棣莫弗

中国科学院自然科学史研究所 张祖贵

  棣莫弗,A(De MoiverAbraham)1667526日生于法国维特里的弗朗索瓦;17541127日卒于英国伦敦.数学.

  棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家,其父一生勤俭,以行医所得勉强维持家人温饱.棣莫弗自幼接受父亲的教育,稍大后进入当地一所天主教学校念书,这所学校宗教气氛不浓,学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习,这对他的性格产生了重大影响.随后,他离开农村,进入色拉的一所清教徒学院继续求学,这里却戒律森严,令人窒息,学校要求学生宣誓效忠教会,棣莫弗拒绝服从,于是受到了严厉制裁,被罚背诵各种宗教教义.那时,学校不重视数学教育,但棣莫弗常常偷偷地学习数学.在早期所学的数学著作中,他最感兴趣的是C.惠更斯(Huygens)关于赌博的著作,特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》(Deratiociniis in ludo aleae)一书,启发了他的灵感.

  1684年,棣莫弗来到巴黎,幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的J.奥扎拉姆(Ozanam).在奥扎拉姆的鼓励下,棣莫弗学习了欧几里得(Enclid)的《几何原本》(Ele-ments)及其他数学家的一些重要数学著作.

  1685年,棣莫弗与许多信仰新教的教友一道,参加了震惊欧洲的宗教骚乱,在这场骚乱中,他与许多人一起被监禁起来.正是在这一年,保护加尔文教徒的南兹敕令被撤销.随后,包括棣莫弗在内的许多有才华的学者由法国移住英国.据教会的材料记载,棣莫弗一直被监禁至1688年才获释,并于当年移居伦敦.但据20世纪60年代发现的一份当时的材料,1686年时棣莫弗已经到了英国.随后,棣莫弗一直生活在英国,他对数学的所有贡献全是在英国做出的.

  抵达伦敦后,棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作,于是如饥似渴地学习.一个偶然的机会,他读到I.牛顿(Newton)刚刚出版的《自然哲学的数学原理》(Mathematical principles of natural philosophy),深深地被这部著作吸引了.后来,他曾回忆起自己是如何学习牛顿的这部巨著的:他靠做家庭教师糊口,必须给许多家庭的孩子上课,因此时间很紧,于是就将这部巨著拆开,当他教完一家的孩子后去另一家的路上,赶紧阅读几页,不久便把这部书学完了.这样,棣莫弗很快就有了充实的学术基础,并开始进行学术研究.

  1692年,棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E.哈雷(Halley),哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”(On New-tons doctrine of fluxions)在英国皇家学会上宣读,引起了学术界的注意.1697年,由于哈雷的努力,棣莫弗当选为英国皇家学会会员.

  棣莫弗的天才及成就逐新受到了人们广泛的关注和尊重.哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》(The doctrine of chances)呈送牛顿,牛顿对棣莫弗十分欣赏.据说,后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时,他就说:“这样的问题应该去找棣莫弗,他对这些问题的研究比我深入得多”.1710年,棣莫弗被委派参与英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会,可见他很受学术界的尊重.1735年,棣莫弗被选为柏林科学院院士.1754年,又被法国的巴黎科学院接纳为会员.

  棣莫弗终生未婚.尽管他在学术研究方面颇有成就,但却贫困潦倒.自到英国伦敦直至晚年,他一直做数学方面的家庭教师.他不时撰写文章,还参与研究确定保险年金的实际问题,但获得的收入却极其微薄,只能勉强糊口.他经常抱怨说,周而复始从一家到另一家给孩子们讲课,单调乏味地奔波于雇主之间,纯粹是浪费时间.为此,他曾做了许多努力,试图改变自己的处境,但无济于事.

  棣莫弗在87岁时患上了嗜眠症,每天睡觉长达20小时.当时有一等差级数.当24小时高睡不起时,他便在贫寒中离开了人世.

