达朗贝尔

南京大学 易照华

  达朗贝尔,JLR(D'Alembert Jean Le Rond)17171117日生于法国巴黎;17831029日卒于巴黎.物理学、数学.

  达朗贝尔是私生子,母亲德唐栅夫人(Madame de Tencin)当过修女,当时是一位著名的沙龙女主人;为了她自己的名誉而将出生不久的婴儿遗弃在巴黎的圣·让勒龙(Saint Jean le Rond)教堂的石阶上.后被一宪兵发现,临时用该教堂的名字作为婴儿的教名.姓氏达朗贝尔是他长大后自己取的.他的父亲名为谢瓦里叶(Chevalier),姓德杜歇-卡农(Detouches-Canon),是骑兵军官.他得到消息后很快把婴儿找回来,寄养于工匠卢梭(Rous- seau)夫妇处.达朗贝尔同养父母的感情很好,47岁以前一直住在他们家中.

  达朗贝尔少年时被父亲送入一个教会学校(由路易十三时代的教皇马萨林创建),主要学习古典文学、修辞学和数学.他对数学特别有兴趣,为后来成为著名数理科学家打下了基础;虽然在教会学校中受到很多宗教教育,但后来仍不信神,成为反对宗教的著名启蒙学者和“百科全书派”的主要骨干.

  达朗贝尔没有受过正规的大学教育,靠自学掌握了I.牛顿(Newton)和当代著名数理科学家们的著作.17397月,他完成第一篇学术论文,内容是批评C.雷诺(Reyneau)神父的数学教程.以后两年内又向巴黎科学院提交了5篇学术报告,内容是研究微分方程的积分方法和物体在介质内的阻尼运动.这些报告由AC.克莱洛(Clairaut)院士回复.经过几次联系后,达朗贝尔于17415月正式进入科学院.当时科学院的职称分四个等级:荣誉院士,只有声望很高的人担任;终身院士,每个学部(当时有6)只有3名;副院士,或称通讯院士;助理院士.严格讲来,只有前两种才是正式院士,但有些文献中把这四种统称为院士.达朗贝尔刚进科学院时任天文学助理院士;1746年提为数学副院士;1754年提为终身院士.

  17411743年间,达朗贝尔对理论力学的大量课题进行了研究,并在1743年底出版了历史性名著《动力学》(Traité dedynamique) 1744年又出版《流体的平衡和运动》(Traité del'equilibre et du mouvement des fluides)1747年发表了两篇重要论文:其中一篇关于喷流反射的文章获普鲁士科学院奖金,文中首先在数学物理中应用偏微分方程;另一篇是关于弦振动的,其中第一次正式采用波动方程.1749年又发表了有关春分点、岁差和章动的论文,对天体力学发展作出重要贡献.

  达朗贝尔的研究工作和论文写作都以快速闻名.他进入科学院后,就以克莱洛作为竞争对手,克莱洛研究的每一个课题,达朗贝尔几乎都要研究,而且尽快发表.多数情况下,达朗贝尔胜过了克莱洛.这种竞争一直到克莱洛去世(1765)为止.

  1750年开始,达朗贝尔中断了数理研究工作,加入了“百科全书派”,与启蒙运动成员一起编辑出版宣传启蒙思想的《百科全书》.由D.狄得罗(Diderot)主编,达朗贝尔任科学副主编,但工作已超出科学范围.达朗贝尔为《百科全书》写的长篇序言,成为启蒙运动的主要文件.在序言中,全面讨论了科学和道德问题,并用唯物主义观点阐明了科学史和哲学史.虽然达朗贝尔为了应付书刊审查员,口头承认宗教的真理性,但在序言中仍然明确指出,科学的基础是实际的感受;道德的基础是激情、同情和倾向等,而这些都是人们自身能够弄清的.正因为如此,序言出版后经常受到攻击.此外,达朗贝尔还撰写了不少数学和其他知识条目,刊载于《百科全书》.

  由于牵涉到的知识面很广,达朗贝尔在这几年内的著作超出了数理方面的研究.1752年出版的《M.拉莫(Rameau)原理下的音乐理论和实用基础》,属于心理物理学领域;1753年出版的《文学和哲学论丛》两卷集,是关于音乐、法律和宗教的小品文集.

  1757年,达朗贝尔访问住在瑞士的文学家MA de伏尔泰(Voltaire)后,写了一个“日内瓦”条目,刊登在《百科全书》第7卷上.他在文中表面赞美,实质上是诅咒这个城市.而《百科全书》正好在瑞士出版,结果被当局吊销了《百科全书》的出版许可证.达朗贝尔这样作违背了《百科全书》的编辑总方针,受到启蒙运动内部人员的攻击.著名哲学家JJ.卢梭(Rousseau)攻击得最厉害.达朗贝尔引咎辞去副主编职务.

