院举行纪念活动,出版《画法几何学》俄译本和纪念文集;240周年(1986)时,中国工程图学学会译《蒙日画法几何学》出版,邀法国科学史学会会长参加举行纪念会,出版纪念论文专辑.

  蒙日在1794年筹建中央公共工程学校时,把画法几何学列为“革命科目”.它的意义可从《画法几何学》公开出版时蒙日所写绪言(或“纲领”(Programme))中看出:是为使法国摆脱长期对外国工业的依赖,普及工业进步不可缺少的知识,利用机器减轻手工劳动,提高产品的精确度.他还认为画法几何的学习,适合于锻炼人的聪明才智.他希望本学科的知识能够普及到国民教育中去,它不仅为设计、施工的人所需要,而且为参与制作机器零部件的技师以及使物体具备一定形伏的所有工人必不可少.熟悉画法几何学知识,可以“使自然力在人们的各种活动中发挥作用”.

  蒙日《画法几何学》起初的版本,包括五个部分,即画法几何学的目的、方法及基本问题,曲面的切平面和法线,曲面的交线,曲面相贯线作图方法在解题中的应用,双曲率曲线的曲率和曲面的曲率.最后一部分是结合微分几何学基本知识论述的.1811年第三版由他的学生JNP.阿歇特(Hachette)作了注释.1820年第四版由B.布里松(Brisson)根据蒙日的手稿整理增入阴影理论和透视理论两个部分.画法几何学公开后不胫而走,传入各国,起初是军工学校,以后普通理工院校相继开设这一科目(如布拉格1801年,意大利1804年,俄国1809年,维也纳1815年,美国1816年,德国1830).他们先用法文原本为教材,后用译木和自编的教材.画法几何学的推广应用,对各国工业的发展作用很大.由于各国学者的研究,画法几何学在深度广度上都有所发展,但有的在蒙日书中已有萌芽.1813年,德国数学家CF.高斯(Causs)看到此书,认为它简明扼要,课题由易而难,内容新颖并有发展,体现了“真正的几何精神”,是“智慧的滋补品”.建议德国科学家也学习此书,弥补过于偏重解析法、忽视几何直觉想象的流弊,提高感觉的严密性和清晰性.

  蒙日《画法几何学》的图法,主要是用二正交投影面定位的正投影法,有人称为“蒙日法”。但这种图法并非蒙日首创.欧洲文艺复兴时期的1525年,德国的A.迪勒(Dürer)已应用互相垂直的三画面画过人脚、人头的正投影图和剖面图.17世纪末,意大利人A.波茨措(Pozzo)所著《透视图与建筑》(Prospective depettorie akchittiVol.Ⅰ,1692Vol.Ⅱ,1697)中介绍了先画物体的二正投影图,然后根据正投影图画透视图的方法.此书不久传入中国,1729年由我国画家年希尧节译编成《视学》一书,这种图法在蒙日诞生前已为我国人所知.蒙日在论述画法几何学的目的时,也明确指出,这种图法是“长期实际经验中发现的方法步骤”.至于他不用互相垂直的三投影面,是因“在画法几何学中,很久以来,大多数人以及珍惜时间的人,都使用更加简便的方法步骤,只用两个平面上的投影取代三个平面.”他还说明:在方便时也可用不垂直的二投影面,不过习惯上是假定一为水平一为垂直而已.

  在资本主义初期西方国家的图样遗存中,可看到许多用两个、三个画面分别由各方面观察物体画出视图,综合起来表达物体形状的图样.可知长期以来,有些人已掌握了这方面的一些知识.不过应当看到,这些知识不是系统的,而是零散的.蒙日的最大贡献,在于用“投影”(或“射影”)的观点对这些知识进行了几何的分析,从中找到规律,形成体系,使经验上升为理论;同时使作图方法也形成了体系.利用这种体系,不仅图形精确了,难画的容易画出了,而且可“由已知通向未知”,寻求“真相”,即可用来图解空间几何性质问题.现在则不仅用来帮助人们“图示”、“图解”,而且发展到辅助人们“设计”需要的形体.蒙日把这种体系视为“语言”.现今计算机时代,这种“语言”仍在积极地发挥着作用.

  蒙日惯用实例说明方法.《画法几何学》中的实例都是他在长期教学和科研中积累的,有的至今仍有生命力,为人们所采用.书中包括了他在近世综合(纯正)几何学上新发现的定理的论证,如人们称为“蒙日定理”的三球公切平面定理(球心不共线的三球,公切平面过三外相似心,或过二内相似心和一外相似心).也包括运用他对于空间曲线、曲面形成的理论(与解析几何、微分几何一致)的作图方法.显著的是用他定义的迹线表示“面”(平面、曲面),研究截交线、相贯线、表面展开及表面上截交线的展开等的作图.他把画法几何作图与代数运算相比较,指出:“画法几何学的任何作图法,解析法都能表达”,“每一解析运算,在画法几何学中都可看作是一个画法步骤.”他建议:“最好同时学习两种科学,把画法几何学的直观性引进复杂的解析运算中,同时把解析法的普遍性引进画法几何学中.”阿歇特在注释中,介绍了蒙日关于求作三元一次方程组所表示的三相交平面交点的解析运算法同图解法相互对照.由此可以看出当年蒙日是怎样运用他的几何观点研究同一问题的画法几何图解和解析几何运算的.