  概率论肇始于17世纪,G.卡尔达诺(Cardano)P.费马(Ferman)B.帕斯卡(Pascal)等人是概率论早期的研究者,他们所研究的主要是关于相互独立随机事件的概率——机会方面的问题,讨论如赌博、有奖抽彩过程中的“机会”.逐渐地,人们要求解决与大量事件集合有关的概率或期望值问题,如奖券的总数很大,已知每一张奖券中奖的机会都相等,那么抽取1000张、10000张奖券中奖的概率有多大呢?人们希望了解,如果要保证中奖的可能性达到90%,那么至少应该购买多少张奖券.

  考虑一系列随机事件(如随机地抛掷硬币),某一事件出现(如抛掷硬币时出现正面)之概率为Pn表示所有随机事件的总数,m是某一事件出现的数目,那么该事件出现的次数(m)与全体事件的次数(n)之比将会呈现什么规律呢?这是17世纪概率论中一个十分重要的问题.

  1713年,雅格布·伯努利(Jacob Bernoulli)的遗著《猜度术》(Ars conjectandi)出版,书中表明他经过多次反复的试验,证明在一定范围内

  
试验,则上述概率为0.9999;再增加5708次,即进行36966次试验,则上述概率为0.99999,等等.因此雅格布·伯努利指出:“无限地连续进行试验,我们终能正确地计算任何事物的概率,并从偶然现象之中看到事物的秩序。”但是,他并未表述出这种偶然现象中的秩序.这一工作是由棣莫弗完成的.

  棣莫弗在雅格布·伯努利的《猜度术》出版之前,就对概率论进行了广泛而深入的研究.1711年,他在英国皇家学会的《哲学学报》(Philosophical Transactions)上发表了“论抽签的原理”(De mensure sortis),该文于1718年用英文出版时翻译成《机会的学说》(The doctrine of chances),并扩充成一本书.他在书中并没讨论上述雅格布·伯努利讨论的问题,1738年再版《机会的学说》时,棣莫弗才对上述问题给出了重要的解决方法.

  棣莫弗在《机会的学说》(1738年版)中称,在1725年左右,他就考虑过多次反复试验中的预期概率问题.他曾在注明日期为17331113日的一份拉丁文论文中指出:“坦率地说,这是在关于机会的学问中所能提出的最困难的问题.”他的解答是这样的:在n次试验中,获得m次成功(即某一特定事件出现)的概率,是通过(ab)n的表达式中含有m次的那一项(即第m1)表示出来的,也就是说,n次试验中某一事件出现m次的概率为

  其中,a是某一事件出现的概率,而b=1-a

  这样,棣莫弗就得到二项分布

  其中ξ随机变数,而P(ξ-K)为ξ的分布列.

  然后,他又考虑一般的二项式公式(ab)n,发现二项式(11)n的中项与各项之和(2n)之间的比例关系为(n很大时)

  

  弗在1730年的《分析杂论》(Miscellanea analytica)中给出了对很大的n,关于n!的近似公式

  这是棣莫弗首先给出的,但在数学史上却被称为斯特灵公式或斯特灵逼近.历史事实是,棣莫弗首先得到

  他知道常数C仅仅是一个无穷级数之和的极限,但却没有求出C的值.后来,他的朋友J.斯特(Stirling)利用他的发现作了进一步的探讨,

  莫弗.

  
(ab)n从任意一项至中心项的总和.于是,他发现了二项分布Cmn·am·(1-a)n-m的极限式将呈现一种新的形式.他提出一个具有启发性的例子,并认为这是“机会”(概率论)最难解决的问题:事件
1830次,也不少于1770次,也就是说,已经得到平均误差为

   
n次试验中出现m次事件的概率之期望值满足的关系式

  其中m(n)n次试验中出现m次事件的概率.也就是说,棣莫弗首次发现二项分布的极限形式为一正态分布.

  后来,PS.拉普拉斯(Laplace)对棣莫弗的结果进行推广,得到了今天的棣莫弗-拉普拉斯积分极限定理:

  若随机变数ξn服从二项分布,即P(ξn=m)=Cmnam·(1-a)n-m,其中0a1m=012,…,n,则有

  棣莫弗最先引入的正态分布在概率、统计发展中占有重要地位.后来,拉普拉斯、CF.高斯(Gauss)等进行了推广.人们陆续发现,许多随机现象服从正态分布.