  1760年以后,达朗贝尔继续从事数理研究,主要专著是8卷巨著《数学手册》(Opuscules mathematiques),到1780年才出齐.1770年以后发表的论文不多,1777年发表的有关流体阻尼的论文,是以合作者A.波苏(Bossut)JAde孔多塞(Condorcet)为主.

  达朗贝尔终生未婚,但长期与沙龙女主人Jde勒皮纳斯(Lespinasse)在一起.他的生活与当时哲学家们一样,上午到下午工作,晚上去沙龙活动.达朗贝尔很少旅行,最长的一次是1764年应普鲁士国王菲得烈之邀,到柏林王宫住了三个月.虽然国王再三请他移居德国,就任普鲁士科学院院长,达朗贝尔仍婉言谢绝,并推荐L.欧拉(Euler)担任.但国王始终未委任欧拉.1762年,俄皇卡捷琳娜二世曾邀请达朗贝尔任皇太子监护人,被他谢绝.由于他在数理学科中的重要贡献,1772年被选为巴黎科学院的终身秘书,成为影响最大的院士;欧洲多数国家的科学院聘请他为国外院士.达朗贝尔还是青年科学家的良师益友,著名科学家JL.拉格朗日(Lagrange)PS.拉普拉斯(Laplace)在青年时代,都得到他的鼓励和支持.他推荐拉格朗日去普鲁士科学院,推荐拉普拉斯去巴黎科学院,以后还一直进行学术讨论.

  1765年,达朗贝尔因病离开养父母的家,住到勒皮纳斯小姐处.在她精心照料下恢复了健康,以后就继续住在那里.任科学院秘书后,他组织编辑和出版巴黎科学院已故院士的文集,但因院内意见分歧而进展缓慢.1776年,勒皮纳斯小姐去世,达朗贝尔非常悲痛;再加上工作的不顺利,他的晚年是在失望中度过的.达朗贝尔去世后被安葬在巴黎市郊墓地,由于他的反宗教表现,巴黎市政府拒绝为他举行葬礼.

  达朗贝尔是多产科学家,他对力学、数学和天文学的大量课题进行了研究;论文和专著很多,还有大量学术通信.仅1805年和1821年在巴黎出版的达朗贝尔《文集》(Oeuvres)就有23卷.

  达朗贝尔作为数学家,同18世纪其他数学家一样,认为求解物理(主要是力学,包括天体力学)问题是数学的目标.正如他在《百科全书》序言中所说:科学处于从17世纪的数学时代到18世纪的力学时代的转变,力学应该是数学家的主要兴趣.他对力学的发展作出了重大贡献,也是数学分析中一些重要分支的开拓者.

  1.力学基础研究

  (1)动力学基础的建立牛顿力学体系的建立,是18世纪的科学家们完成的.达朗贝尔是这批学者的杰出代表之一.他在力学基础上的贡献,集中反映在他的《动力学》中.

  《动力学》于1743年出版,1758年再版.全书分为两部分,前面还有很长的哲学序言.该书是他的科学工作中最有名的作品.

  在哲学序言里,他首先指出科学革命已经发生,需要很多人长期努力才能完成.他自己的任务是把力学这门新科学系统化和公式化.他主张以感觉论的认识论作为科学的基础,但也保留了R.笛卡儿(Descartes)的观点:真理就是明白和简单的.序言中发挥了他对力学的哲学观点,强调基本概念必须符合明白和简单的原则.他认为运动是时间和空间概念的一种组合;他根据物体不能互相穿透的事实,定义物质的不可入性,认为物质由原子组成,原子是坚硬不可入的,原子间由某种弹簧联结.但这些弹簧是什么?不见得比牛顿用的以太(ether)更高明.限于当时的物理学水平,不可能更深入了解物质的结构.

  《动力学》第一部分中,达朗贝尔提出了自己的运动三大定律:第一定律与牛顿的惯性定律相同,但给出一个几何学证明;第二定律为运动的合成,给出一个利用平行四边形法则的数学证明;第三定律为平衡定律,但不是讲作用力与反作用力,而是用动量在撞击前后的守恒来表示,其中撞击时间为离散间隔.动量守恒中隐含质量定义,而不用力来定义质量.

  《动力学》第二部分中阐述了著名的达朗贝尔原理,并用不同形式的例子来说明.下面以现代语言和符号简述此原理:

  作用于一个物体的外力与动力的反作用之和等于零.即

  F(-Ma)N=0(1)

  其中ma为物体质量和加速度,F为物体受到的直接外力,N为物体受到的约束反作用力(也是外力).在没有约束时,相应的N=0(1)式成为

  F-Ma=0(2)

  与牛顿的运动第二定律一致,只是进行了移项.但这是概念上的变化,有下列重要意义:

  ①用(2)式表达的是平衡关系,可以把动力学问题转化为静力学问题来处理.

  ②在有约束情况下,用(1)式非常有利;它与虚功原理结合后,可列出动力学的普遍方程.

  ③用于刚体的平面运动时,可利用平面静力学方法,使问题简化.

  实际上,达朗贝尔原理还为不久后创立的分析力学打下了基础.

  (2)流体力学研究流体的力学研究从牛顿开始,但作为一门学科——流体力学,则是18世纪的欧拉,D.伯努利(Bernoulli),克莱洛和达朗贝尔打下的基础.

  在提出达朗贝尔原理后,他自已就用于研究流体运动的一些主要问题,包括笛卡儿提出的行星系运动的旋涡理论以及克莱洛的有关地球形状理论.

  1752年发表的“流体阻尼的一种新理论”(Essai d'un nouvellethéorie de la resistance des fluides)一文,第一次用流体动力学的微分方程表示场,并提出了著名的达朗贝尔佯谬(D' Alembert's paradox).它实际上是流体力学中的一个定理:物体在大范围的静止或匀速流动的不可压缩、无粘性流体中作等速运动时,它所受到的外力之和为零.这是达朗贝尔从理论上导出的结果,看起来有矛盾,因为物休在流休中运动总会受到阻尼,这是一种耗散力,总和不会为零.达朗贝尔在文中对此未作解释.按现在观点,这个定理并没有错,只是现实中不存在无粘性流体.即使粘性非常小的流体,对其中运动的物体都会起重要的作用,因为粘性使流体在物体表面产生切向应力,即摩擦阻尼.

  虽然文中还有一些其他问题,如有些假定破坏了连续性定律,后人仍公认该论文对流体力学基础理论有重大贡献.H.劳斯(Rouse)S.英斯(Ince)曾说:“是达朗贝尔第一次引入了流体速度和加速度分量概念.”

  达朗贝尔在流体力学上的建树,与当时欧拉、克莱洛、伯努利等齐名.其中欧拉的贡献最大,但其余几人很难排名次,因为他们不断地相互讨论,很难说哪一个想法是谁先提出来的.

  (3)天体力学的奠基者之一达朗贝尔把力学理论用于研究天体运动,成为天体力学的奠基者之一.其贡献主要集中在两部著作中:一是1749年出版的《分点岁差和地球章动的研究》(Recherches sur la précession des equinoxes et sur la nutationde la terre),在此书中虽然采用了与克莱洛相似的方法,但在运动方程的积分过程中,用了更多的摄动项,使得结果更符合观测;二是《宇宙体系的几个要点研究》(Recherches sur differénspoints importants du système du monde),共分3卷,1754年出版前两卷,1756年出第3卷.其中贡献最大的是下面两个课题:

  一是月球运动理论.在18世纪40年代,欧拉、克莱洛和达朗贝尔几乎同时研究月球运动理论;因为按牛顿理论,已不能解释月球运动的现象,而且理论计算位置和观测之间的差愈来愈大. 1747年,达朗贝尔与克莱洛在同一天向巴黎科学院提交了关于月球运动的报告.他们都解释了月球近地点移动的现象,并在1749年提供了更详细的结果.1754年,他们两人又几乎同时发表了各自的月球运动数值表,成为最早的月球历表之一.达朗贝尔的月球运动研究成果,载于《宇宙体系的几个要点研究》第3卷.

  二是关于地球形状和自转的理论.这也是达朗贝尔同克莱洛竞争的课题之一,是牛顿时代就存在的老课题.达朗贝尔给出了流体自转时平衡形状的一般结果,克莱洛立即用来研究地球的自转,首先在1743年出版了《地球的形状理论》(Theorie de lafigure de la Terre).达朗贝尔对克莱洛关于不均匀流体自转时的形状理论进行推广和补充,研究结果载于《宇宙体系的几个要点研究》第2卷.他以此为基础,更准确地研究了岁差和章动现象,以及相似的月球天平动,为天体力学的奠基作出贡献.

  2.数学分析的开拓者

  自牛顿和GM.莱布尼茨(Leibniz)发现微积分后,数学发展到一个新阶段.英国数学界由于坚持几何方法而进展缓慢;欧洲大陆数学家却继续在分析方法上不断探索而迅速发展,进入数学分析的开拓时期.达朗贝尔是重要的开拓者之一,其成就仅次于欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和D.伯努利(Bernoulli)

  达朗贝尔的数学成果后来全部收入《数学手册》.下面介绍其主要贡献.

  (1)极限概念达朗贝尔在《百科全书》的“微分”条目中写道:“微分学是作为最初比和最终比的方法,即求出这些比的极限的一种方法.”文中还把导数看成极限,并论证0/0可等于任何量.

  在其他一些文章中,他说极限论是微积分学的真正抽象,不是微分学中无穷小量的一个问题,而是有限量的问题.他给出了极限的较好定义:“一个变量趋于一个固定量,趋近程度小于任何给定量,且变量永远达不到固定量”.但他没有把这种表达公式化.

  正如C.波义尔(Boyer)指出:达朗贝尔没有逃脱传统的几何方法影响,不可能把极限用严格形式阐述;但他是当时几乎唯一把微分看成是函数极限的数学家[2].

  (2)级数理论无穷级数在18世纪中,形式讨论占主导地位,一般都作为多项式的推广,只有少数人区别开收敛级数和发散级数.达朗贝尔是其中之一,他在《百科全书》中的“级数”条写道:“当级数的项数增加而级数值愈来愈趋向某有限量,则称此级数为收敛级数.”接着他提出了一个判别无穷级数绝对收敛的办法:若级数

u1u2u3+…+un+…

的相邻两项之比的绝对值|un+1/un|,在n大于某固定正整数N时,永远小于一个与n无关的正数r,且r1,则上述级数为绝对收敛.这就是至今仍在应用的著名的达朗贝尔判别式.

  对于发散级数,当时一般人照样采用,达朗贝尔在1768年出版的《数学手册》第5卷中说:“所有基于不收敛级数的推理,在我看来都是十分可疑的.”可是他的看法在当时并未引起重视.

  18世纪已出现三角级数,达朗贝尔就是否所有函数都能表示为三角级数的问题,同欧拉和拉格朗日等进行了热烈的讨论,为19世纪建立三角级数理论打下基础.

  (3)微分方程随着18世纪中的力学和天体力学课题的广泛深入研究,常微分方程得到迅速发展.达朗贝尔在这方面的贡献集中在求解上.

  解高阶常微分方程的一种基本方法是降阶法,达朗贝尔首先把二阶方程降阶为一般形式的方程

  并且命名为“黎卡提(Riccati)方程”(1763)

  在常微分方程奇解的讨论中,达朗贝尔的贡献是加强了欧拉在1768年提出的判别法,即在未知通解时,从一个特殊积分鉴别奇解的判别法(1769)

  在达朗贝尔以前,常微分方程的解只用初等函数表示,欧拉和达朗贝尔开始研究用求积形式的函数作为解.达朗贝尔在1767年指出,椭圆积分可以作为常微分方程的解.

  达朗贝尔也为偏微分方程的诞生做出了重大贡献.早在1743年出版的《动力学》中,已出现偏微分方程;1746年发表的《张紧的弦振动时形成的曲线研究》(Recherches des courbes formé parvibration de la corde tendue)中,首先提出了波动方程

  其中a为常数,与弦的密度和张力有关.达朗贝尔证明了它的解为atx的函数与at-x的函数之和,并讨论了这两个函数在初始条件下的关系.

  1750年,达朗贝尔引入分离变量的方法,把(4)式的解表示为

y(tx)=g(t)h(x)(5)

  代入(4)式后,可化为g(t)h(x)的两个常微分方程,并证明在弦振动的初始条件下,g(t)h(x)分别为tx的周期函数.这是现在仍采用的一种解偏微分方程的基本方法.

  1763年,达朗贝尔进一步讨论了不均匀弦的振动,得出广义的波动方程

  在用分离变量求解过程中,出现了常微分方程的边值和特征值问题,但未深入下去.

  达朗贝尔坚持偏微分方程的解是自变量的解析函数,这就局限了他取得更多的成果;他首先区别了偏微分方程的特解和通解,但认为通解更重要,没有认识到在解决实际问题(如弦振动)时,满足初始和边界条件的特解才有用.

  达朗贝尔在数学上还有很多其他成果:他是早期研究复数性质的人;还是证明代数学基本定理的最早数学家之一,虽然证明不完全;他对概率论也有研究.

  由于18世纪的历史特点,达朗贝尔同其他数学家们一样,尽量从力学、天文学、光学和声学的各种课题研究中,开拓出数学分析的各分支.但因未能从严密和系统化方面深入,故在晚年同意拉格朗日的看法,认为数学的思想差不多快穷尽了.实际上,在他们的贡献基础上,19世纪的数学发展得更快.