  画法几何学出现于18世纪末,固然是由于生产发展的需要(如军事工程、机械制造),同时也是由于数学(特别是几何)的发展具备了可能的条件.没有G.德扎尔格(Desargues)R.笛卡儿(Descartes)P.费马(Fermat)A.克莱罗(Clairaut)等前人的业绩和启发,蒙日就不会有在解析几何、微分几何、偏微分方程等分支上的新成就,也不可能创立这门对科学和技术有深远影响的画法几何学,蒙日用“descriptive”命名本学科,也有深长的用意,在当时是得到JL.拉格朗日(Lagrange)PS.拉普拉斯(Laplace)、博叙等人承认的.我国清末初译称“图法几何学”,后经著名科学家萨本栋和教育家蔡元培于1920年译称“画法几何学”,学科名称从此确定.现在新出现的四维、多维画法几何、非线性投射画法几何、画法微分几何、计算机画法几何等,使蒙日的几何思想得到新的发展,在理论上则与射影几何学的结合越加密切.

  蒙日对于空间解析几何学也有重大贡献,写过多篇论文.主要成就载于他和他的学生阿歇特合写的《代数在几何中的应用》(Application dalgèbreà la géometrie)一书.此书于1805年正式出版.笛卡儿在解析几何学上主要论述的是平面曲线,关于空间曲线,只设想过利用曲线上的点在二正交平面上的垂足形成的曲线研究空间曲线;克莱罗关于双曲率曲线的研究,指出描述一条空间曲线需用两个曲面方程.他给出了一些曲面的方程,利用垂直于投影面的柱面方程,确定空间曲线的投影方程.蒙日发展了这些思想,研究出空间曲线图形的描绘方法.他证明:二次曲面的截交线是二次曲线,截平面平行则截交线是相似的二次曲线;单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面,即由二直线族构成.这些突出的贡献,使数学史家认为他和拉格朗日、L.欧拉(Euler)是使空间解析几何学真正发展的推动者,也由于他们的努力使解析几何学成为独立且富有活力的几何学分支.

  1639年同一年内,射影几何学出现了两大定理:德扎尔格定理和 B.帕斯卡(Pascal)定理.不过当时人们热衷于解析几何学方面的研究,对射影几何学没有重视.蒙日讲授的画法几何学内容包涵着射影几何学的因素,如透视的中心投影、阴影的平行投影,而且探讨综合几何新问题.从他的数学课内容和科研课题可以看出他的希望是几何法能与解析法相辅相成.在他的鼓励和影响下,他的学生中涌现了一批使射影几何学得以复兴的学人,他们的成就一直影响到现在.其中有军事工程学校的 LNM.卡诺(Carnot,物理学家 S.卡诺(Carnot)之父),综合工科学校的 JV.彭赛列(Poncelet)C J.布里昂雄(Brianchon)C.迪潘(Dupin)M.夏斯莱(Chasles)等人.

  蒙日和他的学生对微分几何学、微分方程作了大量的研究工作.蒙日的一篇论文是“关于双曲率曲线的渐屈线表面、曲率半径和不同形式的回折”(Sur les surfaces développéesles rayons de courbure et les différents genres dinflexions des courbes à double courbure1785).以后他把相继发表的论文系统地加以扩充,增加新成果,用活页印发给学生,正式出版时称为《分析应用于几何论稿》.1807年又加入代数在几何中的应用的内容,重新整理,后来成为另一巨著《分析法在几何中的应用》(Application de l'analyse à la géométrie1805).这是微分几何学的第一本教材.全书27章,附录有关于三变量一阶偏微分方程的积分方程的论述.此书连续使用40多年.至1850年由他的学生M.刘维尔(Liouville)校订并加注释,印出第五版.他在微分几何学上接受了克莱罗、欧拉等人关于三维微分几何的一些理论,同时用几何和分析加以研究,并将曲线曲面的各种性质用微分方程表示.一族具有共同性质的曲面,应满足一个偏微分方程.关于可展曲面的研究,给出了求任何单参数平面族的包络的法则,此法则也适用于单参数曲面族.他得出可展曲面的“脊线”的方程.空间曲线的配极可展曲面,其脊线就是曲线曲率中心的轨迹.蒙日在一篇论曲面类型的论文中论述了可展曲面是直纹面(反之不真),他列出可展曲面的方程和满足的偏微分方程,然后证明可展曲面是一种特殊的直纹面.蒙日关于满足非线性和线性的一阶、二阶以至三阶偏微分方程的曲面族的研究,对偏微分方程有重要的意义.他应用特征理论给出参数变值法的几何解释,从而导出诸如特征曲线、积分曲线、特征锥等的概念.人们称“特征锥”为“蒙日锥”.把关于极小曲面方程积分法中的非线性方程,称为“蒙日方程”.

  蒙日受人尊敬,还在于他培养了一批优秀的学生,如 JB.梅斯尼埃(Meusnier)EL.马勒斯(Molus)MA.朗克雷(Lancret)G.拉梅(Lamé)SD.泊松(Poisson)、迪潘、刘维尔、傅里叶、拉克鲁瓦、柯西等人.人称他们为蒙日学派.

  在其他领域的著名科学家如 AM.安培(Ampère)S.卡诺(Carnot)JL.盖-吕萨克(Gay-Lussac)等,也都受过蒙日画法几何学和微分几何学的薰陶.

  由本文提到的蒙日的学生们的响亮姓名,联想他们在科学技术上的成就,就可看出蒙日在科学技术教育改革上的贡献.他不仅是一位在多方面有创造贡献的科学家、工程师,而且是一位教育家.