  设ξn(n=12,…)为相互独立的随机变数序列,有有限的数学期望E(ξk)=ak和方差D(ξk)=δ2k(k=12,…),令

一致地有

  则称随机序列{ξn}服从中心极限定理.

  不难证明,若设ξn(n=12,…)为相互独立且具有相同两点分布的随机变数序列,且P{ξm=1=aP{ξm=0=1-a(m=12,…)0a1,则{ξn}服从中心极限定理.这一定理的雏型是棣莫弗最先提出的.

  在对概率论的研究中,棣莫弗第一次引入了正态密度函数(
布的极限式为正态分布的发现,在相当长时间里被人遗忘了.直到1924K.皮尔逊(Pearson)著“正态曲线史”(Ahistory ofthe normal curve)一文,重新提到棣莫弗的工作,人们才认识到他的贡献.

  利用棣弗莫的上述结论,可以解决在一定范围内存在的期望的概率
 

   

  棣莫弗将他的成果大量地应用于诸如此类的问题.上述棣莫弗-拉普拉斯积分极限定理及中心极限定理还可用来解决反过来的统计问题:已知在一定范围内存在的期望的概率,求某一事件出现的概率,或者求满足一定概率条件所需要的试验次数,等等.

  棣莫弗的《机会的学说》在概率论发展中起着承前启后的作用,尤其是二项分布、正态分布函数、中心极限定理等方面的工作,开辟了概率论发展的新方向.对于他来说,重要的是解决了这样的哲学问题:在人们以为是纯粹偶然的事件中,可以寻找出其规律和必然.正如他在该书英文第三版中所指出的那样,尽管机会具有不规则性,由于机会无限多,随着时间的推移,不规则性与秩序相比将显得微不足道.他认为,这种秩序自然是从“固有设计中”产生出来的.

  在《机会的学说》中,棣莫弗得到了泊松分布的一种特殊情形,并将母函数用于对正态分布的讨论;在研究差分方程时,他将循环级数方法应用于差分方程的求解;此外,他在这部著作中还对赌博中涉及的概率问题进行了深入探讨.他的许多方法尤其是母函数方法在概率论发展中占有十分重要的地位.

  棣莫弗是18世纪力主将概率论应用于人文、社会科学研究的重要人物之一,他在这方面的工作与哈雷密切相关.哈雷在1693年就制定了确定保险年金的理论,在他的统计数据的基础上,棣莫弗于1725年出版了《年金论》(Anuities upon lives)一书.

  《年金论》不仅改进了以往众所周知的关于人口统计的方法,而且在假定死亡率所遵循的规律以及银行利息不变的情况下,推导出了计算年金的公式,从而为保险业提供了合理处理有关问题的依据,这些内容被后人奉为经典.在这部书中,棣莫弗提出了一个死亡假说,即在每86个婴儿出生后,每年将死掉一个.他的《年金论》在欧洲产生了广泛影响,先后出版了7次之多,1725年、1743年、1750年、1752年、1756年分别用英文出版,1776年出版了意大利文本,1906年出版了德文译本.

  另外,棣莫弗还得到一些与复数有关的重要结果.他运用复数理论,证明了求解二项方程

xn-1=0

  相当于把圆周分成n等分,故二项方程又称分圆方程.

  在复数理论的发展中,现在称之为棣莫弗定理的

  显得十分重要,它是早期复数理论中最有意义的关键公式之一.棣莫弗在1707年的一篇文章中隐约地得到了这一结果,在1722年的一篇笔记中,他利用1707年的结论,推导出代表比为1n的角的正矢(vers α=1-cosα)xt之间的关系,可以通过参数z表示:

  他认为这一表示式在n是正整数时成立.实际上,他只得到了上述表达式.如令x=1-cosθ,t=1-cosnθ,则可得到(cosθ±isinθ)n=cosnθ±isinnθ.他从未写出过最后明确的结论.完整的棣莫弗公式是欧拉在1748年给出的,欧拉还给出完整的证明.值得提出的是,棣莫弗间接地得到了下述公式: